第8章 边界元法
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设
t t
t
0 TP dt fTP 1 f TP dt
f 0,1 权系数
则
a PTP a E fTE 1 f
0 aP
1 f a E
a fT 1 f a T
0 TE W W 0 P
W
1 f
q wds
j j 1 j
n
引入记号
w n ds j H ij w ds c i n j
j i j i
Gij
j
wds
则
H u G q
ij j ij j 1 j 1
n
n
j
或写成矩阵形式
a.常数单元（1节点）
取单元中点为节点,则
u const q const
b.线性单元（2节点） 取单元两端点为节点,则
j 1 1 j1
2 j 1 1 j2 2 u j u1j1 u 2j 2
q j q1j1 q 2j 2
令
Ke Kw aE , aW x E x w a P a E aW , b S x
则
a PTP a E TE aW TW b d
或
aPTP
a
nbT
b d
足标nb表示相邻节点.
d 或d 标准形式
将分成j 1,2,..., n个直线段称为单元。 u 设待求函数u及导数q 的逼近函数为 n
u q x y
j j
ji ui
j j j
边界元法1_275007510
Zheng Xiaoping 2014
1. 引言
1.5 参考资料
郑小平：《边界元方法》PPT课件. 姚振汉：边界元法，高等教育出版社，2010. 杜庆华等：边界积分方程边界元法， 高等教育出版社，1989. 稽醒等： 边界元进展及通用程序，同济大学出版社，1997. Aliabadi MH. The Boundary Element Method, Vol. 2, Applications in Solids and Structures. Wiley, NY, USA, 2002.
对于椭圆问题，边界积分方程被公认为是达到了数学 形式的最高境界。
Zheng Xiaoping 2014
1. 引言
1.2 边界积分方程发展过程
间接边界积分方程方法：求解的边界未知量并不是 原问题未知场变量的边界值，而是为求解而引进的辅 助变量，例如对于位势问题引进的单层势和双层势。 间接边界积分方程方法的早期工作： 位势问题：A. M. O. Smith & J. Pierce (1958), J. L. Hess (1962), M. A. Jaswon (1963), G. T. Symm (1963), M. A. Jaswon & A. R. Ponter (1963。 弹性力学问题：M. A. Jaswon (1963), C. E. Massonet (1965), E. R. A. Oliveira (1968), G. Rieder (1968), R. Butterfield & P. K. Bannerjee(1970等。
1. 引言
1.1 边界元方法概述
边界元法： 首先将对应的数学物理问题转化为边界积分方程 形式，然后采用边界单元离散和分片插值技术将 边界离散为边界单元，将边界积分方程离散为代 数方程组，再采用数值方法求解得到原问题边界 积分方程的数值解。它是求解工程与科学问题的 常用数值分析方法之一。
11_边界元法
u1 u U 2 un
q1 q Q 2 qn
=
(2.38)
8
2012/10/22
以细线为参考，导入下列部分矩阵
H11 H H1 = 21 H n1 H12 H1l H 22 H 2l H n 2 H nl
2012/10/22
按积分中值公式 θ 其中的 α (2.22)
等号右边的第二项 lim
→ ∗ ∗
, , Γ
Γ (2.25)
为圆弧上某一点。又因为 lim ln
→
1
0
(2.23)
等号右边的第四项 lim
→ ∗
所以 lim
→ ∗
,
Γ Γ (2.26)
, ln 1 α
Γ 0 (2.24)
lim
→
1 lim → 2
0 P Q ， P=Q
(1.3)
它的值由 (观察点)和 (源点)两点的相对位置决 定，所以叫做二点函数。二维、三维场合，拉克 函数的性质可以写成 =1
一维狄拉克 函数如图所示， 点(观察点)和 点(源 点)的坐标分别以 和 表示。它具有下列性质：
(1.6) (1.7)
在区域 内 不在区域 内 二维时为面积分，三维时为体积分。
lim
→
1 1 ln 2 1 1 ln 2
和 的方向相同，有 1 所以， lim
→ ∗
等号右边的第五项 lim
→ ∗
, ,
Γ Γ
(2.28)
, 1
Γ
lim
→
∗
lim
→
1 2 1 2 ′ α
把上述结果代入式（2.20），得 (2.27)
边界元法发展综述
边界元法发展综述刘娅君学号：11080922005 从工程实际中提出的力学问题，一般可归结为数学的定解问题。
但其中只有极少数简单情况可以求得解析解，而大多情况都必需借助于有效的数值方法来求解。
有限元法是目前工程中应用最广泛的数值方法，已有很多通用程序和专用程序在各个工程领域投人了实际应用。
然而，有限元法本身还存在一些缺点。
例如，在应力分析中对于应力集中区域必须划分很多的单元，从而增加了求解方程的阶数，计算费用也就随之增加；用位移型有限元法求解出的应力的精度低于位移的精度，对于一个比较复杂的问题必须划分很多单元，相应的数据输人量就很大，同时，在输出的大量信息中，又有许多并不是人们所需要的。
边界积分方程—边界元法在有限元法之后发展起来成为工程中广泛应用的一种有效的数值分析方法。
它的最大特点就是降低了问题的维数，只以边界未知量作为基本未知量，域内未知量可以只在需要时根据边界未知量求出。
在弹性问题中，由于边界元法的解精确满足域内的偏微分方程，因此它相对有限元法的解具有较高的精度。
同时在一些领域里，例如线弹性体的应力集中问题，应力有奇异性的弹性裂纹问题，考虑脆性材料中裂纹扩展的结构软化分析，局部进人塑性的弹塑性局部应力问题以及弹性接触问题…等，边界元法已被公认为比有限元法更为有效。
正是因为这些特点，使边界元法受到了力学界、应用数学界及许多工程领域的研究人员的广泛重视。
边界元与有限元相比有很多优点：首先，它能使问题的维数降低一维，如原为三维空间的可降为二维空间，原为二维空间的问题可降为一维。
其次，它只需将边界离散而不象有限元需将区域离散化，所划分的单元数目远小于有限元，这样它减少了方程组的方程个数和求解问题所需的数据，不但减少了准备工作，而且节约了计算时间。
第三，由于它是直接建立在问题控制微分方程和边界条件上的，不需要事先寻找任何泛函，不像以变分问题为基础的有限元法，如果泛函不存在就难于使用。
所以边界元法可以求解经典区域法无法求解的无限域类问题。
《边界元法》
《边界元法》课程教学大纲课程名称：边界元法英文名称：boundary element method课程编码：51416018学时/学分：36/2课程性质：必修适用专业：工程力学先修课程：高等数学、偏微分方程、数值分析和有限元法等一、课程的目的与任务本课程是工程力学专业的必修课程，是学习相关后续课程的基础，一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元,用满足控制方程的函数去逼近边界条件。
所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。
但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。
二、教学内容及基本要求第一章引言教学目的和要求：掌握边界元的基本概念；了解边界元法的分类和学习边界元法的基础条件。
教学重点和难点：重点掌握边界元法的基本解题思路。
难点怎么利用积分法解微分方程的基本解。
教学方法与手段：采用多媒体教学，边界元法的研究方法和学习方法与有限元法相比，具有自己的特点，即力学中的微分方程的定解问题化为边界积分方程的定解问题，再通过边界的离散化与待定函数的分片插值求解的数值方法。
课时安排：1学时教学内容：第一节边界元法的数学基础第二节边界元法的发展历史第三节我国边界元法研究概况第四节边界元法研究的最新进展第五节边界元法的应用举例第六节边界元法的优缺点第七节本书的内容安排复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。
考核知识点：边界元法的基础条件、微分方程的定解问题、插值求解的数值方法。
第二章位势问题的边界积分方程与边界元法教学目的和要求：掌握位势问题中的拉普拉斯(Laplace)方程的解法，位势问题中的边界条件，了解珀松方程的基本概念。
要求学生能够利用微积分知识推导拉普拉斯方程的基本解，并将它应用于格林(Green)定理，得到拉普拉斯方程问题的积分方程和边界积分方程。
数值方法课件_边界元法
第四讲 边界元法
直接法 直接法
土
工
数
值
计
算
方
法
4.5 理论基础 论基础
第四讲 边界元法
• • • • • • • • • • • •
定解问题 加权余量法 变分法 函数 Dir Dirac 基本解 格林公式及其应 格林公式及其应用 积分方程 边界积分方程 广义傅里叶展开 特征函数及基本 特征函数及基本解 积分的算术化 二重积分的离散 二重积分的离散计算
线 理 处 题 问 性
土
工
数
值
计
算
方
法
4.1 优点与局限 点与局限性
第四讲 边界元法
1 变系数 数 线 性 及 时 1 变系 变系数 数 非 非 线 性 及 时 变系 相 关问题较 较 难适应 间 关问题 间 相 关问题较 较 难适应 关问题 2 所求解的 的 方程有 基于 所求解 2 基于所求解 基于所求解 所求解的 的 方程有 基于 所求解 无 基 本解 无 基 本解
土
工
数
值
计
算
方
法
4.1 优点与局限 点与局限性
和其他数值方法如有 其他数值方法 如有 限元法联用 广泛应 用于岩土工程有无限 域 半无限域的问题 及流体力学问题中
第四讲 边界元法
显示了巨 巨 大的优越 越 性 要 体现在: : 显示了 大的优 体现在 显示了巨 巨 大的优越 越 性 主 主 体现在: : 显示了 大的优 要 体现在 算 简单 问题降 降 维 求解 1 问题 1 计 计 简单 将 将 问题降 降 维 求解 算 问题 2 算 精度高 应力 与 位 移 具有 2 计 计 算 应力与 与 位 移 具有 精度高 应力与 应力 同 样 精度 同 样 精度 3 处 理 无限域 域 和 半无限 限 域 问题 无限 半无 3 可 可 处 理 无限域 域 和 半无限 限 域 问题 无限 半无
泰勒展开边界元法
泰勒展开边界元法1. 引言泰勒展开边界元法（Taylor Expansion Boundary Element Method，TEBEM）是一种用于解决边界值问题的数值计算方法。
它结合了泰勒展开和边界元法两种技术，能够高效、精确地求解各种物理问题的边界条件。
本文将详细介绍泰勒展开边界元法的原理和应用，并探讨其优缺点以及未来发展方向。
2. 泰勒展开原理泰勒展开是一种将一个函数在某个点附近进行多项式逼近的方法。
对于一个在点x0处连续可导的函数f(x)，其在x0附近的泰勒展开式可以表示为：其中，f^(n)(x0)表示函数f(x)在点x0处的n阶导数。
利用泰勒展开，我们可以将一个复杂的函数逼近为多项式形式，从而简化计算和分析。
3. 边界元法原理边界元法是一种求解偏微分方程边值问题的数值计算方法。
它基于格林第二定理，将偏微分方程转化为积分形式，并利用物理量在边界上的边界条件进行求解。
边界元法的基本思想是将求解域分为内部区域和边界两部分，通过在边界上离散化物理量，并利用格林第二定理建立方程组。
通过求解这个方程组，可以得到内部区域的物理量分布。
4. 泰勒展开边界元法原理泰勒展开边界元法将泰勒展开和边界元法相结合，利用泰勒展开将内部区域的物理量在某个点附近进行多项式逼近，然后利用边界元法求解逼近后的方程。
具体而言，泰勒展开边界元法首先利用泰勒展开将内部区域的物理量在某个参考点附近进行多项式逼近。
然后，在该参考点附近进行网格划分，并在每个网格点上离散化物理量。
接下来，根据边界条件建立方程组，并利用格林第二定理和离散化后的物理量进行积分计算。
通过求解这个方程组，可以得到内部区域各点的物理量分布。
5. 泰勒展开边界元法应用泰勒展开边界元法在各个领域都有广泛的应用，如流体力学、电磁学、弹性力学等。
在流体力学中，泰勒展开边界元法可以用于求解空气动力学问题、水波传播问题等。
通过将流体的速度和压力进行多项式逼近，并利用边界条件建立方程组，可以得到流体内部各点的速度和压力分布。
边界元法3_40190812
1 2 z 3r 2 z 1 2 z rr 2GA 5 2GA 3 R3 R R 1 2 z 3 z 3 1 2 r 3rz 2 zz 2GA 5 rz 2GA 5 3 R3 R R R r z 0
ti Kij u j ci
x S
K ij —为约束弹性常数；
ci —为与初始位移有关的参数。
Zheng Xiaoping 2014
3. 弹性力学问题边界积分方程
3.1 弹性力学问题的基本方程
边界条件 另外，对于包含两种不同材料交界面的弹性问 题，在交界面上还要提出连续条件，包括位移 连续条件和面力连续条件
2 Vz 2 u z 21 Vz 2 z
Love应变函数必须为双调和函数，并且无穷远处应力趋 于零、原点处应力奇异性。满足这些条件的一个函数是
Zheng Xiaoping 2014
3. 弹性力学问题边界积分方程
无限弹性体内一点受集中力作用的Kelvin解
Vz AR
——Kelvin 问题 Zheng Xiaoping
2014
3. 弹性力学问题边界积分方程
3.2 Betti互易 定理和Kelvin 基本解
Kelvin 基本解
S uij (P; Q)—在任意P点（源点）沿 xi 方向作用单
位集中力在三维域内任意点Q（场点） 处引起的x j 方向的位移分量。
Kelvin问题的基本解（如何得到）：
于是
Arz ur 3 R u 0 2 1 2 1 z 2 uz A 3 R R R
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根据格林第二公式［式（8-5）］，上式左边可表示为
式中，在边界S1、S2上，记 15），经整理得
。将式（8-16）代入式（8-
上式是电磁场边界积分方程的原始公式，由此可推导出直接边界积分方程。
第8章 边界元法 8.3.2 直接边界积分方程（直接法公式）
限于篇幅，这里不讨论基本解的求解方法，而是直接给出电磁场工程问题， 如静态电磁场问题常用的基本解。
第8章 边界元法
静态场问题可由泊松方程或拉普拉斯方程的定解问题一般地描述为
其二维问题的基本解为 三维问题的基本解为
第8章 边界元法
式中，r是源点到场点间的距离；u则代表位势或场量的某一分量。
从以上基本解的定义可以看出，基本解的实质是集中量（点源） Cδ（r-r′）在空间产生的效应。就线性微分方程而言，如果激励场源是一连续 分布量，那么它所产生的效应可以根据线性叠加原理，表示成无数个集中量 所产生的效应的叠加。也就是说，连续分布量所产生的效应可以用基本解乘 以连续分布量的密度函数的积分来表示。
已如前述，从数学意义上分析，加权余量法是其他多种数值计算方法的 基础，取决于不同的权函数W的选择，可派生出不同类型的相应计算方法。 就边界元法而言，即可直接由加权余量法出发，导得构造边界元法的数学基 础———边界积分方程，并选取相应的权函数为基本解展开阐述。
第8章 边界元法
8.3 边界积分方程
8.3.1 边界积分方程
5）同样基于边界积分方程，在上述边界元法所得离散解的基础上，可得场 域内任一点的位函数与场量解。
本节讨论应用于二维问题的边界元法。关于三维问题的边界元法，其 基本思想类同，但由于离散的边界单元将是平面或曲面形单元，处理过程 较为繁复，限于篇幅，不再展开阐述和讨论。
第8章 边界元法
二维场的边界积分方程已由式（8-28）给出。该二维场域D的边界L是 一维曲线，现按有限元离散方法，将边界离散成N个边界单元（L1，L2，…， LN），并规定单元序号（或节点序号 ）与边界定向线段L的走向一致，即所 论场域D始终位于L的左侧。如图8-2所示。插值函数有各种类型，基本上可 分为常数型、线性型和高次插值。下面从最简单的常数单元入手，推导边界 元方程。
在第7章中已经讨论了可以构成矩量法、伽辽金有限元法等的共同数学
基础———加权余量法。该方法表明，给定微分方程的近似解 在场域内不
能精确地满足微分方程，因而存在余量
，于是通过令该余量在平均意
义上，其加权积分为零，即得加权余量式（7-4）。应该指出，该式对应的
是加权余量法的最简情况，即所选择的近似函数 可以精确地满足边界条
基于式（8-17），还可导出应用于边界元法的间接边界积分方程（间接 法公式）［8］。但就边界元法而言，直接法比间接法的计算步骤少，计算 精度高，故本书以直接边界积分方程为基础，展开叙述边界元法。
第8章 边界元法
8.4 边界元方程及方法实施
在给定边界条件和场域几何形态的情况下，采用解析的方法求解边界积 分方程是十分困难的，因此，作为一种有效的数值计算方法———边界元法， 借助于有限元技术，通常可由以下步骤组成：
上式称为格林第一公式。若将ψ和φ交换位置，即对（8-3）减去式（8-4），则有
上式称为格林第二公式，亦称为格林定理。
8.2.2 基本解
若考虑一线性微分方程
式中，L是线性微分算子，f是给定的激励源。则满足方程
的解u（r，r′）称为对应于方程（8-6）的基本解。式（8-7）中的激励源项为 狄拉克δ函数，由定义式（7-20）可见其具有点源性质。u（r，r′）亦可称为 下列方程的基本解，即
2）方程组阶数降低，输入数据量减少。如前所述，待求量将仅限于边界节 点，这不仅简化了问题的前处理过程，而且大幅度降低了待求离散方程组 的阶数。
3）计算精度高。本方法直接求解的是边界广义场源的分布。根据不同的问 题，广义场源可以是位势、场源或等效场源。场域中任一点的场量将通过 线性叠加各离散的广义场源的作用而求得，毋需再经微分运算。此外，由 于只对边界离散，离散化误差仅仅来源于边界。所以边界元法较之有限元 法，可望有较高的计算精度。
第8章 边界元法
如前所述，为了使这些在场域内和边界S1、S2上的余量为最小，可引入一个 权函数W，使之在平均意义上令余量的加权积分为零。根据误差分布原理 ［5］ ，不难导得
上式表明，所选择的近似解既不满足基本方程，也不满足相应的边界条件。 因此，式（8-14）可以看作是前述加权余量式（7-4）的推广，并由此可以求 出近似解 。
将式（8-18）代入式（8-17），该式左边
式中，ui是V域内节点i处的u值。因此，式（8-17）可以写成
由上式可见，一旦求出边界上的物理量u 点的物理量值ui。
，便可解得V域内任一
第8章 边界元法
可以看出，当求解边界上的物理量时，在场点 与源点重合（即r=0）处，式（8-19）中的面积分 项会出现奇异积分。此时处理方法如下：
第8章 边界元法
当边界离散后，按边界单元上节点的配置，上式可改写为
式中，i为节点序号；j为单元序号。由于在各个边界单元Lj（j=1，2，…，N） 上u与q均分别设定为相应的常数，故可将其提出积分号，得 各单元Lj上的积分仅与节点i和单元j相关。令
和
第8章 边界元法
和Gij一般可由数值积分算出，对于边界几何形状非常简单的情况，当 然也可以有解析解。这样，式（8-30）即为 前已指出，惟有当场点与源点重合时，即i=j时，ci=1/2（边界光滑时），其 余均为零。故若再令
件，但不能精确地满足微分方程。
现在从一般性的加权余量法展开讨论，假设定解问题为式（8-9a）、式
（8-9b）和式（8-9c）所描述的三维线性泊松场。设其近似解 是某一线性
无关的完备函数集合
在一般情况下，把近似解 代入该定解问题，微分方程（8-9a）和边界条件 （8-9b）、（8-9c）都将不能精确满足，由此产生相应的误差，其余量可分 别表示为
第8章 边界元法
第8章 边界元法
本章基于加权余量法，阐述了构造边界元法的数学基础———边界积 分方程。由此，引入微分方程基本解和格林公式，进一步导出了对应于边 界上未知量为场量φ、A、E、和H的直接边界积分方程。
以数值求解边界积分方程为目的，本章介绍了两种最基本的边界元法的 构造模式：常数单元和线性单元的计算模式。并借助于高斯求积公式给出各 系数矩阵的元素值。
本章最后给出二维边界元法典型应用的示例，讨论了方法实施的全过 程，以及可供参考使用的计算程序，并通过本方法与其他方法计算结果的 对比，进一步展示了本方法的特点。
8.1 概述
边界元法（Boundary Element Method，简称BEM）是近20余年来发展 形成的一种数值计算方法。该方法的工程应用起始于弹性力学，现进而应用 于流体力学、热力学、电磁工程、土木工程等诸多领域，并已从线性、静态 问题延拓到非线性、时变问题的研究范畴。
直接边界积分方程中的未知量是边界上客观的物理量。如位函数φ、A， 磁场强度H及电场强度E等。一旦这些未知量被确定，场域内任一点上的物理 量值便即可求得。这就是应用于边界元法的直接法。 在电磁场问题中，现取权函数W为基本解。仍以三维泊松场为例，由式 （8-11a）可知，基本解W=1/(4πr)满足以下方程：
式（8-34）又可改写成
第8章 边界元法
因为在边界L1上有N1个单元属于第一类边界条件，即其N1个单元上的u 值是已知的，但其q值未知；而边界L2上对应的N2（=N-N1）个单元属于第二 类边界条件，即其N2个单元上的q值已知，但u值未知。因此，离散的边界积 分方程的未知量应由N1个q值和N2个u值所组成。式（8-36）是对应于第i个节 点所列出的离散边界积分方程，就整体N个边界节点的集合而言，即构成N 阶方程，可写成如下矩阵形式：
1）边界S被离散成一系列边界单元，在每个单元上，假定位势及其导数是 按节点值的内插函数形式变化。
2）基于边界积分方程，按边界单元上节点的配置，在相应节点上建立离散 方程。
3）采用数值积分法，计算每个单元上的相应积分项。
4）按给定的边界条件，确立一组线性代数方程组，即边界元方程。然后， 采用适当的代数解法，解出边界上待求的位势或其导数的离散解。
第8章 边界元法 8.4.1 常数单元
常数单元是指每个边界单元上的u和q值都设定为相应的常数，且等于该 单元中点上的值。各单元中心即其两端点连线的中心点，亦称节点，如图83所示。图中L1、L2分别标记给定的第一类和第二类边界条件所对应的边界。
设场域D内位函数u满足拉普拉斯方程，则直接边界积分方程（8-28）可以写为
第8章 边界元法
8.2 基础知识
8.2.1 格林公式
设V为空间中某一闭域，其表面为S。若有两个标量函数φ和ψ，它们在V
域内及S面上分别存在连续的一阶和二阶偏导数，则所构成的向量ψ∇φ 满
足如下的高斯散度定理：
式中，en为S面的外法线方向的单位向量； 为法向导数。根据向量恒等式
将式（8-2）代入式（8-1）可得
第8章 边界元法
式（8-26）亦可表示为
若为拉普拉斯方程定解问题，则f=0， 对于二维场问题，通过类似的推导，最终统一表达式应为
式中
且其基本解
。
第8章 边界元法
式（8-27）和式（8-28）即为直接边界积分方程。当边界面（线）光滑， 且场点i位于边界上时，对应于三维和二维问题的ci=1/2（Ω=2π；θ=π）。由 此，可求出边界上的未知量。然后，再令直接边界积分方程中的ci=1，即可 解出场域内任一点处的场量。
当ε→0时，上式右边第一项中
，故有
且以基本解代入式（8-21）右边第二项，并注意到当ε→0时，
式中，Ω为场点 i 对于 面所张的立体角 将式（8-22）、式（8-23）代入式（8-21），可得