知识点6 证明极限式与证明极限不存在的方法
如何证明极限不存在
如何证明极限不存在如何证明极限不存在？当我们讨论一个数列或函数的极限时，有时我们会遇到不能收敛到一个唯一的数值的情况，这就意味着极限不存在。
在这篇文章中，我们将探讨如何确定极限不存在。
首先，我们需要了解什么是极限。
极限是数学中非常重要的概念，它描述了当自变量趋近于某个值时函数的行为。
当自变量趋近于某个特定值时，如果函数的取值趋近于一个常数，我们称该常数为函数的极限。
例如，当自变量x趋近于无穷大时，如果函数f(x)的取值趋近于某个常数a，我们写作lim(x→∞)f(x) = a。
那么，如果我们无法找到一个常数a，使得当自变量趋近于某个特定值时函数的取值趋近于a，我们该如何证明极限不存在呢？下面是一些常用的证明方法：1. 变量的逼近法：我们可以选取一个适当的变量序列，使得当这个变量趋于特定值时，函数的取值不同。
如果我们可以找到至少两个不同的变量序列，使得在序列趋近于特定值时函数的取值不同，那么我们可以确定函数的极限不存在。
2. 两路径法：我们可以选取两条路径，分别使自变量x趋近于特定值。
如果这两条路径上函数的取值趋于不同的数值，那么我们可以断定函数的极限不存在。
3. ε-δ语言：这是一种更严谨的证明方法，首先我们需要假设存在一个极限值a，然后我们可以给出一个ε>0，并证明无论取多小的δ，总存在一个x在δ邻域内，其函数值与a的差大于ε。
这样就证明了极限不存在。
4. 间隔定义法：我们可以通过对函数在某个特定区间进行分析来证明极限不存在。
如果我们可以找到两个数x1和x2，在这个区间内，无论自变量如何变化，函数的取值都不在两个数之间，则可以确定函数的极限不存在。
无论使用哪种方法，我们都需要注意一些重要的细节：1. 证明的合理性：我们需要使用数学严谨的步骤来证明极限不存在，不能依靠主观的判断。
所有的证明必须经过推理和论证的过程，并且所有的步骤都要比较清晰地展示出来。
2. 反证法：我们也可以使用反证法来证明极限不存在。
证明极限不存在的方法
证明极限不存在的方法证明极限不存在的方法是数学分析中非常重要的一种方法，它可以帮助我们确定一个函数是否存在极限，从而更好地理解函数的性质。
本文将介绍证明极限不存在的方法的主要内容，并以优美的紧凑的排版格式输出。
一、定义在介绍证明极限不存在的方法之前，我们先来回顾一下极限的定义。
设函数$f(x)$在$x_0$的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$\epsilon$，都存在正数$\delta$，使得当$x$满足$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)-L|<\epsilon$，则称$L$是$f(x)$当$x$趋近于$x_0$时的极限，记作$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L$。
二、证明极限不存在的方法1. 构造两个不同的数列证明极限不存在的一种方法是构造两个不同的数列，使得它们分别趋近于不同的极限。
具体来说，如果存在两个数列$\{x_n\}$和$\{y_n\}$，满足$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$和$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=b$，且$a\neq b$，则$f(x)$在$x_0$处的极限不存在。
例如，考虑函数$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$，当$x\neq 1$时，$f(x)=x+1$。
我们可以构造两个数列$\{x_n\}$和$\{y_n\}$，分别为$x_n=1+\dfrac{1}{n}$和$y_n=1-\dfrac{1}{n}$，则有$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=1$和$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=1$，但是$\lim\limits_{x\to 1}f(x)$不存在，因为当$x\to 1$时，$f(x)$趋近于$2$和$0$，不满足极限存在的条件。
2. 利用夹逼定理夹逼定理是证明极限存在的重要方法，但它也可以用来证明极限不存在。
高等数学知识点汇总
高等数学知识点高等数学知识点汇总通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。
下面小编给大家介绍高等数学知识点汇总，赶紧来看看吧!高等数学知识点汇总第一章函数与极限知识点1：函数的概念、函数定义域的求法知识点2：函数的分类、特殊类型的函数知识点3：函数的基本性质知识点4：数列极限的概念与性质知识点5：函数极限的概念与性质知识点6：证明极限式与证明极限不存在的方法知识点7：无穷小与无穷大的概念与关系知识点8：极限的四则运算法则知识点9：复合函数的极限运算法则知识点10：极限存在的两个准则知识点11：两个重要极限知识点12：无穷小的比较知识点13：函数连续性的概念及判断知识点14：函数间断点的求法及分类知识点15：闭区间上连续函数的性质第二章导数与微分知识点16：导数的概念知识点17：导数的几何意义、平面曲线的切线与法线方程的求法知识点18：复合函数的求导知识点19：反函数的求导知识点20：隐函数及参数方程的求导知识点21：微分的概念及运算知识点22：一元函数微分形式的不变性知识点23：导数的物理意义知识点24：按定义求导的题目类型知识点25：可导、可微与连续三个概念之间的关系知识点26：奇偶函数与周期函数的导数的性质知识点27：用求导公式与法则求导数知识点28：函数的高阶导数第三章微分中值定理与导数的应用知识点29：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用知识点30：柯西中值定理的应用知识点31：有关中值定理证明题的典型实例知识点32：洛必达法则求极限知识点33：求极限的方法总结知识点34：函数的零点（方程的根）存在性与唯一性的证明知识点35：函数的零点（方程的根）个数的讨论知识点36：不等式的证明方法总结知识点37：泰勒公式的求法知识点38：泰勒公式的应用知识点39：函数的单调性及判别知识点40：函数的极值及判别知识点41：函数的最值及判别知识点42：渐近线的分类与求法知识点43：曲线的凸凹性和拐点知识点44：曲率、曲率圆及曲率半径（数学一、二）知识点45：弧微分知识点46：导数在经济领域的应用（数学三）第四章不定积分知识点47：不定积分的概念与性质知识点48：不定积分的换元积分法知识点49：不定积分的分部积分法知识点50：有理函数与三角有理式的不定积分知识点51：不定积分计算技巧的典型实例第五章定积分知识点52：定积分的概念与基本性质知识点53：变上限的积分及其导数知识点54：奇偶函数与周期函数的积分性质知识点55：涉及定积分证明题型的典型实例知识点56：用牛顿-莱布尼兹定理计算定积分知识点57：定积分的换元积分法知识点58：定积分的分部积分法知识点59：定积分的特殊计算方法的典型实例知识点60：无穷限的.反常积分的概念与计算知识点61：无界函数的反常积分的概念与计算第六章定积分的应用知识点62：用定积分求平面图形的面积知识点63：用定积分求特殊立体的体积知识点64：用定积分求弧长知识点65：定积分的物理应用（数一、二）知识点66：连续函数的平均值（数一、二）第七章空间解析几何与向量代数知识点67：空间直角坐标系及相关概念（数一）知识点68：向量的属性、向量的长度与夹角（数一）知识点69：向量的各类运算及其运算法则（数一）知识点70：用向量解决的几何问题（数一）知识点71：平面的法向量与平面方程（数一）知识点72：直线的方向向量与直线方程（数一）知识点73：两个平面间的关系（数一）知识点74：两条直线间的关系（数一）知识点75：直线与平面的关系（数一）知识点76：点到平面的距离的计算（数一）知识点77：点到直线的距离的计算（数一）知识点78：旋转曲面（数一）知识点79：柱面（数一）知识点80：二次曲面（数一）知识点81：空间曲线的方程及其在坐标面上的投影（数一）第八章多元函数微分法及其应用知识点82：多元函数的概念和几何意义知识点83：二元函数的极限知识点84：二元函数的连续性知识点85：偏导数的概念与常规计算知识点86：高阶偏导数知识点87：多元函数可微与全微分知识点88：连续，可偏导，可微的关系知识点89：多元复合函数的求导法则知识点90：多元函数的微分形式不变性知识点91：多元隐函数的求导知识点92：多元函数的极值问题知识点93：条件极值问题、拉格朗日乘数法知识点94：多元函数的最值问题知识点95：方向导数（数一、二）知识点96：数量场的梯度（数一、二）知识点97：空间曲线的切线与法平面（数一、二）知识点98：空间曲面的切平面与法线（数一、二）知识点99：二元函数的二阶泰勒公式（数一）第九章重积分知识点100：重积分的概念与性质知识点101：直角坐标下二重积分的定限与计算知识点102：极坐标下二重积分的定限与计算知识点103：直角坐标下三重积分的定限与计算知识点104：柱面坐标下三重积分的定限与计算知识点105：球面坐标下三重积分的定限与计算知识点106：重积分积分次序的交换知识点107：利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性求重积分的技巧第十章曲线积分与曲面积分知识点108：第一类曲线积分的概念与计算知识点109：第二类曲线积分的概念与计算知识点110：两类曲线积分之间的联系知识点111：二元函数全微分求积知识点112：格林公式及其应用知识点113：曲线积分与路径无关的条件知识点114：第一类曲面积分的概念与计算知识点115：第二类曲面积分的概念与计算知识点116：两类曲面积分之间的联系知识点117：高斯公式及其应用知识点118：通量与散度知识点119：斯托克斯公式及其应用知识点120：环流量与旋度知识点121：涉及重积分与曲线曲面积分的证明题总结第十一章无穷级数知识点122：级数的概念及性质（数一、三）知识点123：级数收敛的概念与判别法（数一、三）知识点124：正项级数的审敛法（数一、三）知识点125：交错级数、莱布尼兹判别法（数一、三）知识点126：函数项级数与幂级数的概念（数一、三）知识点127：函数的幂级数展开（数一、三）知识点128：阿贝尔判别法（数一、三）知识点129：幂级数的收敛域（数一、三）知识点130：幂级数的和函数（数一、三）知识点131：绝对收敛与条件收敛（数一、三）知识点132：傅里叶级数的展开式的求法（数一）知识点133：傅里叶级数的周期延拓（数一）知识点134：傅里叶级数的奇偶延拓（数一）第十二章微分方程知识点135：微分方程的基本概念知识点136：可分离变量的微分方程知识点137：齐次微分方程知识点138：一阶线性微分方程知识点139：全微分方程知识点140：伯努利方程知识点141：用变量替换解微分方程举例知识点142：含变限积分的方程知识点143：可降阶的高阶微分方程知识点144：线性微分方程解的性质和结构知识点145：二阶常系数齐次线性方程知识点146：n阶常系数齐次线性方程知识点147：二阶常系数非齐次线性方程知识点148：欧拉方程（数学一）知识点149：差分方程（数学三）知识点150：微分方程应用题的典型实例。
判断函数极限是否存在的方法
判断函数极限是否存在的方法判断函数极限是否存在是微积分中的一个重要问题，它涉及到了许多基本理论和重要定理。
本文将介绍如何通过数列极限、夹逼定理、单调有界原理、Heine定理、Cauchy准则等方法来判断函数极限是否存在。
1. 数列极限法数列极限法是判断函数极限是否存在的一种基本方法。
它的基本思路是利用函数在某一点附近的数列逼近函数极限的性质，来判断函数极限是否存在。
一般来说，数列极限法适用于具有连续性和有限性质的函数。
具体来说，如果函数f(x)在x0附近有定义，那么只需要找到一些趋近于x0的数列{x_n}，使得这些数列对应的函数值{f(x_n)}逐渐趋近于一个有限的常数L，那么我们就可以得到f(x)在x0处的极限为L。
即：lim x->x0 f(x) = L当且仅当对于任意一个趋近于x0的数列{x_n}, 都有lim n->∞ f(x_n) = L例如，考虑函数f(x) = (x^2 - 1)/(x-1) 在x = 1处的极限问题。
我们可以取一个数列{1.1, 1.01, 1.001, … }，通过计算，得到这些数列对应的函数值为{2.1, 2.01, 2.001, … }，显然这些函数值逐渐趋近于 2。
因此，我们可以断言：lim x->1 (x^2 - 1)/(x-1) = 22. 夹逼定理夹逼定理是常用的一种判断函数极限是否存在的方法。
它的基本思路是将我们要研究的函数夹在两个已知的函数之间，这两个函数的极限都已经被证明存在，并且它们的极限相等，那么我们就可以得到这个函数的极限存在，并且等于这个相同的极限。
夹逼定理适用于那些比较难直接处理的函数。
例如：lim x->0 xcos(1/x)我们可以将这个函数夹在两个函数之间：-lim x->0 |x| <= lim x->0 xcos(1/x) <= lim x->0 |x|其中 |x| 是 x 的绝对值。
证明极限不存在
证明极限不存在证明极限不存在二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1[1]证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..2是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点沿着两条直线 y=2xy=-2x 趋于(0,0)时极限分别为 -3 和 -1/3 不相等极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等所以极限不存在3lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)证明该极限不存在lim(x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)=lim(x^2+3y^2) / (x^2+3y^2) - 8y^2 / (x^2+3y^2)=1-lim8 / [(x/y)^2+3]因为不知道x、y的大校所以lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2) 极限不存在4如图用定义证明极限不存在~谢谢!!反证法若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，使|sin[1/x1(n)]-L|和|sin[1/x2(n)]-L|同时成立。
证明极限不存在的方法
证明极限不存在的方法引言极限是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点附近的行为。
在某些情况下，我们可能希望证明一个函数的极限不存在，即在某一点上函数无法趋近于一个确定的值。
本文将介绍几种常见的证明极限不存在的方法。
反证法反证法是一种常用的证明方法，用于证明某个命题的否定。
在证明极限不存在时，我们可以假设极限存在，并通过推理得出矛盾的结论，从而得出极限不存在的结论。
步骤：1.假设函数f(x)在点a处存在极限L。
2.利用极限的定义，选择一个足够小的正数ε，使得对于任意的x，只要|x-a|<δ，就有|f(x)-L|<ε。
3.通过推理得出矛盾的结论，例如找到一个特定的x值，使得|f(x)-L|≥ε。
4.得出结论：函数f(x)在点a处的极限不存在。
间隔法间隔法是一种通过构造两个不同的数列来证明极限不存在的方法。
我们可以选择两个不同的数列，使得它们分别趋近于函数极限的两个不同值，从而得出极限不存在的结论。
步骤：1.找到两个不同的数列{xn}和{yn}，使得lim(xn)=a，lim(yn)=b，其中a≠b。
2.利用函数的性质，证明对于任意的ε>0，存在正整数N1和N2，使得当n>N1时，|f(xn)-L1|<ε，当n>N2时，|f(yn)-L2|<ε。
3.选择一个足够小的正数ε，使得ε<|L1-L2|，从而得出矛盾的结论。
4.得出结论：函数f(x)的极限不存在。
Cauchy准则Cauchy准则是一种常用于证明数列极限存在的方法，但也可以用于证明极限不存在。
该准则要求函数在某一点附近的值具有一定的波动性，即存在一对足够接近的点，使得函数在这两个点上的取值差异较大。
步骤：1.假设函数f(x)在点a处存在极限L。
2.利用Cauchy准则，选择一个足够小的正数ε，使得对于任意的x1和x2，只要|x1-a|<δ1，|x2-a|<δ2，就有|f(x1)-f(x2)|<ε。
如何证明极限不存在
如何证明极限不存在如何证明极限不存在反证法若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，使|sin[1/x1(n)]-L|和|sin[1/x2(n)]-L|同时成立。
即|1-L|这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。
所以，使limsin(1/x)=L 成立的实数L不存在。
反证法：一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在假设两数列之和{cn}的极限存在，那么bn=cn-an极限也存在(两个数列和的极限等于两个数列极限的和)矛盾所以原命题成立令y=x, lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y=lim(x趋于0)x^2/(2x)=0令y=x^2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y= lim(x趋于0) x^3-x^2/ x^2 =-1两种情况极限值不同，故原极限不存在2答案：首先需要二项式定理：(a+b)^n=∑ C(i=0 – i=n)n i a^(n-i) * b^i (式一)用数学归纳法证此定理：n=1 (a+b)^1 a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1a+b故此，n=1时，式一成立。
设n1为任一自然数，假设n=n1时，(式一)成立，即：(a+b)^n1=∑ C(i=0 – i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i (式二)则，当n=n1+1时:式二两端同乘(a+b)[(a+b)^n1]*(a+b)=[∑ C(i=0 – i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i]*(a+b) = (a+b)^(n1+1)= ∑ C(i=0 – i=(n1+1))(n1+1) i a^((n1+1)-i) * b^i ( 据乘法分配律)因此二项式定理(即式一成立)下面用二项式定理计算这一极限：(1+1/n)^n (式一)用二项式展开得：(1+1/n)^n =1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2 *1)]*(1/n)^3 + … +[(n(n-1)(n-2) …3)/((n-2)(n-1) …2*1)]*(1/n)^(n-2)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2)/((n-1)(n-2)(n-1) …2*1)]*(1/n)^(n-1)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^n由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与(1/n)的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与(1/n)的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n - +∞,得0。
极限不存在的证明
极限不存在的证明
在微积分中，一个函数的极限在某些情况下可能不存在。
当一个函数的值无限地接近另一个值且趋向于该值时，我们说该函数在该值处具有极限。
然而，有时候我们无法找到函数在某个位置的极限。
下面就讲述一些无法存在极限的情况。
一、无界的函数
如果一个函数的值在某个点附近没有上下限，即值趋于正无穷或负无穷，则该函数在该点不存在极限。
例如，函数$f(x)=x$在$x$趋近于无穷大时，$f(x)$的值也趋近于正无穷大，因此$f(x)$在$x$趋近于无穷大时不存在极限。
二、周期函数
如果一个函数以某一个周期重复变化，则该函数在任意点不存在极限。
一个典型的例子是正弦函数。
正弦函数的图像是以一定的周期重复变化的，因此在任意点都不存在极限。
三、摆动不定的函数
综上所述，当一个函数在某个点的值摆动不定，以某一个周期重复变化，处于无界状态或者不存在左右侧极限时，该函数在该点不存在极限。
这些情况在数学分析和微积分中非常重要，因为它们说明了函数在某些情况下可能不存在极限，需要另外的方法来处理。
补充说明，对于不同的函数，需要观察其具体的性质来确认其是否存在极限。
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第一章 函数与极限
知识点6 证明极限式与证明极限不存在的方法 精选习题 作者：邹群
例6.1(难度系数0.2) 证明： lim
arctan x 0. x
x
解析：利用函数极限的定义进行证明，即设 找X.
arctan x 2 ，只要 x 证明：对于任意的 0 ，因为 ，取 X ，则当 2 2 x x
1 1 1 1 1 1 ak 1 ak 2 (ak ) (ak 1 ) (1 )(ak ak 1 ) 0 ，即 an an 1 . 2 ak 2 ak 1 2 ak ak 1
故数列 an 单调递减.所以由单调有界准则可知， lim an 存在.
但 sin
2 sin 2k 1 ， sin 3 2 2k 2 2k 2
1 ，两个子列的极限值不相等.根据函数极限与子列极限的关系
2 2
3 sin 2k 2
可得 f x sin
2 的极限不存在. x
arctan x arctan x 0. ，即 lim x x x
x X 时，恒有
例6.2(难度系数0.2) 设 xn 1 2 1 2 1 2 ，证明：当 n 时 xn 的极限存在. 2 3 n 解析：此题数列通项的因子个数趋于无限，思路是将无限个因子化为有限个 因子.利用阶乘将数列通项化简，然后再直接求解.
n
令 lim an a ，对方程 an 1 (an
n
1 2
1 1 1 ) 两边取极限得 a (a ) ，解得 a 1 . 2 a an
22 132 1 n 2 1 1 1 1 证明： lim xn lim 1 2 1 2 1 2 lim n n 22 32 n 2 2 3 n n
1 1 1
即当 n 2 时， n 1
n(n 1) 2 2 2 hn ，于是得 hn . .也就是 n n 1 2 n n
4 ,当 n N 时，便有 2
n
故对于任意的 0, 取 N max 2, 所以 lim n n 1.
n
n 1 hn
2 ， n
例6.7(难度系数0.4)
lim an 存在，
n
设 a1 2, an 1 (an
1 2
1 ),(n 1, 2,3,) ，证明: an
并求出其极限 a . 解析：由数学归纳法来证明数列 an 单调和有界，然后由单调有界准则可知 极限必存在.最后通过解方程可求解其极限.此方法在知识点10将有详细介绍， 这里仅举一例. 证明： 首先易见 an 0 且 an 1 (an
2 的极限不存在. x
解析：利用反证法，假设极限存在，通过函数极限与子列极限的关系，找到两个趋
于不同值的子列，再利用极限的唯一性得到矛盾.
证明：不妨设 lim sin
x 0
2 2 的极限存在 ，取两个趋于0的子列 ， x 2k
2 ， k . 2k / 2
lim
n
2 13 1n 12 13 1n 1 2 n!
lim
n 1!n 1! lim n 1 1 2 n n 2n 2 2 n !
所以，当 n 时 xn 的极限存在. 例6.3(难度系数0.4) 证明：当 x 0 时， f x sin
例6.4(难度系数0.4) 证明： lim
x 0
arctan
1 2 arctan x
1 x
1 x
不存在.
解析：由 lim arctan
x 0arctan
x 0
2
，可知需要通过讨论左右极限来证
明.
1 arctan x 2 证明： lim ， lim ，左右极限 2 x 0 1 4 x 0 1 4 2 arctan 2 2 arctan 2 x 2 x 2 arctan 1 x
1
不相等，故 lim
x 0
ex 2e
1 x
不存在.
例6.6(难度系数0.6) 证明 lim n n 1.
n
解析: 利用二项式定理及数列极限的定义来证明，注意定义中 N 的选择要保证不等式 恒成立即可. 证明：令 n n 1 hn ，则
n (1 hn ) n 1 nhn n(n 1) 2 n(n 1) 2 n hn hn 1 hn (n 2) . 2! 2
1 1 5 a1 2 ， a2 (a1 ) ，则 a1 a2 . 2 a1 4
1 2
1 1 ) an 1 .即数列有下界. an an
假设 an an 1 ，下面对n用数学归纳法证明.上面已经证实n=1时成立. 设n=k时结论成立，即 ak ak 1 ，则当n=k+1时：