几个特殊的代数系统 6.1
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几个典型的代数系统
第六章几个典型的代数系统本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．6.1 半群定义 6.1称代数结构<S，*>为半群（semigroups），如果*运算满足结合律．当半群<S，*>含有关于*运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．例6.1 <I+，＋>，<N，·>，<∑*，并置>都是半群，后两个又是独异点．半群及独异点的下列性质是明显的．定理6.1设<S，*>为一半群,那么（1）<S，*>的任一子代数都是半群，称为<S，*>的子半群．（2）若独异点<S,*,e>的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为<S，*, e>的子独异点．证明简单，不赘述．定理6.2设<S，*>,<S’，*’>是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有（1）同态象<h(S)，*’>为一半群．（2）当<S，*>为独异点时，则<h(S)，*’>为一独异点.定理6.3设<S，*>为一半群,那么（1）<S S，○ >为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到S S的半群同态．证（l）是显然的．为证（2）定义函数h:S→S S：对任意a∈Sh（a）= f af a：S→S 定义如下: 对任意x∈S，f a（x）= a*x现证h为一同态．对任何元素a,b∈S．h(a*b)＝f a*b （l1－1）而对任何x∈S，f a*b（x）= a*b*x = f a（f b（x））= f a○f b （x）故f a*b = f a○f b ,由此及式（l1－1）即得h（a*b）= f a*b = f a○f b ＝h（a）○h（b）本定理称半群表示定理。
第6章代数
第六章 代 数 例3 (a) 考虑具有〈N, +, 0〉形式的构成成分和下述公理的代数类。 (1) a+b=b+a (2) (a+b)+c=a+(b+c) (3) a+0=a
那么〈I, ·, 1〉, 〈ρ(S), ∪, 和〈R, min, +∞〉(这里R是
包含+∞的非负实数)等, 都是这一种类的成员。
而每一非0元素 x 的逆元是（k - x） 。
第六章 代 数
(g) 设Nk是前k个自然数的集, 这里k≥2, 定义模k乘法×k如下:
x×ky = z
这里z∈Nk, 且对某一n, xy – z = nk。
即 xy/k = n …… z （余 )
（ --------用于计算）
结论：
① 1是幺元 。
② 有逆元仅当x和k互质。
第六章 代 数
③ （G除去幺元ｂ，剩下a与c ) 经考察发现：
运算表中a所在行与c 所在列的交叉元素，
以及c所在行与a所在列 的交叉元素都是幺元b。
故a与c互 逆 。
*a b c aa a b ba b c cbc c
第六章 代 数
(e) 考虑在函数的合成运算下,集合A上的所有函数的集合F。
那么恒等函数IA 是幺元，每一双射函数有一逆元。 (f) 设 Nk 是前k 个自然数的集合, 这里 k ﹥ 0 ,
在运算表中， x0所在行与列的元素，分别与表头的行与
列的元素一一对应相同 。 结论２： 在运算表中，某元素 y0 ∈ A是运算*的零元
在运算表中， y0所在行与列的元素都是y0
结论３： 运算*满足交换律
运算表中的元素 关于主对角线对称
第一讲代数系统
θl，则称θl为A中关于运算*的左零元。
右零元：如果有一个元素θr∈A,对于任意的元素 x∈A都有x*θr= θr，则称θr为A中关于运算*的右零元。
零元：如果A中的一个元素θ，它既是左零元，又是 右零元，则称θ为A中关于运算*的零元。 θ* x=x*θ=θ
23
6.1代数结构
【例题10】 设“浅”表示不易褪色的浅色衣服，“深”表示易褪 色的深色衣服，集合S={浅，深}，定义S的一个二元 运算“混洗”，记为“ * ”，则*的运算表如下表所示。 求S中关于*运算的幺元和零元。
解答：∪和∩运算是可交换的。 ∀ A,B∈ρ(S),有
A∩(A∪B)=A A∪(A∩B)=A
所以∪和∩满足吸收律。又有
A ∩A=A
A ∪A=A
所以∪和∩满足等幂律。
17
6.1代数结构—代数运算性质
性质六 可约律(消去律)
设*是定义在集合上的一个二元运算，元素a∈A, 如果对于任意x,y ∈A,都有
证明思路：先证el =er=e，再证e的唯一性。
证明：设el 和er分别是A中关于运算*的左幺元和右 幺元，则有
el= el *er= er=e
假设另有幺元e’∈A, 则有e’=e’*e=e,结论得证。
22
6.1代数结构
零元 左零元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，如
果有一个元素θl∈A,对于任意的元素x∈A都有θl*x=
问☆是否是可交换的？
10
6.1代数结构—代数运算性质
性质二 结合律
设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意 x,y,z∈A ，都有
x*(y*z)=(x*y)*z
则称该二元运算是可结合的。
【例题6】
设A是一个非空集合，*是A上的一个二元运算，对于任意 a,b ∈A ,有a*b=b,证明运算*是可结合的。
右零元：如果有一个元素θr∈A,对于任意的元素 x∈A都有x*θr= θr，则称θr为A中关于运算*的右零元。
零元：如果A中的一个元素θ，它既是左零元，又是 右零元，则称θ为A中关于运算*的零元。 θ* x=x*θ=θ
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6.1代数结构
【例题10】 设“浅”表示不易褪色的浅色衣服，“深”表示易褪 色的深色衣服，集合S={浅，深}，定义S的一个二元 运算“混洗”，记为“ * ”，则*的运算表如下表所示。 求S中关于*运算的幺元和零元。
解答：∪和∩运算是可交换的。 ∀ A,B∈ρ(S),有
A∩(A∪B)=A A∪(A∩B)=A
所以∪和∩满足吸收律。又有
A ∩A=A
A ∪A=A
所以∪和∩满足等幂律。
17
6.1代数结构—代数运算性质
性质六 可约律(消去律)
设*是定义在集合上的一个二元运算，元素a∈A, 如果对于任意x,y ∈A,都有
证明思路：先证el =er=e，再证e的唯一性。
证明：设el 和er分别是A中关于运算*的左幺元和右 幺元，则有
el= el *er= er=e
假设另有幺元e’∈A, 则有e’=e’*e=e,结论得证。
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6.1代数结构
零元 左零元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，如
果有一个元素θl∈A,对于任意的元素x∈A都有θl*x=
问☆是否是可交换的？
10
6.1代数结构—代数运算性质
性质二 结合律
设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意 x,y,z∈A ，都有
x*(y*z)=(x*y)*z
则称该二元运算是可结合的。
【例题6】
设A是一个非空集合，*是A上的一个二元运算，对于任意 a,b ∈A ,有a*b=b,证明运算*是可结合的。
第六章 几种典型的代数系统
因为关于二元运算 的幺元是唯一的，所以 我们有时不再列举幺元 e，而简单地说< S, > 是幺半群。因为在幺半群中只有一个二元运 算 ，所以我们把关于 的幺元称为幺半群的 幺元。
➢ < N, + >， < Z, + >， < Q, + >，< R, + > 都 是无限交换幺半群，幺元是 0。< Z+, + > 不 是幺半群。
定理6.1 群中元素 x 的逆元 x1 的逆元是 x， 即 (x1) 1 = x。 证明 因为 xx1= x1x = e，所以 (x1) 1 = x 。 定理6.2 群中的二元运算满足消去律。 证明 群中的每个元素都有逆元。由定理5.4立 即得出结论。
定理6.3 幺元是群中唯一的幂等元。 证明 ee = e，e 是幂等元。设 a 是群中的任意 幂等元，则 aa = ae。因为群中的二元运算满 足消去律，所以 a = e。
定义6.3 若幺半群 < G, , e > 中的每个元素都有 逆元，f 是 G 上的求逆元运算，即 f(x) = x1，则 称代数系统 < G, , f, e > 为群。若群中的二元运 算是可交换的，则称它为交换群，也称为阿贝 尔群。若群中的集合是有限集，则称该群为有 限群，否则称为无限群。若有限群中的集合有 n 个元素，则称该有限群为 n 阶群。一阶群， 即幺元是群中唯一元素的群称为平凡群。
例如， < Z, +, , 0 > 是无限交换群，称其为整 数加法群。
定义实函数集 RR 上的二元运算 + 如下：
对于任意 f, gRR，(f + g)(x) = f(x) + g(x)。
➢ < N, + >， < Z, + >， < Q, + >，< R, + > 都 是无限交换幺半群，幺元是 0。< Z+, + > 不 是幺半群。
定理6.1 群中元素 x 的逆元 x1 的逆元是 x， 即 (x1) 1 = x。 证明 因为 xx1= x1x = e，所以 (x1) 1 = x 。 定理6.2 群中的二元运算满足消去律。 证明 群中的每个元素都有逆元。由定理5.4立 即得出结论。
定理6.3 幺元是群中唯一的幂等元。 证明 ee = e，e 是幂等元。设 a 是群中的任意 幂等元，则 aa = ae。因为群中的二元运算满 足消去律，所以 a = e。
定义6.3 若幺半群 < G, , e > 中的每个元素都有 逆元，f 是 G 上的求逆元运算，即 f(x) = x1，则 称代数系统 < G, , f, e > 为群。若群中的二元运 算是可交换的，则称它为交换群，也称为阿贝 尔群。若群中的集合是有限集，则称该群为有 限群，否则称为无限群。若有限群中的集合有 n 个元素，则称该有限群为 n 阶群。一阶群， 即幺元是群中唯一元素的群称为平凡群。
例如， < Z, +, , 0 > 是无限交换群，称其为整 数加法群。
定义实函数集 RR 上的二元运算 + 如下：
对于任意 f, gRR，(f + g)(x) = f(x) + g(x)。
第6章 几个典型的代数系统
定义6.4 设<G,∘ >是代数系统，∘ 为二元运算。如果 ∘
运算是可结合的，存在幺元 e∈G，并且对 G 中的任
何元素x，都有x1∈G，则称 G 为 群。 实例: (1) <Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是群；<Z+,+>和<N,+>不是 群.
(2) <Mn(R),+>是群，而<Mn(R),· >不是群.
第6章 几个典型的代数系统
6.1 半群与群
6.2 环与域
6.3 格与布尔代数
6.4 题例分析
6.1 半群与群
定义6.1 设 V=<S,∘>是代数系统，∘ 为二元运算，如果 ∘ 运算 是可结合的，则称 V 为半群。 如果半群V=<S,∘>中的二元运算∘是可交换的，则称 V为可交换半群。
定义6.6 设 G 是群，若存在 a∈G 使得 G = { ak | k∈ Z } 则称 G 是循环群，记作G=<a>，称 a 为 G 的生成元。 实例 整数加法群 G = <Z,+> = <1> = <1>
模 6 加法群 G = <Z6,> = <1> = <5>
循环群 G = <a>，根据生成元 a 的阶可以分成
群G 的中心C： 设G 为群, C = { a | a∈G∧x∈G(ax=xa)}，则 C 是 G 的子群，称为 G 的中心. 证: e∈C. C是G的非空子集. 任取 a, b∈C，只需证明 ab1与 G 中所有的元素都可 交换. x∈G，有: (ab1)x = ab1x = ab1(x1)1 = (ax)b1 = (xa)b1 = x(ab1) 由判定定理可知C≤G. 对于阿贝尔群G，G的中心就等于 G. 对某些非交换群 G，它的中心是{ e }.
6_1_运算与代数系统[10页]
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x∗(y ∘ z)=(x ∗ y) ∘ (x ∗ z) (y ∘ z) ∗ x=(y ∗ x) ∘ (z ∗ x) 则称 ∗ 对∘是可分配的，或称∗ 对∘满足分配律（distributive）。
例=> 实数集上的乘法对加法、n阶多项式和矩阵上的乘法对加法都是可分配 的；一个集合的幂集上的∪和∩是互相可分配的。
思考：原则上，可以将一个映射 f：An→B作为n元运算的定义，但总需要考虑 运算结果对A的封闭性，即应有B⊆A，否则没有什么实际意义。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
6.1.1 n元运算
Discrete mathematics
[例6-1] 设A={x|x=2n，nN}，问算数乘法和加法是否为A上的二元运算？ 解： 问题等同于衡量运算是否对A封闭。对A的任意两个元素x=2p 和y=2q，因为
6.1 运算及其性质
6.1.1 n元运算
Discrete mathematics
在一个集合上构造映射之后，可以利用映射得到集合元素的像，从而形成了运 算。
[定义6-1：n元运算] 设A是一个非空集合，一个映射 f：An→A 称为A上的n元代 数运算，简称 n 元运算（n-ary operation）。其中，n ≥ 1为自然数，称为运算的 元、阶或目。
第6章 运算与代数系统
Discrete mathematics
运算是指对集合元素的加工、处理和变换，集合与其上定义的运算构成了各种 代数系统，也称为代数结构，它们是近世代数（也称为抽象代数）研究的中心 内容，在现代数学、计算机科学和编码理论等领域具有很多重要的应用。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
xy = 2p +q
但p=1且q=2时，有 21+22=6A
例=> 实数集上的乘法对加法、n阶多项式和矩阵上的乘法对加法都是可分配 的；一个集合的幂集上的∪和∩是互相可分配的。
思考：原则上，可以将一个映射 f：An→B作为n元运算的定义，但总需要考虑 运算结果对A的封闭性，即应有B⊆A，否则没有什么实际意义。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
6.1.1 n元运算
Discrete mathematics
[例6-1] 设A={x|x=2n，nN}，问算数乘法和加法是否为A上的二元运算？ 解： 问题等同于衡量运算是否对A封闭。对A的任意两个元素x=2p 和y=2q，因为
6.1 运算及其性质
6.1.1 n元运算
Discrete mathematics
在一个集合上构造映射之后，可以利用映射得到集合元素的像，从而形成了运 算。
[定义6-1：n元运算] 设A是一个非空集合，一个映射 f：An→A 称为A上的n元代 数运算，简称 n 元运算（n-ary operation）。其中，n ≥ 1为自然数，称为运算的 元、阶或目。
第6章 运算与代数系统
Discrete mathematics
运算是指对集合元素的加工、处理和变换，集合与其上定义的运算构成了各种 代数系统，也称为代数结构，它们是近世代数（也称为抽象代数）研究的中心 内容，在现代数学、计算机科学和编码理论等领域具有很多重要的应用。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
xy = 2p +q
但p=1且q=2时，有 21+22=6A
离散数学第六章
6.1.6 循环群和置换群
§循环群 在循环群G=<a>中, 生成元a的阶与群G的阶是一样 的. 如果a是有限阶元, |a|＝n, 则称G为n阶循环群. 如 果a是无限阶元, 则称G为无限阶循环群. 例如: <Z,+>是无限阶循环群; <Z6,>是n阶循环群. 注意:(1) 对9 无限阶循环群G=<a>, G的生成元是a和a-1; (2) 对n阶循环群G=<a>=<e,a,…,an-1>,G的生成元是at 当且仅当t与n互素, 如12阶循环群中, 与12互素的数 有1、5、7、11. 那么G的生成元有a1=a、a5、a7、 a11. (3) N阶循环群G=<a>, 对于n的每个正因子d, G恰好有 一个d阶子群H=<an/d>.
6.1.3 子群
例如, 群<Z6,>中由2生成的子群包含2的各次 幂, 20=e=0, 21=2, 22=22=4, 23=222=0, 所 以由2生成的子群：<2>={0,2,4}.
对于Klein四元群G={e,a,b,c}来说, 由它的每个 元素生成的子群是 <e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}
6.1.6 循环群和置换群
§循环群
定义6.7 在群G中, 如果存在aG使得 G={ak|kZ} 则称G为循环群, 记作G=<a>,称a为G的生成元. ☆ 循环群必定是阿贝尔群, 但阿贝尔群不一定 是循环群. 证明: 设<G,*>是一个循环群, 它的生成元是a, 那么,对于任意x,yG, 必有r,sZ, 使得 x=as,y=at, 而且x*y=as*at=as+t=at*as=y*x 由此可见<G,*>是一个阿贝尔群. 例如,<Z,+>是一个循环群, 其生成元是1或-1.
离散数学第六章
第六章几个典型的代数系统6.1 半群与群引言：简略介绍群论产生的背景1. 图形的对称性如正三角形、正方形（一般地正n 边形）、长方形、 等腰三角形、等腰梯形等；三维空间中的正四面体、 正方体、长方体等都各有自己的对称性。
画图解释：2．用根式求解代数方程的根（1）一元二次方程：20x bx c ++=⇒122b x -±=，。
注：①约公元前2000年即出现二次方程求根问题； ②约公元9世纪时，阿拉伯人花拉子米首次得到上述求根公式。
（2）三次及四次方程的求根公式一般三次方程: 320x ax bx c +++=。
先作变换：用3a x -代替x 后可化成 3x mx n +=（不含二次项）， （*）其中 332,3327a ab a m b n c =-=--。
利用恒等式：333()3()u v uv u v u v -+-=-，把它与（*）比较得：33,3,x u v uv m u v n =-=-=。
由后面两个关于33,u v 的方程可得u x u v v ⎫⎪=⎪⇒=-= （即*方程的解） 以上求解三次方程的公式叫做卡丹公式， 出现在公元1545年出版的著作《大书》中。
关于四次方程的求根公式这里从略，可以肯定的是， 四次一般方程也有求根公式，并且也叫卡丹公式。
（3从1545年之后的近300年间，人们都没能找到五次(当然，这并不排除对 某些特殊的五次及五次以上的方程可以求出它们的根）。
直到1830年由法国人Galois （伽珞瓦）解决，证明出：五次及五次以上的一般方程不存在用加、减、乘、除及开方表示的求根公式，所用方法就是现在已广为接受的群的思想。
可是在当时，很多同时代的大数学家都无法理解和接受他的思想方法。
3．群在其它方面的应用：如编码理论、计算机等。
一．群的定义及简单性质1定义：设,G ⋅是一个具有二元运算⋅的代数系统，如果⋅同时满足（1）结合律：即,,a b c G ∀∈，()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅总成立；（2）存在单位元（也称为幺元，记为e ），即 ,;a e e a a a G ⋅=⋅=∀∈（3）中每个元素a 都有逆元（记为1a -）：即存在1a G -∈，使得11a a a a e --⋅=⋅=，则称G 关于运算⋅构成一个群。
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5.群中元素的幂运算
设G是群，a ∈G，则
e, n 0 an an1a, n 1
(a1)n , n 1
18
群的性质
例4 在群<Z,+>与群<Z3， >中，分别计算3-5与2-3.
解：在群<Z,+>中， 3-5=(3-1)5=(-3)5= -15 在群<Z3， >中， 2-3=(2-1)3=13=0
0
Φ
x1
0, n
x,
x0 x0
x
群
例1 几个典型的群（续）： Klein 四元群：
◦ eabc
e eabc a aecb b bcea c cbae
特征：
1. 满足交换律 2. 每个元素都是自己的逆元 3. a, b, c中任何两个元素运算结
果都等于剩下的第三个元素
群
例2 设S=R-{-1}，S上定义运算*： a*b=a+b+ab，试证明<S，*>是群。
代 数
系
商代数
等价关系
统
群
群的基本概念及性质
子群 特殊群
群
定义 群:
设<G, ◦ >是个代数系统，如果◦满足
(1)可结合 (2)有幺元 (3)每个元素可逆且逆元仍在G中 则称<G,◦>是一个群，简称G为群。
群
例1 几个典型的群：
<Z,+>
幺元e
0
x-1
-x
<Zn, n> <P(S), >
群的性质
6.群中元素的阶 定义 元素的阶：
设<G,◦>是群，a∈G， 使ak=e的最小正整数k称为a的阶，记作|a| 。 如果这样的k不存在，则称a的阶是无限的。 注: (1) |a| = |a-1|
(2) |e| = 1
20
群的性质
例6 设群〈Z6，6〉,其中Z6={0,1,2,3,4,5}, 6是模6 加法,试求出群〈Z6，6〉中每一元素的阶。
<e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}.
典型子群
例9 群的中心 设G为群,令C={a| a∈G∧x∈G(ax=xa)}，则C是G的子
群，称为G的中心.
证明 e∈C. C是G的非空子集. 任取a,b∈C，只需证明ab1 与G中所有的元素都可交换. x∈G，有
1 2 3 1 1 2 3
1 2 3
2
2
3
1
3
1 3
2 1
3 2
4
1 1
2 3
3 2
5
1 3
2 2
3 1
6
1 2
2 1
3 3
43
置换群
例14设σ＝
12
2 1
3 3
4 4
，
40
置换群
几个概念： n元对称群<Sn, ◦>的子群称为n元置换群。 n元对称群<Sn, ◦ >, 其中Sn为n元置换的集合， “◦”为n元置换的复合运算。 n元置换——集合S上的双射函数，S={1,2,...,n}。 n元置换的复合运算——函数的复合运算。
41
置换群
定义 n元置换：有限集合S上的双射函数:SS称为S上的n 元置换，其中S={1, 2, 3, ... , n}。
(ab1)x = ab1x = ab1(x1)1 = a(x1b)1 = a(bx1)1 = a(xb1) = (ax1)b1 = (xa)b1 = x(ab1) 由判定定理二可知C≤G.
28
群
群的基本概念及性质 子群
特殊群——循环群 置换群
29
循环群
定义 循环群： 如果群G可以由一个元素a生成，即 G=<a>={ak|kZ}, 则称G为由a生成的一个循环群，并称a为G的一个生成 元，记为G=<a>。
例7 生成子群 设G为群，a∈G，令H={ak| k∈Z}，则H是G的子群
，称为由 a 生成的子群，记作<a>. 证明 (1)由a∈H知H≠. (2)任取am,al∈H，则
am(al)1 = amal = aml∈H 根据判定定理可知H≤G.
26
典型子群
例8 生成子群举例：
<Z,+>：<2>={2k | k∈Z}=2Z <Z6, >：<2>={0,2,4} Klein四元群 G = {e,a,b,c}的所有生成子群是：
记法：
1 (1)
2 ...
(2) ...
n
(n)
记Sn：S上所有n元置换的集合。且在Sn上可以定义置换的 复合运算“◦ ”，称作置换的“乘法”。
Байду номын сангаас
42
置换群
例13 集合S={1,2,3}上共有6个不同的置换， 它们的集合记 为S3 = {σ1，σ2，σ3，σ4，σ5，σ6}。
可以证明，若G=<a>，则G=<a-1>，即a与a-1 都是G的生 成元。
30
循环群
例10 循环群举例: （1）无限阶循环群：<Z，+> , Z=<1>=<-1> （2）n阶循环群：<Zn, n >, Zn=<1>=<n-1>
31
循环群
定理 设循环群G=<a>，则 |a| = |G|，即循环群的阶与生 成元的阶是相同的。 当|G|=∞时，G=<a>={…, a-2,a-1,e, a1,a2,…} 当|G|=n时， G=<a>={a0,a1,a2,…,an-1}
a1 a2
b1
b2
an -1 =
bn
b1 b2
a1
a2
45
bn 。
an
置换群
定义 n元置换的全体构成的集合Sn对置换的乘法构成一 个群，称为n 元对称群。 定义 n元对称群的任何子群都称为S上的n元置换群。
37
循环群
例11 求<Z，+>与<Z8 , 8>的生成元与循环子群(续)。 (2)<Z8 , 8> 循环子群：8的所有正因子有1，2，4，8，故Z8的所有 循环子群为 <18/1>=<0>={0}
<18/2>=<14>=<4>={0,4} <18/4>=<12>=<2>={0,2,4,6} <18/8>=<1>=Z8
a
1
*a
0
即
a a 1 aa 1 0
a
1
a
a 1a
0
得a-1 =(-a)/(1+a) ∈S。 综上知<S，*>是群。
群的性质
群的性质包括： 1)消去律 2)群方程的可解性（重点） 3)群中无零元 4)有限群运算表的特性 5) 群中元素的幂运算（重点） 6) 元素的阶
32
循环群
关于循环群的两个问题： (1)如何求取循环群的所有生成元？ (2)如何求取循环群的所有(循环)子群？
33
循环群
定理 设G=<a>， (1)若|G|= ∞，则G的生成元只有a与a-1。 (2)若|G|=n，则G的生成元是ak，其中k是与n互素的正整 数。
34
循环群
定理 设G=<a>, (1)若|G|= ∞ ，则G的循环子群有无限个，即为
16
群的性质
练习 设群<Z8， 8 >， 8是模8加法，在群中解下列方 程： (1)x 8 6 =5; (2)2 8 y = 3.
解：(1)x=5 8 6-1=5 8 2=7 (2)y=2-1 8 3=6 8 3=1
17
群的性质
3. 群中无零元。
4. 有限群的运算表的特征。
<G,◦>是个有限群，则G中每个元素在◦运算表中的每一 行(列)必出现且仅出现一次。
离散数学
Discrete Mathematics
主讲：陈哲云 青岛理工大学计算机工程学院
2013.09
1
第6章 几个典型的代数系统
代数系统
半群与群 环与域 格与布尔代数
分类
代数系统 成分：集合+运算 的构成 公理：运算性质
代数系统 间的关系
映射 代数系统的 同构与同态
子集 子代数 新
生成
的
笛卡儿积 积代数
τ＝
13
2 4
3 1
4 2
，
则σ◦τ=
13？24
3 2
4 1
,
τ◦σ=
1？2
4
3
3 1
4 2
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置换群
置换的乘法有下述一些性质： (1)满足结合律 (στ)ρ=σ(τρ), σ,τ,ρSn。 （2）n元恒等置换Is是Sn中的单位元
即： Is τ=τ Is ，τSn。 （3）每个n元置换在Sn 中都有逆元
解： 在群〈Zn，n〉中，x Zn,
1, x 0
|
x
|
[n, x] x
,
x
0