第6章 几个典型的代数系统 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]

第三部分：代数结构（授课教师：向胜军）
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定理4：
使用这个定理可以通过 运算表很快地判断出哪 些代数系统G=<S, ◦>不 是群。
设G为有限群，则G的运算表中的每一行 （每一列）都是G中元素的一个置换，且不
同的行（或列）的置换都不相同。
这就是说，在G的运算表的每一行里。G
的每个元素都出现且仅出现一次，行不同，
任意元素x都有x-1G，则称G为群。
如， (1) <Z, +>, <Q, +>, <R, +>都是群，而 <Z+, +>, <N, +> 不是群，因为<Z+, +>中的元素都没有逆元，而在 <N, +>中只有0有逆元0。 (2) <Mn(R), · >不是群，因为不是所有的实矩阵都有逆 矩阵。
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如， (1) <Z, +>, <Q, +>, <R, +>都是阿贝尔群， Klein四元群也是阿贝尔群。 (2) <Z, +>, <R, +>都是无限群， <Zn, >是有
限群，其阶是n，Klein四元群也是有限群，
其阶是4。
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第三部分：代数结构（授课教师：向胜军）
元素的排列顺序也不同。
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DEFINITION 4.
设群<G, *>，H是G的非空子集。如果H关于 G中的运算*构成群，则称H为G的子群，记 作H≤G。 如，在群<Z, +>中，取 2Z={2z|zZ}， 则2Z关于加法运算构成<Z, +>的子群。 同样，{0}也是<Z, +>的子群。
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DEFINITION 2.
设V1=<S1, ◦>, V2=<S2, *>为半群，: S1→S2， 且x, yS1，有： (x ◦ y)= (x) * (y)， 则称为半群V1到V2的同态。 设V1=<S1, ◦, e1>, V2=<S2, *, e2>为独异点， : S1→S2，且x, yS1，有： (x ◦ y)= (x) * (y)， (e1)= e2， 则称为独异点V1到V2的同态。
0 1 1 0
0 , 0
1 而 0
不是独异点V2的幺元，
∴ 不是独异点V2的自同态。
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DEFINITION 3.
设<G, ◦>是代数系统，◦为二元运算。如果◦
是可结合的，存在幺元eG，并且对G中的
0 ， 0 0 ， 0
∴<T,
1 · 0 ,
V2=<S,
0 >也构成一个独异点，但它不是 0 · 1 0 >的子独异点。 , 0 1
∵V2中的幺元
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1 0
0 T。 1
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⊕ Ø {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3} Ø {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3} Ø {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3} {1} Ø {1,2} {1,3} {2} {3} {1,2,3} {2,3} {2} {1,2} Ø {2,3} {1} {1,2,3} {3} {1,3} {3} {1,3} {2,3} Ø {1,2,3} {1} {2} {1,2} {1,2} {2} {1} {1,2,3} Ø {2,3} {1,3} {3} {1,3} {3} {1,2,3} {1} {2,3} Ø {1,2} {2} {2,3}{1,2,3}{3} {2} {1,3} {1,2} Ø {1} {1,2,3}{2,3}{1,3}{1,2} {3} {2} {1} Ø
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称这个子群是 由元素x生成的 子群，记作<x>。
EXAMPLE 3
群<Z6, >（其中表示模6加法）中由2生成的 子群包含2的各次幂， 21=2，22=22=4，23=222=0… ∴ <2>={0, 2, 4}。 同理有：<0>={0}，<1>=<5>={0, 1, 2, 3, 4, 5}， <3>={0, 3}， <4>=<2>={0, 2, 4}。
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定理2：
设G为群，对a, bG，方程ax=b和
ya=b在G中有解，且有唯一解。 易证方程ax=b的唯一解是x=a-1b，而 方程ya=b的唯一解是y=ba-1。
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如，S={1, 2, 3}，在群<P(S), >中有方程 {1, 2} x={1, 3}， 由定理2有 a b x=a-1b={1,2}-1 {1,3}={1,2} {1,3}={2,3}。 即为原方程的解。
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又如，设G为群，令C是与G中所有的元素都可 交换的元素构成的集合，即 则C是G的子群。
称C为群G的中 心
C={a | aG∧xG(ax=xa)}，
∵ a, bC，要证明ab-1C，只要证明ab-1与G
中所有的元素都可交换就行了。 xG，有： (ab-1)x =ab-1x =ab-1((x-1)-1)=a(x-1b)-1=a(bx-1)-1 =a(xb-1)=(ax)b-1=(xa)b-1 =x(ab-1) 。 ∴ C是G的子群。
a 1a 2 0 0 d2 a1 0 0 0
0 a2 d1 0
∴ 是半群V1的自同态，但不是满自同态，
且同态象为 (S) a 0 a R 。 0 0
· 为矩阵乘法。令：
a T 0 0 a R， 0
则TS，且T对矩阵乘法· 是封闭的。 ∴ <T, · >是V1=<S, · >的子半群。
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在<T, · >中存在自己的幺元
异点。
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(1) <Z+, +>, <N, +>, <Z, +>, <Q, +>, <R, +>都是可 交换半群。 (2) <Mn(R), · >不是可交换半群，因为矩阵乘法不 适合交换律。 (1)中除了<Z+, +>外都是独异点，其中普通加法 的幺元是0。 (2) <Mn(R), · >是独异点，矩阵乘法的幺元是n阶 单位矩阵E。 <Z+, +>, <N, +>都是<Z, +>的子半群，且 <N, +>也是<Z, +>的子独异点，但<Z+, +>不是<Z, +> 的子独异点，因为幺元0Z，但0Z+。
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定理5：
子群判定定理
设G为群，H是G的非空子集，如果对x, yH，
都有xy-1H，则H是G的子群。 如，对xG，G为群，令 H={xk | kZ}， 即x的所有次幂的集合。则H是G的子群。 ∵xm, xlH，有：xm(xl)-1=xmx-l=xm-lH。
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一些特殊的群： 交换群：群G中的二元运算可交换。也叫
阿贝尔(Abel)群。 无限群：群G中有无限多个元素。 有限群：群G中有有限个元素。有限群G
中的元素个数叫做G的阶，记作|G|。
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EXAMPLE 2
设G={a, b, c, e}，· 为G上的二元运算，由下表给出，
不难证明G是一个群。 该运算的特点： · e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e
e为G中的幺元；· 是可交换的；
G中的任何元素的逆元就是它
自己；在a, b, c三个元素中， 任何两个元素运算的结果都 等于另一个元素。称这个群 为Klein四元群。
第六章 几个典型的代数系统
§1 半群与群 §2 环与域 §3 格与布尔代数
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§1 半群与群
DEFINITION 1.
设V=<S, ◦>是代数系统，◦为二元运 算，如果◦是可结合的，则称V为半群。