在原点的极限不存在的证明
关于证明二元函数在某一点极限不存在的一点思考
路径 ，，： 一 。＋ ’，则
：（二：： ：！：鱼
ｉｍ Байду номын сангаас
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．
ｙ—ｍ
詈
即，（ ，ｙ）＝ 沿着这些 路径 的极 限值 与参数 有
关．故 ，，，）＝ 在 （ｏ，ｏ）也是不 存在极 限的．那 么 ，一
限 ｌｉｍ ，ｙ）存在且 也等 于 Ａ．这一 性质 常常 用来证
、
～ ，ｙ
０ Ｏ
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纂一 椴隰 谤侄勃一 考
◎ 吴元 泽 （中 国矿 业 大 学数 学 学 院 ，江 苏 徐 州 ２２１００８）
【摘 要】众所周 知，对于二元 函数 ，Ｙ）来说 ，证明其在 某一 点（ 。，Ｙｏ）不 存在 极 限的方 法是 找到 两条 不 同的趋 于 （ 。，Ｙｏ）的路 径 ，使 得ｆ（ ，Ｙ）在这 两条 路径 上趋 于 不 同的 值．本文利用复合 函数 的观 点并结 合一元 函数 的洛 必达 法 则 ，给 出 一种 发 现 这 些路 径 的 新 思路 ．
的路径 Ｙ＝一 ＋ｇ（ ）是 充分光 滑 的，则分 子、分母 同时求 导 可 得 如 下 极 限 ：
３ ＋３ ＇，
． ‘
若进一步地 ，还 有 （ ）：０，则 ｌｉｍ
同样
州 —
Ｕ
二 Ｚ 十 ｙ
学 学 习 与研 究 ２０１８，３
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是一个关于变量 的罟型极限．对分子、分母再次同时求导
（ ）； ，则上述 极 限存 在且 等于 ．由一元 函数 的洛必
路证 明其在 （Ｏ，０）不存在极 限 ，只不过对该 函数的计算 量偏 大罢 了．事 实上 ，通过观察我们不难 发现当 Ｙ＝ 一 ＋ｇ（ ）且
二元函数极限证明
二元函数极限证明设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。
此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。
我们必须注意有以下几种情形：’(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在(2)两个二次极限存在而不相等(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在2函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0)根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ)又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)|证毕3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。
1，y以y=x^2-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。
2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。
4f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在而当x->0,y->0时由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2所以|f|<=|x|+|y|所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了就我这个我就线了好久了5(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
证明二元函数极限不存在的方法与技巧
219理论研究证明二元函数极限不存在的方法与技巧杨万娟,杨子艳,木绍良（云南大学旅游文化学院 信息学院,云南 丽江 674100）摘 要：本文主要解决在证明二元函数极限不存在的问题时选择特殊路径的方法和技巧。
关键词：二元函数极限；无穷小量；无穷小量的阶；特殊路径DOI:10.16640/ki.37-1222/t.2019.19.1961 二元函数极限概念分析 二元函数的极限存在,是指点沿任意路径无限接近某一点时,函数总是无限接近某一固定的数A 。
此时称A 为二元函数在时的极限,记作。
定理（1）设函数在内有定义,则；（2）设函数在有定义,且,则。
由定理可知,在求二元函数极限时,通过选择特殊的路径可转化为一元函数极限问题,所以,当沿着不同的路径趋于时（即当时,沿着不同的趋近于）函数趋于不同的值,那么就可以断定此函数的极限不存在。
但是找到特殊路径对学生来说不是一件容易的事,因此很有必要探究该问题。
本文对常见的两种类型作了讨论,其思路为：考虑分母中的最高次幂与分子中的最低次幂保持一致,通过化解可知极限是否与有关,若与有关,则可知极限不存在。
2 证明二元函数极限不存在时找特殊路径的方法2.1 类型一：证明(,)(0,0)lim a bm mx y x y x y →±极限不存在时找特殊路径的方法 （1）当且时,令； （2）当时,令。
例1 证明233(,)(0,0)limx y x yx y →−极限不存在。
证明：，故令， 显然,当k 不同时,31k k −便不同,所以极限233(,)(0,0)lim x y x yx y →−不存在。
例2 证明极限(,)(0,0)lim +x y xyx y→不存在。
证明：，故令，， 显然,当k 不同时,1k−便不同,所以极限(,)(0,0)lim +x y xyx y →不存在。
2.2 类型二：证明(,)(0,0)+lima b x y x y x y→±极限不存在时找特殊路径的方法 （1）当时,令； （2）当时,令。
二元函数极限的求法和极限不存在的判断
x→y0
分析：通过观察极限中的二元函数知分子是分母的高阶无穷小，
故极限应为 0。定义证明：坌ε>0，因为
x4+y4 x2+y2
-0
≤
x4 x2+y2
+
y4 x2+y2
姨 ≤x2+y2， 故 要 使
x4+y4 x2+y2
-0
<ε 只 要 取 δ =
ε 4
，则
x4+y4 x2+y2
-0
≤
x4 x2+y2
x2y2ln(x2+y2)
x2y2 x2+y2
x2+y2ln(x2+y2)
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
由于
0≤
x2y2 x2+y2
≤
(x2+y2)2 x2+y2
≤x2+y2→0，令 x2+y2=t 则
x2y2
lim (x2+y2)ln(x2+y2)=lim tlnt=0,故 lim (x2+y2) =e0=1。
科技信息
高校理科研究
二元函数极限的求法和极限不存在的判断
山东政法学院 唐新华
［摘 要］极限方法是研究函数最主要的方法之一，函数极限是高等数学中的重点、难点内容。文章通过具体例子给出了求二元函数 极限的几种方法和二重极限不存在的判断方法。 ［关键词］二元函数 极限 二重极限
引言
二元函数极限定义[1] 设函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某空心邻域有
=e
x→∞
x
知识点6 证明极限式与证明极限不存在的方法
第一章 函数与极限
知识点6 证明极限式与证明极限不存在的方法 精选习题 作者：邹群
例6.1(难度系数0.2) 证明： lim
arctan x 0. x
x
解析：利用函数极限的定义进行证明，即设 找X.
arctan x 2 ，只要 x 证明：对于任意的 0 ，因为 ，取 X ，则当 2 2 x x
1 1 1 1 1 1 ak 1 ak 2 (ak ) (ak 1 ) (1 )(ak ak 1 ) 0 ，即 an an 1 . 2 ak 2 ak 1 2 ak ak 1
故数列 an 单调递减.所以由单调有界准则可知， lim an 存在.
但 sin
2 sin 2k 1 ， sin 3 2 2k 2 2k 2
1 ，两个子列的极限值不相等.根据函数极限与子列极限的关系
2 2
3 sin 2k 2
可得 f x sin
2 的极限不存在. x
arctan x arctan x 0. ，即 lim x x x
x X 时，恒有
例6.2(难度系数0.2) 设 xn 1 2 1 2 1 2 ，证明：当 n 时 xn 的极限存在. 2 3 n 解析：此题数列通项的因子个数趋于无限，思路是将无限个因子化为有限个 因子.利用阶乘将数列通项化简，然后再直接求解.
n
令 lim an a ，对方程 an 1 (an
n
1 2
1 1 1 ) 两边取极限得 a (a ) ，解得 a 1 . 2 a an
22 132 1 n 2 1 1 1 1 证明： lim xn lim 1 2 1 2 1 2 lim n n 22 32 n 2 2 3 n n
极限不存在证法例谈
双侧极限 & 当函数在分点两侧用不同式子定义时 ! 则需计算两个单侧极限 $ 需要提醒注意的是 ! 有时 函数在分点两侧虽 然 用 一 个 式 子 定 义 ! 但极限情 况不同 ! 此时也要从单侧极限入手考虑 $ 例 " 设 -’ ?(: 9 E 6 C ? + !’ ? % #! ? :""""? : #!求 0 , I ?( 7 -’ *? ?1# ’ E 6 C %+ % # ? $ #! , ?
注 " 用极限 定 义 的 否 定 式 去 否 定 某 一 个 常 数是数列的极限时 " 要用逐次缩小不等式的方法 " 关键是找! #7 ’" 用子列的性质 讨论数列的敛散性 " 经常用到子数列 $ 子数列 与原数列的 极 限 具 有 密 切 的 关 系 " 即& 如果数列 ) 有极限’" 则其任何子数列 ) *的极限必存 ? ? ** * F 在" 并且也是 ’’ 与这个结论等 价 的 叙 述 是 ( 如果 7 数列 ) 有某一个子数列 发 散 " 或有某两个收敛 ? **
第9 % 卷第 ; 期 ’ # # ;年9 ’月
高等函授学报 ! 自然科学版 # ! # ? 6 . 3 * / 0 6 @A , B 2 35 6 3 3 2 C 6 * + 2 * E 2F + . E / 8 , 6 * > / 8 . 3 / 0G E , 2 * E 2 C """ """ 4 D
收稿日期 ( ’ # # ;J9 #J9 9 与研究 $
的极限 $ 这也是发散数列的正面叙述 $
* * 例 " 证明数列 ) ! # *发散 $ !9 * <9
证明极限不存在
证明极限不存在证明极限不存在二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1[1]证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..2是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点沿着两条直线 y=2xy=-2x 趋于(0,0)时极限分别为 -3 和 -1/3 不相等极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等所以极限不存在3lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)证明该极限不存在lim(x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)=lim(x^2+3y^2) / (x^2+3y^2) - 8y^2 / (x^2+3y^2)=1-lim8 / [(x/y)^2+3]因为不知道x、y的大校所以lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2) 极限不存在4如图用定义证明极限不存在~谢谢!!反证法若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，使|sin[1/x1(n)]-L|和|sin[1/x2(n)]-L|同时成立。
第二节二元函数的极限
lim
x0 ykx
f (x, y)
lim
x0
x2
kx2 (1 k
2
)
1
k k
2
当 k 不同时, 极限也不同、 因此, f (x, y) 在 (0, 0)
得极限不存在 、
请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0) 得情形、
沿 x 轴, y = 0、 函数极限
lim
x0
f
(x,
二元函数得极限运算举例
例 求 lim( x2 2 y2 3xy).
x0
y1
解 lim( x2 2 y2 3xy) lim( x2 ) lim(2 y2 ) lim(3xy)
x0
x0
x0
x0
y1
y1
y1
y1
lim( x2 ) 2lim( y2 ) 3(lim x)(lim y)
x0
x0
x0 x0
记作 lim f (P) A, 或 P P0
lim f (x, y) A,
x x0 y y0
也可记作 f (P) A (P P0), 或,
f (x, y) A (x x0, y y0 )
注 定义中要求X0就是定义域D得聚点, 这就是
为了保证 P0得任意近傍总有点P使得f (P)存在, 进
都收敛、
上述定理及其推论相当于数列极限得子列定理 与一元函数得海涅归结原则
注意： P P0 是指 P 以任何方式趋于P0 .
一 lim f ( x) A,
元 x x0 0
lim f ( x) A.
中 lim f ( x) A,
x x0
x x0 0
多 元