二、平面基本力系
第二章 平面力系
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
工程力学习题册第二章 - 答案
第二章平面基本力系答案一、填空题(将正确答案填写在横线上)1.平面力系分为平面汇交力系、平面平行力系和平面一般力系。
2.共线力系是平面汇交力系的特例。
3.作用于物体上的各力作用线都在同一平面内 ,而且都汇交于一点的力系,称为平面汇交力系。
4.若力FR对某刚体的作用效果与一个力系的对该刚体的作用效果相同,则称FR为该力系的合力,力系中的每个力都是FR的分力。
5.在力的投影中,若力平行于x轴,则F X＝ F或-F ;若力平行于Y轴,则Fy＝F或-F :若力垂直于x轴,则Fx=0;若力垂直于Y轴,则Fy＝ 0 。
6.合力在任意坐标轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。
7.平面汇交力系平衡的解析条件为：力系中所有力在任意两坐标轴上投影的代数和均为零。
其表达式为∑Fx＝0 和∑Fy＝0 ，此表达式有称为平面汇交力系的平均方程。
8.利用平面汇交力系平衡方程式解题的步骤是：（1）选定研究对象，并画出受力图。
（2）选定适当的坐标轴，画在受力图上；并作出各个力的投影。
（3）列平衡方程，求解未知量。
9.平面汇交力系的两个平衡方程式可解两个未知量。
若求得未知力为负值，表示该力的实际指向与受力图所示方向相反。
10.在符合三力平衡条件的平衡刚体上，三力一定构成平面汇交力系。
11.用力拧紧螺丝母，其拎紧的程度不仅与力的大小有关，而且与螺丝母中心到力的作用线的距离有关。
12.力矩的大小等于力和力臂的乘积，通常规定力使物体绕矩心逆时针转动时力矩为正，反之为负。
力矩以符号Mo(F) 表示，O点称为距心，力矩的单位是N.M 。
13.由合力矩定力可知，平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中的各分力对于同一点力矩的代数和。
14.绕定点转动物体的平衡条件是：各力对转动中心O点的矩的代数和等于零。
用公式表示为∑Mo(Fi) ＝0 。
15.大小相等、方向相反、作用线平行的二力组成的力系，称为力偶。
力偶中二力之间的距离称为力偶臂。
知识点2：平面力系
知识点2：平面力系一、平面汇交力系的合成与平衡的几何法(1)平面汇交力系的合成用力多边形法则，合力的大小和方向由力多边形的封闭边来表示，其作用线通过各力的汇交点，即合力等于力系中各力的矢量和，即∑=+++=F F F F F n R 21(2)平面汇交力系的平衡平面汇交力系平衡的必要和充分的几何条件是力多边形自行封闭。
即0==∑F F R二、平面汇交力系的合成与平衡的解析法1．力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦，如图2-1所示，它是一标量，即θcos F F x =； θβs i n c o s F F y == （2-1）图2-1 图2-22．力沿坐标轴的分解力沿坐标轴的分力是一矢量，其合力与分力之间应满足力的平行四边形公理。
如图2-2所示。
力沿坐标轴分解的分力的大小为xyxyx)sin(sin βθβ+=F F x ； )s i n (s i nβθθ+=F F y（2-2）由此可见，在一般情况下，力沿坐标轴分解的分力的大小不等于力在坐标轴上投影的大小。
当2πβθ=+时，在同一坐标上分力的大小和投影相等，如图2-3所示。
（a ）（b ）图2-33．合力投影定理合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和，即∑=x Rx F F ； ∑=y Ry F F（2-3）当投影轴x 与y 垂直时，其合力的大小与方向为22RyRx R F F F +=，R RxR F F =),cos(i F ，RRy R F F =),cos(j F （2-4）4．平面汇交力系的合成当两坐标轴间的夹角为2π时有2222)()(∑∑+=+=y x Ry Rx R F F F F F（2-5）RxR F F∑=),cos(i F ，RyR F F∑=),cos(j F5．平面汇交力系的平衡 由几何法知0=R F代入前面的代数表达式有0)()(2222=+=+=∑∑y x Ry Rx R F F F F Fx F y即0=∑xF；0=∑yF（2-6）平面汇交力系平衡的解析条件是力系中各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和均等于零。
002-基本力系
18
合力投影定理
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影旳和分别为：
Rx X1 X 2 X 4 X
即：
Ry Y1 Y2 Y3 Y4 Y
Rx X Ry Y
合力投影定理：合力在任一轴上旳投影，等于各分力在同一 轴上投影旳代数和。
19
合力旳大小： R Rx2 Ry2
X2 Y2
方向：
解 根据公式可得
Fx Fx1 Fx2 Fx3 Fx4 F1 cos30o F2 cos 60o F3 cos 45o F4 cos 45o 129.3 N Fy Fy1 Fy2 Fy3 Fy4 F1 sin 30o F2 sin 60o F3 sin 45o F4 sin 45o 112.3 N
解得
FT 2000 N，FAB FAC 1225 N
所得成果中FAB、FAC均为负值，阐明这两个力旳假设方向 与实际方向相反，即两杆均受压力。
27
[例8] 物块G重为10kN，挂在D点，如图所示。A、B、C三 点用铰链固定，试求DA、DB、DC杆所受旳力。
28
解：取结点D为研究对象。因为三杆均为二力杆，假设均受拉 力，则D点受力分析如图所示，列平衡方程：
R Fi 0
∴ 几何法：平衡充要条件为该力系旳力多边形封闭。
∴ 解析法：平衡充要条件为
X 0 Y 0
Z 0
空间汇交力系旳平衡方程
17
平面汇交力学是空间汇交力系旳特殊情况： 力在坐标轴上旳投影
X=Fx=F·cos Y=Fy=F·sin=F ·cos
F Fx 2 Fy 2
cos X Fx
FF
cos Y Fy
F P tg
NB
P
cos
静力学-平面力系
03
平面力偶系合成与平衡
力偶概念及性质
力偶定义
由两个大小相等、方向相反且作用线平 行的力组成的力系。
VS
力偶性质
力偶没有合力，只能用力偶矩来度量其效 应；力偶对其作用面内任一点之矩恒等于 力偶矩，而与矩心的位置无关。
力偶矩计算与方向判断
力偶矩计算
力偶矩等于两力大小与两力作用线间距离的 乘积，即M=Fd。
计算方法
通过矢量运算，将力系中 的每个力分别投影到坐标 轴上，然后进行代数求和， 得到主矢和主矩。
简化结果讨论：合力、合力偶、平衡
合力
当主矢不为零时，力系可 简化为一个合力，其作用 点通过简化中心，大小和 方向由主矢确定。
合力偶
当主矢为零但主矩不为零 时，力系可简化为一个合 力偶，其力偶矩等于主矩。
全性。
建筑工程
在建筑结构中，框架结构和剪力 墙结构等常常受到空间平行力系 的作用。通过合理设计和施工， 可以确保建筑物的稳定性和承载
能力。
机械工程
在机械设计中，许多机构和构件 受到空间平行力系的作用。例如， 齿轮传动、带传动等机械传动中， 各构件受到的力和力矩往往构成
空间平行力系。
拓展思考
01
建立力学模型
摩擦角概念
当物体处于临界平衡状态时，摩擦力与正压力之间的夹 角称为摩擦角。
考虑滑动摩擦时物体平衡问题求解方法
确定研究对象和受力分析
选取研究对象，进行受力分析，画出受力图。
列平衡方程
根据静力学平衡条件，列出平衡方程。
引入滑动摩擦定律
在平衡方程中引入滑动摩擦定律，将摩擦力 表示为正压力的函数。
求解未知量
06
空间平行力系简介与拓展 思考
第二章平面力22系
FB
C
5a
5a
4）联立求解：
A 5a D x
FA
5 F, 2
FD
F 2
FA
FD
FA为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向
相反，FD为正值，说明图中所假设的指向与其实
际指向相同。
第三节 平面力偶系的合成与平衡
一、 力偶和力偶矩
1、力偶——大小相等的二反向平行力。
d
⑴、作用效果：引起物体的转动。
力矩的概念
例题
力矩的性质
例题：图中，如作用于扳手上的力F = 200 N，l = 0.40 m，α= 60°，试计算力F→ 对点O之矩。
解：
MO(F ) = - F ·d = - F ·l sinα= - 200×0.40×sin 60° N·m= - 69.3 N·m
y
Fy 0, FB cos 600 FC cos 300 - Q 0
5）联立求解： FB =15kN , FC 26kN
A x
Q
练习2
水平力F 作用在门式刚架的B点，如图所示，刚
架的自重忽略不计。试求A、D两处的约束力。
B
F
C
a
A
D
2a
练习2
水平力F 作用在门式刚架的B点，如图2.12a所示，
用扳手拧一螺母，使扳手连同螺母绕点O（实为绕通过点O 而垂直于图面的轴）转动。
由经验得知，力的数值愈大，螺母拧得愈紧；力的作用线 离螺母中心愈远，拧紧螺母愈省力。用钉锤拔钉子也有类 似的情况。许多这样的事例，使我们获得如下概念：力F→ 使物体绕点O转动的效应，不仅与力的大小有关，而且还与 点O到力的作用线的垂直距离d有关。故要用乘积Fd来度量 力的转动效应。
2平面力系
2.2.2 同一平面内力偶的等效定转向相同，则这两个力偶等效。
从以上性质还可得出两个推论： (1)力偶可在其作用面内任意移转，而不会 改变它对物体的转动效应。例如图中作用在 方向盘上的两个力偶(P1，P1′)与(P2，P2′) 只要它们的力偶矩大小相等，转向相同，作 用位置虽不同，但转动效应是相同的。 （2）在保持力偶矩大小和转向不变的 条件下，可以任意改变力偶的力的大小 和力偶臂的长短，而不改变它对物体的 转动效应。 例如图所示，在攻螺纹时，作用在纹 杆上的(F1，F1′)或(F2F2′)虽然h1和h2不 相等，但只要调整力的大小，使力偶矩 相同，则两力偶的作用效果是相同的。
F4 x F4 cos 60 15 0.5 7.50kN F4 y F4 sin 60 15 0.866 12.99kN
F5 x F5 sin 30 20 0.5 10kN F5 y F5 cos 30 20 0.866 17.3kN
MO (F ) F h
（2-3）
o点称为转动中心，简称矩心。矩心到力作用线的垂直距 离h称为力臂。
MO (F ) F h
式中的正负号表示力矩的转向。通 常规定：力使物体绕矩心作逆时针方 向转动时，力矩为正，反之为负。 显然，力矩在下列两种情况下等于 零：①力等于零；②力臂等于零，就 是力的作用线通过矩心。
M o F F h F r cos 1500 0.05cos 25 67.97 N m
解二：
M o F M o F1 M o F2
0 F cos r 67.97 N m
2.平面一般力系
在工程中常见的
雨搭
车刀
8
固定端（插入端）约束
说明
①认为Fi这群力在同一
平面内;
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
③RA方向不定可用正交
分力FAy, FAx,表示;
FAy
④ FAy, FAx, MA为固定端 约束反力; ⑤ FAy, FAx限制物体平动,
FAx
MA为限制转动。
9
§3-3
平面一般力系的简化结果 合力矩定理
一、静定与静不定问题的概念 我们学过： 平面汇交力系 Fx 0
Fy
0
两个独立方程，只能求两个独立 未知数。
力偶系
mi 0
一个独立方程，只能求一个独立未知数。
平面 任意力系
Fx 0 Fy 0
三个独立方程，只能求三个独立未知数。 mO ( Fi ) 0
当：独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
29
取整体,画受力图.
F
解得
ix
0
FAx FB cos 600 F sin 300 0
FAx 32.89kN
F
解得
iy
0
FAy FB sin 600 2ql F cos 300 0
FAy 2.32kN
M
解得
A
0
M A M 2ql 2l FB sin 600 3l F cos 300 4l 0
30
M A 10.37kN
《平面一般力系习题课》
本章小结： 一、力线平移定理是力系简化的理论基础
力
力+力偶
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F1、F2、F3、F4为作用在同一条直线上的共线 力。如果规定某一方向(如x轴的正方向)为正，则 它的合力大小为各力沿作用线方向的代数和。合 力的指向取决于代数和的正负：正值代表作用方 向与x轴同向，负值代表作用方向与x轴反向。
FR = - F1 +F2 - F3 + F4
FR=ΣFi 物体在共线力系作用下平衡的充要条件为： 各力沿作用线方向的代数和等于零。即：
力偶臂——两个力作用线之间的垂直距离。
力偶的作用面——两个力作用线所决定的平面。
力偶矩——力偶中任一力的大小和力偶臂的
乘积来度量力偶对物体的转动效应。用Ｍ或Ｍ
（F，F′)表示。
力偶矩是代数量，一般规定：使物体逆时针转动的力 偶矩为正，反之为负。力偶矩的单位是N•m，读作“牛米”。
2．力偶的表示方法
力三角形规则 二.多个汇交力的合成 力多边形规则
.
.
.
.
.
.
.
.
.
如何求解图中作用于A点的合力？
2．力在直角坐标轴上的投影
投影法——用投射在平面上的图形表示空间 物体形状的方法。
中心投影法
平行投影法
设力Ｆ与 x 轴所夹锐角为 ，
其投影表达式如下：
Fx F cos Fy F sin
Fx F cos Fy F sin
➢ 力的合成的逆运算。 ➢ 已知平行四边形的对角线求两邻边的过程。 ➢ 由一条对角线可以做出无数个平行四边形，这就有
无数个解。因此必须要有附加条件，才可求出其确 定的解
F1 F cos 面汇交力系平衡的充分和必要条件：该力 系的合力FR的大小等于零。即
平面汇交力系的平衡方程：
力系的各力在两个坐标轴上投影 的代数和分别为零。
解题前须知：
求解平面汇交力系平衡问题的主要步骤及注意点： (1)根据问题的要求，选取合适的研究对象，画受力图。 所选的研究对象上应作用有已知力和待求的未知力。 (2)选择适当的坐标轴，并作各个力的投影。 坐标轴尽量与未知力垂直或与多数力平行，使坐标原点 与汇交点重合。 (3)列平衡方程并解出未知量。 要注意各力投影的正负号；计算结果中出现负号时，表 明该力的实际受力方向与受力图中假设方向相反。遇到这种 情况，不必改正受力图，但在答案中必须说明。
FR= F1 +F2 + … + Fn＝ΣFi ＝0
一、平面汇交力系 二、平面汇交力系的平衡
一、平面汇交力系
作用在型钢上的力系
作用在吊环上的力系
1．力的合成
合力——用一个力代替几个力的共同作用，且效果完 全相同。
力的合成——已知几个力，求其合力的过程。
力的合成遵循力的平行四边形公理。
一. 两个汇交力的合成 力三角形规则
第二章 平面基本力系
§2－1 共线力系的合成与平衡 §2－2 平面汇交力系的合成与平衡 §2－3 平面力偶系的合成与平衡
❖ 理解力矩和力偶的概念及力偶的性质。
❖ 掌握力在坐标轴上的投影、合力投影定理、合 力矩定理。
❖ 掌握力矩计算方法及力矩平衡条件，以及平面 力偶系平衡条件的应用。
❖ 能熟练应用平衡方程求解简单的平面汇交力系 平衡问题。
Fix
FR y F1y F2 y ... Fny i1 Fiy
若已知力在两坐标轴上的投影，应用合力投 影定理公式可求得合力的大小和方向：
FR
FR
2 x
FR
2 y
Fix 2
Fiy 2
tan FRy Fiy
FRx Fix
4．力的分解
力的分解——将一个已知力分解为两个分力的 过程。
【例2－3】F＝100 N的力按图示两种情况作用在锤柄上，
柄长 l=300mm，试求力F对支点Ｏ的矩。
2．合力矩定理
平面汇交力系的合力对平面内任意点的矩，等 于力系中各分力对同一点力矩的代数和。即：
MO(F) MO(F1) MO(F2) ... MO(Fn) MO(Fi )
解题前须知：
（１）首先确定矩心，再由矩心向力的作用线作垂线 求出力臂。
（２）力矩正负号的判定：以矩心为中心，力使物体 绕矩心做逆时针方向转动时为正，反之为负。
（３）根据已知条件，可采用直接公式法（即按力矩 公式计算）或合力矩定理法（即先对力进行分解,再按合 力矩定理计算）。
【例2－4】直齿圆柱齿轮受啮合力F的作用。设F =1400N， 压力角α＝20°，齿轮的节圆（啮合圆）半径r=60mm，试 计算力F对轴中心O的矩。
【例2－2】曲柄冲压机冲压工件时冲头B受到工件的阻力 F=30kN，试求当α＝30°时连杆AB所受的力及导轨的约束 反力。
§2－3 平面力偶系的合成与平衡
一、力矩 二、力偶 三、平面力偶系的简化与平衡
一、力矩
1．力对点的矩
力F对O点之矩——力的大小F与力臂Lh的乘
积，以符号Ｍo（F）表示。
正负规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时， 力矩为正，反之为负。力矩的单位名称为牛顿·米， 符号为Ｎ·m。
3．力矩的平衡条件
（1）杠杆平衡应用实例
（2）绕定点转动物体平衡条件
各力对转动中心Ｏ点之矩的代数和等于零，即合力
矩为零。用公式表示为：
MO (F1) MO (F2 ) ... MO (Fn ) 0
或
MO (Fi ) 0
汽车制动踏板
二、力 偶
1．力偶的概念
力偶——力学中的一对等值、反向而不共线的平行力 组成的特殊力系，用符号（F，F′）表示。
平面力系分类与力学模型
1．共线力系 2．平面汇交力系 3．平面平行力系 4 ．平面一般力系
1．共线力系（各力的作用线在同一条直线上）
2．平面汇交力系（作用在物体上的各力的作用 线都在同一平面内，且都汇交于一点 ）
3．平面平行力系（平面力系中各力的作用线互 相平行 ）
4．平面一般力系（作用在物体上的力的作用线 都在同一平面内，且呈任意分布 ）
【例2－1】试求图中所示F1、F2、F3各力在x轴及y轴上的 投影。
Fx F cos Fy F sin
F Fx2 Fy2
tan Fy
Fx
3．合力投影定理
合力投影定理——合力在任意坐标轴上的投影，等于 各分力在同一轴上投影的代数和。
FR x
F1x
F2x
... Fnx
n
i 1 n
力偶可用力和力偶臂来表示，或用带箭头的弧线表 示，箭头表示力偶的转向，M表示力偶的大小。