对称性在解题中的应用
对称性在积分计算中的应用
㊀㊀㊀１３７㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７对称性在积分计算中的应用对称性在积分计算中的应用Һ姚晓闺㊀陈俊霞㊀丁小婷㊀（陆军炮兵防空兵学院基础部数学教研室，安徽㊀合肥㊀２３００３１）㊀㊀ʌ摘要ɔ在数学范围内，特别是在积分方面，对称性的应用极为普遍．在研究和计算积分类的问题时，对称性的应用对简化解题过程㊁优化计算步骤的作用十分显著，这也使其成为积分计算中一种不可或缺的手段．利用对称性计算积分主要包括两方面：一是积分区域关于坐标面㊁坐标轴和原点对称的情况下被积函数具有奇偶性的积分；二是积分区域关于积分变量具有轮换对称性的情况下的积分．本文通过对各类积分的对称性进行归纳总结，使读者能够有效理解和掌握．ʌ关键词ɔ对称性；积分区域；被积函数；积分计算；积分一㊁定积分的对称性及其应用定理㊀若ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］上可积，则（１）当ｆ－ｘ()＝－ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝０；（２）当ｆ－ｘ()＝ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝２ʏａ０ｆ（ｘ）ｄｘ．例㊀求ʏπ０ｘｓｉｎｘ１＋ｃｏｓ２ｘｄｘ．解㊀令ｘ＝π２＋ｔ，则原式＝ʏπ２－π２π２＋ｔ()ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝ʏπ２－π２ｔｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＋π２ʏπ２－π２ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝０＋πʏπ２０ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝πａｒｃｔａｎｓｉｎｔπ２０＝π２４．二㊁重积分的对称性及其应用１．二重积分的对称性原理二重积分具有以下对称性：定理１㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０｝．当Ｄ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．定理２㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴和ｙ轴都对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）或ｆ－ｘ，ｙ()＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ－ｘ，ｙ()＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０，ｙȡ０｝．定理３㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于原点对称，则１）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．定理４㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝ｘ对称，则１）∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄｘｄｙ；２）当ｆ（ｙ，ｘ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；３）当ｆ（ｙ，ｘ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．当Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝－ｘ对称时，也有类似结论．例１㊀求∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１｝．解㊀易知题中被积函数｜ｘ｜＋｜ｙ｜为ｘ，ｙ的偶函数，且Ｄ区域具有对称性．记Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１，且ｘȡ０，ｙȡ０｝，于是㊀㊀㊀㊀㊀１３８数学学习与研究㊀２０２２ １７∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４ʏ１０ｄｘʏ１－ｘ０（ｘ＋ｙ）ｄｙ＝２ʏ１０１－ｘ２()ｄｘ＝４３．例２㊀求∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ，其中Ｄ为ｙ＝ｘ３㊁ｙ＝１㊁ｘ＝－１所围区域，ｆ是连续函数．解㊀此题积分区域Ｄ关于坐标轴不具有对称性，根据积分区域的特点，做辅助曲线ｙ＝－ｘ３，将Ｄ分为Ｄ１和Ｄ２，它们分别关于ｙ轴和ｘ轴对称，而ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）关于ｘ是奇函数，关于ｙ也是奇函数．故∬Ｄｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝∬Ｄ１ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＋∬Ｄ２ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝０．原式＝∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘｄｘｄｙ＝ʏ０－１ｄｘʏ－ｘ３ｘ３ｘｄｙ＝－２５．２．三重积分的对称性原理定理１㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于ｘＯｙ面对称，Ω１是Ω在ｘＯｙ面上方部分，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．当Ω关于其他坐标面对称时，也有类似结论．定理２㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于原点对称，Ω１是Ω位于过原点Ｏ的平面一侧的部分．则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．例㊀计算三重积分∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ，其中Ω为区域｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１，ｚȡ０｝．解㊀设Ω１表示开球｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１｝，注意到Ω关于ｙＯｚ面对称，而Ω１关于三个坐标面都是对称的，所以∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ＝∭Ωｘ２＋２ｘｚ＋ｚ２()ｄＶ＝∭Ωｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１２∭Ω１ｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３∭Ωｘ２＋ｙ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３ʏ２π０ｄθʏπ０ｓｉｎφｄφʏ１０ｒ４ｄｒ＝４１５π．三㊁对弧长的曲线积分的对称性及其应用定理㊀设Ｌ是平面上分段光滑的曲线，且Ｐ（ｘ，ｙ）在Ｌ上连续．１）若Ｌ关于ｘ轴对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，－ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，－ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在上半平面的部分．当Ｌ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．２）若Ｌ关于原点对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在右半平面或上半平面部分．例㊀计算ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ，其中曲线Ｌ是椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１，其周长为ａ．解㊀由于Ｌ关于ｘ轴对称且２ｘｙ是关于ｙ的奇函数，故ʏＬ２ｘｙｄｓ＝０，则ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＋ʏＬ２ｘｙｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ１２ｄｓ＝１２ʏＬ１㊃ｄｓ＝１２ａ．四㊁对面积的曲面积分的对称性及其应用定理［２］㊀设有界光滑或分片光滑曲面 关于ｘＯｙ平面对称，ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）为曲面 上的连续函数，则∬ ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝２∬ １ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．其中 １：ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）ȡ０．㊀㊀㊀１３９㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７当 关于ｙＯｚ面㊁ｚＯｘ面对称时，也有类似结论．五㊁积分区域关于积分变量具有轮换对称性情况下的积分定义㊀设ΩɪＲ３，如果（ｘ，ｙ，ｚ）ɪΩ时，都有（ｚ，ｘ，ｙ），（ｙ，ｚ，ｘ）ɪΩ，，则称区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性．定理１［３］㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＶ＝１３∭Ω［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＶ．推论㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ）ｄＶ．定理２㊀设积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，则有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄσ＝１２∬Ｄ［ｆ（ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｘ）］ｄσ．对于第一类曲线积分和曲面积分，同理可得到如下定理：定理３㊀设曲线Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有ʏΓｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄｓ＝１３ʏΓ［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄｓ．定理４㊀设曲面 关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝∬ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＳ＝∬ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＳ＝１３∬［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＳ．例１㊀计算二重积分∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２ɤ４，ｘȡ０，ｙȡ０｝，ｆ（ｘ）为Ｄ上的正值连续函数，ａ，ｂ为常数．解㊀易知积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，由定理２，得∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ＝１２∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＋ａｆ（ｙ）＋ｂｆ（ｘ）ｆ（ｙ）＋ｆ（ｘ）éëêêùûúúｄσ＝１２（ａ＋ｂ）∬Ｄｄσ＝１２（ａ＋ｂ）ˑ１４πˑ２２＝（ａ＋ｂ）２π．例２㊀计算曲线积分ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ，其中Γ：ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝ａ２，ｘ＋ｙ＋ｚ＝０．{解㊀因为积分区域Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，由定理３，得ɥΓｙ２ｄｓ＝ɥΓｚ２ｄｓ＝１３ɥΓ（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝１３ａ２ɥΓｄｓ＝１３ａ２ˑ２πａ＝２３πａ３，所以，ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝２ɥΓｙ２ｄｓ＝４３πａ３．六㊁结束语本文通过实际例题有力地说明了对称性方法对计算效率的提高和优化是切实可行的．通过各类积分综合题的计算回顾了对称性的相关知识点，较好地说明了对称性在积分计算中的应用．与其他解题方法相比较，对称性由于其显著的优化作用和简单易用，在积分领域一骑绝尘，得到了广泛的应用，使读者在领略数学独特魅力的同时，还激发人们无尽的想象力，使对称性的应用充满无限的可能．ʌ参考文献ɔ［１］同济大学应用数学系．高等数学（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７：８０－８６．［２］胡纪华，王静先．对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用［Ｊ］，江西科学，２０１２（１）：１－４．［３］秦勇．轮换对称性在积分中的应用［Ｊ］．常州工学院学报，２０１５（３）：６８－７１．［４］张锴．对称性在物理问题中的应用［Ｊ］．科技信息，２０１１（３５）：８９５－８９６．［５］刘洁，戴长城．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．邵阳学院学报，２００８（４）：２８－３２．［６］曹斌，孙艳．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．吉林师范大学学报，２０１２（３）：１３０－１３３．［７］张东，张宁．对称性在物理学中的应用研究［Ｊ］．北京联合大学学报，２００６（１）：２１－２４．［８］费时龙，张增林，李杰．多元函数中值定理的推广及应用［Ｊ］．安庆师范学院学报，２０１１（１）：８８－８９．。
高中数学中曲线对称的解法及应用
高中数学中曲线对称的解法及应用曲线对称，是指图形中存在一条直线，使得该直线将图形分为两部分，各自沿此直线对称。
在数学中，曲线对称是一种重要的变换方式，它不仅在几何学中具有广泛的应用，而且在代数学的解题中也有重要的作用。
本文将重点介绍高中数学中曲线对称的解法及应用。
一、关于曲线对称的概念曲线对称是指一种坐标变换方式，将曲线中的某些点按照某条直线对称。
对称轴又称为对称线，是曲线对称的直线，对称轴两侧的点分别在对称线两侧，它们的横、纵坐标互为相反数。
二、曲线对称的判定通过观察曲线的方程，可以确定曲线是否具有对称性。
1. 关于x轴对称的判定：如果曲线上的每一个点，其相对于x轴的对称点也在曲线上，那么该曲线就关于x轴对称。
1. 关于曲线对称的轴对称图形位置关系：轴对称图形沿对称轴互相对称。
五、应用示例1. 判断椭圆与矩形的关系：设椭圆的方程为$\frac{(x-a)^2}{p^2} + \frac{(y-b)^2}{q^2} = 1$，矩形的顶点为$(m,n)$、$(m+2k,n)$、$(m,n+2h)$、$(m+2k,n+2h)$，若椭圆关于直线$x=m+k$对称，则有：$\frac{2a}{p}=m+2k$2. 利用对称性求解方程：求方程$x^3-3x+y^2-6y+63=0$的图形所在区域的面积。
由于$x^3-3x$关于$y=x$对称，因此图形所在区域关于$y=x$对称，即：$x^3-3x+y^2-6y+63=(y^2-6y+9)-(3x^2-9x+6)+54$该方程表示一个圆心为$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$，半径为$\sqrt{3(x-y+2)}}$的圆，其面积为：$S=\pi \cdot [3(x-y+2)]$$=6\pi$因此，图形所在区域的面积为$6\pi$。
总结：曲线对称是数学中重要的变换方式，应用广泛。
对于一些对称的图形、方程或函数，可以通过使用曲线对称性质，轴对称性质等方法来求解问题，提高了解题的效率。
对称在概率解题中的应用
、几
幼径 一 １ 鉴又 落 径＋ １ ， 又ａ ＞ １ ｊ 最 大二 很＋ １ ，
２ 产 ‘、
￣ 有
ｘ ２ Ｘ Ｉ ＸＩ Ｘ ２ Ｙ ２ Ｙｔ
因为 △＞０ ， 所以ｙ ｔ ＋ｙ ： 二 一 ａ ４ ＋ ｂ ４ ，
代人（ １ ） 式 幼 又＋ ｙ ｌ ｙ ２ ＝ 一 ａ ４ ＋ ｂ ４ ，
４ ｂ ２ Ｃ ２ ａ ２ ｂ ４ ２ ａ ｃ ｂ ３
这时 ｔ ＋１二
＝ 径 一１ ， 即 （ 与， ＝ 径 了 ＋ １ 幼ｔ
２
１ ＝ ｝ ｅ ２ ＝ ２ 一 径， １ ＝ ＞ ￣ 下 一 ＝很 一
解法２ 以Ａ ‘ 记事件“ 第ｉ 对夫妇丈夫排在妻 子的后面” ， 即就是要求（ Ａ ， Ａ ２ ． ． ． Ａ ｎ ） ． 首先由对称 性， Ｐ （ Ａ ｉ ） ＝１ ／ ２ ． 因 为对每一对夫妇来说， 或丈夫在
前或妻子在前， 两者是等可能性的． 由对称性还可
进一步断定 Ａ １ ， Ａ ２ ， ． ． － ， Ａ 。 是相互独立的， 因为不可
伍． 现在她的丈夫之前已有两人， 因此她有３ 种位置 可选择． 排在第三位的丈夫的妻子进人队伍有 ５ 种 位置可选择， 依次下去， 最后一位丈夫的妻子有（ ２ ｎ 一１ ） 个位置可选择． 因此有利场合总数是 ｎ ！ ｘ （ １ ・
３ ・ ５ ． ． ． （ ２ ｎ 一 １ ） ） ＝ｎ ！ ｘ （ ２ ｎ 一 １ 川， 所以要求的概
最后一步计算过程比较繁复， 在这里省略了． 解法２ 假设从底里开始一张接一张地翻牌，
也翻到出 现第二张Ａ 为 止， 翻 过的 纸牌数记为＇ ７ ． 由
对称性， 从顶上开始翻与从底里开始翻情况是一样
交， 因 此两弦相交的概率为 １ ／ ３ ． 例４ 设在区间（ ０ ， １ ） 上随机地取 ｎ 个点， 以夸 表示相距最远的两点间的距离， 求证： Ｅ ｝二（ ｎ －
对称性在积分计算中的应用【文献综述】
文献综述信息与计算科学对称性在积分计算中的应用在数学计算中, 积分计算是一个非常重要的部分. 早在古希腊时期数学家阿基米德在《抛物线图形求积法》和《论螺线》中, 利用穷竭法, 借助于几何直观, 求出了抛物线弓形的面积及阿基米德螺线第一周围成的区域的面积, 其思想方法是分割求和,逐次逼近. 虽然当时还没有极限的概念, 不承认无限, 但他的求积方法已具有了定积分思想的萌芽.[1] 17 世纪中叶, 法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了“分割求和”及无穷小的性质的观点求积, 更加接近现代的求定积分的方法. 可见, 利用“分割求和”及无穷小的方法, 已被当时的数学家普遍采用.[2]17世纪下半叶牛顿和莱布尼兹创造了微积分的基本方法. 但是, 他们留下了大量的事情要后人去解决, 首先是微积分的主要内容的扩展,其次是微积分还缺少逻辑基础. 创立于17 世纪的微积分, 主要应用于天文学、力学、几何学中的计算.[3] 而到19 世纪下半叶微积分已经发展成为一门系统、严密、完整的学科. 积分概念也趋于逻辑化、严密化,形成我们现在使用的概念. 定积分的概念中体现了分割、近似、求和的极限思想. 其中分割既是将[,]a b 任意地分成n 个小间,12,,,,,i n x x x x ∆∆∆∆L L ,其中i x ∆ 表示第I 个小区间的长度, 在每个小区间上任取一点i ξ做()i i f x ξ∆并求和()i if x ξ∆∑,这体现了求和的思想, 当区间的最大长度趋于零时, 和式的极限若存在即为()f x 在[,]a b 上的定积分. 利用定积分可以解决很多实际问题,例如求由曲线围成的平面图形的面积;求由曲线绕坐标轴旋转所得旋转体的体积;平行截面面积为已知的立体的体积;求曲线的弧长以及物理中的功、水压力等等时,()ba f x dx ⎰的积分形式也可以推广: (1) 可以把积分区间[,]ab 推广到无限区间上,如[,)a +∞ 等,或者把函数推广到无界函数,也就是广义积分. (2) 可以把积分区间[,]a b 推广到一个平面区域,被积函数为二元函数, 那么积分就是二重积分; 同样当被积函数成为三元函数、积分区域变成空间区域时就是三重积分. (3) 还可以将积分范围推广为一段曲线弧或一片曲面, 即曲线积分和曲面积分. 无论积分推广到何种形式, 它始终体现了这种分割的极限思想, 比如二重积分的概念:设(,)f x y 在有界闭区域D 上有界,(1) 分割: 将D 任意分成n 个小区域i σ∆并表示面积;(2) 近似: 在每个i σ∆上任取一点(,)i i ξη作乘积;(3) 求和取极限:若各区域直径的最大值趋于零时, 和式(,)i i if ξησ∆∑的极限存在, 即为 (,)f x y 在D 上的二重积分. 由此我们发现定积分与重积分在概念的本质上是一致的, 同样三重积分亦是如此.[4]此外,不定积分与定积分之间关系为:如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[,]a b 上的一个原函数,则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰, 这是牛顿—莱布尼兹公式. 这个公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系. 它表明: 一个连续函数在区间[,]a b 上的定积分等于它的任一原函数在区间[,]a b 上的增量. 这就给求解定积分提供了一个简便而有效的计算方法. [5]积分在数学分析中有很重要的地位; 积分的计算方法有许多种, 相关文献都对其有探讨,但是对对称性的研究却很少涉及. 对称性在积分运算中有着很重要的意义, 通常可以简化计算. 本文研究了对称性在积分运算中的应用. 积分在数学分析中是相当重要的一项内容，而在计算积分的过程中，我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的题型.[6] 那么, 如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性, 并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去, 往往可以简化计算过程, 收到意想不到的效果, 引起感情激荡, 造成感情上的共鸣, 更好地感知、理解数学美. 特别是对于有些题目, 我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果. 在积分计算中利用对称性来解题这种方法, 是一种探索性的发现方法, 它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能.[7] 下面我们举出几个对称性在积分计算中的例子, 张振强他的一篇对称性在二重积分中的应用论文中介绍如何利用对称性来计算二重积分, 并提出了通过适当改造被积函数和积分区城以利用对称性来简化计算的方法. 在一般情况下, 不仅要求积分区域D 具有对称性, 而且被积分函数对于区域D 也要具有对称性. 但在特殊情况下, 即使积分区域D 不对称, 或者关于对称区域D 被积函数不具备对称性, 也可以经过一些技巧性的处理, 使之化为能用对称性来简化计算的积分.[8]常见对称形式的二重积分的简化运算有三种, 一: 积分区域D关于坐标轴对称; 二: 分区域D关于=±对称. 在进行二重积分计算时, 善于观察被积原点对称; 三: 积分区域D关于直线y x函数和积分区域的特点, 注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性, 恰当地利用对称性方法解题, 可以避免繁琐计算, 使二重积分问题的解答大大简化. 刘渭川, 在他的利用对称性计算曲线积分和曲面积分, 论文中提到, 借助于(平面)空间曲线及空间曲面的直观几何意义, 利用曲线, 曲面关于坐标轴及坐标面的对称性, 探讨了对于定义在具有对称性的曲线、曲面上的奇(偶)函数, 如何利用对称性计算曲线积分及曲面积分这种积分方法使得曲线(面)积分更为简便、快捷, 同时, 也有利于避免因符号处理不当而导致的积分错误. [9]因此, 在积分计算中, 可以利用对称性来帮助求解, 不过我们在应用对称性求积分时还必须注意: 必须兼顾被积函数与积分区域两个方面, 只有当两个方面的对称性相匹配时才能利用; 对于第二型曲线积分与曲面积分, 在利用对称性时, 还需考虑路线的方向和曲面的侧, 应慎重; 合理利用轮换对称性以求简便计算. [10]参考文献[1] 王仲春等编著. 数学思维与数学方法论[M]. 北京: 高等教育出版社, 1991.[2] 王寿生等编. 130 所高校研究生高等数学入学试题选解及分析[M]. 沈阳: 辽宁科技出版社, 1988.[3] 陈仲、洪祖德编. 高等数学·研究生入学试题与典型例题选解[M]. 南京: 南京大学出版社, 1986.[4] 同济大学数学教研室主编. 高等数学[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.[5] 林源渠. 高等数学复习指导与典型例题分析[M]. 北京: 机械工业出版社, 2002.[6] 张云艳. 轮换对称性在积分计算中的应用[J]. 毕节师范高等专科学校学报(综合版),2002, 20(3): 90～92.[7] 龚冬保. 数学考研典型题[M]. 西安: 西安交通大学出版社, 2000.[8] 陈增政, 徐进明. 利用对称性简化被积函数是线性函数解的计算[J]. 工科数学, 1994,(10): 181.[9] D. Bennis, N. Mahdou . Strongly gornstein p rojective [J], injective, and flat modules1J PureApp l Algebra, 2007; 210: 437~445.[10] I.M , Gelfand, G.E.Shilov. Generalized functions vol. I [M]. New York: Academic Press1964.。
《统计学对称性的解题方法归纳》
《统计学对称性的解题方法归纳》统计学对称性的解题方法归纳统计学是一门研究收集、整理、分析和解释数据的学科。
在统计学中，对称性是一个重要的概念，它包括正态分布、均匀分布等。
这篇文档将总结一些常见的统计学对称性的解题方法。
正态分布正态分布在统计学中非常常见，它是一种对称分布。
解题方法主要集中在以下几个方面：1. 计算均值和标准差：对于正态分布，均值和标准差是非常重要的参数。
可以使用样本数据来估计总体的均值和标准差，并用它们来进行推断和假设检验。
2. Z 分数标准化：正态分布有一个重要的性质，即标准化后的分布可以用 Z 分数表示。
通过将原始数据转化为 Z 分数，可以进行更方便的比较和推断，如计算置信区间和假设检验。
3. 使用正态分布表：正态分布表是一个预先计算好的表格，可以用于查找某个 Z 分数对应的累积概率值。
通过查表，可以轻松计算出一些概率和置信区间。
4. 中心极限定理：中心极限定理是指当样本量足够大时，样本均值的分布会接近于正态分布。
在实际问题中，可以利用这个定理来进行统计推断，而不需要了解总体的分布情况。
均匀分布均匀分布是另一种常见的对称分布。
解题方法如下：1. 计算概率密度函数：均匀分布的概率密度函数是一个常数，在给定区间内的取值是相等的。
通过计算概率密度函数，可以确定某个值落在给定区间内的概率。
2. 计算累积分布函数：累积分布函数是概率密度函数的积分，可以表示给定值落在某个区间内的概率。
通过计算累积分布函数，可以确定某个值落在给定区间的概率。
3. 设置等概率区间：均匀分布的一个重要特点是等概率性质，即给定区间内的概率相等。
可以利用这个特性来计算一些等概率区间和概率值。
4. 均匀性检验：在实际问题中，需要判断一组数据是否符合均匀分布。
可以使用一些统计方法来进行均匀性检验，如卡方检验。
综上所述，统计学对称性的解题方法包括计算均值和标准差、标准化，使用正态分布表，应用中心极限定理等方法；以及计算概率密度函数、累积分布函数，设置等概率区间，进行均匀性检验等方法。
对称性在解题中的应用
对称性思想在解题中的妙用天津市滨海新区汉沽第一中学 （300480） 史玉林在自然界和自然科学中，和谐的对称之美普遍存在。
对称性就是事物在变化时存在的某种不变性。
物理学中对称现象比比皆是，物理过程在时间和空间上的对称性、物理量在分布上的对称性、作用效果的对称性、结构上的对称、作用上的对称等等往往使得某些复杂问题的处理得到简化。
从科学思维方法的角度来讲，对称性最突出的功能是启迪和培养学生的直观思维能力。
利用对称性思想解题时有时能一眼看出答案，大大简化解题步骤。
一、对称性思想在运动学中的应用例1 在离地H 高度，以相同的速率v 0同时抛出两小球A 和B ，A 球竖直上抛，B 球竖直下抛，两球落地时间差为Δt ，求速率v 0。
（重力加速度g 已知）解析 对于A 球的运动，当其上抛后再落回抛出点时，由于速度对称，向下的速度大小仍为v 0，所以A 球在抛出点以下的运动和B 球完全相同，落地时间也相同，因此，Δt 就是A 球在抛出点以上的运动时间。
根据时间对称，02v t g∆=，故02g t v ∆=。
二、对称性思想在简谐运动中的应用例2 如图示，一轻质弹簧与质量为m 的物体组成的弹簧振子，物体在同一条竖直线上的A 、B 间做简谐运动，O 为平衡位置，C 为AO 的中点，已知OC=h ，振子的周期为T ，某时刻物体恰好经过C 点向上运动，则从此时刻开始的半个周期内（ ）Ａ.重力做功为2mgh B.重力的冲量为2mgT C.回复力做功为零 D.回复力的冲量为零解析 由简谐运动的对称性可知，从C 点开始经过半个周期时间，物体运动到C 点关于平衡位置对称的位置，即到达O 点下方h 的D 点处，故重力做功W=2mgh ，故A 正确；重力是恒力，则重力的冲量大小为2mgT I Gt ==，故B 正确；物体的回复力是重力与弹簧弹力的合力，由于初、末速度大小相等，由动能定理可知，半个周期内回复力做功为零，故C 正确；取向上方向为正，则由动量定理知回复力冲量为I=-mv-mv=-2mv≠0，故D 不正确。
对称性在积分计算中的应用研究【开题报告】
开题报告信息与计算科学对称性在积分计算中的应用研究一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义对称性（symmetry ）是现代物理学中的一个核心概念, 它泛指规范对称性（gaugesymmetry) , 或局域对称性local symmetry ）和整体对称性（global symmetry ）. 它是指一[1]个理论的拉格朗日量或运动方程在某些变数的变化下的不变性. 如果这些变数随时空变化, 这个不变性被称为规范对称性, 反之则被称为整体对称性. 物理学中最简单的对称性例子是牛顿运动方程的伽利略变换不变性和麦克斯韦方程的洛伦兹变换不变性和相位不变性. 数学上, 这些对称性由群论来表述. 上述例子中的群分别对应著伽利略群, 洛伦兹群和U(1)群. 对称群为连续群和分立群的情形分别被称为连续对称性（continuous symmetry)和分立对称性(discrete symmetry). 德国数学家外尔(Hermann Weyl)是把这套数学方法运用於物[2]理学中并意识到规范对称重要性的第一人. 1950年代杨振宁和米尔斯意识到规范对称性可以完全决定一个理论的拉格朗日量的形式, 并构造了核作用的SU(2)规范理论.[3]我这次论文方向主要涉及对称性在积分计算中的应用. 在积分的计算中充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇、偶性, 往往可以简化计算, 达到事半功倍的效果. 近年来, 在全国研究生入学考试数学试题中不乏涉及对称性的积分试题. 本文将系统地介绍有关[4]内容并举出相关例子.以二重积分为例若积分区间关于变元具有轮换对称性, 则必有D ,x y 积分区域关于直线对称. 因此在某些复杂的积分过程中, 若能注意并充分利用积分D y x =区域的轮换对称性往往可以简化积分计算过程, 提高解题效率. 例如[6](1) , 1(,)(,)((,)(,))2D D f x y d f y x d f x y f y x d σσσ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 若关于直线对称,记为中位与直线上半部分区域, 则有D y x =1D D y x =. 12(,),(,)(,)(,)0,(,)(,)D D f x y d f x y f y x f x y d f x y f y x σσ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩⎰⎰⎰⎰积分在数学分析中是相当重要的一项内容, 而在计算积分的过程中, 我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的题型. 那么, 如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性, 并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去, 往往可以简化计算过程, 收到意想不到的效果, 引起感情激荡, 造成感情上的共鸣, 更好地感知、理解数学美. 特别是对[7]于有些题目, 我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果. 在积分计算中利用对称性来解题这种方法, 是一种探索性的发现方法, 它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能. 因此, 在积分计算中, 可以利用对称性来帮助求解, 不过我们在应用对称性求积分时还必须注意: 必须兼顾被积函数与积分区域两个方面, 只有当两个方面的对称性相匹配时才能利用; 对于第二型曲线积分与曲面积分, 在利用对称性时, 还需考虑路线的方向和曲面的侧, 应慎重; 合理利用对称性以求简便计算.[8]二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题研究的基本内容: 对称性在积分计算中的应用研究解决的主要问题:1． 总结各种积分的计算方法2． 将应用对称性求解的方法, 与原来的方法比较看优化之处.三、研究步骤、方法及措施：一．研究步骤:1． 查阅相关资料, 做好笔记;2． 仔细阅读研究文献资料;3． 在老师指导下确定整个论文的思路, 列出论文提纲, 撰写开题报告;4． 翻译英文资料;5． 开题报告通过后撰写毕业论文;6． 上交论文初稿;7．反复修改论文, 修改英文翻译, 撰写文献综述;8．论文定稿.二．方法、措施: 通过到图书馆、上网等查阅收集资料, 参考相关内容在老师指导下, 归纳整理各类问题四、参考文献[1] 王仲春等编著. 数学思维与数学方法论[M]. 北京: 高等教育出版社, 1991,.[2] 王寿生等编. 130 所高校研究生高等数学入学试题选解及分析[M] 沈阳: 辽宁科技出版社,1988.[3] 陈仲、洪祖德编. 高等数学·研究生入学试题与典型例题选解[M]. 南京: 南京大学出版社, 1986.[4] 同济大学数学教研室主编. 高等数学[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.[5] 龚冬保. 数学考研典型题[M]. 西安: 西安交通大学出版社, 2000.[6] 陈增政, 徐进明. 利用对称性简化被积函数是线性函数解的计算[J]. 工科数学, 1994,4(10): 181~183.[7] D. Bennis, N. Mahdou . Strongly gornstein p rojective, injective [J], and flat modules1J PureApp l Algebra, 2007; 210: 437~445.[8] I.M , Gelfand, G.E.Shilov. Generalized functions, vol. I [M]. New York: Academic Press1964.。
对称性在中学物理解题中的应用数例
利用对称性 可 以简化 物 理 问题 ， 找 到 简 捷 解 决 问 题 的 途
径． 学 会 利 用 对 称 性 分 析 问题 ， 解 决问题 ， 应 该 作 为 中学 物
理教学的要求．
常 见的 具 有 对 称 性 的物 理 事 物 分 两 类 ： 一 类 是 分 布 关 于空间的对称 ； 另 一 类 是 过 程 关 于 时 间 的对 称 ． 平面镜成像 ， 像 与物 关 于 平 面 镜 对 称 ， 称为镜 像对称．
１ ９
Ｅ 。 、 Ｆ 之 间 的 电 阻 ， 分 别为 ３ ｒ与 ４ ｒ 并联 电阻等 ｒ ． 再 计 算
，
斜 率 为负 值 的 直 线 ， ｔ 。时 刻 物 体到 达 最 高 点 ， 速度为 ｏ ． 图
像 关 于坐 标 （ ｔ Ｏ ） 中心对 称 ，
； ＼ｔ ｏ ｔ ｏ ＋ Ａ ｔ
摘 要 ： 对 称 是 一 种 自然 美 ， 很 多事 物 具 有 对 称 性 ， 分 析 研 究对 称 性 ， 有 利 于 深 刻 认 识 事 物 的性 质 ， 理 解 事 物 发 展 变 化 的 规 律． 无论是 力学、 电学 或 光 学 问题 ， 我 们 都 可 以利 用 对 称 性 简 化 问题 ， 解 决 问题 ．
关键 词 ：对 称 ； 认识 ； 利 用； 思想 ； 解决
自然 界 中很 多 事 物 具 有 对 称 的 特 征 ． 研 究对称 性 ， 能 更好地认识事 物的物 理性质 ， 理 解其 所遵 循 的物 理规 律．
帮助． 例如， 图 ２所 示
电路， ５ 只 电 阻 都 相
同， 阻值均为 ｒ ， 要 求
成 像 有 问题 ， 不符合 对称 性． 例如， 在平 面镜 前放 一 只钟 ， 指针所指示 的时间是 ３ 点钟 ， 但平 面镜所成 的像所 示时 间 却 是 ９点 钟 ． 平 面 镜 的 像 和 物 的 关 系犹 如 用 图 章 所 盖 的 印
例谈数学解题中对称性的巧用
据可所函表式 （ ） 此设求数达为 ＋＋ ≥
．
个关 键 性 的条 件 。 许 多 数学 问 题 取得 使
把曰（ ， ） ， － 求得 １ 求 函数 １３ ４Ａ ， ￣ ．所
一 一 一
蝴
“ 称 ” 仅 是 数学 内容 中一 个 重 要 对 不
的 概念 ， 是 一种 重要 的思 想方 法 ， 对 更 在“ 称” 中往 往 体 现 出数 学 的 “ ” 名 德 国 美 ．著 象 过Ａ（ ， ） １ ３ ， （ １ １ 三 点 ， 这 ０ １ ， ，）Ｃ 一 ，） （ 求 数 学 家 魏 尔 说 过 ： 美 和 对 称 是 紧 密相 连 “ 个 二次 函数 的解 析式． 的．在 数 学 解题 中 ， 时根 据 数 据 条 件 关 ” 有 系 等所 隐 含着 的对 称 性 特点 ， 能够 迅 速有 解 ｉ ｙ＝ ｃ ｓ ＋ ｃ ｓ ・ｉ ｘ ５ｉ４ ． ￣ ２ ｏ４ ３ ｏ￣ ｓ Ｚ＋ ｓ ｘ ｘ ｘ ｎ ｎ 分析 如 果 不仔 细观 察 三 个 点的 坐标
ＢＣ／ Ｍ． ／Ｄ 这就给我们采取综合法证 明提供 了可贵的线索， 如何
添 加 辅 助 线 就 “ 之 欲 出” 而 不 再 是 “ 空 出世 ” 呼 ． 横 ．
突 破性 的进展 ．
例４ 若 曲线
解 析 式 为ｖ 帆 ＋１ ．
和 （－ ） ＝ 有 ｘ １ ｌ
三 个交 点 。 求 实数ａ 试 的值． 解 变量 在 两 个方程 中都 以平 方 的形
Ｊ
解 因 为 正 比例 函 ￣ｙ－ － 的 图 象 与 ｋ
Ｊ
巧 用对称性求 最值
数学中的对称性与变换的性质与应用
电磁波：对称性在电磁波的传播和散射中的应用
相对论：对称性与时空结构的关系
对称性与化学分子的关系
对称性在化学分子中具有重要应用，可以预测分子的性质和行为。
对称性可以用于描述化学反应的过程和机制，帮助理解反应机理。
对称性在化学合成中具有指导作用，可以预测化合物的合成路线和产物结构。
对称性在化学分析中也有应用，可以通过对称性分析确定化合物的晶体结构和分子结构。
拉普拉斯变换：将时域函数转换为复平面上的函数，用于求解微分方程、控制系统等领域
Z变换：将离散信号转换为连续信号，用于数字信号处理、离散控制系统等领域
小波变换：用于多尺度分析、信号处理和图像压缩等领域
变换在几何学中的应用：刚体变换、仿射变换等
投影变换：将三维图形投影到二维平面上，包括正投影、斜投影和透视投影等。
对称性在几何学中的其他应用：除了对称空间和对称流形外，对称性在几何学中还有许多其他应用，如对称函数、对称群等。这些应用在数学和物理学等领域有广泛的应用。
对称性在数学中的重要性：对称性是数学中的重要概念之一，它在数学各个分支中都有广泛的应用。通过对称性的研究，可以深入了解数学对象和数学结构的基本性质和特点，为数学的发展和应用提供重要的理论支持和实践指导。
对称性在分析学中的应用：对称函数、对称级数等
对称函数：具有对称性质的函数，如正弦函数、余弦函数等
对称积分：利用对称性简化积分的计算，如奇偶函数积分性质等
对称微分：利用对称性简化微分方程的求解，如对称变换求解微分方程等
对称级数：具有对称性质的级数，如正项级数、交错级数等
对称性在几何学中的应用：对称空间、对称流形等
常见的变换包括平移、旋转、缩放、镜像反射等，这些变换在几何、代数和微积分等领域有着广泛的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
摘要“对称性在数学解题中的应用”是数学学习中重要内容之一，是高考数学备考中的重要环节.“对称性的探究及应用”也是中学数学中的难点之一，学生在学习过程中，往往感到困惑，从而提出种种质疑，在对称性的应用问题中条件和结论容易混淆.本文整理了对称性在几何、代数、微分、积分中的应用问题，同时对一些典型例题给予解释，对定理证明与条件的分析，给出论证及说明.通过“对称性”在各方面解题中的应用，进一步探究“对称性在解题中应用”的条件.体会到数学源于生活，又应用于生活.通过对“对称性在解题中应用”的条件理解，提高了学习者的数学素养和人文精神，培养了学习者分析问题和解决问题的能力.关键词：对称性，函数图像，轮换对称，轴对称，中心对称目录一、引言 (1)（一）研究工作的背景和发展概况 (1)1.对称性在代数中的应用 (1)2.对称性在几何中的应用 (2)3.对称性在微分学中的应用 (2)4.对称性在积分学中的应用 (3)（二）文章结构安排和主要结论 (3)二、对称关系在解题中的应用 (4)（一）利用对称关系解轮换对称题 (4)（二）对称性在函数中的应用 (6)1.对称性在基本初等函数中的应用 (6)2.对称性在三角函数中的应用 (9)3.对称性在解析几何中的应用 (11)三、结束语 (16)四、参考文献 (16)一、引言（一） 研究工作的背景和发展概况对称性是数学研究的一个重要组成部分,它普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支.古希腊哲学家、数学家普洛克拉斯曾说:”哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”对称性的内容十分丰富,对称性的应用也十分广泛.1.对称性在代数中的应用对称是代数中随处可见的现象.譬如，实数a 与a -互为相反数，复数bi a +与bi a -互为共轭复数，导数的运算法则，()v u v u '+'='+，()v u v u uv '+'=', 这些有着明显的对称性.还有，原函数与反函数的图像关于直线x y =对称，偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称，都给人以赏心悦目之感.例1．古人发现的“杨辉三角”，又称贾宪三角形﹑帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
15101051146411331121111它具有的性质：（1）每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1;（2）第n 行的数字个数为n 个;（3）第n 行数字和为)1(2-n ;（4）每个数字等于上一行的左右两个数字之和。
可用此性质写出整个杨辉三角形.“杨辉三角”形式上所具有的对称性和谐统一，令人叹为观止.例 2.似乎黄金分割点（618.0=ω处）不是对称点，但若将左端点记为A ，右端点记为B ，黄金分割点记为C ，则AB CA CA BC ::=，而且C 关于中点的对称点D 也是AB 的黄金分割点，因为AB DB DB AB ::=，再进一步，D 又是的黄金分割点，C 是DB 的黄金分割点。
由此讨论下去，可以视为一种连环对称.2.对称性在几何中的应用几何图形的对称性是数学解题中最通俗、最直观的解题方法。
在几何图形中，平行四边形是中心对称的，等腰三角形是轴对称的，球形最为特殊，它既是中心对称，又是轴对称，也是面对称的图形。
正如毕达哥拉斯所说：“一切立体图形中最完美的是球形，一切平面图形中最完美的是圆。
”正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才有了美丽的图案，有了巧夺天工的建筑，进而渲染出五彩斑斓的世界.反过来，在几何中，许多问题的解决也运用了对称性原理。
笛卡尔创建的解析几何学可以说是对称性思想在数学领域的成功运用.在笛卡尔直角坐标系中，代数方程与几何图形之间建立了一种对称，使代数与几何化为一体，达成完美的统一.而在各种曲线方程标准形式的推导中，更是充分利用了图形本身的对称性.例3.柯西总喜欢把空间里过点),,(321x x x 的直线方程写成对称形式：γβαcos cos cos 321x x x x x x -=-=-; 其中γβαcos ,cos ,cos 为直线的方向余弦；同时，他把曲面方程),(y x f z =写成对称形式0),,(=z y x F ，这样写不仅美观，而且便于书写和记忆.例 4.在笛卡尔坐标系中，伯努利双曲线θρ2cos 22a =关于坐标原点对称，坐标原点是具有切线x y ±=的拐点。
曲线的形状类似于横写的阿拉伯数字8，更像表示无穷大的符号∞.3.对称性在微分学中的应用对称现象在微分学中并不少见.如，连续与间断，有限与无限，无穷小与无穷大，曲线的凹凸等概念前后呼应，成对出现。
在多元复合函数求偏导数时，可以利用函数关于自变量的对称性简便计算.定义1（对称多项式） 若函数),,,(21n x x x f z =中任意两个自变量交换后，仍然表示原来的函数，则称此函数关于自变量对称.结论：若函数),(y x f z =在点),(y x 处可微，且),(),(x y f y x f =,则),(),(x y f y x f y x =.由结论可知，对于二元的关于自变量对称的可微函数，求其关于y 的偏导数，只需将函数关于x 的偏导数中的x 与y 交换位置即可，此结论还可推广到n 阶导数.4.对称性在积分学中的应用对称性在积分学中的应用更是极为常见.在定积分的计算中，如果合理利用对称性，则可以大大地简化计算，达到事半功倍的效果.例5.计算积分xdx e x cos ⎰.解：令xdx e M x cos ⎰=，可构造对称式xdx e N x sin ⎰=，则， x e N M x sin =+，x e N M x cos =-;从而=N 12(sin cos )x c e x x +-, 12(sin cos )x M c e x x =++ 本文主要依赖已有结果开展的研究, 有助于加深理解和认识自然界中的对称现象, 揭示各种对称性之间的相互作用关系以及它们对解题过程的影响.综上所述，从古至今数学中的对称性，都不仅给我们带来了计算上的方便，更给我们的思维以启迪，从而促进创造性思维的萌生.在高中数学教学中，教师有意识地揭示数学中的对称性在解题中的应用，加强数学对称性的启示教育，引导学生去发现对称性、运用对称性来解题，学生的学习积极性必将会大大的调动起来，从而使我们的课堂展现出更强的活力与魅力.（二） 文章结构安排和主要结论本文主要从轮换对称学，函数角度及平面解析几何这三个角度来对对称性在数学中的应用加以表述，引言第一节中介绍了对称性的研究背景、实际应用及现有研究成就. 下面给出本文的结构布局.本文重点，结构内容安排如下：第一节中，通过几道典型轮换对称性的例题具体说明运用常规方法很繁琐的类型题如运用他们的对称性来解题会使解题的过程与思路大为简化清晰.第二节中，对称性在函数中的应用：1、对称性在基本初等函数中的应用a 、首先是函数自身对称性。
主要结论有:定理 1.函数)(x f y =的图像关于点),(b a A 对称的充要条件是b x a f x f 2)2()(=-+.定理 2. 函数 )(x f y =的图像关于直线a x =对称的充要条件是)()(x a f x a f -=+，即)2()(x a f x f -=.定理 3. ①若函数)(x f y =图像同时关于点),(c a A 和点),(c b B 成中心对称 ()b a ≠，则)(x f y =是周期函数，且b a -2是其一个周期.②若函数)(x f y =图像同时关于直线a x = 和直线b x =成轴对称 ()b a ≠，则)(x f y =是周期函数，且b a -2是其一个周期.③若函数)(x f y =图像既关于点),(c a A 成中心对称又关于直线b x =成轴对称()b a ≠，则)(x f y =是周期函数，且b a -4是其一个周期.b 、其次是不同函数对称性的探究主要结论有：定理 4. 函数)(x f y =与)2(2x a f b y --=的图像关于点),(b a A 成中心对称.定理5. ①函数)(x f y =与)2(x a f y -=的图像关于直线a x =成轴对称。
②函数)(x f y =与)(y a f x a -=-的图像关于直线a y x =+成轴对称。
③函数)(x f y =与)(a y f a x +=-的图像关于直线a y x =-成轴对称。
2、对称性在三角函数中的应用：a 、利用三角函数对称性的特殊隆求解对称问题.b 、利用一般函数的对称性解决三角函数的对称问题.第三节中通过中心对称与轴对称来分别详细论述对称性在解析几何中的应用.二、对称关系在解题中的应用（一）利用对称关系解轮换对称题在数学中客观对称性的特征，几何中有中心对称、轴对称、镜象对称，代数中有互补对称、轮换对称、关系对称，如21x x +，12x x ，123x x x ++，222222122331x x x x x x ++ ,.均称为对称多项式（即一个多项式12()n f x x x 中任何两个变元,i j x x 对调后所得的多项式与原来的多项式相同）. 下面笔者结合多年的学习实践，通过以下几个实例来剖析对称性在解题中的功能与作用.例6.已知：0=++c b a ，求证：3333a b c abc ++=.分析： 根据对称关系给等式0=++c b a 赋予活的数学内容，那将出现一种新的格局.首先，它不再是一个静止的等式，而是方程0=++cz by ax 有非零解1===z y x 其次，它不再是一个孤立的等式，而是三个同样的等式0;0;0.a b c c a b b c a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩最后，将上述两个等式结合起来，得齐次线性方程组：0;0;0.ax by cz cx ay bz bx cy az ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解从而系数行列式等于零，又由于 3333a b cc a b a b c abc b c a=++-,所以33330a b c abc ++-=,即：3333.a b c abc ++=评注：这里既没有用到乘方公式，也没有用到因式分解的技巧，是对方程解的定义的理解，把0=++c b a 转化为齐次线性方程组，从而归结为行列式的简单展开.例7.设 0=++z y x ,0≠xyz ,求)11()11()11(yx z z x y z y x +++++的值. 分析：条件式具有对称性.为追求欲求式中三项的和谐统一和考虑出现0=++z y x ,在每个括号里添一项,得到关于zy x 111++的对称统一式. 解：原式=3111)11()11()11(-⋅+⋅+⋅++++++zz y y x x y x z z x y z y x=3)111)((-++++zy x z y x =-3.评注：根据式子中z y x ,,的轮换对称，通过“添项”，实现了整体形式的高度统一，从而获得解题突破口，问题得解。