2 平面力系

/
力偶矩：
M M (F，F) Fd
d 称为力偶臂。
9
三、力偶的表达
平面问题中各力偶作用面共面，力偶可用代数量表达： 力偶矩： M =±Fd，
/
大小：M = Fd
转向：逆时针为正，顺时针为负。
力偶的常用表示方法 力偶的矢量表示 M
/
=
/
=
10
四、力偶的性质 性质1 力偶无合力。 性质2 力偶对其作用面内任一点之矩均等于力偶矩。 性质3 力偶矩相等的两力偶等效。 推论1 只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移动和转动。 推论2 可任意改变力的大小和力偶臂的长短， 而不改变它对刚体的作用效应。 五、平面力偶系的合成 平面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩 等于各分力偶矩的代数和，即：
/
70.84°
R R
FR= FR’
R
/
R
M O ( FR ) M O ( FR x ) M O ( FR y )
主矢和主矩
合力
x
MO 3.514 m FRy
18
第五节 平面力系的平衡
一、平面一般力系的平衡条件 FR’=0，MO=0。 二、平面一般力系的平衡方程的
一般形式:
三、解题步骤
Fx 0
Fy 0
M A 0
FAx q 1 0
FAy F 0
M A M q 11.5 F 1 0
2m
1m
MA FAy FAx
FAx 10 kN
FAy 50 kN
M A 65 kN m
22
四、 特殊平面力系的平衡方程
去掉一般力系中的恒等式，可得各特殊平面力系的平衡方程 1.平面汇交力系的平衡方程
A
a B
b
力 F 对 B 点的矩
M B ( F ) M B ( Fx ) M B ( Fy ) Fxb Fb sin Fb 2
8
第三节 力 偶
实例
/
/
一、力偶的定义
大小相等、方向相反但不共线的两个平行力组成的力系，称为力
偶。记作(F,F')。力偶使物体产生转动效应。 二、力偶的计算
平面汇交力系：力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系。 1、平面汇交力系简化的几何法（力多边形法则） 简化依据：力的平行四边形法则 F3 F2 F2 F123 F4 F12 A F3 FR F1 F4 O 矢量式： 一般： 结论：平面汇交力系的简化结果为过汇交点的一个合力。
4
F3 F2 F4
F1
F1 O
第二章 平面力系
第一节 力在轴上的投影与力的分解 第二节 力对点之矩 第三节 力偶 第四节 平面力系的简化
第五节 平面力系的平衡
第六节 物体系统的平衡 第七节 摩擦 本章重点
1.平面力系平衡方程及其应用。 2.求解物体系统的平衡问题。 3.考虑摩擦时的平衡问题。
1
第一节 力在轴上的投影与力的分解
一、力在直角坐标轴上的投影 过力的起点和终点向投影轴作垂线，得力在轴上的投影。 力在轴上的投影为代数量. 平面上一力 F ，其投影：
FR
FR2 x FR2 y
合力与x 轴所夹锐角： tanθ =
5
第二节 力对点之矩
一、力对点之矩 1、力矩的定义 力使物体绕某点转动的效应的度量。
2、力矩的计算
M O (F) Fh
点 O： 矩心， h：力臂 力矩的常用单位 N· 或 kN· 。 m m 3、平面问题中力矩的表达：
大小: MO(F)；
/ /
2
1
1
/
/
2
/
2
/
1 1 2
3
/
3
/
3
3
平面力系
平移,O为简化中心
1
2
3
/
R
主矢量: 主矩:
F'R MO
13
三、固定端约束
四、力系简化结果分析
1、力系的主矢量 F'R不等于零，力系简化为一个合力。
/ /
R
R
R
R
/
/
=
/ /
=
R
2、力系的主矢量F'R等于零，主矩MO不等于零，力系简化为一个合力偶。 3、主矢量F'R等于零，主矩MO等于零，力系平衡。
3 1
6m
12m
2
2m
2m
28
解 取起重机为研究对象，起重机受平行力系作用。 （一）满载 临界情况下，FA=0
3 1
M B 0
W3 min (6 2) 2W1 W2 (12 2) 0
1 W3 min (10W2 2W1 ) 75 kN 8
12m
2
6m
（二）空载 W2=0。临界情况，FB=0。
F
x
0, Fy 0, M O ( Fi ) 0
1.取研究对象；2.画受力图；3.列平衡方程;4.答案 梁AB重W1=100N，作用有力偶矩M=200N.m的力偶，均布载 荷集度q=10N/m，吊重W=50N。求A处的约束反力。
M A 2m C
q 600 B
W1 2m
W
19
M A 2m C
MA 0
2m 2m
W3 max (6 2) 2W1 0
W3 max 0.5W1 350 kN
保证起重机不致翻到，平衡重W3的取值范围：
75 kN W3 350 kN
29
3.平面力偶系平衡方程
F'R=0，
2 1
平衡方程：
3
∑MO(F) =∑M i = 0
已知力偶的力偶矩为M，如图所示，试求铰链 A的约束 反力和撑杆CD所受的力。
x 1 FR q x d x q d x ql 0 0 l 2
l l
合力作用线位置。
x 1 2 FR h qx x d x q x d x ql 0 0 l 3
l l
解得：
2 h l 3
一般结论：分布在长度上的分布力系，其合力等于分布图
形的面积，合力作用线通过分布图形的形心
9m

5.7m
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 709 .4 kN FR y 70.84 tan FR x
M O M O ( F ) 3F1 1.5W1 3.9W2 2355 kN m
（2）求合力：
3m
/
R
R
70.84°
2 1
平衡方程：
3
（1）一般式
∑ Fy=0, ∑ MO(F) =0； ∑MA(F) =0，∑MB(F)=0
（2）二力矩式
AB连线不平行于力线。
27
塔式起重机机架重W1=700kN，作用线通过塔架的中心。 最大起重量W2=200kN，最大悬臂长为12m，轨道AB的间距 为4m。平衡重W3到机身中心线距离为6m。试问：保证起重 机在满载和空载时都不致翻到，平衡重W3应为多少？
2、静不定问题: 未知量的数目多于独立平衡方程的数目。
3、静不定次数: 未知量数目减去独立平衡方程数目。 三、求解物体系统平衡的一般思路 紧扣待求量，取与之有关的物体为研究对象，建立足够数 目的平衡方程。
7
如图所示，曲杆上作用一力F，已知 AB＝a，CB＝b，试 分别计算力 F 对点 A 和 B 的矩。
解: 应用合力矩定理，将力 F 分解为 Fx和 Fy， Fy
30
F Fx
则力F 对A 点的矩为
M A (F ) M A (Fx ) M A (Fy ) Fx b Fy a Fb sin Fa cos Fb 3 Fa 2 2
M Mi
11
第四节 平面力系的简化
一、力的平移定理
定理 作用在刚体上某点A的力F 可平行移到任一点B，
平移时需附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于力F 对平 移点B的矩。
/ /
=
//
=
由定理可看出，一个力可等效于一个力和一个力偶。
反过来，同平面内的一个力和一个力偶可合成一个力。
12
二、平面力系向一点的简化
MA A 2m FAy
M
C
q
FB 600 B
FAx 25 N
FAy 76.7 N
FAx
W1 2m
M A 286 .8N .m
20
平面刚架如图所示，已知F＝50kN，q＝10kN/m， MB＝30kN· ，试求固定端A处的约束反力。 m
1m
1m
2m
1m
21
解 取刚架为研究对象
1m
1m
FR
2、平面汇交力系简化的解析法 合力投影定理：合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。 将汇交力系的合力向 x、y 轴投影，
FR x F1x F2 x Fnx Fx FR y F1 y F2 y Fny Fy
合力的大小：
2 1
取力系汇交点为坐标原点，∑MO(F)≡0 平衡方程：∑Fx=0，∑Fy=0.
3
平面汇交力系平衡的几何条件 F2 F1 F4 F3 各力首尾相接，力多边形自行封闭。
23
磙子受力如图，已知W =20 kN，R =0.6m，h =0.08m， 求（1）水平力F至少为多大，可将磙子拉过障碍物？（2）F 沿什么方向最省力？此时力为多大？
转向：逆时针为正，顺时针为负。
6
4、力矩为零情况 当力的作用线通过矩心时，力臂h=0，则MO(F)=0。 二、平面汇交力系的合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于各分力对该 点之矩的代数和。
M O ( FR ) M O ( F1 ) M O (F2 ) M O ( Fn ) M O ( Fi )
_ 2 _ 2
解 选取横梁AB为研究对象，梁受
力偶系作用。
45°
_ 2
M 0
a)
45°
l FC sin 45 M 0 2
30
b)
2M 2 2M FA FC l sin 45 l
五、平面一般力系平衡方程的其他形式
2.二力矩形式
F
x
0, M A ( Fi ) 0, M B ( Fi ) 0
q 600 B
解：取ABC为研究对象 受力分析; 平衡方程: W
W1 2m
Fx 0
A i
FAx FB cos600 0
Fy 0
FAy W1 q 2 FB sin 600 0
M（F） 0
M A M W1 2 q 2 3 FB sin 60 0 4 0
14
五、合力矩定理
平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩，等于力系中各 力对同一点之矩的代数和。即：
M O ( FR ) M O ( Fi )
平面汇交力系是平面一般力系的特例，对平面汇交力系，合 力矩定理成立。
15
三角形分布载荷作用在水平梁AB上，最大载荷集度为q，梁长l。 试求该力系的合力。 解:合力的大小。
AB连线不垂直于x轴
3.三力矩形式
M
A
( Fi ) 0, M B ( Fi ) 0, M C ( Fi ) 0
A、B、C三点不共线
31
第六节 物体系统的平衡
一、物体系统平衡
由n个物体组成的物系，独立方程数≤3n
二、静定与静不定问题的概念 1、静定问题: 未知量数目等于独立平衡方程的数目。
R h F O W B A
24
解：取磙子为研究对象
R h FB
F O W
（一）求F（FA= 0）
1.解析法

B
A
FA
F F 0， cos W 0 F W / cos F F 0， sin F 0 F W tan 11.5kN
y B B x B
16
重力坝受力如图。设W1= 450 kN，W2=200 kN，F1=300 kN， F2=70 kN。求力系的合力。
3m
1.5m
1
9m
3.9m
1 2 2
3m

5.7m
17
3m
解 ：(1)取点O为简化中心，求主矢和主矩。
ACB arc tan
1.5m
1
3.9m
1 2 2
AB 16 .7 CB FR x Fx F1 F2 cos 232 .9 kN FR y Fy W1 W2 F2 sin 670 .1 kN
2.几何法
F
作封闭的力三角形
W FB
F W tan 11.5kN
25
Fmin
β B
R
O
(二) 求Fmin Fmin的方向未知，必须补充一个条件。 由图可知， Fmin应和FB垂直，
W
A FB FA
Fmin W sin 10kN
FB
Fmin
源自文库
210
W
26
2. 平面平行力系的平衡方程 取y轴和各力线平行，∑Fx≡0，
已知力 F 在平面直角坐标轴上的投影 Fx 和 F y 可确定该力的大小和力与x轴所夹锐角：
F Fx2 Fy2
tanα =
2
二、力沿坐标轴分解 过力的起点作给定方向的平行线，
分力由力的平行四边形法则确定。
在直角坐标中，分力的大小等于力在轴上的投影，因此， 力的解析表达式可写为：
3
三、平面汇交力系简化 合力投影定理