有限元和边界元方法
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计算物理
有限元和边界元方法
http://125.217.162.13/lesson/ComputationalPhysics
有限元和边界元方法
物理问题的变分原理 泊松方程的有限元方法 扩散方程的有限元方法 波动方程的有限元方法 边界积分方程 边界元近似 单一边界下的边界元法 两种介质的边界元方法
√
t1
√
物理问题的变分原理(2/3) 物理问题的变分原理(2/3)
例：光学的费马原理 光从点 A 到点 B 的传播路径是使光程 L 取极值 B L = ∫ nds
A
由 δ L = 0 得到几何光学的折射定律和反射定律 例：电磁学的麦克斯韦方程组 电磁场的拉格朗日 拉格朗日函数 电磁场的拉格朗日函数 L 是空间积分 v v 1 2 2 L = ∫ [ (εE − µH ) + j ⋅ A − ρ µ ]dτ 2 v v ε , µ：介质的介电常数和磁导率，E , H：电场和磁场强度 v v u , A：标势和磁矢势 ρ , j ：电荷和电流密度， dτ：体积元 电磁学的作用量是时间积分 t2 S = ∫ Ldt 运动方程由泛函的的极小值决定( 运动方程由泛函的的极小值决定(即 δ S = 0 )
Γ1 6 Γ2 10
⒂ ⒁
⑽ ⒀ ⑼ ⑧ ⑦ ④ ⑸ ⑷ ⑶ ② ⑥ ③ ⑿ ⑺ ⑵ 2 ⑤ 1 ⑨ 3 ① ⑴ ⑹ ⑻ ⑩
Γ2
PPT.4.16.nb.txt
Γ1
⑾
√
扩散方程的有限元方法(1/1) 扩散方程的有限元方法(1/1)
二维扩散方程 二维扩散方程
∂u = D∇ 2u + f ( x, y ), u ( x, y,0) = u0 ( x, y ), u Γ = 0 ∂t 离散化 ∂u ∫∫D ∂t φi dσ + ∫∫D D∇u ⋅ ∇φi dσ = ∫∫D f φi dσ u ( x, y, t ) = ∑ α i (t )φi ( x, y ), φi 为基函数, φi ( x j , y j ) = δ ij
D D D i
初始条件 dα (0) Mα (0) = β , M = r , β = ∫∫ u0φi dσ , r = ∫∫ Rφi dσ D D dt 求解方法： 求解方法：二级欧拉法
√
边界积分方程(1/2) 边界积分方程(1/2)
边界元方法的特点
基于边界积分方程的近似方法 结点仅分布在区域的边界 以边界积分方程为控制方程，将边界离散插值， 以边界积分方程为控制方程，将边界离散插值，转化 为代数方程组 未知量的个数少，求解的计算量少 未知量的个数少，
t1
√
物理问题的变分原理(3/3) 物理问题的变分原理(3/3)
例：静电场的泊松方程 第一类边界条件 ∂ 2u ∂ 2u + 2 = f ( x, y ), u ( x, y ) Γ = u0 ( x, y ) 2 ∂x ∂y 等价的变分问题为求解泛函的极值问题 1 ∂u 2 ∂u 2 J (u ) = ∫∫{ [( ) + ( ) ] + f u}dxdy, u ( x, y ) Γ = u0 ( x, y ) 2 ∂x ∂y 泛函的求解必须在边界条件下： 泛函的求解必须在边界条件下：条件变分问题 第二类和第三类边界条件 ∂ 2u ∂ 2u ∂u + 2 = f , ( + σ u) = γ ∂x 2 ∂y ∂n Γ 等价的变分问题为求解泛函的极值问题 1 ∂u 2 ∂u 2 1 J (u ) = ∫∫{ [( ) + ( ) ] + f u}dxdy + ∫ ( σ u 2 − γ u )ds Γ 2 2 ∂x ∂y 边界条件包含泛函中： 边界条件包含泛函中：自然边界条件 √
物理问题的变分原理(1/3) 物理问题的变分原理(1/3)
有限元方法
基于变分原理的离散化方法——部分逼近地离散化 基于变分原理的离散化方法——部分逼近地离散化 —— 划分整体区域为有限个基本块(单元) 划分整体区域为有限个基本块(单元) 在单元上插值逼近，得到结构简单的函数集( 在单元上插值逼近，得到结构简单的函数集(有限元空 间，是泛函 J(y) 的定义域的子集) ( ) 的定义域的子集) 将边值问题转化为泛函的极值问题 在有限元空间中寻找泛函 J(y) 的极小值，作为近似解 ( ) 的极小值，
∂u = q( x, y ), x, y ∈ Γ2 Γ1 阳极 ∂n Γ2 阴极射线管(如右图) 在两极上( 例：阴极射线管(如右图) ，在两极上(边 Γ2 是已知的， 界 Γ1)的电势 u 是已知的，在左右两侧 是已知的。 (边界 Γ2)的 q 是已知的。如果管中的自由 电荷密度分布 ρ (x, y) 已知，则 , ) 已知， Γ1 阴极 ∂u ρ ( x, y ) ∇ 2u = − = f ( x, y ), u Γ = u0 , =q 1 ε0 ∂n Γ2 以上的泊松方程等价为求解以下泛函 ( ) 以上的泊松方程等价为求解以下泛函 J(u) 的极值问题 1 J (u ) = ∫∫ [ (∇u ) 2 + f u ]dxdy − ∫ q uds, u Γ = u0 1 Γ2 D 2
关于 αi(t) 的常微分方程组 ) dα M + Kα = f dt M ij = ∫∫ φiφ j dσ , K ij = D ∫∫ ∇φi ⋅ ∇φ j dσ , f i = ∫∫ f φi dσ
D D D
i
初始条件 Mα (0) = β , β = ∫∫ u0φi dσ
D
求解方法： 求解方法：二级欧拉法
√
波动方程的有限元方法(1/1) 波动方程的有限元方法(1/1)
二维波动方程 二维波动方程 2
∂u ∂u 2 = D∇ u + f ( x, y ), u t =0 = u0 ( x, y ), = R ( x, y ), u Γ = 0 2 ∂t ∂t t =0 离散化 ∂ 2u ∫∫D ∂t 2 φi dσ + ∫∫D D∇u ⋅ ∇φi dσ = ∫∫D f φi dσ u ( x, y, t ) = ∑ α i (t )φi ( x, y ), φi 为基函数, φi ( x j , y j ) = δ ij 关于 αi(t) 的常微分方程组 ) d 2α M 2 + Kα = f dt M ij = ∫∫ φiφ j dσ , K ij = D ∫∫ ∇φi ⋅ ∇φ j dσ , f i = ∫∫ f φi dσ
√
泊松方程的有限元方法(6/11) 泊松方程的有限元方法(6/11)
有限元方程( 的线性方程组) 有限元方程(关于 um 的线性方程组)
求解方程
√
泊松方程的有限元方法(7/11) 泊松方程的有限元方法(7/11)
y ⑸ Γ1 ⑷ 3 ④ 2 例：如右图的边长为 1 的正方形区域 2 3 2 2 1 ∂u ∂u Γ2 ① 1 ⑴ 1 ③ Γ2 + 2 = xy 2 ∂y ∂x 1 2 3 ∂u ② 3 2 u (1,1) = 0.4, u (0,1) = 0.5, = x+ y O⑵ Γ2 ⑶ x ∂n Γ2 划分整体区域为有限个单元和编号 单元： 单元：①②③④ 顶点： 3( 3在 顶点：1 2 3(2 3在Γ2上) 结点：⑴⑵⑶⑷⑸( 结点：⑴⑵⑶⑷⑸(先内部和 Γ2 )
物理中的变分
例：力学体系的最小作用量原理 体系的特性可以用拉格朗日函数 ( , , ) 体系的特性可以用拉格朗日函数 L(q, q', t) 描写 之间体系按照以下积分取最小值的方式 在时刻 t1 和 t2 之间体系按照以下积分取最小值的方式 运动( 运动轨道由泛函的的极小值决定) 运动(即，运动轨道由泛函的的极小值决定) t2 S = ∫ L(q, q′, t )dt，由δS = 0得到运动方程
10， 例：如下图的环形均匀带电板，内径 6，外径 10， 如下图的环形均匀带电板， 的电势为常数， 外圈 Γ1 的电势为常数，内圈 Γ2 的电场为常数
∂ 2u ∂ 2u ∂u + 2 = 4, u Γ = 100, = −12 2 1 ∂x ∂y ∂n Γ2 考虑对称性， 考虑对称性，取 1/4 环形区域以简化计算
√
泊松方程的有限元方法(5/11) 泊松方程的有限元方法(5/11)
e0 e1+1 建立顶点和结点的( − ) 建立顶点和结点的(V−n)对应关系 ① 单元编号： 单元编号：有一条边在 Γ2 上且 e1 q≠0 的单元编号为 1, 2, …, e1，其 ≠ , ② ③ 余的单元编号为 余的单元编号为 e1+1, e1+2, …, e0 Γ2 顶点编号： 顶点编号：用 V(e, i) 表示，逆时针方向，2和 3在 Γ2 上 ( , ) 表示，逆时针方向， 结点编号： 结点编号：内部和 Γ2 上的结点编号为 1, 2, …, n1，Γ1 , 上的结点编号为 n1+1, n1+2, …, n0 , 建立顶点和结点的对应关系： ( , ) 建立顶点和结点的对应关系：V(e, i) = n 集成泛函和建立方程 泛函的离散化 K 为总体刚度矩阵，由单元刚度矩阵 (z i j) 合成 为总体刚度矩阵， Rf 由单元矩阵 (r f j) 合成，Rq 由单元矩阵 (r q j) 合成 合成， J(u) 被离散化为二次多元函数 J(u1, u2, …, un0) ( ) ( , 0 Γ1
y ⑸ Γ1 ⑷ 3 ④ 2 2 3 1 Γ2 ① 1 ⑴ 1 ③ Γ2 1 2 3 ② 3 2 O⑵ Γ2 ⑶ x
√
泊松方程的有限元方法(10/11) 泊松方程的有限元方法(10/11)
集成泛函和建立方程
求解方程
PPT.4.15.nb.txt
√
泊松方程的有限元方法(11/11) 泊松方程的有限元方法(11/11)
√
泊松方程的有限元方法(8/11) 泊松方程的有限元方法(8/11)
构造线性插值函数
y ⑸ Γ1 ⑷ 3 ④ 2 2 3 1 Γ2 ① 1 ⑴ 1 ③ Γ2 1 2 3 ② 3 2 O⑵ Γ2 ⑶ x
√
泊松方程的有限元方法(9/11) 泊松方程的有限元方法(9/11)
建立单元的矩阵
建立顶点和结点的对百度文库关系 V (e, i) , )
Γ2
√
泊松方程的有限元方法(2/11) 泊松方程的有限元方法(2/11)
有限元方法的具体步骤
① e 划分整体区域为有限个单元和编号 ② ③ 划分要点 三角形的顶点相连 3 避免钝角(因引入较大误差) 避免钝角(因引入较大误差) 1 e 每个三角形不跨越不同的介质 每个三角形最多只有一条边在 方便计算) 2 每个三角形最多只有一条边在 Γ2 上(方便计算) 三角形覆盖尽量多的区域 编号约定 三角形单元的编号： 三角形单元的编号：e = ①, ②, ③,… 顶点的编号： 顶点的编号：按逆时针为 1, 2, 3 顶点的坐标 的坐标： 顶点的坐标：(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) 单元的泛函 泛函： 单元的泛函：Je(u) ) 整体的泛函 泛函： 整体的泛函： J (u ) = ∑ J e (u )
√
泊松方程的有限元方法(4/11) 泊松方程的有限元方法(4/11)
Γ2 建立单元的矩阵 单元的泛函 1 e 2 3
1 J e (u ) = ∫∫ [ (∇u ) 2 ]dσ + ∫∫ f udσ − ∫ q uds ∆e 2 ∆e Γ2 I e 第一项积分与单元刚度矩阵 (z i j)
第二项积分与单元矩阵 (r f j) 第三项积分与单元矩阵 (r q j)
泊松方程的有限元方法(1/11) 泊松方程的有限元方法(1/11)
B
静电场中二维泊松方程的有限元方法 静电场中二维泊松方程的有限元方法 2 2
∂u ∂u + 2 = f ( x, y ), 2 ∂x ∂y u ( x, y ) Γ = u0 ( x, y ),
1
x, y ∈ D
Γ1 A
D Γ2
x, y ∈ Γ1
e =1
√
泊松方程的有限元方法(3/11) 泊松方程的有限元方法(3/11)
1 (x1, y1) 构造线性插值函数 假设每个单元内 u(x, y) 是 x 和 y 的线性函数 ( , ) 每个的 每个的三个基函数 3 (x3, y3) e 2 (x2, y2)
u(x, y) 的插值表达式中，a, b, c, d 可由三角形的顶点坐 ( , ) 的插值表达式中， , , , 标确定， 标确定，只剩余 u1, u2, u3 未知
有限元和边界元方法
http://125.217.162.13/lesson/ComputationalPhysics
有限元和边界元方法
物理问题的变分原理 泊松方程的有限元方法 扩散方程的有限元方法 波动方程的有限元方法 边界积分方程 边界元近似 单一边界下的边界元法 两种介质的边界元方法
√
t1
√
物理问题的变分原理(2/3) 物理问题的变分原理(2/3)
例：光学的费马原理 光从点 A 到点 B 的传播路径是使光程 L 取极值 B L = ∫ nds
A
由 δ L = 0 得到几何光学的折射定律和反射定律 例：电磁学的麦克斯韦方程组 电磁场的拉格朗日 拉格朗日函数 电磁场的拉格朗日函数 L 是空间积分 v v 1 2 2 L = ∫ [ (εE − µH ) + j ⋅ A − ρ µ ]dτ 2 v v ε , µ：介质的介电常数和磁导率，E , H：电场和磁场强度 v v u , A：标势和磁矢势 ρ , j ：电荷和电流密度， dτ：体积元 电磁学的作用量是时间积分 t2 S = ∫ Ldt 运动方程由泛函的的极小值决定( 运动方程由泛函的的极小值决定(即 δ S = 0 )
Γ1 6 Γ2 10
⒂ ⒁
⑽ ⒀ ⑼ ⑧ ⑦ ④ ⑸ ⑷ ⑶ ② ⑥ ③ ⑿ ⑺ ⑵ 2 ⑤ 1 ⑨ 3 ① ⑴ ⑹ ⑻ ⑩
Γ2
PPT.4.16.nb.txt
Γ1
⑾
√
扩散方程的有限元方法(1/1) 扩散方程的有限元方法(1/1)
二维扩散方程 二维扩散方程
∂u = D∇ 2u + f ( x, y ), u ( x, y,0) = u0 ( x, y ), u Γ = 0 ∂t 离散化 ∂u ∫∫D ∂t φi dσ + ∫∫D D∇u ⋅ ∇φi dσ = ∫∫D f φi dσ u ( x, y, t ) = ∑ α i (t )φi ( x, y ), φi 为基函数, φi ( x j , y j ) = δ ij
D D D i
初始条件 dα (0) Mα (0) = β , M = r , β = ∫∫ u0φi dσ , r = ∫∫ Rφi dσ D D dt 求解方法： 求解方法：二级欧拉法
√
边界积分方程(1/2) 边界积分方程(1/2)
边界元方法的特点
基于边界积分方程的近似方法 结点仅分布在区域的边界 以边界积分方程为控制方程，将边界离散插值， 以边界积分方程为控制方程，将边界离散插值，转化 为代数方程组 未知量的个数少，求解的计算量少 未知量的个数少，
t1
√
物理问题的变分原理(3/3) 物理问题的变分原理(3/3)
例：静电场的泊松方程 第一类边界条件 ∂ 2u ∂ 2u + 2 = f ( x, y ), u ( x, y ) Γ = u0 ( x, y ) 2 ∂x ∂y 等价的变分问题为求解泛函的极值问题 1 ∂u 2 ∂u 2 J (u ) = ∫∫{ [( ) + ( ) ] + f u}dxdy, u ( x, y ) Γ = u0 ( x, y ) 2 ∂x ∂y 泛函的求解必须在边界条件下： 泛函的求解必须在边界条件下：条件变分问题 第二类和第三类边界条件 ∂ 2u ∂ 2u ∂u + 2 = f , ( + σ u) = γ ∂x 2 ∂y ∂n Γ 等价的变分问题为求解泛函的极值问题 1 ∂u 2 ∂u 2 1 J (u ) = ∫∫{ [( ) + ( ) ] + f u}dxdy + ∫ ( σ u 2 − γ u )ds Γ 2 2 ∂x ∂y 边界条件包含泛函中： 边界条件包含泛函中：自然边界条件 √
物理问题的变分原理(1/3) 物理问题的变分原理(1/3)
有限元方法
基于变分原理的离散化方法——部分逼近地离散化 基于变分原理的离散化方法——部分逼近地离散化 —— 划分整体区域为有限个基本块(单元) 划分整体区域为有限个基本块(单元) 在单元上插值逼近，得到结构简单的函数集( 在单元上插值逼近，得到结构简单的函数集(有限元空 间，是泛函 J(y) 的定义域的子集) ( ) 的定义域的子集) 将边值问题转化为泛函的极值问题 在有限元空间中寻找泛函 J(y) 的极小值，作为近似解 ( ) 的极小值，
∂u = q( x, y ), x, y ∈ Γ2 Γ1 阳极 ∂n Γ2 阴极射线管(如右图) 在两极上( 例：阴极射线管(如右图) ，在两极上(边 Γ2 是已知的， 界 Γ1)的电势 u 是已知的，在左右两侧 是已知的。 (边界 Γ2)的 q 是已知的。如果管中的自由 电荷密度分布 ρ (x, y) 已知，则 , ) 已知， Γ1 阴极 ∂u ρ ( x, y ) ∇ 2u = − = f ( x, y ), u Γ = u0 , =q 1 ε0 ∂n Γ2 以上的泊松方程等价为求解以下泛函 ( ) 以上的泊松方程等价为求解以下泛函 J(u) 的极值问题 1 J (u ) = ∫∫ [ (∇u ) 2 + f u ]dxdy − ∫ q uds, u Γ = u0 1 Γ2 D 2
关于 αi(t) 的常微分方程组 ) dα M + Kα = f dt M ij = ∫∫ φiφ j dσ , K ij = D ∫∫ ∇φi ⋅ ∇φ j dσ , f i = ∫∫ f φi dσ
D D D
i
初始条件 Mα (0) = β , β = ∫∫ u0φi dσ
D
求解方法： 求解方法：二级欧拉法
√
波动方程的有限元方法(1/1) 波动方程的有限元方法(1/1)
二维波动方程 二维波动方程 2
∂u ∂u 2 = D∇ u + f ( x, y ), u t =0 = u0 ( x, y ), = R ( x, y ), u Γ = 0 2 ∂t ∂t t =0 离散化 ∂ 2u ∫∫D ∂t 2 φi dσ + ∫∫D D∇u ⋅ ∇φi dσ = ∫∫D f φi dσ u ( x, y, t ) = ∑ α i (t )φi ( x, y ), φi 为基函数, φi ( x j , y j ) = δ ij 关于 αi(t) 的常微分方程组 ) d 2α M 2 + Kα = f dt M ij = ∫∫ φiφ j dσ , K ij = D ∫∫ ∇φi ⋅ ∇φ j dσ , f i = ∫∫ f φi dσ
√
泊松方程的有限元方法(6/11) 泊松方程的有限元方法(6/11)
有限元方程( 的线性方程组) 有限元方程(关于 um 的线性方程组)
求解方程
√
泊松方程的有限元方法(7/11) 泊松方程的有限元方法(7/11)
y ⑸ Γ1 ⑷ 3 ④ 2 例：如右图的边长为 1 的正方形区域 2 3 2 2 1 ∂u ∂u Γ2 ① 1 ⑴ 1 ③ Γ2 + 2 = xy 2 ∂y ∂x 1 2 3 ∂u ② 3 2 u (1,1) = 0.4, u (0,1) = 0.5, = x+ y O⑵ Γ2 ⑶ x ∂n Γ2 划分整体区域为有限个单元和编号 单元： 单元：①②③④ 顶点： 3( 3在 顶点：1 2 3(2 3在Γ2上) 结点：⑴⑵⑶⑷⑸( 结点：⑴⑵⑶⑷⑸(先内部和 Γ2 )
物理中的变分
例：力学体系的最小作用量原理 体系的特性可以用拉格朗日函数 ( , , ) 体系的特性可以用拉格朗日函数 L(q, q', t) 描写 之间体系按照以下积分取最小值的方式 在时刻 t1 和 t2 之间体系按照以下积分取最小值的方式 运动( 运动轨道由泛函的的极小值决定) 运动(即，运动轨道由泛函的的极小值决定) t2 S = ∫ L(q, q′, t )dt，由δS = 0得到运动方程
10， 例：如下图的环形均匀带电板，内径 6，外径 10， 如下图的环形均匀带电板， 的电势为常数， 外圈 Γ1 的电势为常数，内圈 Γ2 的电场为常数
∂ 2u ∂ 2u ∂u + 2 = 4, u Γ = 100, = −12 2 1 ∂x ∂y ∂n Γ2 考虑对称性， 考虑对称性，取 1/4 环形区域以简化计算
√
泊松方程的有限元方法(5/11) 泊松方程的有限元方法(5/11)
e0 e1+1 建立顶点和结点的( − ) 建立顶点和结点的(V−n)对应关系 ① 单元编号： 单元编号：有一条边在 Γ2 上且 e1 q≠0 的单元编号为 1, 2, …, e1，其 ≠ , ② ③ 余的单元编号为 余的单元编号为 e1+1, e1+2, …, e0 Γ2 顶点编号： 顶点编号：用 V(e, i) 表示，逆时针方向，2和 3在 Γ2 上 ( , ) 表示，逆时针方向， 结点编号： 结点编号：内部和 Γ2 上的结点编号为 1, 2, …, n1，Γ1 , 上的结点编号为 n1+1, n1+2, …, n0 , 建立顶点和结点的对应关系： ( , ) 建立顶点和结点的对应关系：V(e, i) = n 集成泛函和建立方程 泛函的离散化 K 为总体刚度矩阵，由单元刚度矩阵 (z i j) 合成 为总体刚度矩阵， Rf 由单元矩阵 (r f j) 合成，Rq 由单元矩阵 (r q j) 合成 合成， J(u) 被离散化为二次多元函数 J(u1, u2, …, un0) ( ) ( , 0 Γ1
y ⑸ Γ1 ⑷ 3 ④ 2 2 3 1 Γ2 ① 1 ⑴ 1 ③ Γ2 1 2 3 ② 3 2 O⑵ Γ2 ⑶ x
√
泊松方程的有限元方法(10/11) 泊松方程的有限元方法(10/11)
集成泛函和建立方程
求解方程
PPT.4.15.nb.txt
√
泊松方程的有限元方法(11/11) 泊松方程的有限元方法(11/11)
√
泊松方程的有限元方法(8/11) 泊松方程的有限元方法(8/11)
构造线性插值函数
y ⑸ Γ1 ⑷ 3 ④ 2 2 3 1 Γ2 ① 1 ⑴ 1 ③ Γ2 1 2 3 ② 3 2 O⑵ Γ2 ⑶ x
√
泊松方程的有限元方法(9/11) 泊松方程的有限元方法(9/11)
建立单元的矩阵
建立顶点和结点的对百度文库关系 V (e, i) , )
Γ2
√
泊松方程的有限元方法(2/11) 泊松方程的有限元方法(2/11)
有限元方法的具体步骤
① e 划分整体区域为有限个单元和编号 ② ③ 划分要点 三角形的顶点相连 3 避免钝角(因引入较大误差) 避免钝角(因引入较大误差) 1 e 每个三角形不跨越不同的介质 每个三角形最多只有一条边在 方便计算) 2 每个三角形最多只有一条边在 Γ2 上(方便计算) 三角形覆盖尽量多的区域 编号约定 三角形单元的编号： 三角形单元的编号：e = ①, ②, ③,… 顶点的编号： 顶点的编号：按逆时针为 1, 2, 3 顶点的坐标 的坐标： 顶点的坐标：(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) 单元的泛函 泛函： 单元的泛函：Je(u) ) 整体的泛函 泛函： 整体的泛函： J (u ) = ∑ J e (u )
√
泊松方程的有限元方法(4/11) 泊松方程的有限元方法(4/11)
Γ2 建立单元的矩阵 单元的泛函 1 e 2 3
1 J e (u ) = ∫∫ [ (∇u ) 2 ]dσ + ∫∫ f udσ − ∫ q uds ∆e 2 ∆e Γ2 I e 第一项积分与单元刚度矩阵 (z i j)
第二项积分与单元矩阵 (r f j) 第三项积分与单元矩阵 (r q j)
泊松方程的有限元方法(1/11) 泊松方程的有限元方法(1/11)
B
静电场中二维泊松方程的有限元方法 静电场中二维泊松方程的有限元方法 2 2
∂u ∂u + 2 = f ( x, y ), 2 ∂x ∂y u ( x, y ) Γ = u0 ( x, y ),
1
x, y ∈ D
Γ1 A
D Γ2
x, y ∈ Γ1
e =1
√
泊松方程的有限元方法(3/11) 泊松方程的有限元方法(3/11)
1 (x1, y1) 构造线性插值函数 假设每个单元内 u(x, y) 是 x 和 y 的线性函数 ( , ) 每个的 每个的三个基函数 3 (x3, y3) e 2 (x2, y2)
u(x, y) 的插值表达式中，a, b, c, d 可由三角形的顶点坐 ( , ) 的插值表达式中， , , , 标确定， 标确定，只剩余 u1, u2, u3 未知