离散数学 几个典型的代数系统-1(群)
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离散数学第六章资料
如例2中的 Z, ，Q, ，R, ， P(A), ，
Zn, 都是阿贝尔群。
例3、Klein四元群。
G e, a,b,c，运算o由下表给出：
3、群的阶。 群 有 无限 限群 群
有限群 G 的阶， 记 G 。 例如： Zn, 的阶为 n ，
Klein 四元群的阶为4。
4、群中元素的幂 xn 。 对于群 G ，定义：xn (x1)n 则可以把独异点中的关于 xn 的定义扩充为： x0 e xn1 xn ox ( n 为非负整数) xn (x1)n ( n 为正整数) 有关幂的两个公式：xm oxn xmn
(xm )n xmn (m, n Z )
5、群中元素 x 的阶 (或周期)。
群 G中元素 x 的阶x
的阶
有限，记 x k 无限(不存在以上的k
)
例如：Klein 四元群中，
a,b, c的阶都是2，记 a b c 2。
e 的阶为1，记 e 1 。
例如： Z , ， N, 都是 Z, 的子半群，
且 N, 是 Z, 的子独异点。
二、群。 1、定义。
代数系统 G,o 满足：
①结合律， ②有幺元， ③任意元有逆元，
则称 G,o 为群。
例2、(1) Z, ，Q, ， R, 都是群， 因任意元素 x 的逆元(x)存在， 而 Z , ，N, 不是群， Z , 没有幺元，
第六章 几个典型的代数系统 第一节 半群与群
内容：半群，群，子群。 重点：1、半群，可交换半群，独异点的定义，
2、群，交换群 (阿贝尔群)的定义及性质， 3、群的阶的定义， 4、循环群，生成元的定义及例子， 5、子群的定义及判定。
一、半群。
1、定义：满足结合律的代数系统 S,o 称为半群。 例1、(1) Z , ，N, ，Z, ，Q, ，
《离散数学》第五章
⊕4b）⊕4c=
a
c)， 满足结合律。 ⊕4(b ⊕4c)，即⊕4满足结合律。
0是单位元，0的逆元是 ，1和3互为逆元，2的逆 是单位元， 的逆元是 的逆元是0， 和 互为逆元 互为逆元， 的逆 是单位元 元是2。 是一个群。 元是 。 <Z4； 4>是一个群。 ⊕ 是一个群
14
定义5-8:如果群 如果群<G; * >的运算 是可交换的，则称该群为 的运算*是可交换的 定义 的运算 是可交换的，
5
三、 子半群和子独异点
定义5-5 定义
<S； >的子代数，则称<T； >是<S； >的子半群。 ； 的子代数，则称 ； 是 ； 的子半群。 的子代数 的子半群
∗
设<S； >是一个半群 ，若 <T； ； 是一个半群 ； ∗
∗
例6
= {2n | n ∈ N} N3 = {3n | n ∈ N}, N4 = {4n | n ∈ N}, L
交换群或阿贝尔群。 交换群或阿贝尔群。
15
二、循环群
1．群中元素的幂 对于任意a∈ ， 对于任意 ∈G， a0=e,
anƮ=e, ( a−1)n+1 = (a−1)n ∗ a−1 (n=0,1,2,…) （*） ） 引进记号 a−n = (a−1)n = a−1 ∗ a−1 ∗ ⋅ ⋅ ⋅ ∗ a−1 ( n个a-1 ) 个 因此（ 因此（ ）式可表示为 (a −1 )0 = e, a−n−1 = a−n * a−1 对于任意整数
1
5.1 半群和独异点 一、半群 半群 定义5-1 定义
二元运算， 二元运算，如果 是半群。 是半群。∗ > < s; 是一个非空集合， 设S是一个非空集合， 是S上的一个 是一个非空集合 上的一个 是可 结 合 的 , 则 称 代 数 系 统
《离散数学》几个典型的代数系统-1(群)
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第六章 几个典型的代 数系统
6.1 半群与群
6.1
半 群 与 群 半群与独异点 - 半群定义与性质 - 交换半群与独异点 - 半群与独异点的子代数和积代数 - 半群与独异点的同态 群 - 群的定义与性质 - 子群与群的直积 - 循环群 - 置换群
7
半群与独异点的子代数
6.1
半 群 与 群 定义 半群的子代数称为子半群，独异点的子代数称 为子独异点。 判断方法： 设 V=<S,>为半群， T 是 S 的非空子集， T是V的子半群当且仅当T对o运算封闭. 设V=<S, , e>为独异点，T是V的子独异点当且仅当T 对o运算封闭，且eT 实例： <Z+,+>, <N,+>是<Z,+>的子半群，<N,+>是<Z,+> 的子独异点， <Z+,+>不是<Z,+>的子独异点.
实例 nZ（n是自然数）是整数加群 <Z,+> 的子 群. 当 n≠1 时, nZ 是 Z 的真子群. 对任何群 G 都存在子群. G 和 {e} 都是 G 的 子群，称为 G 的平凡子群.
22
子群判定定理
6.1
半 群 与 群
判定定理 设 G 为群，H 是 G 的非空子集. H 是 G 的子群 当且仅当 x, y∈H 有 xy1∈H. 证明 H 为 G 的子群的步骤： 通过给出 H 中的元素说明 H 是 G 的非空子集 任取 x, y属于 H，证明 xy-1属于H
第六章 几个典型的代 数系统
6.1 半群与群
6.1
半 群 与 群 半群与独异点 - 半群定义与性质 - 交换半群与独异点 - 半群与独异点的子代数和积代数 - 半群与独异点的同态 群 - 群的定义与性质 - 子群与群的直积 - 循环群 - 置换群
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半群与独异点的子代数
6.1
半 群 与 群 定义 半群的子代数称为子半群，独异点的子代数称 为子独异点。 判断方法： 设 V=<S,>为半群， T 是 S 的非空子集， T是V的子半群当且仅当T对o运算封闭. 设V=<S, , e>为独异点，T是V的子独异点当且仅当T 对o运算封闭，且eT 实例： <Z+,+>, <N,+>是<Z,+>的子半群，<N,+>是<Z,+> 的子独异点， <Z+,+>不是<Z,+>的子独异点.
实例 nZ（n是自然数）是整数加群 <Z,+> 的子 群. 当 n≠1 时, nZ 是 Z 的真子群. 对任何群 G 都存在子群. G 和 {e} 都是 G 的 子群，称为 G 的平凡子群.
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子群判定定理
6.1
半 群 与 群
判定定理 设 G 为群，H 是 G 的非空子集. H 是 G 的子群 当且仅当 x, y∈H 有 xy1∈H. 证明 H 为 G 的子群的步骤： 通过给出 H 中的元素说明 H 是 G 的非空子集 任取 x, y属于 H，证明 xy-1属于H
离散数学及其应用课件：典型代数系统简介
典型代数系统简介
9.3.2 布尔代数的概念与性质 定义9.20 如果一个格是有补分配格,则称它为布尔格或
布尔代数。布尔代数通常记为<B,∨,∧,',0,1>,其中“¢”为求 补运算。
典型代数系统简介
典型代数系统简介
定义9.21 设<B,*,·>是一个格代数系统,*和·是B 上的两 个二元运算,如果*和·满足交换律、分配律、同一律和互补 律,则称<B,*,·>为布尔代数。
(2)若 H 是G 的子群,且 H ⊂G,则称 H 是G 的真子群,记作
H <G。 定理9.6 假设G 为群,H 是G 的非空子集,则 H 是G 的子
群当且仅当下面的条件成立:
(1)∀a,b∈H 必有ab∈H; (2)∀a∈H 有a-1∈H。 证明 必要性是显然的。为证明充分性,只需证明e∈H。 因为 H 非空,必存在a∈H。由条件(2)知a-1∈H,再根据条件(1)
典型代数系统简介
典型代数系统简介
定义9.10 令<R,+,·>是环,若环中乘法·适合交换律,则称R 是交换环。若环中乘法·存在单位元,则称R 是含幺环。 注意
(1)在环中通常省略乘法运算·; (2)为了区别含幺环中加法幺元和乘法幺元,通常把加法 幺元记作0,乘法幺元记作1。可以证明加法幺元0恰好是乘法 的零元。 (3)环中关于加法的逆元称为负元,记为-x;关于乘法的逆 元称为逆元,记为x-1。
有aa-1∈H,即e∈H。
典型代数系统简介
定理9.7 假设G 为群,H 是G 的非空子集,H 是G 的子群当
且仅当∀a,b∈H 有ab-1∈H。
证明 根据定理9.6必要性显然可得出,这里只证充分性。
因为 H 非空,必存在a∈H。根据已知条件得aa-1∈H,即e∈H。 任取a∈H,由e,a∈HH得ea-1∈H,即a-1∈H。任取a,b∈H,知b1∈H .再利用给定条件得a (b-1)-1∈,即ab∈H。
《离散数学》课件第6章 (2)
〈SS, , 〈Σ*, τ〉不是可交换半群。
定义 6.1.3 含有关于*运算的幺元的半群〈S， *〉， 称
它为独异点(monoid)， 或含幺半群， 常记为〈S, *, e〉(e是
幺元)。
第六章 几个典型的代数系统
【例6.1.4】
〈Z, +〉是独异点， 幺元是0， 〈Z, +, 0〉;
〈Z, ×〉是独异点， 幺元是1， 〈Z, ×, 1〉；
(4) A≠ , 〈P(A), ∩〉是半群， 幺元为A， 非空集合无逆
元， 所以不是群。
(5) A≠ , 〈P(A), 是S， 所以是群。
S∈P(A), S的逆元
(6) 〈Q+, ·〉(正有理数与数乘)为一群， 1为其幺元。 〈Q, ·〉不是群， 因为数0无逆元。
因为零元无逆元， 所以含有零元的代数系统就不会是群。
逻辑关系见图6.1.1。
第六章 几个典型的代数系统
图6.1.1
第六章 几个典型的代数系统
定义 6.1.1 设〈S， *〉是代数系统， *是二元运算， 如果*运算满足结合律， 则称它为半群(semigroups)。
换言之， x, y, z∈S, 若*是S上的封闭运算且满足 (x*y)*z=x*(y*z)， 则〈S， *〉是半群。
设半群〈S, *〉中元素a(简记为a∈S)的n次幂记为an， 递 归定义如下：
a1=a an+1=an*a1 n∈Z+ 即半群中的元素有时可用某些元素的幂表示出来。
因为半群满足结合律， 所以可用数学归纳法证明
am*an=am+n， (am)n=amn。
第六章 几个典型的代数系统
普通乘法的幂、 关系的幂、 矩阵乘法的幂等具体的代 数系统都满足这个幂运算规则。
离散数学第六章
6.1.6 循环群和置换群
§循环群 在循环群G=<a>中, 生成元a的阶与群G的阶是一样 的. 如果a是有限阶元, |a|＝n, 则称G为n阶循环群. 如 果a是无限阶元, 则称G为无限阶循环群. 例如: <Z,+>是无限阶循环群; <Z6,>是n阶循环群. 注意:(1) 对9 无限阶循环群G=<a>, G的生成元是a和a-1; (2) 对n阶循环群G=<a>=<e,a,…,an-1>,G的生成元是at 当且仅当t与n互素, 如12阶循环群中, 与12互素的数 有1、5、7、11. 那么G的生成元有a1=a、a5、a7、 a11. (3) N阶循环群G=<a>, 对于n的每个正因子d, G恰好有 一个d阶子群H=<an/d>.
6.1.3 子群
例如, 群<Z6,>中由2生成的子群包含2的各次 幂, 20=e=0, 21=2, 22=22=4, 23=222=0, 所 以由2生成的子群：<2>={0,2,4}.
对于Klein四元群G={e,a,b,c}来说, 由它的每个 元素生成的子群是 <e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}
6.1.6 循环群和置换群
§循环群
定义6.7 在群G中, 如果存在aG使得 G={ak|kZ} 则称G为循环群, 记作G=<a>,称a为G的生成元. ☆ 循环群必定是阿贝尔群, 但阿贝尔群不一定 是循环群. 证明: 设<G,*>是一个循环群, 它的生成元是a, 那么,对于任意x,yG, 必有r,sZ, 使得 x=as,y=at, 而且x*y=as*at=as+t=at*as=y*x 由此可见<G,*>是一个阿贝尔群. 例如,<Z,+>是一个循环群, 其生成元是1或-1.
离散数学第六章
第六章几个典型的代数系统6.1 半群与群引言：简略介绍群论产生的背景1. 图形的对称性如正三角形、正方形（一般地正n 边形）、长方形、 等腰三角形、等腰梯形等；三维空间中的正四面体、 正方体、长方体等都各有自己的对称性。
画图解释：2．用根式求解代数方程的根（1）一元二次方程：20x bx c ++=⇒122b x -±=，。
注：①约公元前2000年即出现二次方程求根问题； ②约公元9世纪时，阿拉伯人花拉子米首次得到上述求根公式。
（2）三次及四次方程的求根公式一般三次方程: 320x ax bx c +++=。
先作变换：用3a x -代替x 后可化成 3x mx n +=（不含二次项）， （*）其中 332,3327a ab a m b n c =-=--。
利用恒等式：333()3()u v uv u v u v -+-=-，把它与（*）比较得：33,3,x u v uv m u v n =-=-=。
由后面两个关于33,u v 的方程可得u x u v v ⎫⎪=⎪⇒=-= （即*方程的解） 以上求解三次方程的公式叫做卡丹公式， 出现在公元1545年出版的著作《大书》中。
关于四次方程的求根公式这里从略，可以肯定的是， 四次一般方程也有求根公式，并且也叫卡丹公式。
（3从1545年之后的近300年间，人们都没能找到五次(当然，这并不排除对 某些特殊的五次及五次以上的方程可以求出它们的根）。
直到1830年由法国人Galois （伽珞瓦）解决，证明出：五次及五次以上的一般方程不存在用加、减、乘、除及开方表示的求根公式，所用方法就是现在已广为接受的群的思想。
可是在当时，很多同时代的大数学家都无法理解和接受他的思想方法。
3．群在其它方面的应用：如编码理论、计算机等。
一．群的定义及简单性质1定义：设,G ⋅是一个具有二元运算⋅的代数系统，如果⋅同时满足（1）结合律：即,,a b c G ∀∈，()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅总成立；（2）存在单位元（也称为幺元，记为e ），即 ,;a e e a a a G ⋅=⋅=∀∈（3）中每个元素a 都有逆元（记为1a -）：即存在1a G -∈，使得11a a a a e --⋅=⋅=，则称G 关于运算⋅构成一个群。
几个典型的代数系统
本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．半群定义称代数结构<S，>为半群（semigroups），如果运算满足结合律．当半群<S，>含有关于运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．例 <I+，＋>，<N，·>，< ，并置>都是半群，后两个又是独异点．半群及独异点的下列性质是明显的．定理设<S，>为一半群,那么（1）<S，>的任一子代数都是半群，称为<S，>的子半群．（2）若独异点<S,,e>的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为<S， , e>的子独异点．证明简单，不赘述．定理设<S，>,<S’，’>是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有（1）同态象<h(S)，’>为一半群．（2）当<S，>为独异点时，则<h(S)，’>为一独异点.定理设<S，>为一半群,那么（1）<S S，○ >为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到S S的半群同态．证（l）是显然的．为证（2）定义函数h:S→S S：对任意a Sh（a）= f af a：S→S 定义如下: 对任意x S，f a（x）= a x现证h为一同态．对任何元素a,b S．h(a b)＝f a b （l1－1）而对任何x S，f a b（x）= a b x = f a（f b（x））= f a○f b （x）故f a b = f a○f b ,由此及式（l1－1）即得h（a b）= f a b = f a○f b ＝h（a）○ h（b）本定理称半群表示定理。
它表明，任一半群都可以表示为（同态于）一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群。
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独异点 V 记作 V = <S, , e>
4
独异点的幂
6.1 独异点的幂运算定义
半
x0 = e
群
xn+1 = xn x,
与
群
幂运算规则
n∈N
xn xm = xn+m (xn)m= xnm
m, n∈N
5
交换半群和独异点的实例
6.1
例1 （1）<N,+,0>,<Z,+,0>,<Q,+,0>,<R,+,0>都是交 换半群，也是独异点，+ 是普通加法.
半 群
（2）设 n 是大于 1 的正整数，<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是 独异点，其中+和 ·分别表示矩阵加法和矩阵乘法. 加
与 群
法构成交换半群，乘法不是交换半群. （3）<P(B),,>为交换半群和独异点，其中为集合的对
称差运算.
（4）<Zn, ,0>为交换半群与独异点，其中 Zn = {0, 1, …, n1}， 为模 n 加法.
(4) <Zn,>是群. Zn={ 0,1, …, n1}，为模 n 加.
11
Klein四元群
设G = { e, a, b, c }，G上的运算由下表给出，
6.1 称为 Klein四元群
半 群 与 群
e a b c 运算表特征： • e为G中的幺元
e e a b c • 对称性---运算可交换
若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交 换群 或 阿贝尔(Abel)群.
与
a 0
群
S
0
d
|
a,
d
R
令同态：,不S是S独,异 点a0
0
d
V2
的自 a0同00态,，因是为半它群没V有1 的将自V2
的单位元映到 V2 的单位元.
10
群的定义与实例
定义 设<G, >是代数系统，为二元运算. 如果
n∈Z+
与
群
幂运算规则：
xn xm = xn+m
(xn)m= xnm
m, n∈Z+
证明方法：数学归纳法
3
特殊的半群
6.1 定义 设V = <S, >是半群
半
(1) 若 运算是可交换的，则称V 为交换半群 .
群
(2) 若 e∈S 是关于 运算的幺元，则称 V 是含幺半群
与 群
，也叫做 独异点.
6.1 运算是可结合的，存在幺元 e∈G，并且对 G 中
半 的任何元素 x 都有 x1∈G，则称 G 为 群.
;>,<Q,+>,<R,+>是群；<Z+,+>,<N,+>不是群.
(2) <Mn(R),+>是群，而<Mn(R),·>不是群. (3) <P(B),>是群，为对称差运算.
6.1 半群与群
6.1
半群与独异点 - 半群定义与性质
半
- 交换半群与独异点
群 与
- 半群与独异点的子代数和积代数
群
- 半群与独异点的同态
群
- 群的定义与性质
- 子群与群的直积
- 循环群
- 置换群
1
半群的定义与实例
定义 设 V=<S, o> 是代数系统，o为二元运算，如果 运
6.1
算是可结合的，则称 V 为半群.
群 与
<a,b>·<c,d> = < ac, b∗d >
群
称 <S,·>为 V1 和 V2 的 积半群（直积），记作
V1×V2.
若 V1 = <S1,, e1> 和 V2 = <S2,∗, e2> 是独
异点，则 V1×V2 = <S1×S2, ·,<e1,e2>> 也是独异
点, 称为独异点的 积独异点 (直积).
8
半群和独异点的同态
6.1 定义 (1) 设V1= <S1, >，V2= <S2,∗>是半群，：
半 S1→S2. 若对任意的 x, y∈S1有
群
(xy) = (x) ∗ (y)
与
群 则称 为半群 V1 到 V2 的同态映射，简称 同态.
(2) 设V1 = <S1, ,e1>，V2 = <S2,∗,e2> 是独异点，
半 群
实例 （1）<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，+ 是普通加法.
与 （2）设 n 是大于1的正整数，<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是
群
半群，其中+和 ·分别表示矩阵加法和矩阵乘法.
（3）<P(B),>为半群，其中为集合的对称差运算.
（4）<Zn, >为半群，其中 Zn={0,1, …, n1}，为模 n 加 法.
a a e c b • 主对角线元素都是幺元
b bcea
---每个元素是自己的逆元
c c b a e • a, b, c 中任两个元素运算
都等于第三个元素.
12
群中的术语
6.1 若群 G 是有穷集，则称 G 是有限群，否则称
半
为无限群.
群 与
群 G 的基数（元素个数）称为群G的 阶
群
有限群 G 的阶记作|G|.
（5）<AA, >为半群，其中 为函数的复合运算.
（6）<R*,>为半群，其中R*为非零实数集合，运算定义
如下：x, y∈R*, x y =y
2
元素的幂运算性质
由于半群中的运算是结合的，可以定义运算的 6.1 幂。设V=<S, >为半群，对任意 x∈S，规定：
半
x1 = x
群
xn+1 = xnx,
: S1→S2. 若对任意的 x, y∈S1有 (xy) = (x) ∗ (y) 且 (e1) = e2,
则称 为独异点 V1 到 V2 的同态映射，简称 同态.
9
同态的实例
6.1
半 群
例2 设半群 V1 = <S,·>，独异点 V2= <S,·,e>. 其中 · 为矩阵乘法，e 为 2 阶单位矩阵,
（5）<AA, ,IA>为独异点，不是交换半群，其中 为函数 的复合运算.
6
半群与独异点的子代数
6.1 定义 半群的子代数称为子半群，独异点的子代数称
半 为子独异点。
群 判断方法：
与
设 V=<S,>为半群， T 是 S 的非空子集，
群
T是V的子半群当且仅当T对o运算封闭.
设V=<S, , e>为独异点，T是V的子独异点当且仅当T 对o运算封闭，且eT
实例：
<Z+,+>, <N,+>是<Z,+>的子半群，<N,+>是 <Z,+>
的子独异点， <Z+,+>不是<Z,+>的子独异点.
7
半群与独异点的积代数
6.1
定义 设 V1=<S1, >，V2=<S2,∗> 是半群 (或独异 点)，令S = S1×S2，定义 S 上的 ·运算如下：
半
<a,b>,<c,d>∈S，