三角函数在解题中的应用

论文提要三角函数是高中数学的重点内容,也是历年高考的重点和热点内容,在高考数学试卷中占有很大的比例,三角函数的性质和图象是三角函数的重要知识点.三角函数是数学教学中的重要内容之一在解题过程中,三角函数常常与三角形密切结合在一起,灵活运用三角函数的知识以及三角形本身的独特性质.三角函数是学习高等数学的必备基础知识之一,学习时要注重三角知识的基础性,突出三角函数的周期性、单调性、奇偶性等性质.以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要注重三角知识的工具性,突出三角与代数、几何、向量的综合联系,以及三角知识的应用意识.本文介绍了在平时教学中我们应有意识地将各种数学思维方法贯穿在其中，有效的训练学生的思维能力，并举例说明巧用三角函数的一些性质解决一些求值、求参数范围、三角函数的单调性、奇偶性等问题.论三角函数在解题中的应用王宪摘要：三角函数是高中数学的重点内容,也是历年高考的重点和热点内容,在高考数学试卷中占有很大的比例，三角函数的性质和图象是三角函数的重要知识点.三角函数是数学教学中的重要内容之一在解题过程中，三角函数常常与三角形密切结合在一起，灵活运用三角函数的知识以及三角形本身的独特性质。

本文介绍了在平时教学中我们应有意识地将各种数学思维方法贯穿在其中，有效的训练学生的思维能力，并举例说明巧用三角函数的一些性质解决一些求值、求参数范围、三角函数的单调性、奇偶性等问题。

关键词：三角函数三角形公式定理高中数学的三角函数是比较难学的,也是高考必考内容.其涉及的基础知识、数学思想方法在数学和其它学科中都有广泛的运用.本文通过实例介绍几种常用的数学解题思想在三角函数中的应用.一．培养三角函数应用于解题的思想1. 分类的思想分类讨论方法又称逻辑划分,中学数学最常用的数学思想方法之一,也是高考数学中常考常新的数学思想.分类讨论就是依据一定的标准,对问题进行分类、求解,然后综合出问题的答案.在三角函数中主要对角的终边所在的象限的三角函数值等进行分类.2. 数形结合的思想数形结合方法是指将数(量) 与图形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略,数形结合思想可以使抽象的复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来.在三角函数的学习过程中,应把三角函数的性质融于函数的图形之中,充分利用三角函数的图像来解决实际问题.3. 函数与方程思想方程思想是指对所求的问题通过列方程(组) 使问题获解,有些三角函数问题通过引入一个新的变量,转化命题的结构,经过变形与比较,建立起含有特定字母系数的方程组,进而使问题获得解决.4. 化归思想所谓“化归”就是将所要解决的问题转化归结为另一个较易的问题或已经解决的问题, 具体地说把“新知识”转化为“旧知识”,把“未知”转化为“已知”,把“复杂”问题转化为“简单”问题,在三角函数中大量应用了化归方法.主要归纳方法：1) 未知化归为已知.例如用诱导公式把任意角的三角函数值逐步化归为求锐角函数值. 2) 特殊化归为一.例如把正弦函数图像逐步化归为函数()sin ,(A>0,B>0)y A Xx W x R =+ 其中的简图,把已知三角函数求角,化归为求[0, 2P]上适合条件的角的集合等.3) 等价转化.例如进行三角函数的化简,恒等变形和证明三角恒等式.5. 整体思维在对问题的处理过程中,不是局步的、片面的,而是把研究的对象作为一个整体来分析.在三角函数的一类题型中,在运用已知条件时,若把问题孤立分开逐步求解,则很繁杂.若通过对问题的整体结构进行分析,转化命题的结构,常可优化解题过程.以上五种思维方法在三角函数解题中有着广泛应用,有时在解某一道题过程,往往不只用到一种方法,而是数种方法结合在一起,使整个解题过程出神入化,简洁明快.在平时教学中我们应有意识地将各种数学思维方法贯穿在其中,有效的训练学生的思维能力.二．三角函数性质在解题中的应用1、巧用三角函数的有界性求最值在解题中经常运用三角函数的有界性如: sin 1,cos 1q q ＃来解决问题,如果运用巧妙,可以收到事半功倍的效果。

例1.已知33,,y cos 2sin 142x x x b p p 轾?-++犏犏臌函数的最大值为89，试求其最小值. 解：∵21172sin ,48y x b 骣琪=-+++琪桫maxmin 11sin ,sin 24179*1;88sin x x y b b x y -＃\=-=+==-==-又当时，当 简评：本题巧妙地利用三角函数的有界性解决代数式的最值问题.这类题目要求学生具有较强的分析能力和逻辑思维能力. 2、巧用三角函数的奇偶性求参数值正弦函数、余割函数、正切函数、余切函数是奇函数,余弦函数、正割函数是偶函数；奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称,适时地运用三角函数的奇偶性解题可简化运算.例2. 把函数4cos 3y x p骣琪=+琪桫的图象向左平移4个单位，所得的函数为偶函数，则 的最小值是（ ）A.3π4 B.3π2 C.3π D.3π5 分析：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解.向左平移q 个单位后的解析式为4cos ,3y x pq 骣琪=++琪桫44cos cos ,334444cos cos sin sin cos cos sin sin .33334sin sin 0,.344.0.3342. 2.33x x x R k k k k p p q q p p p pq q q q pq p p q p q p p q 骣骣琪琪-++=++琪琪桫桫骣骣骣骣琪琪琪琪+++=+-+琪琪琪琪桫桫桫桫骣琪\+= 琪桫\+=\=->\>\=\=则 答案：B3、巧用三角函数的单调性比较大小正弦函数在2,222k k p pp p 轾-++犏犏臌上是单调增函数，在32,222k k p p p p 轾++犏犏臌上是单调减函数。

余弦函数在[－π+2k π， 2k π]上是单调增函数，在[2k π， π+2k π]上是单调减函数；正切函数：在,22k k p pp p 轾-++犏犏臌上是单调增函数，其中k ∈z.利用三角函数的单调性可以求参数范围、比较大小、求（最）值等等。

例3.函数()sin cos 2,222x xy p p =+-在的增函数是（ ）解析：sincos sin 2224x x x y p 骣琪=++琪桫，当()222242x k k k z p p pp p -?? 时，函数递增，此时()34x 422k k k z ppp p -＃+，只有当k=0时()32,2.22p pp p 轾-?犏犏臌，答案：322p p轾-犏犏臌， 例4.下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间,2p p 骣琪琪桫上为减函数的是（ ）A ．2cos y x = B. 2|sin |y x = C. cos 1()3xy = D. cot y x =-解析：A 项：21cos 2cos ,,2xy x x p +===但在区间,2p p 骣琪琪桫上为增函数。

B 项：由图像可得T=π且在区间,2pp 骣琪琪桫上为减函数。

C 项：函数y cos x =在（2π，π）区间上为减函数，x 1y 3=（）为减函数。

因此cos x 1y 3=（） 在,2pp 骣琪琪桫区间上为减函数。

D 项：-cotx 函数在区间,2pp 骣琪琪桫上为增函数。

答案：B4、巧用三角函数的周期性解题正弦函数和余弦函数的周期是2π，正切函数、余切函数的周期是π. 三角函数的周期性常和三角函数的图象结合起来考查。

例5. 已知函数f （x ）=A sin ωx +B cos ωx （A 、B 、ω是实常数，ω＞0）的最小正周期为2，并当x =31时，f （x ）max =2.（1）求f （x ）. （2）在闭区间［421，423］上是否存在f （x ）的对称轴?如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由.解：（1）f （x ）=3sin πx +cos πx =2sin （πx +6π）. （2）令πx +6π=k π+2π，k ∈Z . ∴x =k +31，421≤k +31≤423.∴1259≤k ≤1265.∴k =5. 故在［421，423］上只有f （x ）的一条对称轴x =316.例6．已知函数2()sin ()(0,0,0)2f x A x A pw j w j =+>><<，且()y f x =的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点()1,2 （I ）求ϕ（II ）计算(1)(2)(2008)f f f +++ . 解：（I ）2sin ()cos(22).22A Ay A x x w j w j =+=-+ ()y f x = 的最大值为2，0A >.2, 2.22A AA \+==又 其图象相邻两对称轴间的距离为2，0ω>，12()2,.224p pw w \==22()cos(2)1cos(2)2222f x x x p pj j \=-+=-+.()y f x = 过(1,2)点，cos(2) 1.2pj \+=-22,,2k k Z p j p p \+=+ 22,,2k k Z p j p \=+ ,,4k k Z p j p \=+ 又 0,2p j <<4pj \=.（II ）解法一：4pj =，1BC B C ^ (1)(2)(3)(4)21014f f f f \+++=+++=.又()y f x = 的周期为4，20084502= ，(1)(2)(2008)45022008.f f f \++鬃?=?解法二：2()2sin ()4f x x pj =+223(1)(3)2sin ()2sin ()2,44f f p pj j \+=+++=22(2)(4)2sin ()2sin ()2,2f f pj p j +=+++=(1)(2)(3)(4) 4.f f f f \+++=又(2,0)±的周期为4，20084502= ，(1)(2)(2008)45022008.f f f \++鬃?=?注：本题考查了三角函数的图象的性质,特别是周期性的巧用,技巧性强,简化了运算. 例7.为了使y =sin ωx （ω＞0）在区间［0，1］上至少出现50次最大值,则ω的最小值是（ ） A.98πB.2π197 C.2π199 D.100π解析：4941×T ≤1，即4197× π2≤1，∴ω≥2π197. 答案：B.在今后的命题趋势中,三角函数的图象和性质这一类基础题目仍是考查的重点内容,而灵活地利用三角函数的性质解决三角函数与其他知识相结合的综合题目，将会成为高考的热点和重点,此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，并且要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.参考文献：1李盘喜,祝承亮,隋福林.高中数学解题题典.长春:东北师范大学出版社1996.2中学数学室．全日制普通高级中学教科书（ 必修） 第一册．北京： 人民教育出版社，２００６．。