边界元法1_275007510
边界元法的基本原理
边界元法的基本原理边界元法是一种用于求解偏微分方程的数值方法，它有很多优点，如精度高、计算速度快、易于实现等。
边界元法的基本原理是将求解区域分成若干个小区域，每个小区域的边界上有一些已知的边界条件，通过求解这些边界条件，可以得到整个区域的解。
边界元法的基本思想是将偏微分方程的解表示为某些基函数的线性组合，然后通过边界条件求解系数。
这里的基函数是指在整个求解区域内都有定义的函数，通常是基于极限定理或格林公式得到的。
由于基函数在整个求解区域内都有定义，所以在边界上的边界条件可以直接应用到基函数上，从而得到系数。
在边界元法中，通常使用的基函数是调和函数，即满足拉普拉斯方程的函数。
调和函数具有很好的性质，比如在整个求解区域内都有定义、在边界上等于常数等。
因此，使用调和函数作为基函数可以大大简化计算过程，并且保证了解的精度。
边界元法的求解过程可以分为两个步骤：首先是建立基函数的系数矩阵，然后是求解系数矩阵中的未知量。
建立系数矩阵的过程中，需要计算每个基函数在每个边界上的取值，以及每个基函数在整个求解区域内的积分值。
这些计算通常使用数值积分的方法进行，比如高斯积分、牛顿-科茨公式等。
求解系数矩阵中的未知量可以通过矩阵运算解出，通常使用高斯消元法或LU分解法等。
边界元法的应用范围非常广泛，可以用于求解各种偏微分方程，如拉普拉斯方程、泊松方程、亥姆霍兹方程等。
此外，边界元法还可以用于求解力学问题、电动力学问题等。
由于边界元法具有很好的精度和计算速度，所以在实际应用中得到了广泛的应用。
总之，边界元法是一种非常重要的数值方法，它的基本原理是将求解区域分成若干个小区域，利用边界条件求解系数，最终得到整个区域的解。
边界元法具有很多优点，如精度高、计算速度快、易于实现等，因此在科学计算和工程应用中得到了广泛的应用。
边界元法-详解
边界元法-详解边界元法（boundary element method）目录• 1 什么是边界元法• 2 边界元法的特点• 3 边界元法的发展• 4 相关条目什么是边界元法边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。
所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。
但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。
边界元法的特点边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的方法。
又称边界积分方程-边界元法。
它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。
它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。
又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。
特别是对于边界变量变化梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。
由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题。
边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。
对一般的非线性问题，由于在方程中会出现域内积分项，从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。
边界元法的发展经过近40年的研究和发展，边界元法已经成为一种精确高效的工程数值分析方法。
在数学方面，不仅在一定程度上克服了由于积分奇异性造成的困难，同时又对收敛性、误差分析以及各种不同的边界元法形式进行了统一的数学分析，为边界元法的可行性和可靠性提供了理论基础。
边界元法 数值方法
边界元法数值方法边界元法是一种数值方法，它利用一系列准确的基本计算步骤来解决复杂的非线性问题，可以获得非常精确的结果。
边界元法的最大优点是它可以简化复杂的问题，并且数值计算精度高，在科学研究、工程设计、信息处理等多个领域得到了广泛应用。
边界元法是一种数值方法，用于解决多项式方程组、相对论、流体力学与热力学等物理方程。
它利用较为精确的基本计算步骤，获得较为精确的数值结果。
边界元法的计算方法主要有两类：Finite Difference法和Finite Element法，它们都建立在分区概念的基础上，应用于计算复杂的非线性问题。
首先，Finite Difference法是将物理空间划分为离散的若干区域，在每一区域上考虑若干个变量，然后利用有限差分方法进行数值计算，得到解析解、步进解或数值解。
优点是运算较快，但精度受网格节点限制，而且对于比较复杂的物理模型的求解，难以得到满意的精度。
其次，Finite Element是根据物理问题的性质，将物理空间分为若干节点，每个节点都有一些变量，然后用元模型的形式表示物理场，也就是说，它根据物理问题的特点，建立出对应的数值模型，然后用有限元法进行数值求解，得到精确的解析解或数值解，优点是精度高，适用于各种复杂的物理模型；缺点是计算复杂，运算时间长。
边界元法是在有限差分和有限元法的基础上提出的。
它是一种特殊的有限元法，它结合了有限差分方法简单且速度快的优点以及有限元法准确及适用性强的优点，并且提出了若干更复杂的计算步骤，提高了计算的准确性。
边界元法应用的领域十分广泛，如在热力学、流体力学和化学反应等复杂的物理系统中，边界元法可以得到较为精准的数值解。
它还可以用于研究和设计结构力学系统，此时可以获得结构力学系统的非线性行为等特性。
此外，边界元法还应用于信息处理、金融分析等领域，可以获得较为精准的解析结果。
显然，边界元法的最大优点在于可以将复杂的问题进行简化，以较快的速度得到较高精度的解析结果，在科学研究、工程设计、信息处理等多个领域有着广泛的应用。
边界元法
表 量曲E面外(外r)其 n它，电且荷为产已生知的量电。位(5移.9矢)式量把在边曲界面面上上的的法未向分知
电荷之间的关系以及与其它已知电荷之间的关系联系在
一起。
(先r)用的边分界 布，元再法取解积T＝分l方的程(5式.8()5式.9计)，算求区得域面V'电内荷的密场度。
如果考查区内只有带电导体而无其它电荷分布，应去
( yi ( yi ( yi ( yi
y j ) yi y j )2
y j ) yi y j )2
, ,
x
i
a cos
i
0.5
N
,
yi
a sin
i
0.5 ,
N
(5.13)
(5.12)式的这 8 个线性代数方程是齐次的，必有一个方程是不独
立的。我们还差一个方程。把(5.10)式在 r=0 处作相似的离散处
r V ' S'
得：T (r )
1
4
V'
(r') dV '
R
1
4
S'
(r' )n'
R R3
1 R
(r' )
n'
dS'
(6)
当r V '时T 1的这个公式在电动力学教科书中都能找到。(6) 式 场就(r是)与与边泊界松上方的程场对应(r的')及格林(函r'数) 联积系分在形一式起解。。它把区域内的
T (r)
1
4
V '
泰勒展开边界元法
泰勒展开边界元法摘要：一、泰勒展开简介1.泰勒展开的定义2.泰勒级数的重要性质二、边界元法简介1.边界元法的定义2.边界元法的基本原理3.边界元法与其他数值方法的比较三、泰勒展开边界元法1.泰勒展开边界元法的定义2.泰勒展开边界元法的基本原理3.泰勒展开边界元法的应用领域4.泰勒展开边界元法的优点与局限性正文：泰勒展开边界元法是一种将泰勒展开应用于边界元法的数值计算方法。
泰勒展开是一种用多项式逼近函数的方法，通过将函数展开成一系列项的级数，可以近似表示函数。
边界元法是一种求解偏微分方程的数值方法，它将问题转化为求解边界上的积分方程。
将泰勒展开应用于边界元法，可以提高计算效率和精度。
泰勒展开的定义是：给定一个函数f(x)，如果存在一个正整数n 和一个正数R，使得对于x 的所有值，有|f(x) - f(x0)| < R，其中x0 是x 的一个展开点，那么f(x) 可以写成一个关于x0 的泰勒级数：f(x) = f(x0) + f"(x0)(x - x0) + ...+ R^n f^(n)(x0)/n!(x - x0)^n。
泰勒级数的重要性质是，当展开点x0 与x 接近时，泰勒级数的值可以很好地近似函数f(x)。
边界元法是一种求解偏微分方程的数值方法，其基本原理是将偏微分方程转化为边界上的积分方程。
通过求解这些积分方程，可以得到问题的解。
与其他数值方法相比，边界元法具有较高的精度和计算效率，尤其适用于复杂几何和材料特性问题。
泰勒展开边界元法是将泰勒展开应用于边界元法的一种数值计算方法。
泰勒展开边界元法的基本原理是将边界元法中的边界积分方程用泰勒级数展开来近似。
这样，原本复杂的积分方程可以简化为容易求解的多项式方程。
泰勒展开边界元法可以应用于各种边界值问题，如热传导、电磁场计算等。
泰勒展开边界元法具有以下优点：1.提高计算效率：通过泰勒展开，可以将复杂的边界积分方程简化为多项式方程，降低计算难度。
泰勒展开边界元法
泰勒展开边界元法泰勒展开边界元法（Taylor expansion boundary element method）是一种数值计算方法，用于求解边界值问题。
它结合了泰勒展开和边界元法的优点，能够高效地解决各种物理问题。
1. 泰勒展开泰勒展开是一种将函数在某点附近进行多项式逼近的方法。
对于一个光滑的函数f(x)，在某点x=a处进行泰勒展开，可以得到：%5E2+…)其中，f’(a)表示函数f(x)在点x=a处的一阶导数，f’’(a)表示二阶导数，以此类推。
2. 边界元法边界元法是一种求解偏微分方程边界值问题的数值方法。
它将偏微分方程转化为积分方程，并通过对边界上的积分进行离散化来求解。
对于一个二维边界值问题，我们可以将边界划分为若干个小区域，每个小区域上有一个未知函数值。
边界元法的关键是通过边界条件和积分方程建立未知函数值之间的关系，然后用离散化的方法求解这个关系。
3. 泰勒展开边界元法泰勒展开边界元法是将泰勒展开和边界元法相结合的一种数值计算方法。
它的基本思想是，在边界上选取一些点作为插值点，并利用泰勒展开将插值点附近的函数值与导数之间建立关系。
具体来说，对于一个二维问题，我们可以在边界上选取一些点作为插值点，然后利用泰勒展开将这些插值点附近的函数值与导数进行逼近。
通过对逼近方程进行离散化处理，我们可以得到一个线性方程组，进而求解出未知函数值。
泰勒展开边界元法的优点在于它既考虑了局部信息（通过泰勒展开），又考虑了整体信息（通过边界元法）。
因此，在处理某些复杂问题时，它比传统的方法更有效。
4. 应用领域泰勒展开边界元法广泛应用于各个领域的物理问题求解中，其中包括但不限于以下几个方面：4.1 电磁学泰勒展开边界元法在电磁学中的应用非常广泛。
例如，在求解电场分布、介质中的电磁波传播等问题时，可以使用该方法。
4.2 流体力学在流体力学中，泰勒展开边界元法可以用于求解流体的速度场、压力场等问题。
它能够较好地处理复杂的流动现象，如湍流、多相流等。
边界元法的基本原理
边界元法的基本原理1边界元法的概念边界元法（Boundary Element Method，BEM）是一种基于边界数值的解决外型边界值问题的数值分析方法，又称为边界元分析，是一类新型数值分析技术。
它由Boundary Element Method Research Group提出，被认为是积分几何方法（Integral Equation Method）的有限元分析方法，是基于数值几何的积分方程数值解法之一。
2基本原理边界元法的基本原理是指将物理过程抽象为具有一定几何形状的边界，对其的描述由一维的边界（边界缘）扩展为一系列的元构成的边界（边界元）。
边界元与体元的求解过程同理，即：为求解区域的问题，基于假设的准则，将整个区域划分为若干边界元，再分别为各边界元建立方程，得出每个边界元的应力值，通过约束条件，此时仍不能求解出空间（多边界）中的应力分布，通过边界元连续性条件，即建立边界元之间的线性组合关系，从而结合约束条件，求出空间中物体的应力分布，从而求解出最终的分析结果。
3主要特点边界元法最大的优点是求解简单，信息的输入相对较少，对计算机的内存及数据处理的要求也比较低。
虽然该法并不能提供完整的矢量场的分布，但具有节约时间及内存的优点。
另外，该方法可以方便地将边界源信息与上游的有限元分析结果联系起来，来实现同一复杂结构的分析及求解。
4应用范围另外，边界元法还具有一定的普适性，因此已经拥有了很广阔的应用范围，例如：大型结构的失稳分析，力学系统振动和热传导的非线性分析，连接模块的分析及设计，力学水力的长期波动及动态流场分析，固态与流态的界面分析，柔性结构的振动分析，以及其他复杂和难以求解的结构力学及流体分析。
总之，边界元法是一种数值有限元分析方法，它以描述几何形状的边界为基础，以建立边界元连续性条件为根据，将空间物体的应力分布求解出来，可以用来解决复杂外形边界值问题，具有计算量少、计算快的特点，目前已被广泛应用于力学水力、热传导及柔性结构振动分析等领域。
泰勒展开边界元法
泰勒展开边界元法1. 引言泰勒展开边界元法（Taylor Expansion Boundary Element Method，TEBEM）是一种用于解决边界值问题的数值计算方法。
它结合了泰勒展开和边界元法两种技术，能够高效、精确地求解各种物理问题的边界条件。
本文将详细介绍泰勒展开边界元法的原理和应用，并探讨其优缺点以及未来发展方向。
2. 泰勒展开原理泰勒展开是一种将一个函数在某个点附近进行多项式逼近的方法。
对于一个在点x0处连续可导的函数f(x)，其在x0附近的泰勒展开式可以表示为：其中，f^(n)(x0)表示函数f(x)在点x0处的n阶导数。
利用泰勒展开，我们可以将一个复杂的函数逼近为多项式形式，从而简化计算和分析。
3. 边界元法原理边界元法是一种求解偏微分方程边值问题的数值计算方法。
它基于格林第二定理，将偏微分方程转化为积分形式，并利用物理量在边界上的边界条件进行求解。
边界元法的基本思想是将求解域分为内部区域和边界两部分，通过在边界上离散化物理量，并利用格林第二定理建立方程组。
通过求解这个方程组，可以得到内部区域的物理量分布。
4. 泰勒展开边界元法原理泰勒展开边界元法将泰勒展开和边界元法相结合，利用泰勒展开将内部区域的物理量在某个点附近进行多项式逼近，然后利用边界元法求解逼近后的方程。
具体而言，泰勒展开边界元法首先利用泰勒展开将内部区域的物理量在某个参考点附近进行多项式逼近。
然后，在该参考点附近进行网格划分，并在每个网格点上离散化物理量。
接下来，根据边界条件建立方程组，并利用格林第二定理和离散化后的物理量进行积分计算。
通过求解这个方程组，可以得到内部区域各点的物理量分布。
5. 泰勒展开边界元法应用泰勒展开边界元法在各个领域都有广泛的应用，如流体力学、电磁学、弹性力学等。
在流体力学中，泰勒展开边界元法可以用于求解空气动力学问题、水波传播问题等。
通过将流体的速度和压力进行多项式逼近，并利用边界条件建立方程组，可以得到流体内部各点的速度和压力分布。
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Zheng Xiaoping 2014
1. 引言
1.5 参考资料
郑小平：《边界元方法》PPT课件. 姚振汉：边界元法，高等教育出版社，2010. 杜庆华等：边界积分方程边界元法， 高等教育出版社，1989. 稽醒等： 边界元进展及通用程序，同济大学出版社，1997. Aliabadi MH. The Boundary Element Method, Vol. 2, Applications in Solids and Structures. Wiley, NY, USA, 2002.
对于椭圆问题，边界积分方程被公认为是达到了数学 形式的最高境界。
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1. 引言
1.2 边界积分方程发展过程
间接边界积分方程方法：求解的边界未知量并不是 原问题未知场变量的边界值，而是为求解而引进的辅 助变量，例如对于位势问题引进的单层势和双层势。 间接边界积分方程方法的早期工作： 位势问题：A. M. O. Smith & J. Pierce (1958), J. L. Hess (1962), M. A. Jaswon (1963), G. T. Symm (1963), M. A. Jaswon & A. R. Ponter (1963。 弹性力学问题：M. A. Jaswon (1963), C. E. Massonet (1965), E. R. A. Oliveira (1968), G. Rieder (1968), R. Butterfield & P. K. Bannerjee(1970等。
1. 引言
1.1 边界元方法概述
边界元法： 首先将对应的数学物理问题转化为边界积分方程 形式，然后采用边界单元离散和分片插值技术将 边界离散为边界单元，将边界积分方程离散为代 数方程组，再采用数值方法求解得到原问题边界 积分方程的数值解。它是求解工程与科学问题的 常用数值分析方法之一。
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1. 引言
1.3 边界元法的发展历史
关于边界元法的国际组织和会议：
Brebbia：1979起，每年组织召开一次国际边界元法学术 会议，至今已经召开了约30多 次；成立了国际 边界元学会ISBE；1984年创办“Engineering Analysis with Boundary Element”，（SCI）； Aliabadi：1999 年创办的边界元技术国际会议BeTeQ， 从2001 年第2 届开始改为每年1 次。 此外，还有国际边界元法协会IABEM，最初中心在美国 ，后来移到了欧洲大陆。1994 年它成为国际理论与应用 力学联合会的关联学会。该协会至今每两年召开一次边 界元法的国际学术会议。
1. 引言
1.1 边界元方法概述
适用范围：固体力学问题、流体力学、热传导、 声场，以及电磁场等其它物理领域 （经济学）。 边界元法的特点： 优点：降维，高精度； 缺点：系数矩阵非对称、满阵。 关于数值方法的评价问题… 边界元法的地位…
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1. 引言
1.2 边界积分方程发展过程
1.5 参考资料
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1. 引言
1.1 边界元方法概述
关于固体力学… 关于计算固体力学… 弹性力学的三种提法： 微分提法求解析解（差分方法） 变分提法李兹法等有限元法 积分提法边界元法（Boundary Element Method）
Zheng Xiaoping 2014
1828 ，Green 就对位势问题提出了三个Green 等式； 1864， Maxwell 对桁架提出了一个功互等定理； 1872 ，Betti 将其推广为弹性力学的功互等定理； 1885， Somigliana提出了弹性力学解的积分表示式； 1903， Fredholm奠基积分方程理论； 1953， Muskhelishivili “数学弹性理论的若干基本问题”； 1957 ，Mikhlin “微分方程与积分方程的近似解”； 1965 ， Mikhlin “多维奇异积分和积分方程” 1926 ，Trefftz 提出了的一种边界解法，即Trefftz 法。
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1. 引言
1.3 边界元法的发展历史
声学问题：M. B. Friedman & R. Shaw (1962), R. P. Banaugh & W. Goldsmith (1963) 等。 弹性动力学问题：R. P. Banaugh (1964), Y. Niwa & S. Kobayashi 等 (1971) 等。 边界元法：直接边界积分方程方法，直接求解原问 题未知场变量的边界值。
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1. 引言
1.4 我国边界元法研究概况
我国的边界元法研究起步于70 年代末，清华大学杜 庆华先生在推动我国的边界元法研究方面起了重要 作用。 1985 年开始每3 年举行一次全国工程中边界元法学 术会议。1997 年开始由杜庆华和日本境界要素法研 究会的田中正隆(M. Tanaka)和小林昭一(S.Kobayashi) 发起，每3 年举行两次中日边界元法学术会议。 1986 年杜庆华在清华大学组织召开了一次边界元法 的国际会议；2002 年，姚振汉和Aliabadi 联合主持 了第3 届国际边界元技术学术会议(BeTeQ 2002)。 清华大学有限元、边界元方法研究的学术地位…
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1. 引言
1.3 边界元法的发展历史
边界元法（直接边界积分方程方法）的早期工作：
1963 ，Jaswon 将边界积分方程直接法用于位势问题； 1967 ，Rizzo 在Quarterly Applied Mathematics 发表了弹 性静力学问题直接法边界元积分方程方法的论 文； 1968， Cruse，Rizzo 就发表了弹性动力学问题直接法边 界积分方程方法的文章； 1975 ，Cruse，Rizzo主编的“边界积分方程方法：在应 用力学中的计算应用”； 1977，Jaswon，Symm 专著“位势理论和弹性力学中的 积分方程方法”；
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边界元法 1. 引言 2. 位势问题的边界元法 3. 弹性力学问题的边界积分方程 4. 弹性力学问题的边界元法 5. 几种特殊的边界积分方程 6. 边界元法的最新进展及评述
Zheng Xiaoping 方法概述 1.2 边界积分方程发展过程 1.3 边界元法的发展历史 1.4 我国边界元法研究概况
边界元方法
Boundary Element Method
清华大学工程力学系 郑小平
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联系方式
郑小平…… 地址：蒙民伟综合科技楼619室 电话: 62796187(O) 手机: 13683245499(M) 邮件: zhengxp@ 学生介绍情况（了解力学基础）…… 课代表…… 我对《高等计算固体力学》课程的看法……
Bannerjee PK, Butterfield R. Boundary Element Methods in Engineering
Science. McGraw Hill, UK, 1981. Brebbia CA. The Boundary Element Method for Engineers. Pentech Press, London, Uk, and Halstead Press, NY, USA, 1978. 前修课程：弹性力学 Zheng Xiaoping 2014
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1. 引言
1.4 我国边界元法研究概况
专著：
1989，杜庆华等，“边界积分方程边界元法”， 高等教育出版社； 1997，嵇醒等，“边界元法进展及通用程序”，同济大学出版社； 1991，祝家麟，“椭圆边值问题的边界元分析”，科学出版社； 1993，余德浩，“自然边界元法的数学理论”，科学出版社； 2005，申光宪，“多极边界元法和轧制工程”，科学出版社； 2010，姚振汉：边界元法，高等教育出版社。
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1. 引言
1.3 边界元法的发展历史
边界元法（直接边界积分方程方法）的早期工作：
1977，Brebbia, Dominguez, Banerjee 和Butterfield 在英国 Southampton 大学首次商定采用“边界元法”名 称； 1978，Brebbia 出版了他的第一本专著 “工程师用边界 元法”； 1981，Banerjee & R. Butterfield “工程科学中的边界元 法”； 2002，Wrobel 和Aliabadi 出版了一部近年影响较大的专 著。第1 卷在热－流体和声学方面的应用；第2 卷是在固体和结构方面的应用。