函数单调性在解题中的应用

｛ ＜， ｎ 单 减 数 ） １＝ ０・ ） 调 函 ｎ＜ ） 是 ‘
ｌ＋ ｘ
侧均 有 厂（ ）＞０ 故 该 函 数 在 （一∞ ，＋∞ ） 无 ， 上 极值．
＝ｌ． ，． ．
）＜１ （ ≥２ ，． １ ） ＞１＋ ，尼 ） ． （ ＋ ” ． 埘．
６ 证明不等式
侈 已知 Ⅱｂｃ ，＜ｎ＋ｂＣ ４ ６ ，，∈Ｒ Ｃ ， ＞ａ—ｂ ．
永让
、 ． １
３ 判 断 方 程 的 根
：
Ｃ
＜
口
＋ 丽
Ｄ
’
）＝
・
例 明 程ｌ＝ １ 区 （ ＋ ） ３证 方 ｎ 詈一在 间ｏ ∞ ｘ ，
分析 ： 观察题 中式子 的特征 ， 想到 函 联
又 Ｃ ０ｃ面 Ａ Ｃ ‘面 Ａ Ｃ 上面 Ａ Ｄ Ｂ ． Ｂ ｌ ． 又’ Ａ Ｌ Ｂ， Ａ Ｃ ． Ｄ＿Ａ 面 Ｂ １ ’ ｎ面 Ａ Ｄ＝ Ｂ， Ｂ Ａ
’ ． ．
由上可知， 函数的单调性解题的关键是通过 用 观察 、 分析 、 联想 ， 构造一 个合适 的函数 ， 然后 根据 函
＾
所以 ｔ ＜÷．
＾
又是单调减函数 且 ０＜０＜詈 时 ， ，
￣ ｓ 一 ） 丢＜求的 值 围 （ｉ 吾ｎ＋ ） ， 取 范 ． １￣ ２ ｏ
分 析 ： 已知 函数 是 奇 函数 ， 已知 不 等式移 项 因 将
（ 接第 ４ 上 ６页 ） 求 证 ： Ｃ 上Ｂ Ａ Ｃ． 解 ： １ 由题 意 ， （） Ｃ ０上面 Ａ Ｄ Ｂ．
参考 文献 ：
又 ＢＣ 上 Ｃ Ｄ， Ｄ ｎＣ Ｄ ＝Ｄ， 】 １ Ａ 】
． ．
（ 还可由三垂线定理证 Ａ Ｄ上Ｂ Ｃ）
３ 结 语
化归 思 想方 法 是 解决 几 何 问题 的一 种 常见 的 、 重 要 的策 略方法 ， 蕴含 着 极其 丰富 的内容 ， 而辅 助线 的添 加方 法也 很多 ， 透 的数 学 思想 方 法 也 不仅 仅 渗
＋ ’ ｃ 、 。 ＋ ０＋ ６＋ ‘
解由 设 ０ 詈 ， ：题 知 ＜＜ 时
例 ７ 已 知 口 ６ ｃ∈Ｒ 且 ａｃ＝８ 求 证 ： ，， ， ｂ ，
， ｌ＋＾ ＋
—了一 ＋
≥＿．
分析： 由不等 式 的特 点 自然 想到 了要 构 建 一 个 函数 （ ）＝ ＋ ， 然后 再 利 用 函数 的性 质 进 行 尝
分 析 ： 判 断函数 的极 值 只需判 断 函数厂（ 要 ）＝
证 ：函 厂） ｛ ’＞１ ０的 点的 两侧 厂（ 正 负即可． 明设 数（＝ ， 一且 ≠ 凡 ． ， ）
。 故 ， ） 凡 ）＝ 一 ＝
解 ：‘ ＋ＣＳ Ｉ０ ． 在 （ ‘ Ｙ ＝１ ＯＸ ，． ． ＞ ・ ）： ０的 点 的两
试 的解题 思路 ．
／ ２ ｎ＜ ） （ｓ 一 一 ． ・ ３ ） １ ｎ ） 函 ， 一）一号， 是 数故 ＝ ） 奇 有 １ ｊ ｓ８ ）一１＝ 一） Ｆ ｉ一 ｎ＜ ） ． （ｎ寻 丢
・ ‘ ．
・
．
．
・ ．
’
， ） Ｒ上 是减 函数 ， （ 在
分 析 ： 据 不等式 的形式特 征 ， 根 经过 变形设 法 构
造 一 个函数 ， 而利 用函数 的 单调性 解 决此题． 继 解 ： 不 等 式 变形 为 （ 一２ｘ＋３ ） 原 ０ ８ ＋４ 一 （
２ ｘ＋ ８ ＋ 令 ０ ３ ）＜ ４， ）＝ ＋ 原 不 等 式 即 为 ４，
４ ・ ７
《 学之友》 数
２ １ 年第 １ ０２ ６期
Ｌ
ｘ ＋
ｌ 显 然此 函数 在 ［ ， ， ０ ＋∞ ） 增 函数・ ｃ 是 由 ＜Ⅱ＋６
后 得 １ｓ ２ － ｎ
３商
一
ｎ
）一 ） 一） 根 ＜ ＝ ． １ 再
＋ 面１ 最后根 据其
，
得 出 ｃ ＜ （ ６ 后原 题证 明 即能 实现． ） ， ０＋ ） 证 明： 构造 函数 ）＝
Ｄ上面 Ａ ，． Ａ Ｃ ， ＢＣ ，． Ｄ上 】 ’
８Ｃ１ 上面 Ａ Ｄ，． ｌ Ｃｌ ． ＢＣ ￣ＡＣ１ ‘ ．
学生在 数学 思想 方法 的高 度上 掌 握 数 学 知识 ， 能 才 较好 地形成 数学 能力 ， 受益终 身 ， 也必 将 实现数 学 这 教育 质量 的提高 ， 进学生 的终生 发展 ！ 促
是 化 归思 想方 法 ， 学 中要 让 学 生体 会 它 们 之 间 的 教
关 系． 添加 辅助 线 是 过 程 ， 是 目的 ， 化 归 思 想 是 不 而
・
［ ］ 章士藻． １ 数学方法 论简 明教程 ［ ． Ｍ］ 南 京： 南京 大学 出版社 ，０６，０—２ ． ２０ ２ １ ［ ］ 叶立军． ２ 数学方法论 ［ ． Ｍ］ 杭州： 江大 浙 学 出版社 ，０ ８ １ ９—１７ ２ ０ ，６ ７． ［ ］ 黄 翔 ． 学方 法 论 选 论 ［ ． 庆 ： 庆 ３ 数 Ｍ］ 重 重 大学 出版社 ，９ ５ ９ １９ ，３—１ １ １．
４８ ・
＝
数的 图 象在 区间（ ， ０ ＋∞） 内与 轴 有 两个 交点
即可．
证 ： ＝ ～ｘｌ’ ＝ 一 ， 明设 詈 ｌ—， （ ÷ ÷ ） ｎ ’ ） ．
令 厂（ ）＝０ 得 ＝ｅ 又‘ ｅ ． ， ． ）＝ 一１且 在 （ ，） ‘ ， ０ｅ ， 有 厂（ ）＜ ； （ ， Ｏ 在 ｅ ＋∞ ） 厂（ 有 ）＞０ 故 可 判 断 函 ． 数 的 图象在 区 间（ ， ０ ＋∞ ） 内与 轴 有 两 个交 点 ， 即 方 程有 两个实 根．
内有且 仅有 两个实 根． 分析 ： 造 函数 ）＝ 一ｌｘ一１ 只要 证 明 函 构 ｎ ，
１ 比较两个数的小
例 １ 比较 ｌ ３ ＋ ） ｌ ３ ｏ （ ２与 ｏ ｇ （ ｘ＋１ 的大小 ． ）
分析 ： 由题 目的两 个对数 ， 自然想 到对 数 函数 Ｙ ｌ ３ （ ， 。 是 单调 增 函数 ， 只 需比较 两个 ｏ 在 Ｏ ＋。 ） ｇ 故 自变量 的大 小就 可获 解．
值 范围即 可求得．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ｃ ＜。＋ ， ６从而有厂 ｃ ＜ （ ＋ ）即 ＿ ＜ （） 厂 ｎ ｂ， ｌ
。—。‘。一＜ １＋ｂ １ … １＜－— ＋ １ （‘。‘。１ —。—。 ‘。。’。 ｂ … 澈 —一 ． －—１ ——
口＋ ）＋ 、 口＋
３
２ 证明与 自然数有关 的命题
例 ２ 已知 ＞ 一１且 ≠Ｏ ｎ ， ， ∈Ｎ，Ｉ２ 求 证 ： 凡 ， ＞
（ ） １＋ ＞１＋ 砒． ．
厂 一 ０ （ ２ｘ＋３ ）＜ ） 又 ） Ｒ 上是 单 调 增 函 ８ ． 在 数 ， 以原 不 等式等 价于 一 ０ ３ ， 原不 等 所 ２ ｘ＋ ８＜ 得 式 的解 为 （ ，９ ． ２ｌ）
解： 令 ）＝ ， ＋ 易证 ） ［ ， ｏ 是 单 在 １ ＋ｏ ）
故 ｉ一商 ＞丢 有 ｓ８ ｎ 一， ｎ寻
即 ｓ —３ｓ ０＞一１ ｉ ０ ｔｎ ｎ ｉ ，
调 函 ， 芎 ＝所 芎 ≥ 增 数又 ≥ ２ 叫 生） ， ２ ＋ ≥． 口 丢
＿ 。
ｘ ＋
据厂 是减 函数又可得 ｆ （） ＜
ｌ＝ 一 ＿ ，０ １ 『（ ≤ ．
＜＋∞） 由此可知 ） ［ ， ∞） ， 在 ０ ＋ 是单调增 函数 ，
形 特 构 函 ）５ ＝ ．证 式 点 造 数， １ （ ） 它 ＝＋ － ＋ 易
在 （ ， ） 是 减 函数 ， 用 此 函数 的 单调 性 ， ０１上 利 ｔ的取
的蕈 调 件 求 锯 或 明．
解决 问题 的本质． 添加辅 助线 时 ， 师要经 常研 究 在 教 它 所包含 的本 质 的数 学思 想 方 法 ， 教学 中及 时 融 在 人， 这样 才有 助于 学 生拓 宽 思 路 、 富联 想 ， 而 达 丰 从
到 融会 贯通 的 目的． 新课标 、 教材要 求教 师 只有让 新
ｌｇ （ ｘ＋１ ． ｏ３３ ）
／ ／ ｙ ＝ 卅
ｙ－＋ ／ － ２ ｘ
４ 解不等式
例 ４ 解不 等式 （ 一２ ｘ＋３ ） ０ ８ ＋４ ＋１２＜ ５
＋８ ４．
（ ２ ＋ ）＜ｌ ３ ３ ０ （ ＋１ ． ｇ ） 在 ＝ 时 ， （ ＋２）＝ Ｉ ％
７ 求 参数 的取值范 围
例 ８ 已知 函数 ｆ ） 奇 函数 ， 实 数 区 间上 （ 是 在
整理得：＜ ｉ ＋ １ ￡ 丁０ ｓ ｎ
ｊ ｊ ｎ ｓｉ
构 函 ｙ詈 ＝（÷， 造 数 ＝＋ ÷ ＋１ ｊ． 、 ／ １ ） ｊ 在ｏ）是 函 ，域 （，∞， （１ 减 数值 为 ＋） ，上
分： （ ＞ 证酱 ＜ ５判 函 的 值 析 证 ＋ １ 需若 １ 定 数 极 欲 １） ＋ ．
可 ） ｛ 易 ） 调 数 此 令 ｎ 卉 ， 凡 单 函 ， 原 ＝ 知 是 由
命题可解．
例 ５ 判 定 函数 Ｙ＝ ＋ｓ ｘ在 （一∞ ， ｉ ｎ ＋∞） 上
的极 值．
解 ： 对 数 函数 的 自变 量 把 看 成 两 个 函 数 ：， ＋ ， ，＝ ２ Ｙ＝３ ｘ ＋１ ．由 直 线 方 程 的 知 识 得 在
。
（了１［ｇ ＋）ｌ 一 ， ＿ｏ ２＞ｇ １ ）１（ ２， ｏ ３ （ ＋） （，。 ｌ ３ １在丢＋） 。 戈 ： 。上 ｇ ，
《 学之友 ＞ 数
２１ ０ ２年第 １ ６期
函数单调性在解题 中的应用
解 题 探 索
吴德 明
（ 江苏联合 职业技 术学院南京工程分 院，１ ５ ２ １３ ） １
单 调性 是 函数 的一 个基 本 性 质 ， 有 些 数 学 问 对 题 ， 能灵 活运用 函数 的单 调 性 ， 能 获得 简 捷 、 若 常 明 快 、 观 的解法 ： 直