2019年春八年级数学下册第19章四边形章末小结与提升课件新版沪科版PPT
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沪科初中数学八下《19.0第19章四边形》PPT课件 (3)
3、如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作
等边三角形ADE，则∠BED=__4_5_º__
E
A O
D A O DA
D
B
C
1题
B
CB
C
2题
3题
例1：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D
作DP∥OC，且 DP=OC，连结CP，试判断四边形CODP的
形状并证明
A
B
O
D
C
P
如图，矩形ABCD的对角线AC、BD A
（3）当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形.
解:（3)当 AB=AC时，平行四边形ADFE时菱形。
当 AB=AC且∠BAC=150°时，
平行四边形ADFE是正方形。 F
D
A
E
60°
60°
B
C
解：添加的条件__A_C_＝__B__D__
A H
若四边形EFGH为矩形，
D 需添加条件__A_C_⊥__B__D
E
G 若四边形EFGH为正方形，
B
F
C 需添加条件_A_C__＝__B_D_且AC⊥BD
总结发现：
顺次连接对角线既不相等也不垂直的四边形各边中 点得 平行四边形；
顺次连接对角线相等但不垂直的四边形各边中点得 菱形；
（2）如图2所示，若点E在AC的延长线上，AM⊥EB的延长线 于点M，交DB的延长线于点F，其他条件都不变，则结论 “OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立， 请说明理由
A
D
A
D
o
O
F
E
M M
Bபைடு நூலகம்
C
八年级数学下册 第19章 四边形 19.3 矩形 菱形 正方形
19.3.2 第2课时 菱形的判定
目标突破
目标一 能利用菱形的判定定理证明四边形是菱形
例 1 教材补充例题 如图 19－3－8，点 D 在△ABC 的边 BC 上(与 点 B，C 不重合)，DE∥AC 交 AB 于点 E，DF∥AB 交 AC 于点 F. (1)求证：AE＝DF； (2)若 AD 平分∠BAC，试判断四边形 AEDF 的形状，并说明理由．
∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，即 AC⊥EF. 由(1)知△ADE≌△CBF， ∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB， ∴AE∥CF， ∴四边形 AECF 是平行四边形． 又∵AC⊥EF，∴四边形 AECF 是菱形．
19.3.2 第2课时 菱形的判定
总结反思
知识点一 根据菱形的定义判定菱形
图 19－3－9
19.3.2 第2课时 菱形的判定
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD. ∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°. 同理∠FCB＝90°， ∴∠EAD＝∠FCB. ∴△ADE≌△CBF.
19.3.2 第2课时 菱形的判定
(2)四边形 AECF 是菱形． 理由：如图，连接 AC，
第19章 四边形
19.3.2 第2课时 菱形的判定
第19章 四边形
19.3.2 第2课时 菱形的判定
知识目标 目标突破 总结反思
19.3.2 第2课时 菱形的判定
知识目标
1．通过归纳理解菱形的判定方法，能利用菱形的判定定理判 定四边形是菱形．
2．掌握菱形的性质和判定定理，能综合利用菱形的性质和判 定定理定
【归纳总结】菱形的判定方法：
19.3.2 第2课时 菱形的判定
八年级数学下册第19章四边形19.3矩形菱形正方形19.3.3正方形课件新版沪科版
第19章
19.3.3
四边形
正方形
第19章 四边形
19.3.3
知识目标 目标突破 总结反思
正方形
19.3.3 正方形
知识目标
1．通过归纳理解正方形的概念和性质，能利用正方形的性质 进行计算或证明． 2．通过归纳得出正方形的判定方法，能利用正方形的判定定 理判定四边形是正方形．
19.3.3 正方形
【归纳总结】正方形判定方法的选择：
19.3.3 正方形
总结反思
知识点一
正方形的性质
直角 ，且有一组邻边______ 相等 的平行四 (1)定义：有一个角是______
边形叫做正方形．
相等 ， 直角 ； (2)性质 1： 正方形的四条边都________ 四个角都是________
相等且互相垂直平分 ． 性质 2：正方形的对角线__________________
目标突破
目标一 能利用正方形的性质进行计算或证明
例1
教材补充例题
已知：如图 19－3－10，在正方形 ABCD 中，
点 E，F 分别在 BC 和 CD 上，AE＝AF. (1)求证：BE＝DF； (2)连接 AC，EF 交于点 O，延长 OC 至点 M，使 OM＝OA，连接 EM， FM，求证：四边形 AEMF 是菱形．
19.3.3 正方形
∴∠AOE＝∠AOF. 又∵AO＝AO， ∴△AOE≌△AOF(ASA)， ∴AE＝AF. ∵EF 垂直平分 AD， ∴AE＝ED，AF＝DF， ∴AE＝ED＝DF＝AF， ∴四边形 AEDF 是菱形． 又∵∠BAC＝90°， ∴菱形 AEDF 是正方形．
19.3.3 正方形
判断以下命题的对错： (1)矩形的对角线相等且互相平分．( √ ) (2)矩形的对角线相等且互相垂直．( × ) (3)菱形的对角线相等且互相平分．( × ) (4)菱形的对角线互相垂直且平分．( √ ) (5)正方形的对角线相等且互相平分．( √ ) (6)正方形的对角线互相垂直且平分．( √ ) (7)正方形的对角线相等且互相垂直平分．( √ )
19.3.3
四边形
正方形
第19章 四边形
19.3.3
知识目标 目标突破 总结反思
正方形
19.3.3 正方形
知识目标
1．通过归纳理解正方形的概念和性质，能利用正方形的性质 进行计算或证明． 2．通过归纳得出正方形的判定方法，能利用正方形的判定定 理判定四边形是正方形．
19.3.3 正方形
【归纳总结】正方形判定方法的选择：
19.3.3 正方形
总结反思
知识点一
正方形的性质
直角 ，且有一组邻边______ 相等 的平行四 (1)定义：有一个角是______
边形叫做正方形．
相等 ， 直角 ； (2)性质 1： 正方形的四条边都________ 四个角都是________
相等且互相垂直平分 ． 性质 2：正方形的对角线__________________
目标突破
目标一 能利用正方形的性质进行计算或证明
例1
教材补充例题
已知：如图 19－3－10，在正方形 ABCD 中，
点 E，F 分别在 BC 和 CD 上，AE＝AF. (1)求证：BE＝DF； (2)连接 AC，EF 交于点 O，延长 OC 至点 M，使 OM＝OA，连接 EM， FM，求证：四边形 AEMF 是菱形．
19.3.3 正方形
∴∠AOE＝∠AOF. 又∵AO＝AO， ∴△AOE≌△AOF(ASA)， ∴AE＝AF. ∵EF 垂直平分 AD， ∴AE＝ED，AF＝DF， ∴AE＝ED＝DF＝AF， ∴四边形 AEDF 是菱形． 又∵∠BAC＝90°， ∴菱形 AEDF 是正方形．
19.3.3 正方形
判断以下命题的对错： (1)矩形的对角线相等且互相平分．( √ ) (2)矩形的对角线相等且互相垂直．( × ) (3)菱形的对角线相等且互相平分．( × ) (4)菱形的对角线互相垂直且平分．( √ ) (5)正方形的对角线相等且互相平分．( √ ) (6)正方形的对角线互相垂直且平分．( √ ) (7)正方形的对角线相等且互相垂直平分．( √ )
八年级数学下册 第19章 四边形 19.3 矩形 菱形 正方形
19.3.2 第1课时 菱形的性质
总结反思
知识点一 菱形的定义
定义：__有__一__组_邻__边__相_等____的平行四边形叫做菱形．
19.3.2 第1课时 菱形的性质
知识点二 菱形的性质定理1
性质 1：菱形的四条边__都__相_等___．
19.3.2 第1课时 菱形的性质
知识点三 菱形的性质定理2
性质 2：菱形的对角线_互__相__垂_直__．
例 1 教材补充例题 如图 19－3－6，在菱形 ABCD 中，AB＝BD＝5. 求：(1)∠BAC 的度数； (2)AC 的长．
图 19－3－6
19.3.2 第1课时 菱形的性质
解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD＝AB＝BC＝DC，AC 平分∠DAB. ∵AB＝BD＝5，∴AD＝AB＝BD， ∴△ABD 是等边三角形， ∴∠DAB＝60°. ∵AC 平分∠DAB，∴∠BAC＝30°. (2)∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥DB，AC＝2OA. 在 Rt△AOB 中， ∵∠BAC＝30°，AB＝5， ∴OB＝25，∴OA＝25 3， ∴AC＝2OA＝5 3.
第19章 四边形
19.3.2 第1课时 菱形的性质
第19章 四边形
19.3.2 第1课时 菱形的性质
知识目标 目标突破 总结反思
19.3.2 第1课时 菱形的性质
知识目标
归纳理解菱形的概念和性质，能利用菱形的性质进行计算或证明．
19.3.2 第1课时 菱形的性质
目标突破
目标 能利用菱形的性质进行计算或证明
1 (2)设菱形的两条对角线长分别为 a，b，则 S 菱形＝2ab.
19.3.2 第1课时 菱形的性质
例 2 教材补充例题 如图 19－3－7，四边形 ABCD 是菱形，对角 线 AC，BD 相交于点 O，DH⊥AB 于点 H，连接 OH，求证：∠DHO＝∠DCO.
2019年春八年级数学下册第19章四边形19.3矩形菱形正方形19.3.2菱形第1课时菱形的性质课件(新版)沪科版
19.3.2 第1课时 菱形的性质
【归纳总结】 1．菱形的性质： (1)边：四条边都相等，对边平行；(2)角：对角相等，邻角互补； (3)对角线：对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角； (4)对称性：菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的两 条对称轴；(5)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形． 2．菱形的面积： (1)设菱形的一边长为 a，这边上的高为 ha，则 S 菱形＝aha；
性质 2：菱形的对角线_互__相__垂_直__．
19.3.2 第1课时 菱形的性质
顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是什么四边形？小 明同学说：“一定还是菱形．”你同意他的说法吗？请给出理由．
19.3.2 第1课时 菱形的性质
解：不同意，顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是矩形．理由如下：
如图，∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠COD＝90°. ∵E，H，F 分别为 AD，CD，AB 的中点， ∴EH∥AC，EF∥BD， ∴∠1＝∠AOB＝90°，∠2＝∠COD＝90°， ∴∠FEH＝90°. 同理可证：∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°， ∴四边形 EFGH 是矩形．
第19章 四边形
19.3.2 第1课时 菱形的性质
第19章 四边形
19.3.2 第1课时 菱形的性质
知识目标 目标突破 总结反思
19.3.2 第1课时 菱形的性质
知识目标
归纳理解菱形的概念和性质，能利用菱形的性质进行计算或证明．
19.3.2 第1课时 菱形的性质
目标突破
目标 能利用菱形的性质进行计算或证明
19.3.2 第1课时 菱形的性质
总结反思
知识点一 菱形的定义
【最新沪科版精选】沪科初中数学八下《19.0第19章四边形》PPT课件 (3).ppt
顺次连接对角线互相垂直但不相等的四边形各边中
点得 矩形；
顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点 得 正方形.
2.以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE，四 边形ADFE是平行四边形.
（1）当∠BAC等于 150°时，四边形ADFE是矩形； （2）当∠BAC等于 60°时，平行四边形ADFE不存在；
3、如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作
等边三角形ADE，则∠BED=__4_5_º__
E
A O
D A O DA
D
B
C
1题
B
CB
C
2题
3题
例1：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D
作DP∥OC，且 DP=OC，连结CP，试判断四边形CODP的
形状并证明
A
B
O
D
C
P
如图，矩形ABCD的对角线AC、BD A
（2）如图2所示，若点E在AC的延长线上，AM⊥EB的延长线 于点M，交DB的延长线于点F，其他条件都不变，则结论 “OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立， 请说明理由
A
D
A
Dபைடு நூலகம்
o
O
F
E
M M
B
C
B
F
C E
1.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、 BC、CD、DA的中点，请添加一个条件_______，使四边 形EFGH为菱形，并说明理由。
特殊平行四边形
小丽去商店买了一块矩形玻璃、 一块菱形地砖和一块正方形地砖， 她想验证这三件商品的形状是否为 矩形、菱形、正方形，该怎么办？
1、菱形的对角线长为6和8，则菱形的边长＿5＿
点得 矩形；
顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点 得 正方形.
2.以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE，四 边形ADFE是平行四边形.
（1）当∠BAC等于 150°时，四边形ADFE是矩形； （2）当∠BAC等于 60°时，平行四边形ADFE不存在；
3、如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作
等边三角形ADE，则∠BED=__4_5_º__
E
A O
D A O DA
D
B
C
1题
B
CB
C
2题
3题
例1：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D
作DP∥OC，且 DP=OC，连结CP，试判断四边形CODP的
形状并证明
A
B
O
D
C
P
如图，矩形ABCD的对角线AC、BD A
（2）如图2所示，若点E在AC的延长线上，AM⊥EB的延长线 于点M，交DB的延长线于点F，其他条件都不变，则结论 “OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立， 请说明理由
A
D
A
Dபைடு நூலகம்
o
O
F
E
M M
B
C
B
F
C E
1.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、 BC、CD、DA的中点，请添加一个条件_______，使四边 形EFGH为菱形，并说明理由。
特殊平行四边形
小丽去商店买了一块矩形玻璃、 一块菱形地砖和一块正方形地砖， 她想验证这三件商品的形状是否为 矩形、菱形、正方形，该怎么办？
1、菱形的对角线长为6和8，则菱形的边长＿5＿
2019年春八年级数学下册第19章四边形本章总结提升课件新版沪科版
本章总结提升
一、数形结合思想 例 1 下图中有大小不同的菱形，第 1 幅图中有 1 个菱形，第 2 幅 图中有 3 个菱形，第 3 幅图中有 5 个菱形，则第 n 幅图中共有 ________个菱形．
图 19－T－8 [答案] (2n－1) [解析] 本题是通过观察图形以及数字探索规律问题，体现了数形 结合思想．经观察探索，不难发现第 n 幅图中共有(2n－1)个菱形．
本章总结提升
【归纳总结】解决折叠问题的关键是要根据轴对称的性质，找到有 关线段、角的等量关系，然后运用勾股定理等知识求解．
本章总结提升
问题6 图形运动型问题
解决图形运动型问题要用到哪些知识点？在特殊四边形的运 动型问题中，常用的方法有哪些？
本章总结提升
例 8 如图 19－T－7，在矩形 ABCD 中，P 是线段 AD 上一动点，O 为 BD 的中点，PO 的延长线交 BC 于点 Q，连接 BP，DQ. (1)求证：OP＝OQ； (2)若 AD＝8 厘米，AB＝6 厘米，点 P 从点 A 出发，以 1 厘米/秒的 速度向点 D 运动(不与点 D 重合)．设点 P 的运动时间为 t 秒，请用 含 t 的代数式表示 PD 的长，并求 t 为何值时，四边形 PBQD 是菱形．
本章总结提升
问题5 特殊平行四边形中的折叠问题
解决折叠问题要用到哪些知识点？在特殊四边形的折叠问题 中，常用方法有哪些？
本章总结提升
例 7 如图 19－T－6，AC 为矩形 ABCD 的对角线，将边 AB 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 M 处，将边 CD 沿 CF 折叠，使点 D 落 在 AC 上的点 N 处． (1)求证：四边形 AECF 是平行四边形； (2)若 AB＝6，AC＝10，求四边形 AECF 的面积．
2019年春八年级数学下册第19章四边形19.2平行四边形第2课时平行四边形的对角线的性质课件(新版)沪科版
解:∵AB⊥AC,AB=6,BC=10,∴由勾股定理得 AC=8. ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴OA=OC=4,OB=OD. 在 Rt△AOB 中,OB= 62 + 42 =2 13, ∴BD=4 13.
拓展探究突破练
16.水产养殖户小王有一口呈四边形的鱼塘,在鱼塘的四个角均种有 一棵树,由于养殖发展的需要,小王准备把鱼塘的面积扩大两倍,又想 保留这四棵树,并要求扩建后的鱼塘呈平行四边形,你能帮助小王解 决这个问题吗?若能,请你画出设计的图形( 保留作图痕迹,不写画 法 );若不能,请说明理由.
解:OE=OF. 理由:在▱ABCD中,OB=OD. ∵BE⊥AC,DF⊥AC, ∴∠BEO=∠DFO=90°, 又∵∠BOE=∠DOF, ∴△BOE≌△DOF, ∴OE=OF.
综合能力提升练
15.如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,AB⊥ AC,AB=6,BC=10,求 BD 的长.
1 3 1 D. 6
B.
A.1 对 C.3 对
B.2 对 D.4 对
知识要点基础练
3.如图,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,过点 O 的直线 EF 分别交 CD,AB 于点 E,F,则 OE,OF 的数量关系是( B )
A.OE>OF B.OE=OF C.OE<OF D.无法确定 4.如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,已知 AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC 的周长为( B )
A.1
B.2
C.3
D.4
综合能力提升练
12.在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,且 AC⊥BD,则图中的 等腰三角形有 4 个. 13.如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,AC⊥AB,AB= 5,且 AC∶BD=2∶3,那么 AC 的长为 4 .
【最新沪科版精选】沪科初中数学八下《19.0第19章四边形》PPT课件 (3).ppt
特殊平行四边形
小丽去商店买了一块矩形玻璃、 一块菱形地砖和一块正方形地砖， 她想验证这三件商品的形状是否为 矩形、菱形、正方形，该怎么办？
1、菱形的对角线长为6和8，则菱形的边长＿5＿
面积是＿2＿4 ＿.
2、矩形的对角线长为8，两对角线的夹角为60º，则
矩形的两邻边分别长＿4＿＿和＿4＿＿3 .
（2）如图2所示，若点E在AC的延长线上，AM⊥EB的延长线 于点M，交DB的延长线于点F，其他条件都不变，则结论 “OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立， 请说明理由
ADBiblioteka ADoO
F
E
M M
B
C
B
F
C E
1.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、 BC、CD、DA的中点，请添加一个条件_______，使四边 形EFGH为菱形，并说明理由。
B
交于点O，过点D作DP∥OC，且
O
DP=OC， 连结CP，试判断四边形 D
C
CODP的形状.
P
如果题目中的矩形变为菱形 ，结论应变为
什么？
如果题目中的矩形变为正方形 ，结论又应变为
什么？
A
B
A
B
O
O
D
C
P
图一
D
C
P
图二
例2：如图1:正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是 AC上的一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足M，AM交BD 于点F （1）求证OE=OF
解：添加的条件__A_C_＝__B__D__
A H
若四边形EFGH为矩形，
D 需添加条件__A_C_⊥__B__D
E
小丽去商店买了一块矩形玻璃、 一块菱形地砖和一块正方形地砖， 她想验证这三件商品的形状是否为 矩形、菱形、正方形，该怎么办？
1、菱形的对角线长为6和8，则菱形的边长＿5＿
面积是＿2＿4 ＿.
2、矩形的对角线长为8，两对角线的夹角为60º，则
矩形的两邻边分别长＿4＿＿和＿4＿＿3 .
（2）如图2所示，若点E在AC的延长线上，AM⊥EB的延长线 于点M，交DB的延长线于点F，其他条件都不变，则结论 “OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立， 请说明理由
ADBiblioteka ADoO
F
E
M M
B
C
B
F
C E
1.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、 BC、CD、DA的中点，请添加一个条件_______，使四边 形EFGH为菱形，并说明理由。
B
交于点O，过点D作DP∥OC，且
O
DP=OC， 连结CP，试判断四边形 D
C
CODP的形状.
P
如果题目中的矩形变为菱形 ，结论应变为
什么？
如果题目中的矩形变为正方形 ，结论又应变为
什么？
A
B
A
B
O
O
D
C
P
图一
D
C
P
图二
例2：如图1:正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是 AC上的一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足M，AM交BD 于点F （1）求证OE=OF
解：添加的条件__A_C_＝__B__D__
A H
若四边形EFGH为矩形，
D 需添加条件__A_C_⊥__B__D
E
2019年春八年级数学下册第19章四边形19.3矩形菱形正方形19.3.3正方形课件(新版)沪科版
图 19－3－11
19.3.3 正方形
[解析] 本例可先证四边形 AEDF 为矩形，再证它是菱形，或先证它是菱形，再证 它是矩形．
19.3.3 正方形
证明：证法一：∵EF 垂直平分 AD， ∴AE＝ED，AF＝DF， ∴∠EAD＝∠ADE，∠FAD＝∠ADF. 又∵∠BAC＝90°，AD 平分∠BAC， ∴∠ADE＝∠EAD＝∠FAD＝∠ADF＝45°， ∴∠EDF＝∠AED＝∠AFD＝90°， ∴四边形 AEDF 是矩形． 又∵AE＝ED， ∴矩形 AEDF 是正方形． 证法二：∵AD 平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD. ∵EF⊥AD，
19.3.3 正方形
【归纳总结】通过证明三角形全等得到边和角相等，是有关四边形 中证明边或角相等的最常用的方法．而正方形的四条边相等、四个 角都是直角为证明三角形全等提供了条件．
19.3.3 正方形
目标二 能判定一个四边形为正方形
例 2 教材补充例题 如图 19－3－11 所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 平分∠BAC，AD 的垂直平分线 EF 分别交 AB，AD，AC 于 点 E，O，F. 求证：四边形 AEDF 是正方形．
19.3.3 正方形
∴∠AOE＝∠AOF. 又∵AO＝AO， ∴△AOE≌△AOF(ASA)， ∴AE＝AF. ∵EF 垂直平分 AD， ∴AE＝ED，AF＝DF， ∴AE＝ED＝DF＝AF， ∴四边形 AEDF 是菱形． 又∵∠BAC＝90°， ∴菱形 AEDF 是正方形．
19.3.3 正方形
19.3.3 正方形
知识点二 正方形的判定
先证明四边形是矩形(或菱形)，再证明四边形是菱形(或矩 形)．
常用方法： (1)有一组邻边相等的矩形是正方形； (2)对角线互相垂直的矩形是正方形； (3)有一个角是直角的菱形是正方形； (4)对角线相等的菱形是正方形．
19.3.3 正方形
[解析] 本例可先证四边形 AEDF 为矩形，再证它是菱形，或先证它是菱形，再证 它是矩形．
19.3.3 正方形
证明：证法一：∵EF 垂直平分 AD， ∴AE＝ED，AF＝DF， ∴∠EAD＝∠ADE，∠FAD＝∠ADF. 又∵∠BAC＝90°，AD 平分∠BAC， ∴∠ADE＝∠EAD＝∠FAD＝∠ADF＝45°， ∴∠EDF＝∠AED＝∠AFD＝90°， ∴四边形 AEDF 是矩形． 又∵AE＝ED， ∴矩形 AEDF 是正方形． 证法二：∵AD 平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD. ∵EF⊥AD，
19.3.3 正方形
【归纳总结】通过证明三角形全等得到边和角相等，是有关四边形 中证明边或角相等的最常用的方法．而正方形的四条边相等、四个 角都是直角为证明三角形全等提供了条件．
19.3.3 正方形
目标二 能判定一个四边形为正方形
例 2 教材补充例题 如图 19－3－11 所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 平分∠BAC，AD 的垂直平分线 EF 分别交 AB，AD，AC 于 点 E，O，F. 求证：四边形 AEDF 是正方形．
19.3.3 正方形
∴∠AOE＝∠AOF. 又∵AO＝AO， ∴△AOE≌△AOF(ASA)， ∴AE＝AF. ∵EF 垂直平分 AD， ∴AE＝ED，AF＝DF， ∴AE＝ED＝DF＝AF， ∴四边形 AEDF 是菱形． 又∵∠BAC＝90°， ∴菱形 AEDF 是正方形．
19.3.3 正方形
19.3.3 正方形
知识点二 正方形的判定
先证明四边形是矩形(或菱形)，再证明四边形是菱形(或矩 形)．
常用方法： (1)有一组邻边相等的矩形是正方形； (2)对角线互相垂直的矩形是正方形； (3)有一个角是直角的菱形是正方形； (4)对角线相等的菱形是正方形．