浅谈函数单调性的应用
浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用
浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用1. 引言1.1 介绍函数单调性的概念函数单调性是高中数学中一个非常重要的概念，它在分析函数性质、求解极值和解不等式等问题中具有重要作用。
所谓函数单调性，指的是函数的增减性质，也就是函数在定义域内是单调递增还是单调递减。
具体来说，如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a小于b时，有f(a)小于等于f(b)，则称函数f(x)在区间上是单调递增的；如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a小于b时，有f(a)大于等于f(b)，则称函数f(x)在区间上是单调递减的。
函数单调性的概念非常直观和易懂，通过观察函数的图像我们也可以很容易地判断函数的单调性。
在学习函数单调性的过程中，我们需要掌握函数单调性的定义与分类、判断函数的单调性的方法，以及函数单调性在求极值和解不等式中的应用。
函数单调性不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还可以在解决数学问题时提供重要的线索。
深入学习函数单调性是我们在高中数学学习中不可或缺的一部分。
1.2 为什么函数单调性在高中数学中重要函数单调性是研究函数变化规律的基本性质之一。
通过分析函数的单调性，可以帮助我们更好地理解函数的增减性质，从而更深入地理解函数在数学中的应用。
在解决实际问题时，函数的单调性也是确定函数取值范围和变化趋势的重要依据。
函数单调性是高中数学中求解极值和解不等式的重要工具。
根据函数的单调性，我们可以快速判断函数的最大值和最小值，进而求解极值问题。
通过函数的单调性可以帮助我们求解各类不等式，从而更好地解决数学中的实际问题。
函数单调性也与函数的图像密切相关。
通过研究函数的单调性，我们可以更好地理解函数的图像特征，包括函数的上升和下降区间，极值点位置等，从而更好地描绘函数的图像。
函数单调性在高中数学中的学习与运用具有重要的意义，可以帮助我们更深入地理解函数的特性，解决实际问题，并为学习其他数学内容打下扎实的基础。
掌握函数单调性不仅可以提高数学学习的效果，也可以在以后的学习和工作中发挥重要的作用。
浅谈数学中函数的单调性及其应用
浅谈数学中函数的单调性及其应用浅谈数学中函数的单调性及其应用摘要函数的单调性是高一数学课程中所接触到的函数的第一个性质，单调性的判断（用定义证明一个函数的单调性、求复合函数的单调性）及其应用（包括利用单调性求解不等式、利用单调性求函数的值域、利用单调性求函数的最值等）在高中数学中的作用和地位是非常重要的，它可以和高中阶段的很多知识点联系在一起，出题的方式、解题的方法也是多种多样的。
下面就我个人的理解和掌握，对函数的单调性判断及利用函数的单调性求解不等式、利用单调性求最值和参量等问题，举些具有代表性的例子。
关键词：函数；单调性；数学前言函数单调性是中学数学的重要内容之一，是高考的热点，常作为高考压轴题的考查内容，比如，本文通过整理发现陕西近年的高考数学题呈现一个现象，即多次要用函数单调性去做一些较难层次的题，分别是求参数范围、解不等式、证明不等式等。
同时，新课标对于函数单调性的教学目标是，要求学生能够熟练掌握单调性概念的证明方法，并应用单调性来求解一些基础题。
不管是高考趋势，还是新课标所倡导的教学理念，都对学生学习函数单调性提出了较高层次的要求。
但由于函数单调性的证明和应用的复杂性，使得学生在学习和做题过程中存在很多困难，例如，通常掌握单调性的概念证明是远远不够的。
那么，就出现了一个问题，除了它的的概念，是否还有其他可以证明函数单调性的方法，同时这些方法可以用来解决高考题。
针对于以上提到的两点，本文选择了函数单调性的判断和应用进行研究。
函数的单调性，是函数在它的定义域或其子集内如何增减的刻画。
它是研究函数必不可少的内容，不论是现实生活，还是学习其它理论知识，单调性都是一个很有用的工具。
函数是高中数学的中心内容，几乎渗透到数学的每一个角落，它不仅是一条重要的数学概念，而且是种重要的数学思想。
而函数的单调性则是函数的一条重要性质，它是历年高考重点考查的重要内容，它的应用十分广泛。
通过研究函数的单调性可以揭示函数值的变化特性，对于一些学问题,若解题中注意应用函数的单调性，合理巧妙地加以运用，定会带来快捷的解题思路，可以使问题的解决简捷明快。
浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用
浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用高中数学是学生学习数学知识的重要阶段，其中函数的学习是数学课程中的重要内容。
在高中数学中，函数的单调性是一个非常重要的概念，它不仅涉及到数学知识本身，还涉及到数学的应用和解决实际问题的能力。
本文将基于高中数学的角度，浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用。
我们来了解一下什么是函数的单调性。
在数学中，一个函数在某个区间上单调递增是指在这个区间上，函数的值随着自变量的增加而增加；而单调递减是指函数的值随着自变量的增加而减小。
如果一个函数在某个区间上既不增也不减，那么我们称这个函数在这个区间上是不单调的。
而判断一个函数的单调性的方法，一般是通过导数的符号来判断的。
如果函数在某个区间上的导数恒大于零或者恒小于零，则这个函数在这个区间上就是单调的。
在高中数学中，函数的单调性通常是在学习导数的时候进行讨论的。
在学习导数的过程中，我们会学习到导数的定义、求导的方法以及导数的性质等知识。
而函数的单调性就是导数性质中的一个重要内容。
通过对导数的研究，我们可以很方便地得到函数在某个区间上的单调性，并通过单调性来解决一些实际问题。
所以，学习函数的单调性可以帮助我们更深入地理解导数的含义和作用，从而提高我们的数学分析和解决问题的能力。
在高中数学中，函数的单调性有着广泛的应用。
比如在函数的最值问题中，通过研究函数的单调性，可以很方便地得到函数的最大值和最小值，并且可以用单调性来解决一些比较复杂的最值问题。
又比如在求解不等式问题中，也可以通过对函数的单调性进行研究，从而得到不等式的解集。
函数的单调性还可以应用在一些实际问题的建模和求解中，比如在经济学、物理学和生物学等领域，函数的单调性都有着重要的应用价值。
为了更好地理解和运用函数的单调性，我们需要掌握一些基本的方法和技巧。
我们需要熟练掌握函数的导数定义和求导的方法。
只有对导数的概念和性质有着深刻的理解，才能更好地掌握函数的单调性。
我们需要多做一些函数的单调性的练习题，通过练习题来巩固和加深对函数单调性的理解，从而提高解决问题的能力。
函数的基本性质单调性的应用
函数的基本性质单调性的应用函数的单调性是函数在定义域上的性质，描述了函数图像随着自变量的增减而变化的规律。
应用函数的单调性可以帮助我们分析函数的性质，解决各类数学问题。
下面将对函数的基本性质单调性的应用进行分类总结。
一、判断函数的增减性：1.定义法：根据函数定义，若对于任意x1、x2∈定义域，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数f(x)在该定义域上严格递增。
若f(x1)>f(x2)，则函数f(x)在该定义域上是严格递减。
2.导数法：对于可导函数f(x)，若在定义域上f'(x)≥0，则函数f(x)在该定义域上是递增的；若f'(x)≤0，则函数f(x)在该定义域上是递减的。
3.不等式法：对于不等式f(x1)≤f(x2)，如果我们能够证明当x1<x2时，则不等式成立，那么函数f(x)在该定义域上是递增的；如果我们能够证明当x1<x2时，则不等式反向成立，那么函数f(x)在该定义域上是递减的。
二、判断函数的最大值和最小值：1.极值点：对于可导函数f(x)，当f'(x)=0时，x就是函数f(x)的一个极值点。
若在x点的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则x是函数f(x)的一个局部最大值点；若在x点的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则x是函数f(x)的一个局部最小值点。
2.二阶导数：对于二次可导函数f(x)，当f''(x)>0时，函数f(x)在该点上是凹的，存在一个局部极小值；当f''(x)<0时，函数f(x)在该点上是凸的，存在一个局部极大值。
通过判断二阶导数的正负，可以得出函数的凹凸性及极值点。
三、求解方程和不等式：1.方程求解：对于严格递增（递减）函数f(x)，f(x)=k（k为常数）的方程只有一个解。
2.不等式求解：对于不等式f(x)≤0，f(x)≥0，若函数f(x)在定义域上递减，则不等式解集由定义域内满足f(x)≤0（≥0）的x组成。
函数的单调性的应用课件
详细描述
在许多优化算法中，如梯度下降法、牛顿法等，可以 利用函数的单调性来指导搜索方向，加速算法的收敛 速度。此外，在求解最优化问题时，可以利用单调性 来证明解的存在性和唯一性。
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导数与函数的单调性
导数与函数的单调性密切相关。导数大于零的区间内，函数单调递增；导数小于零的区间内，函数单 调递减。
通过求函数的导数，可以判断函数的单调性，进而研究函数的极值、拐点等性质。此外，导数还可以 用于求解函数的零点、近似计算等问题。
微积分中的单调性应用
单调性在微积分中有着广泛的应用。例如，在积分学中，可以利用单调性判断积分的符号和大小；在级数理论中，可以利用 单调性判断级数的收敛性和发散性。
02
在单调增函数中，随着自变量$x$的增大，函数值 $f(x)$也相应增大。
03
单调增函数在图像上表现为从左到右逐渐上升的曲 线。
单调减函数
01
单调减函数是指函数在某个区间内，对于任意$x_1 <
x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$。
02
在单调减函数中，随着自变量$x$的增大，函数值
$f(x)$相应减小。
单调性在图像分析中的应用
判断极值点
通过单调性分析，可以确定函数的极值 点，即函数由递增转为递减或由递减转 为递增的点。
VS
确定函数值范围
根据单调性，可以确定函数在某个区间内 的最大值和最小值。
图像变换与单调性的关系
平移变换
函数图像的平移不影响函数的单调性，平移 后的图像仍保持相同的单调性。
伸缩变换
利用单调性进行投资决策分析
总Hale Waihona Puke 词投资决策分析中，函数的单调性可以用于评 估投资组合的风险和回报。
函数单调性的应用及解法
函数单调性的应用及解法函数的单调性是数学中的一个重要概念，它描述了函数随着自变量的增大或减小，函数值是递增还是递减的趋势。
掌握函数的单调性不仅对于理解函数的性质和行为有帮助，还可以在实际问题中进行正确的推导和解决。
本文将从函数单调性的概念、解法和应用方面进行详细论述，以便读者更好地理解和灵活运用。
首先，我们来具体定义函数的单调性。
设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于任意x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) ≤f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是递增的；如果对于任意x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) ≥f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是递减的。
如果函数f(x)既是递增的又是递减的，则称函数f(x)在区间I上是严格单调的。
接下来，我们将介绍解决函数单调性的一般方法。
首先，我们需要找到函数的导数。
对于定义在区间I上的函数f(x)，如果导数f'(x) ≥0，则f(x)在区间I上递增；如果导数f'(x) ≤0，则f(x)在区间I上递减。
如果导数f'(x) > 0，则f(x)在区间I上严格递增；如果导数f'(x) < 0，则f(x)在区间I上严格递减。
因此，解决函数单调性问题的一般步骤如下：首先，计算函数的导数；然后，找到导数的零点，即导数为0的点；最后，根据导数的正负情况，判断函数的单调性。
然而，由于计算函数的导数和求解导数的零点可能会比较复杂，所以在实际应用中，我们往往会借助一些简化的策略和技巧。
下面，我将以实际问题为例，具体介绍函数单调性的应用和解法。
第一个应用场景是求解函数极值问题。
对于一个凸函数（即导数的二阶导数大于等于0），如果在一个区间上函数的导数从正数变为负数，那么函数在该点上取得极大值；如果在一个区间上函数的导数从负数变为正数，那么函数在该点上取得极小值。
这是因为函数在这两种情况下都出现了斜率的变化，导致函数的增长或减小逐渐趋缓。
函数单调性的应用
3.求参数取值范围
例3：已知函数f(x)=- x2+tx+6在（- ，2]上递增
求 t 的取值范围
x 例4：已知二次函数f(x)=
2-(a-1)x+5在区间（
1 2
，1）
上是增函数，求f(2)的取值范围
4.求函数的值域（包括最值）
例1。已知函数f(x)= x2 -2x+3在[0，a](a>0)上最大值是3
课堂练习：
1．求 y 6x 3 2x 1 的值域。
log 3 1 a4
2．函数f (x) x2 2(a 1)x 2 在区间(-∞,4)上 是减函数,则实数a的取值范围是 [ ]
A．a≥3 B．a≤-3 C．a≤5 D．a=-3
对称轴为x=3的抛物线，试比较大小：
（1）。f(6) 与 f(4)
（2）。f(2) 与 f( 15)
思考:
f(x)在[0，π]上单调递增，且f(x)关于 y轴对称比较下列各函数值的大小：
f ( ) 、 f (2) 、 f ( )
2
f ( )
f (2)
f ( )
2
2.解不等式或方程
例2：函数f(x)对任意的m, n R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1.
最小值是2，求实数a的取值范围
例2.已知关于x的二次函数f(x) ax2 bx 2在区间(, 1 ] 2
上递减,在区间[1 ,)上递增.且f (2) 0.求f(x)的值域. 2
分析:求f(x)的值域应先求出f(x)的解析式,即解出a,b.
解： f (x)在（ ，1]上递减，在[1 ， )上递增
并且当x > 0时，f(x)> 1 1）求证：f(x)在R上是增函数
函数单调性的应用
y=2x+1
性质： (1)当k>0时， y随x的增大而增大； (2)当k<0时， y随x的增大而减小。
二次函数y=ax2+bx+c的单调性
a>0
y y
a<0
x 0 0
x
反比例函数
y
1
k y x
的单调性
y y1
1 y x1x1o Nhomakorabeax
x
－1
o
K>0
K<0
2 例1：(1)若函数 f ( x) 4x mx 5 m在 [2, ) 上是增 函数，在 (, 2] 上是减函数，则实数m的值 为 ； （2）若函数 f ( x) 4x2 mx 5 m在 [2, ) 上是增函 数，则实数m的取值范围为 ； f ( x) 4x2 mx 5 m的单调递增区间 （3）若函数 为 [2, ) ，则实数m的值为 ．
如果函数y=f(x)在区间M上是增函数或减函数， 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有严格的单调性， 区间M叫做函数y=f(x)的单调区间.
证明：函数f（x）＝－x3＋1在（－∞，＋∞）上是 减函数。 证明：设x1＜x2，则
x x2 x1 0
y f ( x2 ) f ( x1 ) x13 x23 ( x1 x2 )(x12 x1 x2 x22 )
1 2 3 2 ( x1 x 2 )[(x1 x 2 ) x 2 ]. 2 41 3 2 2 由x1＜x2，x1－x2＜0且 ( x1 x2 ) x2 ＞0 2 4
y 0
因此，f（x）＝－x3＋1在（－∞，＋∞）上是减函数。
一次函数y=kx+b的单调性
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浅谈函数单调性的应用
贵州省习水县第一中学袁嗣林
摘要：函数的单调性是函数的一条重要性质，本文概括、总结了五种方法判断函数的单调性. 同时对每种方法的特点及适用范围、注意事项采用举例的方式作了具体的介绍，这有助于读者更好地理解和掌握这些方法，从而能轻松的解决有关函数单调性的问题.
函数的单调性是函数的一条重要性质，反映了函数值的变化规律. 在高考中历考弥新，考查的深度远远高于课本。
在讨论函数单调性时必须在其定义域内进行，因此要研究函数的单调性就必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集. 接下来我就来谈谈函数单调性的应用。
一、函数单调性的判别
单调性是函数最重要的性质之一．导数的引入虽然给单调性的研究带来了极大的方便，但是它并不能解决与单凋性有关的所有问题．本文结合近几年的试题谈谈判断单调性的几种方法。
．
1.定义法（自变量增大函数值变小为减函数；反之，为增函数）
例1 判断函数的单调性
解因为==，显然当为正数且逐渐增加时, 也逐渐增加，则其倒数逐渐减小，即函数值逐渐减小，所以函数在区间(0，+∞)上为减函数．
2.函数变换法
由上面的定义法我们不难得到单调函数运算后的一些结论：在同一个区间上，若f(x)、g(x)都是单凋增(减)函数，则f(x)+g(x)也是单凋增(减)函数；若f(x)单凋递增，g(x)单凋递减，则f(x)-g(x)单调递增；若f(x)单凋递减，g(x)单凋递增，则f(x)-g(x )单调递减.
例2 判断函数的单调性.
解设，显然当x>0时，函数g(x)单凋递增，而函数f(x)单调递减．由上面的运算法则知函数f(X)在区间(0，+∞)上为增函数.
3.复合函数法
设函数f(x)由两个函数g(x)与h(X)复合而成，则g(x)与h(x)单调性相同时，f(x)单调递增；g( x)与h(x)单调性不同时，f(x)单调递减，即通常所说的同增异减．多层复合，依此类推．
例3已知函数y=f(x)的图象与函数的图象关于直线对称，记，若y=g(x)在区间[ 1/2，2]上是增函数，则实数a的取值范围( )
(A)（０，+∞） (B)（0，1)U(1，2) (C) (D)
解因为，
所以-1
取特殊值
令则. 当，此时递增，又函数g （t）的图象开口向上，对称轴为，所以二次函数g（t）递增，故函数g（x）递增，满足题意.排除A.同理取特殊值，排除B，C可知选D.
4．作差比较法
根据定义证明函数单调性是判断函数单调性的最重要的方法。
其步骤为：(1)设值：即在单调区间上设出两个不相等的自变量、，且< ；(2)比较：即比较)与大小，通常采用作差或作商的方法；(3)判断：即根据定义结合前两个步骤得出结论．
例4 (由2001年新课程卷题改编) 设，求证f(x)在(O，+∞)上是增函数.
证明设0<< ，则- =+-（+）
=（-）+（-）
=（）
由> 0，> 0，-> 0，+ 0，10，1-0
所以-< 0，即)<.从而，f(x)在(0，+∞)上是增函数.
5．等价变形法
根据单调性定义，易知增函数的等价形式是或（-）[
] 0有时直接用定义判断函数单凋性困难较大，采用等价形式则能帮我们化难为易.
例5 设f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且对任意的a、b∈[-1，1]，当“a+b≠0时，都有，试判断单调性.
解设，∈[-1，1]，且<，则-∈ [-1，1]，
依题意有=
故）在 [-1，1]上是增函数.
二、单调性在解题中的应用
单调性有广泛的应用，主要用于如下几个方面：
1.比较两个数的大小
例6比较和的大小
分析从题设的两个对数，便联想起y= 在在(O，+∞)上是单调增函数，因此．只要比较两个真数的大小，原题就可获解.
解，解得
当时，有0<<．因函数y= 在上单调递增，故，
.
2.证明与正整数有关的命题
例7 已知，且，，n 2 求证.
证明构造函数，因为x>-1且x≠ 0，
故-==
所以，
所以是单调递减函数.
3.解方程
例8 解方程
解
在它们共同的定义域里，为单调递增函数，为单调递减函数．
又显然=，
所以方程=仅有一解．X=1．故原方程的解是x=1．
4.证明不等式
在证明不等式中，通过联想构造函数，将常量作为变量的瞬时状态，置于构造函数的单调区间内，利用其单调性证明一些不等式，十分便捷．
例9 已知a、b、c∈R ，|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证ab+bc+ca+1>0
解构造函数f(x )=(b+c)x +bc+1，只需证 x∈(-1，1)时f(x)>0恒成立．当b+c=时， =1一b2 >O恒成立．
当b+c≠ 0时，一次函数= (b+c)x+bc+1，在x∈(-1，1)上是单调的．
因为=bc+b+c+1= (b+1)(c+1)>0，，f(-1)= bc-b-c+1=(b-1)(c-1)>0，
所以=(b+c)x+bc+1在 x∈(-1，1)上恒大于零.
综上，当|a|<1时，(b+c)a+bc+1>0恒成立，从而得证．
例10 已知f(x)为R上的减函数,则满足的实数x的取值范围( ) A B C D
解析借助单调性将不等式转换为自变量应满足的关系式.很容易可以做出选C.
5.求参数的取值范围
例11已知f(x)是奇函数，在实数集R上又是单调递减函数，且时
求t的取值范围.
分析：因已知函数f（x）是奇函数将已知不等式移项后可得
根据是减函数脱去，然后由式子特征构造相应单调函数.
解<设x=sin0<x<1 化简：
-3tx<-1 解得t>.
6.已知函数在某区间上单调求参数的取值范围此类问题的本质就是转化为不等式恒成立问题
例12 已知a为实数若在和上都是递增的，求a的取值范围．
解在和上非负.
的图象为开口向上且过点(O，-4)的抛物线，由条件得
即
所以a的取值范围为[-2，2].。