2021年高考数学专题复习：数列的分类讨论

2021高考数学专题复习:分类讨论1.数列112+-=n b n 的前n 项和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=n S2.数列{}n a 的通项公式313,n a n =-则前n 项和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=n S3.数列{}n a 的通项公式425,n a n =-+则前n 项和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=n S4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且.62,546-=-=S a （Ⅰ）求{}n a 通项公式（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n T5.数列()(){}3411-⋅--n n 的前n 项和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=n S6.数列()(){}12cos -⋅n n π的前n 项和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=n S7.数列{}n a 中()(),1,11,2,1,221≥-+=-==+n a a a a nn n 求{}n a 通项公式及前n 项和n T8.设()22cos ,nn b n n π=+⋅求数列{}n b 的前n 项和n T9.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且,22-=n n a S 数列{}n b 满足11=b ,且12n n b b +=+. (Ⅰ)求数列{}{}n n b a ,的通项公式 (Ⅱ)设,2cos 2sin 22ππn b n a c n n n ⋅-⋅=求数列{}n c 的前n 项和n T 10.函数()()0,2>+-=a a ax x x f 有且只有一个零点,数列{}n a 的前n 项和()()+∈=N n n f S n ,（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式 （Ⅱ）设,3nn n a b =求数列{}n b 的前n 项和n T11.数列{}n a 的奇数项构成公差为2-的等差数列,偶数项构成公比为2的等比数列,1212, 2.a a == 求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S 12.设数列满足:54,511=+=+n n a a a(Ⅰ)是否存在实数t ,使{}t a n +是等比数列 (Ⅱ)设数列,n n b a =求{}n b 的前n 项和n S13.求{}n a 前n 项和n S (1)()()3231++-=n a nnn(2)()()⎩⎨⎧=+-==k n n k n a n n 2..3212..3(3)()()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+==12...3122.231..3n n n n a n n(4)()()()⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-=⋅=k n n k n n a nnn 2..2112..214.求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S : (1) 54,1,18,4,6,7,2,10--(2) 2,41,1,21,4,1,7,2-15.已知数列{}n a 的前n 项和为0121n n n n n n S C C C C -=++++，数列{}n b 满足2log .n n b a =（Ⅰ）求数列{}{}n n a b ,>的通项公式;（Ⅱ）求2222121234(1)n n n T b b b b b +=-+-++-16.()()()=+-+⋅-=2313161n n n a nn=n S17.()()()=+-⋅-=-1212411n n na n n=n S18.()()()=+-⋅-=-121211n n na n n=n S19.数列{}n a 中,()1.2,4,1221≥+===-n a a a a n n （Ⅰ）求{}n a 通项公式（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S()()()()()()()()()()()()()().7.666626.23235.224214234.223232.6.50105255.1012222222⎪⎩⎪⎨⎧≥+-+-≤+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-+-≤+-=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=-+≤+-=n n n n n n S n n n n n n S n n n n n n n S n n n ()()()()()()()()22343.7224323..317777.8222 1.215.2...2n n n n n n a n T n n n n n k S n n k ⎧-+≤⎪⎪=-=⎨⎪+---≥⎪⎩-=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩ ()()()()2.2261221.212n nn n k S n n n k ⎧⋅==⎪⎪=⎨-⎪⋅--=-⎪⎩ ()()()()()()()[]()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-+-=+=⎩⎨⎧=-==12.1141412.441.2.12.1722k n n n k n n n S k n n k n a n n()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-+--=-+=⋅+-=++12.32212..322.221811k n n k n n T n b n n n n n n ()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=+--=⇒⎩⎨⎧-==++12.23222.2322.12292221k n n n k n nn T n b a n n n n n n ()()()()().2.31521...31.2012⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-==-=n n n b n S n n n ()()()()n nn n n n n T ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+==311312.311311 (31)()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=++k n n n k n n n S k n k n n a n n n n n 2..4262212.4252422.2..212.13112221 ()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=+--=-=++k n k n S k n k n b a t n n n n n n n n 2.34412.13442.1412.14.14,11211[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()11122222222222221221151212120123451012345101201231.222211.212111222n n n n n n n n n n n n n n n n S a b n T b b n n n n n n n k T n n k T n n n n n n k n k T T b n -+++-=-⇒=⇒=-=-+-+-++-=--+-+++-⎧--⎧--=⇒=------===⎪⎪⎪⎪⇒=⎨⎨-----⎪⎪+⇒=+⇒=+-=+-=⎪⎪⎩⎩()()()()()()()11116131321111111111125588111114313211.21232.11.223211171212111111335nn n n n n n n a n n S n n n k n S n k n a n n S -⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒=--+++--++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎧--=-⎪⎪+⇒=⎨⎪-+=⎪+⎩⎛⎫=-⋅+ ⎪-+⎝⎭⎛⎫⎛⎫⇒=++-- ⎪ ⎝⎭⎝()()()()()()11111111115779212111.212111.22111118142121111111111114133557792n n n n n n n n n k n S n k n a n n S n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++--++-⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎧⎛⎫+=- ⎪⎪+⎪⎝⎭⇒=⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪+⎝⎭⎩⎛⎫=-⋅⋅+ ⎪-+⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒=++--+++--++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()112111111.21.214214841111.21.2484421n n n k n k n n S n k n k n n ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦⎧⎛⎫⎧+=-+=- ⎪⎪⎪+⎪⎝⎭⎪+⇒==⎨⎨⎛⎫⎪⎪-=+= ⎪⎪⎪+⎩+⎝⎭⎩()()().2119 2.2n n n k a n n k =-⎧⎪=⎨+=⎪⎩()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+=k n n n k n n n S n 2 (2)312223222021高考数列专题复习:分段(11)1.正项数列{}n a 前n 项和为,n S 21111,n n n a S S a ++=+=，数列{}n b 满足1,311==⋅+b b b n an n（Ⅰ）求数列{}{}n n b a ,的通项公式（Ⅱ）记21412n n n n T a b a b a b -=++⋅⋅⋅+，求n T .2.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 且3n n a S =-，数列{}n b 为等差数列，且5715,21.b b == （Ⅰ）求数列{}{}n n b a ,的通项公式（Ⅱ）将数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的第1b 项，第2b 项，第3b 项，第n b 项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前2020项和.3.等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且152,30a S ==.数列{}n b 的前n 项和为n T ,且21n n T =-.()11ln nn n n c nb S =+-（Ⅰ）求数列{}{}n n b a ,的通项公式 （Ⅱ）求数列{}n c 的前n 2项和2n A . （Ⅲ）求数列{}n c 的前n 项和n A .4.已知数列{}n a 的前n 项和为()0,1,1,11>+==+λλn n n S a a S 且123,2,3a a a ++成等差数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）令(),log log 1122+⋅-=n n nn a a b 求数列{}n b 的前n 2项和2.n T5.数列{}n a 的前n 项和为,n S 点()n n S n P ,是曲线()x x x f 22+=上的点,数列{}n b 是等比数列,且满足11b a =,24b a =．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式（Ⅱ）记(),1n n nn b a c +⋅-=求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．（Ⅲ）记(),1n n nn b a c +⋅-=求数列{}n c 的前n 项和n T ．6.数列{}n a 中，()3,3,6,2221≥+===-n a a a a n n （Ⅰ）求{}n a 通项公式（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S7.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知216,4 1.n n S a S +==+ （Ⅰ）求通项n a（Ⅱ）设4n n b a n =--，求数列{}n b 的前n 项和n T ．8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项的和，已知,75,7157==S S （Ⅰ）求通项n a （Ⅱ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项的和n T .9.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且(),,22*N n a S n n ∈-=数列{}n b 满足11b =,且12n n b b +=+.(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式(Ⅱ)设()(),2.12.⎩⎨⎧=--==k n b k n a c nn n 求数列{}n c 的前2n 项的和2n T .10.已知{}n a 是等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和,且100,191010==S a ,数列{}n b 对任意*N n ∈,总有221+=⋅⋅n n a b b b 成立 （Ⅰ）求数列{}{}n n b a ,的通项公式 （Ⅱ）记()()241,21nnn n b c n ⋅=-+求{}n c 的前n 项和n T11.在各项均为正数的等比数列}{n a 中，1231, 6.a a a =+= （Ⅰ）求数列}{n a 的的通项公式 （Ⅱ）若()()⎩⎨⎧=-=-=k n a k n n b nn 212.12, 求数列{}n b 的前n 项和.n T12.正项等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且*246,30,S S n N ==∈，数列{}n b 满足1,11==⋅+b a b b n n n（Ⅰ）求,n n a b（Ⅱ）求数列{}n b 的前2n 项和2n T .13.若数列{}n a 的前n 项和为,n S 且对任意正整数n 都有42=-n n S a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式 （Ⅱ）令()122log log 321+⋅+⋅-=n n nn a a n b ，求数列{}n b 的前n 项和n T14.n S 是正项数列{}n a 前n 项和,2,2n n n a a S +=等比数列{}n b 公比,2,11=>b q 且,,31b b 210b +成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式 （Ⅱ）设(),log 12112+⋅+-=n n nn b a n c 求数列{}n c 的前n 项和n T15.已知数列{}n a 满足11a =，*n N ∀∈，1211112n n a a a a n+++⋅⋅⋅+=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式 （Ⅱ）若()()11121n n n n n b a a ++-+=⋅，记数列{}nb 的前n 项和nS，求n S .16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足22n n S n λ=+ （Ⅰ）证明：数列{a n }为等差数列（Ⅱ）若a 2＝2，数列{b n }满足()()2,434,2.4nn n aa k n kb n k ⎧-≤<⎪=⎨=⎪⎩求数列{b n }的前4n 项和T 4n ． 求数列{b n }的前4n 项和T n ．17．已知{}n a 为等差数列，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数都不在下表的同一列．请从1112,1,3a a a ===①②③的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在；并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题 （1）求数列{}n a 的通项公式 (2)设数列{}n b 满足()121n n nb a +=-,求数列{}n b 的前n 项和T n ．()()()()()()12211212211211111.2111,,.23131323333332313933692331343132,322n n n n n n nn n nn n n nn n n n n n n n n n n n k a a a a d a n b n k T n n T n T n n T n T a S a a a a a S -+++++++---=--=+⇒=⇒===⎧=⋅+-⋅++⋅⎪⇒=-+++⎨=⋅++⋅+⋅⎪⎩---⇒=-+⇒=-=-⎧⇒==⇒⎨=-⎩()[]()()()()()()()()()()()()()101012101012312248163264,3,,,,,,,23333333281241632,,2,168,101033337312,2211ln 21ln 12021ln 21ln 21ln ln 12ln1n n n n n n n n nn n nn n b n a d d q n S a n b S n n c n n n n n c n n n A -===⇒-⎛⎫⎛⎫⇒++⇒==⇒==⇒=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⇒=+⇒=-+-++-=-+-++⇒=+⎡⎤⎣⎦-()()()()()()()()()()()()()()()()[]()()()()()()()()[]()2122ln 2ln 2ln 3ln 3ln 4ln 4ln 5++ln 2ln 2121ln 2ln 21.1ln 2ln 1.2231ln 2ln 1.212412112011223345667264225121,n n n n n n n n n n A n n n n n n n k A n n n n k a b n n T n n a n b -⎡⎤+++-+++++⎣⎦=-++-⎧++=⎪⎪=⎨-⎪-+=-⎪⎩=⇒=--=-⋅+⋅+-⋅+⋅+-⋅+⋅+=+++-=⎡⎤⎣⎦=+()()()()()()()()()()[]()()()()()()()()()212121133333212133579222213233.22333121.21231.21261.36.2235.22222659812311522nn n nnn n n n n n n c n T n n n k T n n n k n n k a n n k n n n k S n n ++++=--=-++⇒=+-++-+++++=+⎡⎤⎣⎦-⎧-+=⎪⎪=⎨-⎪+--+=-⎪⎩+⎧=-⎪⎪=⎨+⎪=⎪⎩⎛⎫+= ⎪⎝⎭++++++⇒=-⎛-+ ⎝()31.22n n k ⎧⎪⎪⎨⎫+⎪+=⎪⎪⎭⎩()()()()()()()[]()()()()()()[]()()()()12132224.14,1254,5.225702742555152813,9.55544222549405.644912,212.21221.n n n n nn n n n n n n n n n b b c b n T n b n n a n n n n n n n S b T n n n n n a b n n k c n n -⎧⎪=⎪=-=-⎧⎪==-+⇒==⎨⎨=->⎩⎪-++-⎪+-⎪-⎩=-⎧-+≤⎪--⎪=⇒=⇒=⎨---+⎪+=≥⎪⎩==-⇒=-=--()()()()()[]()()()212221212112222,3,8,7,32,11,232222.2223222,8,32,322113,7,11,22.23222110121,2121n n n n n n n n n n n T n n k n n n k R T n n R n n n k n a n b n c ++++⎧-⎪⇒---⇒=-+⎨=⎪⎩⎧⎛⎫-⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎧- ⎪⎝⎭⎪⇒=⎪⎝⎭⇒=⎨⎨⎛⎫---⎪⎪⎛⎫⇒=+⎩-+= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩+=-=-=-()()[]()()()()()()()()()[]()1221122111.211121121211.22111121,5,9,221.212222.22,8,32,3221.223122.2231212n n n n n n n n n nn n n n n n n n k n T n n n k n a R n nn n k b n k R n n n k T n n n k b b a b -+-+⎧--=-⎪⎪⎛⎫++⇒=⎨⎪-+⎝⎭⎪-+=⎪+⎩=⎧⇒=--=-⎧⎪⎪=⇒⎨⎨-=⇒=⎪⎪⎩⎩⎧-+-=⎪⎪=⎨+⎪+-=⎪⎩⋅=⇒()()()1121111222222,21,2,2,4,4,82.2123232.2n n n n n n nn n na bb b b a b n k b T n k +----==⇒=⇒=⇒⇒⋅⎧=-⎪=⇒=⋅-⎨⎪=⎩()()()()[]()()()()()[]()1111111.211122211112.222141,211.2111121111.21111151111n n n nn n n n n n n n n n n n n k n b T n n n k n a n b n k n c T n n n k n a a a n na a a n n a a a n ++-⎧--=-⎪⎪⎛⎫+=-+⇒=⎨ ⎪++⎝⎭⎪-+=⎪+⎩==⎧--=-⎪⎪⎛⎫+=-+⇒=⎨⎪+⎝⎭⎪-+=⎪+⎩⎧+=-⎪+⎪⇒=⇒=⎨⎪+=-⎪-⎩()()()()[]()()()()()()()()()1111481248124812411.2111121111.211112161221222222,4,6,2,10,12,14,2,18,20,22,212,2,36,2,60,2123660222n n n nn n n n n k n b S n n n k n n a S a n d n a S S n T λλλλλλ+-⎧+=-⎪⎪⎛⎫+=-+⇒=⎨⎪+⎝⎭⎪-=⎪+⎩⎧=⇒==+⎪⎪⇒=-+⇒=⎨⎪≥⇒=-=-+⎪⎩⇒⇒=++++++()()()()()()()()()[]()12124112421243124161612.15161612.441511616122.4141532161612222.42415316161224222.434151711,4,7n n n n n n n n n k n n n k S n n n n k n n n n n k ++-+-+-+-+=+⎧-⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫⎪++=+ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪--⎛⎫⎪++-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫++-+-+=+⎪ ⎪⎝⎭⎩()()()()()()()()()()()12222212341234212211322132393232293213113222n n n n n n n n na nb n T a a a a a a a a n k T a a n n n k T a a a n n n +-⇒=-=--⇒=-+-+=-++++⎧=⇒=-++=-+⎪⎪⇒⎨⎪=-⇒=-+++=--+-+-⎪⎩2021高考数学专题复习:递推数列1.数列{}n a 满足,121.12210.21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=+nn n nn a a a a a 若761=a ，则2021a =2.数列{}n a 满足()*11,133,0N n a a a a n n n ∈+-==+，则2019a =q pa a n n +=+1{}t a n +:为等比数列3.数列{}n a 中，11=a ,23,1+=+n n a a =n a4.数列{}n a 中,若()=≥+==+n n n a n a a a ,1,32,1115.数列{}n a 满足,12,111+==+n n a a a =n a6.数列{}n a 满足21,n n S a n +=+求{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S7.数列{}n a 中,12,111+==+n n a a a 且,则{}n a 的通项为8.已知{}n a 的前n 项和为,n S 且满足(),321-+-=n a S n n 数列{}n na 的前n 项和为..n T (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)求n T9.已知{}n a 的前n 项和为,n S 且满足,23n a S n n -=求数列{}n a 的通项公式10.已知{}n a 的前n 项和为,n S 且满足,2n a S n n +=求数列{}n a 的通项公式()()()()()()()()()()12342021212342020111111165365137777720030323 1.42 3.52 1.162, 2.2721131********n n n n n n nn n n n n n n n n n n a a a a T a a a a a a T a a a a a t a a S a n a t a a a t S a n -+----=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒===⇒=⇒=⇒=⇒=⇒===⋅-=-=-⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭=-⎧=-+-⎪+⎪⇒=+⇒=⎨+⎪=-+-⎪⎩()()()()111111111111111124221111111124222222423132332912321223232n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a t t a t n n a a c n n T n a t S a n a t a a t S a n a t a t a ------------++=⇒=-⇒++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⇒=-+⇒=-⋅+⇒=++⋅- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++=-⎧+⎪⇒=+⇒==⇒=⇒⎨=--++⎪⎩+=⋅()(){}{}1111113322102212112221n n n nn n n n n n n n n n n a S a n a a a a b a b b a -----⎛⎫⎛⎫⇒=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⇒=-⇒=-⇒=-⇒=-⇒=-⇒=-+2021高考数列专题复习:一轮复习综合(11)1.数列{}n a 的前n 项和n S 满足,:m n m n S S S +=+且11=a ,那么=10a ( ) A ．1B ．9C ．10D ．552.已知递增的等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-,则=n a3.现有10个数，它们能构成一个以1为首项3,-为公比的等比数列，若从这10个数中随机 抽取一个数，则它小于8的概率是 ．4.等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最小值.且,11011-<a a 则使0>n S 成立的最小值=n 5.设0,0.a b >>若3是a 3与b3的等比中项，则ba 11+的最小值为 （ ）A ．8B ．4C ．1D ．146.已知数列{}n a 满足n a a a n n 2,3311=-=+，=n a .na n的最小值为 .7.设y 是x -1与x +1的等比中项，则y x 43+的最大值为 （ ） A.3 B ．4 C ．5 D ．7 8.定义运算bc ad dc b a -=,函数()321+--=x x x x f 图像的顶点坐标是()n m ,,且r n m k ,,,成等差数列,则r k +的值为9.定义在()()+∞∞-,00, 上的函数(),x f 对于任意给定的等比数列{}(){}n n a f a ,仍是等比数列， 则称()x f 为“保等比数列函数”. 现有定义在()()+∞∞-,00, 上的如下函数： ①()2x x f = ②()xx f 2= ③()x x f =④()x x f ln =.则其中是“保等比数列函数”的()x f 的序号为 （ ） A.①②B ．③④C ．①③D ．②④10.函数()()()(),1,0,6.6.4245≠=⎪⎩⎪⎨⎧>≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-a a x a x x a x f x 若数列{}n a 满足()n f a n =且n n a a >+1, 则实数a 的取值范围是 （ ）A.()7,8B.[)7,8C.()4,8D.()1,811.已知数列{}n a 各项均大于10,2n na n a -=-=na , 12.已知数列{}n a 通项公式为()24,3nn a n n ⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝⎭求n a 最大值13.等比数列{}n a 中,=+++-==+++43213243211111,89,815a a a a a a a a a a 14.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中．把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象．图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已．谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，其构造方法如下：取一个实心的等边三角形（如图1），沿三边的中点连线，将它分成四个小三角形，挖去中间的那一个小三角形（如图2），对其余三个小三角形重复上述过程（如图3）．若图1（阴影部分）的面积为1，则图4（阴影部分）的面积为 ，第 个图形阴影部分）的面积小于0.115,设函数()()()0,,(),,2n xxf x A n f n n N A +=∈点为坐标原点,设向量()1,0,i =若向量 01211n n n a A A A A A A -=++,且n θ是n a 与i 的夹角,记S n 为数列{}tan n θ的前n 项和,则3tan __________n S θ== 16.(2020青岛模拟16)排列()()()()()()()()()3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,的第100个括号内各数之和为17.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=+,则使得n na b 为整数 的正整数n 的个数是 （ ） A ．2B ．3C ．4D ．518.对于实数x , [ x ] 表示不超过x 的最大整数.已知数列{a n } 的通项公式1n a n n=++前n 项和为S n , 则[][]1100S S ++=()()()()()()()()()()()10min 19101111201011101011215631.22 1.3.501904020.10015.12226242233332335110.63351.5633616n n n n nn n A a n p a S d S a a n a S a a a a aB n n a a n a an n b a b n n n b =-=⎧<⇒>⎧=<⎧⎪⎪⎪⇒>⇒⇒=⎨⎨⎨=+><-⎪⎩⎪⎪<⎩⎩-+-⇒-=+++-⇒=+⇒=-+=+-===+-<⇒=+-=()()()()()()()()()()()()()()41123411202221.21210.527.89.9.40821014,8.6774011.51212.81513.339273141,,,,416644112151,tan ,2,222n n n C C aa a a C f f a a a n a a a a a a a a A A θ-⎧⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩-⎧->⇒<⎪⎪>⇒∈⇒⎨⎪<⇒+->⎪⎩==-⎛⎫===⇒== ⎪⎝⎭⎛⎫⎛=⇒=== ⎪ ⎝⎭⎝()()()3303323323122522131tan ,3,tan 222111112222100164,25,21,4120201501495,497,499,50144954974995011992.74514381732nn n n n n n a A A S T a a d a n a A a n n n B n n b n θθ⎫⎛⎫⇒===⇒=⎪ ⎪⎭⎝⎭⎛⎫⇒=+++=- ⎪⎝⎭====⇒=⇒=+⇒=⇒⇒+++=++=⇒=++假设()[][][][][][][][][][][][][][][][][][][][]1237814152324343547486263798098991007191271,2,3,5,116,4,3,2,1.2111810,1,2,3,4,5,6,7,8,9021********n nn an n n n b S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S +==+⇒=⇒=++=⇒============================++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+51361571781992634.⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2021高考数列专题复习:一轮复习综合(12) 1.如图，按照以下排列的规律a=（1）第15行从左向右的第8个数()15,8a=（2）第n行从左向右的第m个数(),n ma=2.如图，按照以下排列的规律，第n行从左向右的第m个数(),n m3.如图，全体正整数排成一个三角形数阵：按照以下排列的规律（1）第15行从左向右的第1个数15a = 第n 行从左向右的第1个数n a =（2）第30行从左向右的第20个数()30,20a = （3）2021在此表第n = 行的第m = 个数 4.如图，按照以下排列的规律（1）第10行从左向右的第4个数()10,4a =（2）第n 行从左向右的第m 个数(),n m a =6.在下面的数表中，各行中的数从左到右依次成公差为正数的等差数列，各列中的数从上到 下依次成公比为正数的等比数列，且公比都相等(),,n m a 表示第n 行，第m 列的数．已知()()()1,12,23,31,4,12.a a a ===求数列(){},n m a 的通项公式(),n m a =第一列第二列第三列第四列… 第一行 1 ()1,2a()1,3a ()1,4a… 第二行 ()2,1a 4 ()2,3a()2,4a … 第三行 ()3,1a()3,2a12 ()3,4a… 第四行 ()4,1a()4,2a()4,3a()4,4a………………7.已知[],2021,1∈a 则除以3余2，除以5余3，的数字有 个8.在下面的数表中，各行中的数从左到右依次成公差为正数的等差数列，各列中的数从上到 下依次成公比为正数的等比数列，且公比都相等(),,n m a 表示第n 行，第m 列的数．已知()()()1,22,33,43,15,63.a a a ===求数列(){},n m a 的通项公式(),n m a =第一列第二列第三列第四列… 第一行 ()1,1a 3()1,3a()1,4a… 第二行 ()2,1a()2,2a15()2,4a… 第三行 ()3,1a ()3,2a ()3,3a 63… 第四行 ()4,1a()4,2a()4,3a()4,4a………………9.有一个奇数组成的数阵排列如下(),,n m a 表示第n 行，第m 列的数．求数列(){},n ma 的通项公式(),1n a = (),n m a =10.有一个奇数组成的数阵排列如下(),,n m a 表示第n 行，第m 列的数．求数列(){},n ma 的通项公式()1,m a = ()5,20a =11．2020年疫情期间，某医院30天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列{}n a ，己知11a =，22a =，且满足()211nn n a a +-=--，则该医院30 天内因患新冠肺炎就诊的人数共有________.[]()()()()[]()()()[]()()()()()()()(),15,811,213243111153030,2060132,322157.223,2331311,2,3,,1123111111,106.2221943619455.60593112n n m n n n n m n n n n n a n a n m a a a m a a a a a a a a n a a n n n n n a a a a a a a ---=-=-+-⇒==⋅=⋅+--=-=-=-=-⇒-=++++--+-⎡⎤-⎣⎦⇒=+⇒=+==+=+=⨯=+=估算()[]()()()()()()()()()()()()642132*********,41,26463771,12016,2021201616264,6411,2,3,,112311111146468328221212.21461212n n n n n m n m a m m n m a a a a a a a a n a a n n n n n a a a a a n n a d q d q --⨯=+==+-⇒===-=-=-=-=-⇒-=++++--+-⎡⎤-⎣⎦⇒=+⇒=+⇒=⇒=⨯=-⎡⎤=+⋅⎢⎥⎣⎦+=⎧⎨+=()()(){}()()()()()()()()()()[]11,,11,,2221321,112.2202178,23,38,53,157.13411,1181341135.153152821213.3326314294,6,,212n n m n m n n m n m n n n d a m b a m q a a n n d q d a m a m q d q n n a a a a a a n a n ---=⎧⎪⇒⇒=⇒==⋅⎨=⎩⎪⎩⇒∈⇒=-=≥⇒=+=+=⎧=⎧⎪⇒⇒=-⇒=-⋅⎨⎨=+=⎩⎪⎩-+-=-=-=⇒=+=+()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2,1,21,11,31,21,41,31,1,11,1,205,201512112.102,4,6,221222111238138142444648561111,2,3,2,5,2,7,23,5,7,9255n m m m m n d n a n n m n a a a a a a a a m m m a m m a a S --=⇒=+-+-⋅-=-=-=-=--+-⎡⎤⎣⎦⇒=+=-+⇒=⇒=++++=⇒⇒=2021高考数列专题复习:一轮复习综合(13)11.已知()()0,3,2,≥x x f x 成等差数列．又数列{}()0,>n n a a 中,3,1=a 此数列的前n 项的和n S 对所有大于1的正整数n 都有()1-=n n S f S （Ⅰ）求n a （Ⅱ）若nn n a a b 1,11+是的等比中项,且n T 为{}n b 的前n 项和,求n T12.正数列}{n a 的前n 项和n S 满足2421n n n S a a =++.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式（Ⅱ）符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[][],25log ,13log 22==记⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=23log 2n n a b ，求数列 {}n b n22⋅的前n 和.n T13.已知{}n a 是等比数列，前n 项和为(),,*N n S n ∈且6123112,63S a a a -==. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式（Ⅱ）n b 是n a 2log 和12log +n a 的等差中项，求数列(){}21nn b -的前n 2项和.14.函数(),22x x x f +=数列{}n a 的前n 项和为,n S 对一切正整数n ,点()n n S n P ,都在函数()x f 的图像上,且过点()n n S n P ,的切线的斜率为n k （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）若2,n kn n b a =⋅求数列{}n b 的前n 项和为n T（Ⅲ）设{}{},,2,,++∈==∈==N n a x x R N n k x x Q n n 等差数列{}n c 的任一项n c QR ∈,其中1c 是QR 中的最小数,115110,10<<c 求{}n c 的通项公式．15.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 满足,12211+-=++n n n a S 且123,5,a a a +成等差数列（Ⅰ）求1a 的值 （Ⅱ）证明⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-221n n a 为等比数列 （Ⅲ）求数列{}n a 的通项公式16.设数列{}n a 的前n 项和为()()1,1,31,n n n S a S na n n n N *==--∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a （Ⅱ）是否存在正整数,n 使得()212312021?122n S S S n n +++--=？若存在，求出n 值；若不存在，说明理由.17.已知函数()x f 满足()x x x f x f 3612+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,对0≠x 恒成立,在数列{}{}n n b a ,中,1,1,11==b a对任意()()nn n n n n a b b a f a f a N x 1,32,11=-+=∈+++（Ⅰ）求函数()x f 解析式 （Ⅱ）求数列{}{}n n b a ,的通项公式（Ⅲ）若对任意实数[],1,0∈λ总存在自然数,k 当k n ≥时,⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅-≥n n a f b 131λ恒成立,求k 的最小值18.数列{}n a ,212,a t a t ==()10≠>t t 且.x =是函数()()[]()2,113131≥+-+-=+-n x a a t x a x f n n n的一个极值点．（Ⅰ）证明数列{}n n a a -+1是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）记⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=n n a b 112，当2=t 时，数列{}n b 的前n 项和2020>n S 的n 的最小值19.(山东)等比数列{}n a 中,321,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且321,,a a a 中的任何 两个数不在下表的同一列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S（Ⅱ）数列{}n b 满足(),ln 1:n nn n a a b -+=求数列{}n b 的前n 2项和2nS（Ⅲ）数列{}n b 满足(),ln 1:n nn n a a b -+=求数列{}n b 的前n 项和nS20.(山东)等差数列{}n a 中,已知2,d =前n 项和为,n S 且421,,S S S 成等比数列 （Ⅰ）求{}n a 通项公式 （Ⅱ）设(),4111+-⋅-=n n n n a a nb 求前n 项和为n T21.(山东)等差数列{}n a 中,已知2,2a d =是1a 和4a 的等比中项 （Ⅰ）求{}n a 通项公式（Ⅱ）设()12,n n n b a +=记()12341,nn n T b b b b b =-+-+-+-⋅求n T22.(山东)设数列{}n a 的前n 项和为,n S 且有332+=nn S（Ⅰ）求{}n a 的通项公式（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log ,n n n a b a ⋅=求{}n b 的前n 项和n T23.（2014-1理）已知数列{}n a 的前n 项和为,1,0,1,11-=⋅≠=+n n n n n S a a a a S λ其中λ为常数. （Ⅰ）证明:2n n a a λ+-=（Ⅱ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由.(()()()()[]()()()()212221222222121113111111636636363631221log 1log 211221312112122n n n n n n n n n n n n n n n n n S n a n b T n n n a n b n b n T n a b n c n T b b b b +-====⇒=⎛⎫⎛⎫⇒=-⇒=-⇒=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎡⎤=-⇒=+⇒=+=⇒=-⋅+⎡⎤⎣⎦⎣⎦=⎛⎫=-⇒=--⇒=-+- ⎪⎝⎭()()()()()()()()[]()()()()()()()22212212122122222112131233122.22.11.212214121614162214.936,1212 6.252151,27227n n n n n n n n n n nn n n b b T b b b b b b n n n k T n n n k a n n b n T c d c n a a a S a a S a a a a --++++-⇒=++++++=⎧=⎪⎪⇒=⎨-⎛⎫⎪--=- ⎪⎪⎝⎭⎩=++-=+⋅⇒===⇒=-+=+=⎧⎪⇒=⎨=-⇒=++⎪⎩()()()()111111111111222132.22132333222,2,3322222222233531665,3212021809.22212617n nn n nn n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a S a a a a a b b b b a a a S n n n a n b n T n n n f x f x x +++-+++----⎧-+⎪⇒=+⎨=-+⎪⎩++=+⇒=+⇒==⇒=⇒=-++--=-==-⇒=--==⇒=⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()()()()()()()()112222111111331113,2632116232222221,01111302121318'331,'0n n n n n n n n n n n n n n n n n n x a f x x a a a a a n f f x xx x n n n n b n n n n n n k f x a x t a a f a a t a a a a t t λλ++-++-++⎧⎪⎪⇒==⇒-=⇒=⎨+-⎛⎫⎪+=+ ⎪⎪⎝⎭⎩-+-+⇔=-+⇒≥-≤-≤⇒≥⇒--≥--⇒==-+-=⇒-=-⇒⎡⎤⎣⎦-=-⇒11112222020221011n n n n n n a t b S n n --⎛⎫⎛⎫=⇒=-⇒=-+> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇒=[]()()()()()[]()()()()()()()()()()[]()()()()()11122,29ln 313ln 31.=22313ln 3ln 2119123201212,2411212112221212121,212121121,21222,2.212n n n n n n n n n n n n n n a a n nn k n n b T n n n n n n k n a nn n k T n n S n nn k S n n k n ---=⋅=-⎧=⎪⎛⎫⎪+=-⋅=-⋅+= ⎪⎨ ⎪+-=+-⎧+-⎪⎪=⎨-⎪---=++-+⎝⎭⎪=+⎪+⎩=-=-+⎪⎩+=()[]()()()()()()()[]()()()111121212112321312123.1221.3.111.1136332..12431.131231.1121,1,241n n n n n nn n n n n n n n n n n n k n a n n n n b T n a a S a a a a a a a a S a a a a a a a a S λλλλλλλλ--++++++++⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩=⎧⎪=⎨>⎪⎩⎧⎛⎫-⋅>⎪ ⎪+⎪⎝⎭==-⎨⋅⎪=⎪⎩=-⎧⇒-=⇒-=⎨⇒=-⎩=⎧⇒=-=+=+⇒=⇒⎨=-⎩22124432141n n n n n a a a n a n a n +--==-⎧⇒⇒=-⎨=-⎩。