《应用离散数学》方景龙版-5.1 偏序关系与偏序集
离散数学 偏序
离散数学中的偏序关系是一个核心概念，它描述了集合中元素之间的一种特定关系。
与等价关系和全序关系不同，偏序关系允许集合中的元素之间只有部分元素之间存在比较关系，而不是全部元素之间都有比较关系。
偏序关系是一种二元关系，通常表示为集合上的一个小于或等于的符号（≤）。
这种关系满足两个基本性质：自反性和传递性。
自反性意味着集合中的每一个元素都小于或等于自己；传递性则意味着如果元素a小于或等于元素b，元素b小于或等于元素c，那么可以推出元素a小于或等于元素c。
偏序关系的一个重要特点是它允许集合中存在不可比较的元素对。
也就是说，对于某些元素a和b，我们不能确定a小于b，也不能确定b小于a。
这种不可比较性使得偏序关系比全序关系更加灵活和实用。
偏序关系在实际应用中有广泛的应用。
例如，在计算机科学中，偏序关系可以用于描述程序的执行顺序、任务之间的依赖关系等。
在数据结构中，偏序关系可以用于定义优先队列、堆等数据结构，从而实现对元素的快速排序和检索。
此外，偏序关系还与数学中的其他概念密切相关，如格、有向无环图等。
通过偏序关系，我们可以对集合中的元素进行排序、分类和比较，从而更好地理解和分析问题的本质。
总之，离散数学中的偏序关系是一种重要的二元关系，它描述了集合中元素之间的部分比较关系。
偏序关系具有自反性、传递性和不可比较性等特点，广泛应用于计算机科学、数据结构、数学等领域。
通过偏序关系的研究和应用，我们可以更好地理解和解决实际问题。
离散数学 关系 集合 偏序关系 等价关系 等价类 闭包
4.1.1 序偶及有序n元组 4.1.2 笛卡尔积
4.2 关系及其表示
4.2.1 关系(恒等关系） 4.2.2 关系矩阵与关系图
4.3 复合关系及逆关系
定义4.12 设R和S是任意两个二元关系，则： (1)R的逆关系R-1(或RC)＝{<x，y>|(yRx)} (2)R与S的复合关系R S＝{<x,y>|z(xRz∧zSy)}。 T={<1,a>,<2,b>,<3,c>}, 求R-1 = R={<1,2>,<3,4>,<2,2>}, S={<4,2>,<2,5>,<3,1>}, 求R S,S R,R (S R),R R,S S
(3)R的传递闭包t(R)＝
Ri
。
i 1
定理4.18(传递闭包的有限构造方法) 设A为非空
有限集合，|A|＝n，R为A上的二元关系，则存在正整
数k≤n，使得t(R)＝R∪R2∪R3∪…∪Rn。
例1 设A＝{a，b，c}，R是A上的二元关系， R＝{<a，b>，<b，c>，<c，a>} 求r(R)、s(R)和t(R)。
• (1)S是自反的(对称的或传递的)；
• (2)RS；
• (3)对A上任何包含R的自反(对称、传递)关系 R都有SR。
自反闭包、对称闭包和传递闭包分别记作r(R)、s(R)和t(R)。
定理4.14 设R是非空集合A上的二元关系，则：
(1)R的自反闭包r(R)＝R∪IA。
(2)R的对称闭包s(R)＝R∪R-1。
的关系，说明R1、R2、R3和R4是否为A上 的对称关系和反对称关系。
偏序
x(( x B) a((a A) (a x))) ，则称 a 为 B 的下界。
(3) 设 C={yy 是 B 的上界} A，C 的最小元称为 B 的最小上界（上确界）。 (4) 设 C={yy 是 B 的下界} A，C 的最大元称为 B 的最大下界（下确界）。
注意：上、下界不唯一，但上、下确界是唯一的。
解答
极小元：a,b,c,g 极大元：a,f,h。
没有最小元与最大元
说 明
哈斯图中的孤立顶点既是极小元也是极大元。
18
上界与下界举例
24 36
12 6 2 3
B
上界
无
12,24,36
下界
无
2,3,6 无 2,3,6
上确界
无
12 6 6
下确界
无
6 无 6
{2,3,6,1
2,24,36}
{6,12}
{2,3,6} 6,12,24,36
{6}
6,12,24,36
考虑右图中的偏序集。令B＝{b ，c，d}，则B的下界和最大下界 都不存在，上界有d和f，最小上 界为d。
19
1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
6
4
图 5.5.1 关系示意图 显然，偏序关系“”具有自反、反对称和传递性，因此<A，>是偏序集。
4
16
偏序集中的特殊元素
24
36 12 6
B
最大 元
最小 元 无 6 无 6
极大 元 24,26 12 6 6
极小 元 2,3 6 2,3 6
大学离散数学方景龙版答案-§5.2 格
20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：习题5.21. 确定具有下面图5.20XXXX 所示哈斯图的偏序集是否为格，图5.20XXXX 习题1的图解 图(a)是格，图(b)是格，图(c)是格。
2. 在一个公司里用信息流的格模型控制敏感信息，公司的每个部门都具有由有序对)(C A ，表示的安全类别，其中A 是权限级别，C 是种类。
这里，权限级别A 可以是0（非私有的），1（私有的），2（受限制的）或3（注册的）。
种类C 是集合{猎豹，黑鹰，美洲狮}的子集（在公司里常常使用动物的名字作为项目的代码名字）。
试问 （1）信息允许从（私有的，{猎豹，美洲狮}）流向（受限制的，{美洲狮}）吗？ （2）信息允许从（受限制的，{猎豹}）流向（注册的，{猎豹，黑鹰}）吗？ （3）信息从（私有的，{猎豹，美洲狮}）允许流向哪些安全类？（4）信息允许从那些安全类流向（受限制的，{黑鹰，美洲狮}）？ 解 略3. 证明每个有限格都有一个最小元素和一个最大元素。
解 略4. 给出一个无限格的例子，使得 （1）既没有最小元素也没有最大元素。
（2）有最小元素但没有最大元素。
（3）有最大元素但没有最小元素。
（4）有最小元素也有最大元素。
解 略dace fbbd f h g ce abd f hg ce ai(a)(b)(c)5. 设>< ，L 是格，其哈斯图如图5.20XXXX 所示，取图5.20XXXX 习题5的图}{1d c b a S ，，，=，}{2f d b a S ，，，=，}{3f e d c S ，，，=，}{4g f b a S ，，，=。
试问><11 ，S ，><22 ，S ，><33 ，S ，><44 ，S 中哪些是格，哪些是>< ，L 的子格，这里关系)(i i i S S ⨯= ，4321，，，=i 。
解 略6. 设><|，L 和≤><，S 是两个格，其中}16842{，，，=L ，}10321{，，，， =S ，“|”是数的整除关系，“≤”是数的小于等于关系。
离散数学 等价关系与偏序关系共46页
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
离散数学 等价关系与偏序系
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
《离散数学》偏序关集与格
第六章 偏序关集与格
• §6.1 偏序关系和偏序集
– §6.1.1 偏序关系和偏序集的定义与性质 – §6.1.2 积偏序和字典序 – §6.1.3 哈斯图
• §6.2 偏序集中的特殊元素
– §6.2.1 偏序集中的特殊元素 – §6.2.2 拓扑排序 – §6.2.3 有限偏序集的高度与宽度
• §6.3 格与布尔代数
– §6.3.1 格的定义 – §6.3.2 特殊的格 – *§6.3.3 布尔代数
18
积偏序和字典序
• 定理 假设 (A, ≤1) 和 (B, ≤2) 是两个偏序集，
则可以定义在 AB 上的偏序关系 ≤ 为： (a, b) ≤ (a’, b’) 当且仅当 a≤1a’ 且 b≤2b’，
42
极大元与极小元
h
f
g
d
e
a
b
c
43
极大元与极小元
h
f
g
d
e
a
b
c
44
最大元与最小元
12 8
9
6
4
10
11 3
2
57
1
45
极大元与极小元
{a, b}
{a, b, c}
{b, c} {a, c}
{a}
46
{b} {c}
极大元与极小元
• 有时候，极大元/极小元只有一个； • 有时，极大元/极小元也可能存在多个； • 孤立结点既是极小元，也是极大元； • 有时，极小元和极大元可能不存在，
• 偏序集 (A, R1) 称做偏序集 (A, R) 的对偶。
12
偏序集
• 例如：
– 小于等于关系 和
– 大于等于关系
偏序关系
良序 全序 偏序 偏序/全序/良序的逆关系是否仍为偏序/全序/良序？ 良序的逆关系不一定是良序
例如(N， )
链与反链
链与反链
设C是偏序集(P,≼)的一个子集
如果C中任何两个元素均可比，则C构成一个链 如果C中任何两个元素均不可比，则B构成一个反链
链与反链（示例）
a
元素个数最多的反链，含k个元素
注：覆盖P的链数 P中任一反链的元素个数.
等价结论:有限偏序集中存在一个链覆盖和一个反链，它们 大小相等
Dilworth定理的归纳证明
证明. 按照P中元素个数（|P|=1, 2 …）进行归纳证明. 设a为P中的一个极大元素, P’ =P-{a} 设(P’,≼)有一个大小为k的反链{a1, a2, …, ak}，并有一个规模 为k的链覆盖{C1, C2, …, Ck}. 对任意Ci , P’中大小为k的任一反链均有唯一的元素属于Ci， 这些元素有一个最大元，记为xi. A={x1, x2, …, xk}必是反链。否则，不妨假设A中有两个元素 xi≼ xj. 根据xj的定义，P’中必有一个大小为k的反链Aj, xj是Aj 和Cj的公共元素，假设y是Aj和Ci的公共元素，则y≼ xi. 从而 y≼ xj.与Aj是反链矛盾.
离散数学集合论南京大学计算机科学与技术系极大小元最大小元格及其性质partialorder给定有限字符集合若在上有一个偏序关系类似上述办法可以对任意正整数k定义由中字符构成的长度为k的串的集合上的偏序关系
偏序关系
离散数学－关系
南京大学计算机科学与技术系
内容提要
偏序与全序
哈斯图
《离散数学》偏序关系教学精品PPT课件
集合A上的恒等关系 IA 是A上的偏序关系.
8/49
关于记号 ≺
对于一个偏序关系，往往用记号“≺”来表示。 若(a，b) ∊ ≺，记为a ≺ b，读做“ a小于等于b”。
上节课内容 等价关系
等价关系 等价类
定义 性质
商集、集合的划分 等价关系和划分的对应
1
7.6 偏序关系和格
7.6.1 偏序关系、偏序集 7.6.2 哈斯（Hasse）图 7.6.3 链、反链、全序集 7.6.4 极大元、极小元、最大元、最小元 7.6.5 上界、下界、最小上界、最大下界 7.6.6 格
等于”y。
例1 A={1, 2, 3, 4}
R={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4),
(1,2), (1,3), (1,4), (2,4)}
R是A上一个偏序关系。
4/49
例2 (p109)
设Z+={n∊Z│n>0}，即Z+是正整数的集合。 在Z+上定义一个二元关系R如下: 对于任意的x,y∊Z+，
(x,y)∊R当且仅当x|y。 证明(Z+，R)是偏序集
5/49
例2 (p109)证明(Z+，R)是偏序集
对于任意的x,y∊Z+，(x,y)∊R当且仅当x|y。
（1）对于任意的x∊Z+,显然有x|x,所以(x,x)∊R,即R是自 反的。
（2）对于任意的x,y∊Z+,若(x,y)∊R,且(y,x)∊R，则 x|y,即 存在n∊Z+,y=nx 且 y|x,即存在m∊Z+,x=my，所以 x=mnx，而n,m∊Z+，所以只有n=m=1，
离散数学第四章(第5讲)
例 设集合A = { a , b , c , d , e} , R 是A 上的偏序关系。
R = { < a , a > < a , b > < a , c > < a , d >< a , e > < b , b > < b , c> < b , e > < c , c > <c , e > < d , d > < d , e > < e , e >} ,求 盖住集COV A。
解: IA = { < a , a > < b , b > < c , c > < d , d> < e , e >}
R1 = R - IA = { < a , b > < a , c > < a , d >< a , e > < b , c >
< b , e > < c , e > < d , e >}
例：设A={2，3，4 ， 6，8}，则定义在A上的整除关系 R={<2，2><3，3><4，4><6，6><8，8><2，4><2，6> <2，8><3，6><4，8>}，求COV A
解: IA = {<2，2><3，3><4，4><6，6><8，8>}
离散数学等价关系与偏序关系.ppt
[2]=[5]=[8]={2,5,8}
[3]=[6]={3,6}
5
等价类的性质
定理1 设R是非空集合X上的等价关系, 则 (1) xX, [x]≠ 。
(2) x, yX, 如果(x, y)R, 则 [x]=[y]。 (3) x, yX, 如果(x, y)R, 则 [x]∩[y]=。 (4) ，即所有等价类的并集就是X。
20
哈斯(Hasse)图的特点
哈斯图就是利用偏序的自反、反对称、传 递性简化了的关系图。
特点： (1)每个结点没有环; (2)两个连通的结点之间的序关系通过结点 位置的高低表示，位置低的元素的顺序在前; (3)具有 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, R整除) (P({a, b, c}), R)
6
集合的划分
定义3 设X为非空集合，X的若干个子集形成的集 族称为X的一个划分，如果具有性质： (1) ； (2) x,y，若xy，则x∩y=; (3)
。
称 中的元素为X的划分块。 如果是X的一个划分，则当=k时， 被称为X 的一个k-划分。
7
实 例
例6：设A＝{a, b, c, d}, 给定 1, 2, 3, 4, 5, 6 1={{a, b, c},{d}}， 2={{a, b},{c},{d}} 3={{a},{a, b, c, d}}， 4={{a, b},{c}} 5={,{a, b},{c, d}}， 6={{a,{a}},{b, c, d}} 1和 2是A的划分，其他都不是A的划分。
②上界与下界可能有很多元素 6,12,24,36都是子集{2,3}的上界。
25
最大与最小元素
定义6 设(X,≤)是一个偏序集，BX。如果存在一个 元素aB使得对B中每个元素x有x≤a，则称a是B中的最 大元素。 如果存在一个元素bB，使得对B的每一个元素x有 b≤x，则称b是B中的最小元素。 ①最大元素一定是上界，最小元素一定是下界; ②有上下界不一定有最大与最小元素, 因为上下界不一定在子集中; ③最大元素与最小元素若有一定是唯一的。
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习题5.1
1. 下面哪些集合是偏序集？
（1）=><，Z （2）≠><，Z （3）≥><，
Z
（4）>/<|，
Z 解 （1）是偏序集，（2）不是偏序集，（3）是偏序集，（4）不是偏序集
2. 确定由下面的关系图5.6表示的表示的3个关系是否为偏序？并列出这些关系中的所有序偶来进行验证。
解 略
图5.6 习题2的图
3.
确定由下面的关系矩阵表示的关系是否为偏序？
（1）⎪
⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧100011
101
（2）⎪
⎭⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧101010001
（3）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧10
11
11000110010
1
解 略
4. 画出在下述集合上的整除关系的哈斯图。
（1）}87654321
{，，，，，，， （2）}131175321
{，，，，，， （3）}483624126321
{，，，，，，，
（4）}6432168421
{，，，，，， 解 （1）、（2）的哈斯图如下：
（3）、（4）略
5. 在下面偏序集中找出两个不可比的元素。
（1）⊆><，，，
})210{(p
（2）><|}86421{，，
，， 解 略
6. ><|}452415953{，，，，，，
是偏序集。
（1）求极大元素和极小元素。
（2）存在最大元素吗？存在最小元素吗？如果存在，请求出。
（3）找出子集}53{，的所有上界。
如果它的上确界存在的话，上确界。
（4）找出子集}4515
{，的所有下界。
如果它的下确界存在的话，求出下确界。
解 （1）极大元素为9，15，24和45，极小元素为3和5。
（2）不存在最大元素，也不存在最小元素。
（3）子集}53{，的上界有15和45，上确界是15。
（4）子集}4515
{，的下界有3，5和15，下确界是15。
7. ⊆><，，，，，，，，，，，，，，，，，
}}432{}431{}43{}42{}41{}21{}4{}2{}1{{是偏序集。
（1）求极大元素和极小元素。
（2）存在最大元素吗？存在最小元素吗？
（3）找出子集}}4{}2{{，
的所有上界。
如果它的上确界存在的话，上确界。
（4）找出子集}}432{}321
{{，，，，，的所有下界。
如果它的下确界存在的话，求出下确界。
解 略
8. 给出满足下列性质的偏序集。
（1）有一个极小元素但没有极大元素。
（2）有一个极大元素但没有极小元素。
（3）既没有极大元素也没有极小元素。
解 略
9. 设R 是集合X 上的半序。
（1）证明1
-R R 是等价关系。
（2）定义商集
)/(1
-=R R X Y 上的关系S ：Y D C ∈∀，，S D C >∈<，当且仅当在C 、D 中分别存在元素d c 、使得R d c >∈<，。
证明S 是商集Y 上的偏序。
解 略
10. 给出下面小写英文字母串的字典序。
（1）quack ，quick ，quicksilver ，quicksand ，quacking （2）open ，opener ，opera ，operand ，opened （3）zoo ，zero ，zoom ，zoology ，zoological 解 略
11. 给出二进制串0，01，11，001，010，011，0001和0101的基于10<的字典顺序。
解 略
12. 假设><11 ，X 和><22 ，X 是两个偏序集。
在笛卡儿积21X X ⨯上定义一个关系：><><2121b b a a ，， 当且仅当111b a 且222b a 。
证明这样定义的关系 是集合21X X ⨯上的偏序关系。
解 略
13. 求一个与集合}36241286321
{，，，，，，，上的整除关系相容的全序。
14. 如果表示建筑一座房子所需任务的哈斯图如下图5.7所示，通过制定这些任务的顺序来安排他们。
解 略
15. 对一个软件项目的任务进行排序，关于这个项目任务的哈斯图给在图5.8中。
图5.8 习题15的图
解对一个软件项目的任务排序如下：
确定用户需求，编写功能需求，开发系统需求，建立测试点，开发模块A，开发模块B，开发模块C，模块集成，写文档，α测试，β测试，完成。