初二数学提优训练001
初二数学提优试卷答案
一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知x^2 - 5x + 6 = 0，则x的值为（）A. 2 或 3B. 1 或 4C. 2 或 -3D. 1 或 -4答案：A2. 下列数中，不是有理数的是（）A. 1/2B. √3C. -2.5D. 0答案：B3. 若a、b、c成等差数列，且a + b + c = 12，则a^2 + b^2 + c^2的值为（）A. 36B. 48C. 60D. 72答案：C4. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 梯形答案：C5. 已知直线l与直线m相交，且∠1 = 45°，∠2 = 90°，则∠3的度数为（）A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°答案：C6. 若等腰三角形底边长为6，腰长为8，则该三角形的周长为（）A. 14B. 18C. 20D. 22答案：C7. 下列方程中，无解的是（）A. 2x + 3 = 7B. 5x - 2 = 3C. 3x + 2 = 0D. 2x^2 - 5x + 3 = 0答案：D8. 若函数f(x) = 2x - 1在区间[1, 3]上单调递增，则f(2)的值为（）A. 1B. 3D. 7答案：C9. 已知平行四边形ABCD中，∠A = 60°，则∠B的度数为（）A. 120°B. 60°C. 30°D. 90°答案：C10. 若a、b、c、d是等比数列，且a + b + c + d = 10，则a^2 + b^2 + c^2 + d^2的值为（）A. 20B. 30C. 40D. 50答案：C二、填空题（每题5分，共20分）11. 若a、b、c成等差数列，且a + b + c = 15，则b的值为______。
答案：512. 已知等腰三角形底边长为10，腰长为8，则该三角形的面积为______。
苏教版8年级上学期数学综合提优练习(附答案)
苏教版8年级上学期数学综合提优练习一、综合题1．在平面直角坐标系中.抛物线y=ax2+2ax−3a(a≠0)与x轴交于A.B两点（点A在点B的左侧）.与y轴交于点C.该抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的对称轴及点A、B的坐标；（2）当a>0时.如图1.连接AD.BD.是否存在实数a.使△ABD为等边三角形？若存在.求出实数a的值.若不存在.请说明理由；（3）当a=1时.如图2.点P是该抛物线上一动点.且位于第三象限.连接AP.直线PO交AC于点Q. △APQ和△OCQ的面积分别为S1和S2.当S1−S2的值最大时.求直线PO的解析式．2．综合题：提出问题（1）问题如图1.点A为线段BC外一动点.且BC=a.AB=b．填空：当点A位于时.线段AC的长取得最大值.且最大值为（用含a.b的式子表示）（2）应用点A为线段BC外一动点.且BC=3.AB=1.如图2所示.分别以AB.AC为边.作等边三角形ABD和等边三角形ACE.连接CD.BE．①请找出图中与BE相等的线段.并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3.在平面直角坐标系中.点A的坐标为（2.0）.点B的坐标为（5.0）.点P为线段AB外一动点.且PA=2.PM=PB.∠BPM=90.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．3．操作：在∠ABC中.AC＝BC＝2.∠C＝90°.将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P 处.将三角板绕点P旋转.三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点。
图①.②.③是旋转三角板得到的图形中的3种情况。
研究：（1）三角板ABC绕点P旋转.观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明。
（2）三角板ABC绕点P旋转.∠PBE是否能为等腰三角形？若能.指出所有情况（即写出∠PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能.请说明理由。
（图④不用）4．如图.将矩形ABCD沿AF折叠.使点D落在BC边的点E处.过点E作EG∠CD交AF于点G.连接DG.（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）求证：EG2= 12GF •AF；（3）若AB=4.BC=5.求GF的长.5．已知：直线y=−x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点.点C为直线AB上一动点.连接OC. ∠AOC为锐角.在OC上方以OC为边作正方形OCDE.连接BE.设BE=t.（1）如图1.当点C在线段AB上时.判断BE与AB的位置关系.并说明理由；（2）真接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；（3）若tan∠AOC=k.经过点A的抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点为P.且有6a+3b+ 2c=0. △POA的面积为12k.当t=√2时.求抛物线的解析式.26．如图. 四边形ABCD内接于⊙O.BD平分∠ABC. 过点D作DE∥AB. 交BC于点E. 连结AE交BD于点F. 已知∠AFD=∠ADB+∠CDE.（1）①假设∠ABD=α. 则∠AFD=.②证明：AB=AE；（2）若AB2=BF⋅BD，AD=2. 求CB的长；（3）若CE=2，AB=8.求DE的长.7．在等腰∠ABC中.AB=AC=2. ∠BAC=120°.AD∠BC于D.点O、点P分别在射线AD、BA上的运动.且保证∠OCP=60°.连接OP.（1）当点O运动到D点时.如图一.此时AP=1.∠OPC是什么三角形。
新苏科版八年级数学上册提优
八年级数学提优训练21、在平面直角坐标系中，点P（2，2）点Ｑ在ｙ轴上，△POQ为等腰三角形，那么符合条件的Q点有（）。
A．5个B．4个C．3 个D．2个2、在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2，2a+1），则点P所在的象限是（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限3、如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，一秒钟后，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，且每秒运动一个单位长度，那么第2011秒后质点所在位置的坐标是（）A、（13，44）B、（44，13）C、（45，14）D、（13，45）第3题图第4题图第5题图4、已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E 三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；其中结论正确的个数是（）A、1B、2C、3D、05、附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？（）A ．△ACFB ．△ADEC ．△ABCD ．△BCF6、线段CD 是由线段AB 平移得到的.点A （–1，4）的对应点为C （4，7），则点B （– 4， – 1）的对应点D 的坐标为（ ）A.（2，9）B.（5，3）C.（1，2）D.（– 9，– 4）7、若点A （x ，y ）在第三象限，则点B （－x ，－y ）关于x 轴的对称点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8、已知P （0，a ）在y 轴的负半轴上，则Q （1,12+---a a ）在（ ）A. y 轴的左边，x 轴的上方B. y 轴的右边，x 轴的上方C. y 轴的左边，x 轴的下方D. y 轴的右边，x 轴的下方9、数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为（ ）A.60°B.30°C.45°D.50°10、如图所示，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC ，则与△ABC 成轴对称且以格点为顶点的三角形共有（ ）A.3个B.4个C.5个D.6个第10题图第13题图第15题图11、在平面直角坐标系内，点P （2x －6，x －5）在第四象限，则x 的取值范围是_________ 12、在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(14)，，将线段OA 绕点O 顺时针旋转90︒得到线段OA '，则点A '的坐标是 ．13、如图，在平面直角坐标系上有点A （1，0），点A 第一次跳动至点A1（-1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A 第100次跳动至点A100的坐标是______14、如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）（4，0）根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为____________15、如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P 的坐标是____________．16、在△ABC 中，如果A （1，1）B （-1，-1）C （2，-1）则△ABC 的面积是 。
提优试卷八年级上册数学
一、选择题（每题4分，共20分）1. 若a、b是方程x^2 - 5x + 6 = 0的两根，则a + b的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 52. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点坐标为（）A.（2，-3）B.（-2，3）C.（-2，-3）D.（2，-3）3. 若a^2 + b^2 = 1，则a + b的取值范围是（）A. -√2 < a + b < √2B. -√2 ≤ a + b ≤ √2C. -√2 < a + b ≤ √2D. -√2 ≤ a + b < √24. 下列函数中，y = kx + b（k ≠ 0）为一次函数的是（）A. y = x^2 + 1B. y = 2x + 3C. y = √xD. y = log2x5. 若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 梯形二、填空题（每题4分，共20分）6. 若x + y = 3，则x^2 + y^2 = _______。
7. 若a^2 - 2a + 1 = 0，则a的值为_______。
8. 在直角坐标系中，点P（-3，4）关于x轴的对称点坐标为_______。
9. 若a，b是方程x^2 - 4x + 3 = 0的两根，则a + b的值为_______。
10. 下列函数中，y = kx + b（k ≠ 0）为反比例函数的是_______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. （1）已知a、b是方程x^2 - 3x + 2 = 0的两根，求a^2 + b^2的值。
（2）已知函数y = kx + b（k ≠ 0）为一次函数，若点A（2，3）在该函数图象上，求k和b的值。
12. （1）已知等腰三角形ABC中，AB = AC，∠B = 50°，求∠C的度数。
（2）已知三角形ABC中，AB = 3，BC = 4，AC = 5，求三角形ABC的面积。
八年级暑期提优训练一
沛县汉城国际学校八年级数学暑期培优训练一（命题：吴刘明2019年7月寄语：学霸的暑假是用来提升和超越的！）1.在平面直角坐标系中，有A（－3，4）、B（－1，0）、C（5，10）三点，连接CB，将线段CB沿y轴正方向平移t个单位长度，得到线段C1B1，当C1A+ AB1取最小值时，实数t＝．2.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB 上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为为3.如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于．4.如图，一次函数与反比例函数的图像交于A（1，12）和B（6，2）两点，点P是线段AB上一动点(不与点A和B重合)，过P点分别作x、y轴的垂线PC、PD交反比例函数图像于点M、N，则四边形P MON面积的最大是．5．如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB∥CD，△ABD与△ACD的面积分别为10和20，若双曲线y=kx恰好经过BC的中点E，则k的值6.如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN.若AB=7，BE=5，则MN= .7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则△BDE 面积的最大值为 ．8.如图，过反比例函数y ＝6x (x ＞0)的图象上一点A 作x 轴的平行线，交双曲线y ＝－3x (x ＜0)于点B ，过B作BC ∥OA 交双曲线y ＝－3x (x ＜0)于点D ，交x 轴于点C ，连接AD 交y 轴于点E ，若OC ＝3，则OE= ．9.如图，点A （a ，1）、B （﹣1，b ）都在双曲线3y (x<0)x =-上，点P 、Q 分别是x 轴、y 轴上的动点，当四边形PABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是10.正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ．如图1，当点P 与点O 重合时，显然有DF=CF ．（1）如图2，若点P 在线段AO 上（不与点A 、O 重合），PE ⊥PB 且PE 交CD 于点E ．①求证：DF=EF ；②写出线段PC 、PA 、CE 之间的一个等量关系，并证明你的结论；（2）若点P 在线段OC 上（不与点O 、C 重合），PE ⊥PB 且PE 交直线CD 于点E ．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）11.（1）如图,已知点A 、B 在双曲线y=xk （x ›0）上，AC ⊥x 轴与C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与BD 交于点P ，P 是AC 的中点，点B 的横坐标为b 。
八年级初二数学第二学期平行四边形单元提优专项训练试题
八年级初二数学第二学期平行四边形单元提优专项训练试题一、解答题1．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF BF的值为_______（结果用含n 的式子表示）．2．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．（1）如图（1），当90GOD ∠=︒，①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>；（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，25HG =，求DE 的长．3．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为 ．（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．4．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC ，AD 于点E ，F ，连接BF ．（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE ＝OF ；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF 的形状，并证明你的结论；（3）若AB ＝1，BC ＝5，且BF ＝DF ，求旋转角度α的大小．5．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A D 、不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．（1）求证：PDE QCE ∆≅∆；（2）若PB PQ =，点F 是BP 的中点，连结EF AF 、，①求证：四边形AFEP 是平行四边形；②求PE 的长．6．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边所在直线上一动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BF ⊥DE ，交射线DE 于点F ，连接CF ．（1）如图，当点E 在线段BC 上时，∠BDF=α．①按要求补全图形；②∠EBF =______________（用含α的式子表示）；③判断线段 BF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．（2）当点E 在直线BC 上时，直接写出线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系，不需证明．7．如图，ABC ADC ∆≅∆，90,ABC ADC AB BC ︒∠=∠==，点F 在边AB 上，点E 在边AD 的延长线上，且,DE BF BG CF =⊥，垂足为H ，BH 的延长线交AC 于点G .（1）若10AB =，求四边形AECF 的面积；（2）若CG CB =，求证：2BG FH CE +=.8．已知正方形ABCD 与正方形（点C 、E 、F 、G 按顺时针排列），是的中点，连接，.（1）如图1，点E 在上，点在的延长线上，求证：DM =ME ，DM ⊥.ME简析： 由是的中点，AD ∥EF ，不妨延长EM 交AD 于点N ，从而构造出一对全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性质，易证△DNE 是 三角形,进而得出结论.（2）如图2， 在DC 的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C 、E 、F 、G 按顺时针排列.若点E 在直线CD 上，则DM= ;若点E 在直线BC 上，则DM= .9．如图，四边形ABCD 为矩形，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点B 落在AD 边上的G 处，E 、F 分别在BC 、AB 边上且F(1，4)．(1)求G 点坐标(2)求直线EF 解析式(3)点N 在坐标轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由10．如图，ABCD 中，60ABC ∠=︒，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD 于点F ．（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积； （2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=︒，求证：3BG GD AG +=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（2）21n ；（3）241n -【分析】（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题． （3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，n=1，∴AD=AB，∴四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠B=90°，∵AF⊥DE，∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF，∴△ADE≌△BAF（ASA），∴AE=BF；②结论：AG=BF+AE．理由：如图2中，过点A作AK⊥HD交BC于点K，由（1）可知AE=BK，∵AH=AD，AK⊥HD，∴∠HAK=∠DAK，∵AD∥BC，∴∠DAK=∠AKG，∴∠HAK=∠AKG，∴AG=GK，∵GK=GB+BK=BF+AE，∴AG=BF+AE；（2）如图3中，设AB=a，AD=na，当ME的值最大时，NF的值最小时，MENF的值最大，当ME 是矩形ABCD 的对角线时，ME 的值最大，最大值=()222na 1a n +=+•a ， 当NF ⊥AD 时，NF 的值最小，最小值=a ，∴ME NF 的最大值=21a n +⋅=21n +， 故答案为：21n +；（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，∵AD ∥BH ，∴∠ADE=∠H ，∵AE=EB=k ，∠AED=∠BEH ，∴△AED ≌△BEH （ASA ）， ∴AD=BH=2kn ，∴CH=4kn ，∵∠ADE=∠EDF ，∠ADE=∠H ，∴∠H=∠EDF ， ∴FD=FH ，设DF=FH=x ，在Rt △DCF 中，∵CD 2+CF 2=DF 2，∴(2k)2+(4kn-x)2=x 2，∴2142n x k n+=⋅， ∴221441422n n CF kn k k n n +-=-⋅=⋅，241222n k BF kn k n n-=-⋅=， ∴22412412n k CF n n k BFn-⋅==-， 故答案为：241n -．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．2．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）3DE =． 【分析】 （1）过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，①由正方形的性质可得//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒，即可证明四边形DGHM 是平行四边形，可得DM=GH ，由90GOD ∠=︒可得∠EDM=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质可得12∠=∠，利用ASA 可证明△ADE≌△CDM，可得DE=DM ，即可证明DE=GH ；②由①得DM=DE ，根据勾股定理可得，利用三角形三边关系即可得结论； （2）过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，可证明四边形GHND 为平行四边形，可得DN HG =，GD HN =，根据勾股定理可求出CN 的长，利用AAS 可证明ADM CDN ∆∆≌，可得AM NC =，DM DN =，根据平行线的性质∠EDN=45°，根据角的和差故选可得∠MDE=∠EDN ，利用SAS 可证明MDE NDE ∆∆≌，即可证明AE CN EN +=，设AE x =，利用勾股定理可求出x 的值，进而利用勾股定理求出DE 的值即可得答案．【详解】（1）如图（1），过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，EM ， ①∵四边形ABCD 为正方形，∴//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒∴四边形DGHM 为平行四边形，∴DM=GH ，GD HM =，∵90GOD ∠=︒，∴90EDM EOH ∠=∠=︒，∴290EDC ∠+∠=︒，∵90ADC ∠=︒，∴190EDC ∠+∠=︒，∴12∠=∠，在ADE ∆和CDM ∆中12A DCM AD DC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ADE CDM ∆∆≌，∴DE DM =，∴DE GH =．②在DEM ∆中，∠EDM=90°，∴222DE DM EM +=，∵DE DM =，∴222DE EM =， ∴2EM DE =，在EHM ∆中，HM EH EM +>，∵GD HM =， ∴2GD EH GH +≥．（2）如图（2），过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，则四边形GHND 为平行四边形， ∴DN HG =，GD HN =，∵90C ∠=︒，4CD AB ==，25HG DN == ∴222CN DN DC =-=，∴422BN BC CN =-=-=，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，在ADM ∆和CDN ∆中90C MAD CDN ADM DC AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADM CDN ∆∆≌，∴AM NC =，DM DN =，∵45GOD EOH ∠=∠=︒，∴45EDN ∠=︒，∴45ADE CDN ∠+∠=︒，∴45ADE ADN MDE ∠+∠=︒=∠，在MDE ∆和NDE ∆中MD ND MDE EDN DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴MDE NDE ∆∆≌，∴EM EN =，即AE AM AE CN EN +=+=，设AE x =，则BE=4-x ，在Rt BEN ∆中，2222(2)x x +=+， 解得：43x =， ∴2222441043DE AD AE ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理，并正确作出辅助线是解题关键．3．（1332）；（2）存在，点D 的坐标为（0，3）或（231）或（0，-1）；（3）OM=32或212 【分析】（1）过点B 作BD ⊥y 轴于D ，利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OB ，再利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出BD 和OD 即可得出结论；（2）根据题意和等边三角形的性质分别求出点A 、B 、C 的坐标，然后根据菱形的顶点顺序分类讨论，分别画出对应的图形，根据菱形的对角线互相平分即可分别求出结论； （3）利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OP 和BP ，然后根据直角三角形的直角顶点分类讨论，分别画出对应的图形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质求解即可．【详解】解：（1）如图2，过点B 作BD ⊥y 轴于D由图1中，点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒，∠AOB=90°∴OA=1，AB=2OA=2由勾股定理可得OB=223AB OA -= ∵将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30∴∠BOD=30°∴BD=132OB =∴OD=2232OB BD -=∴点B 的坐标为（32，32） 故答案为：（32，32）； （2）在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，此时点A 落在y 轴上，点B 落在x 轴上∴点A 的坐标为（0,1），点B 的坐标为（3，0）∵△ABC 为等边三角形∴∠ABC=60°，AB=BC=AC=2∴∠OBC=90°∴点C 的坐标为（3，2）设点D 的坐标为（a ，b ）如图所示，若四边形ABCD 为菱形，连接BD ，与AC 交于点O∴点O 既是AC 的中点，也是BD 的中点∴03322 12022ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：3ab=⎧⎨=⎩∴此时点D的坐标为（0，3）；当四边形ABDC为菱形时，连接AD，与BC交于点O∴点O既是AD的中点，也是BC的中点∴0332212022ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：231ab⎧=⎪⎨=⎪⎩∴此时点D的坐标为（23，1）；当四边形ADBC为菱形时，连接CD，与AB交于点O∴点O既是AB的中点，也是CD的中点∴0332210222ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：1ab=⎧⎨=-⎩∴此时点D的坐标为（0，-1）；综上：点D的坐标为（0，3）或（23，1）或（0，-1）；（3）∵OB=3，∠ABO=30°∴OP=12OB=32∴BP=223 2OB OP-=当∠OMB=90°时，如下图所示，连接BM∵F为OB的中点∴PF=12OB，MF=12OB，OF=BF∴PF=MF∴四边形OPBM为平行四边形∴OM=BP=32；当∠OBM=90°时，如下图所示，连接OM，∴∠PBM=∠PBO＋∠OBM=120°∵点F为OB的中点∴FP=FB∴∠FPB=∠FBP=30°∴∠BMP=180°－∠PBM－∠FPB=30°∴∠BMP=∠BPM∴BM=BP=3 2在Rt△OBM中，2221OB BM+=；综上：OM=32或2． 【点睛】 此题考查的是直角三角形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质，掌握30°所对的直角边是斜边的一半、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质是解决此题的关键．4．（1）证明见解析；（2）平行四边形，理由见解析；（3）45°【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠OAF ＝∠OCE ，OA ＝OC ，进而判断出△AOF ≌△COE ，即可得出结论；（2）先判断出∠BAC ＝∠AOF ，得出AB ∥EF ，即可得出结论；（3）先求出AC ＝2，进而得出A ＝1＝AB ，即可判断出△ABO 是等腰直角三角形，进一步判断出△BFD 是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一得出∠BOF ＝90°，即可得出结论．【详解】（1）证明：在▱ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠OAF ＝∠OCE ，∵OA ＝OC ，∠AOF ＝∠COE ，∴△AOF ≌△COE （ASA ），∴OE ＝OF ；（2）当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形，理由：∵AB ⊥AC ，∴∠BAC ＝90°，∵∠AOF ＝90°，∴∠BAC ＝∠AOF ，∴AB ∥EF ，∵AF ∥BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形；（3）在Rt △ABC 中，AB ＝1，BC∴AC ＝2，∴OA ＝1＝AB ，∴△ABO 是等腰直角三角形，∴∠AOB ＝45°，∵BF ＝DF ，∴△BFD 是等腰三角形，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，∴OF ⊥BD （等腰三角形底边上的中线是底边上的高），∴∠BOF ＝90°，∴∠α＝∠AOF ＝∠BOF ﹣∠AOB ＝45°．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，判断出△ABO 是等腰直角三角形是解本题的关键．5．（1）见解析；（2）①见解析；②6PE =【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形知∠D=∠ECQ=90°，由E 是CD 的中点知DE=CE ，结合∠DEP=∠CEQ 即可得证；（2）①由PB=PQ 知∠PBQ=∠Q ，结合AD ∥BC 得∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD ，由△PDE ≌△QCE 知PE=QE ，再由EF ∥BQ 知PF=BF ，根据Rt △PAB 中AF=PF=BF 知∠APF=∠PAF ，从而得∠PAF=∠EPD ，据此即可证得PE ∥AF ，从而得证；②设AP x =，则1PD x =-，1CQ x =-，2BQ x =-，利用三角形中位线定理得到()122EF x =-，由EF AP =，构造方程即可求得23x =，在Rt PDE ∆中，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D=∠ECQ=90°，∵E 是CD 的中点，∴DE=CE ，又∵∠DEP=∠CEQ ，∴△PDE ≌△QCE （ASA ）；（2）①∵PB=PQ ，∴∠PBQ=∠Q ，∵AD ∥BC ，∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD ，∵△PDE ≌△QCE ，∴PE=QE ，∵PF=BF ，∴EF 是PBQ ∆的中位线，∴EF ∥BQ ，∴在Rt △PAB 中，AF=PF=BF ，∴∠APF=∠PAF ，∴∠PAF=∠EPD ，∴PE ∥AF ，∵EF ∥BQ ∥AD ，∴四边形AFEP 是平行四边形；②设AP x =，则1PD x =-，∴1CQ x =-，∴2BQ x =-，∵EF 是PBQ ∆的中位线， ∴()122EF x =-， ∵EFAP =， ∴()122x x -=， ∴23x =， 在Rt PDE ∆中，222PD DE PE +＝，即22221(1)()32PE -+＝，∴PE =． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质以及勾股定理等知识点．掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．6．（1）①详见解析；②45°-α；③DF BF =+，详见解析；（2）DF BF =，或BF DF =，或BF DF +=【分析】（1）①由题意补全图形即可；②由正方形的性质得出1452DBE ABC ∠=∠=，由三角形的外角性质得出45BEF DBE BDF α∠=∠+∠=+，由直角三角形的性质得出9045EBF BEF α∠=-∠=-即可；③在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，证明△CDM ≌△CBF ，得出CM=CF ， ∠DCM=∠BCF ，得出即可得出结论；（2）分三种情况：①当点E 在线段BC 上时，，理由同(1)③；②当点E 在线段BC 的延长线上时，，在BF_上截取BM=DF ，连接CM ．同(1)③得△CBM ≌△CDF 得出CM=CF ，∠BCM=∠DCF ，证明△CMF 是等腰直角三角形，得出，即可得出结论；③当点E 在线段CB 的延长线上时，，在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，同(1) ③得:ACDM ≌△CBF 得出CM=CF ，∠DCM=∠BCF ，证明△CMF 是等腰直角三角形，得出MF=2CF ，即可得出结论．【详解】解：（1）①如图，②∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=90°，1452DBE ABC ∠=∠=， ∴45BEF DBE BDF α∠=∠+∠=+，∵BF ⊥DE,∴∠BFE=90°，∴9045EBF BEF α∠=-∠=-,故答案为：45°-α；③线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系是2DF BF CF =+．证明如下：在DF 上截取DM =BF ，连接CM ．如图2所示，∵ 正方形ABCD ，∴ BC =CD ，∠BDC =∠DBC =45°，∠BCD =90°∴∠CDM =∠CBF =45°-α，∴△CDM ≌△CBF （SAS ）．∴ DM =BF ， CM =CF ，∠DCM =∠BCF ．∴ ∠MCF =∠BCF+∠MCE=∠DCM+∠MCE=∠BCD =90°，∴ MF 2CF ．∴2.DF DM MF BF CF =+=+（2）分三种情况：①当点E 在线段BC 上时，2CF ，理由同(1)③； ②当点E 在线段BC 的延长线上时，2CF ，理由如下：在BF 上截取BM=DF ，连接CM ，如图3所示，同(1) ③，得：△CBM ≌△CDF (SAS)，∴CM=CF ， ∠BCM=∠DCF ．∴∠MCF=∠DCF+∠MCD=∠BCM+∠MCD= ∠ BCD=90°，∴△CMF 是等腰直角三角形，∴MF=2CF ， ∴BF=BM+MF=DF+2CF ；③当点E 在线段CB 的延长线上时，BF+DF=2CF ；理由如下：在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，如图4所示，同（1）③得：△CDM ≌△CBF ，∴CM=CF ，∠DCM=∠BCF ，∴∠MCF=∠DCF+ ∠MCD= ∠DCF+∠BCF=∠BCD=90°，∴△CMF 是等腰直角三 角形，∴MF=2CF ,即DM+DF=2CF ，∴BF+DF=2CF ;综上所述，当点E 在直线BC 上时，线段BF ，CF ，DF 之间的数导关系为：2DF BF CF =+，或2BF DF CF =+，或2BF DF CF +=．【点睛】此题是四边形的一道综合题，考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，注意解题中分情况讨论避免漏解．7．(1)100；(2)见解析.【分析】(1)先证明四边形ABCD 是正方形，再根据已知条件证明△BCF ≌△DCE ，即可得到四边形AECF 的面积=正方形ABCD 的面积；(2) 延长BG 交AD 于点M ，作AN ⊥MN ，连接FG ，先证明四边形BCEM 是平行四边形，得到BM=CE ，证明△BCF ≌△GCF ，得到BF=GF ，∠FGC=∠FBC=90︒，由AN ⊥MN ，得GM=2MN ，根据∠BAC=45︒，BC ∥AD 得到AM=BF ，再证△BFH ≌△AMN,得到GM=2FH ， 由此得到结论.【详解】(1)∵9,0ABC AB BC ︒∠==，∴△ABC 是等腰直角三角形，∵ABC ADC ∆≅∆，∴AB=AD=BC=DC ，∴四边形ABCD 是菱形，∵90ABC ADC ︒∠=∠=，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD=90ABC ADC ︒∠=∠=，∴∠CDE=90ABC ADC ︒∠=∠=，∵BF=DE,BC=DC ，∴△BCF ≌△DCE ，∴四边形AECF 的面积=S 正方形ABCD =AB 2=102=100.(2)延长BG 交AD 于点M ，作AN ⊥MN ，连接FG,∵△BCF ≌△DCE ，∴∠BCF=∠DCE ，∴∠FCE=∠BCD=90︒,∵BG ⊥CF ，∴∠FHM=∠FCE=90︒,∴BM ∥CE,∵BC ∥AD,∴四边形BCEM 是平行四边形，∴BM=CE.∵CG CB =，BG ⊥CF ，∴∠BCH=∠GCH,∠CBM=∠CGB,∴△BCF ≌△GCF,∴BF=GF,∠FGC=∠FBC=90︒,∵∠BAC=45︒，∴∠AFG=∠BAC=45︒，∴FG=AG,∵BC ∥AD,∴∠CBM=∠AMB,∴∠AGM=∠CGB=∠CBM=∠AMB,∴AM=AG,∵AN ⊥MN ，∴GM=2MN,∵∠BAD=∠ANM=90︒,∴∠ABM+∠AMN=∠MAN+∠AMN=90︒,∴∠ABM=∠MAN,∵AM=AG=FG=BF,∠BHF=∠ANM=90︒,∴△BFH ≌△AMN,∴FH=MN,∴GM=2FH,∵BG+GM=CE,∴2BG FH CE +=.【点睛】此题是四边形的综合题，考查正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解题中注意综合思想的方法积累.8．（1）等腰直角；（2）结论仍成立，见解析；（32或4217.【分析】（1）结论：DM ⊥EM ，DM=EM ．只要证明△AMH ≌△FME ，推出MH=ME ，AH=EF=EC ，推出DH=DE ，因为∠EDH=90°，可得DM ⊥EM ，DM=ME ；（2）结论不变，证明方法类似；（3）分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可；【详解】解：（1） △AMN ≌ △FME ,等腰直角.如图1中，延长EM 交AD 于H ．∵四边形ABCD 是正方形，四边形EFGC 是正方形，∴0ADE DEF 90∠=∠=，AD CD =，∴//AD EF ，∴MAH MFE ∠=∠，∵AM MF =，AMH FME ∠=∠，∴△AMH ≌△FME ，∴MH ME =，AH EF EC ==，∴DH DE =，∵0EDH 90∠=，∴DM ⊥EM ，DM=ME ．（2）结论仍成立.如图，延长EM 交DA 的延长线于点H,∵四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形,∴0ADE DEF 90∠=∠=，AD CD =,∴AD ∥EF,∴MAH MFE ∠=∠.∵AM FM =，AMH FME ∠=∠,∴△AMF ≌△FME(ASA), …∴MH ME =，AH FE=CE =,∴DH DE =.在△DHE 中，DH DE =，0EDH 90∠=,MH ME =,∴=DM EM ，DM ⊥EM.（3）①当E点在CD边上，如图1所示，由（1）的结论可得三角形DME为等腰直角三角形，则DM的长为2DE,此时DE EC DC532=-=-=,所以2DM=；②当E点在CD的延长线上时，如图2所示，由（2）的结论可得三角形DME为等腰直角三角形，则DM的长为2DE，此时DE DC CE538=+=+=，所以42DM=；③当E点在BC上是，如图三所示，同（1）、（2）理可得到三角形DME为等腰直角三角形，证明如下：∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形, 且点E在BC上∴AB//EF，∴HAM EFM∠=∠，∵M为AF中点，∴AM=MF∵在三角形AHM与三角形EFM中：HAM EFMAM MFAMH EMF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△AMH≌△FME(ASA),∴MH ME=，AH FE=CE=,∴DH DE=.∵在三角形AHD与三角形DCE中：90AD DCDAH DCEAH EF=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△AHD≌△DCE(SAS),∴ADH CDE∠=∠,∵∠ADC=∠ADH+∠HDC=90°，∴∠HDE=∠CDE+∠HDC=90°,∵在△DHE中，DH DE=，0EDH90∠=,MH ME=,∴三角形DME为等腰直角三角形，则DM的长为2DE2，此时在直角三角形DCE中2222DE DC CE5334=+=+=，所以DM=17【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．9．（1）G （0，2）4y =++3）234,,(1,4M M M -+⎝⎝⎝. 【解析】【分析】1（1）由F （1，4），B （3，4），得出AF=1，BF=2，根据折叠的性质得到GF=BF=2，在Rt △AGF 中，利用勾股定理求出AG =，那么OG=OA-AG=4-，于是G （0，）；（2）先在Rt △AGF 中，由tan 1AG AFG AF ∠===，得出∠AFG=60°，再由折叠的性质得出∠GFE=∠BFE=60°，解Rt △BFE ，求出BE=BF tan60°，那么CE=4-2E （3，.设直线EF 的表达式为y=kx+b ，将E （3，F （1，4）代入，利用待定系数法即可求出直线EF 的解析.（3）因为M 、N 均为动点，只有F 、G 已经确定，所以可从此入手，结合图形，按照FG 为一边，N 点在x 轴上；FG 为一边，N 点在y 轴上；FG 为对角线的思路，顺序探究可能的平行四边形的形状.确定平行四边形的位置与形状之后，利用平行四边形及平移的性质求得M 点的坐标.【详解】解：（1）∵F （1，4），B （3，4），∴AF=1，BF=2，由折叠的性质得：GF=BF=2，在Rt △AGF 中，由勾股定理得，AG ==∵B （3，4），∴OA=4，∴∴G （0，（2）在Rt △AGF 中，∵tan 1AG AFG AF ∠===， ∴∠AFG=60°，由折叠的性质得知：∠GFE=∠BFE=60°，在Rt △BFE 中，∵BE=BF tan60°，.E （3，4-23）. 设直线EF 的表达式为y=kx+b ， ∵E （3，4-23），F （1，4），∴34234k b k b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩ 解得343k b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ ∴343y x =-++ ；（3）若以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形，则分如下四种情况： ①FG 为平行四边形的一边，N 点在x 轴上，GFMN 为平行四边形，如图1所示. 过点G 作EF 的平行线，交x 轴于点N 1，再过点N ：作GF 的平行线，交EF 于点M ，得平行四边形GFM 1N 1.∵GN 1∥EF ，直线EF 的解析式为343,(0,43)y x G =-++-∴直线GN 1的解析式为34-3y x =-+，当y=0时，1433433,,033x N ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭. ∵GFM 1N 1是平行四边形，且G （0，4-3），F （1，4），N 1（4333- ，0）， ∴M ，（433，3）；②FG 为平行四边形的一边，N 点在x 轴上，GFNM 为平行四边形，如图2所示.∵GFN2M2为平行四边形，∴GN₂与FM2互相平分.∴G（0，4-3），N2点纵坐标为0∴GN：中点的纵坐标为322 -，设GN₂中点的坐标为（x，322 -）.∵GN2中点与FM2中点重合，∴3 34322 x-++=-∴x=4396+∵.GN2的中点的坐标为（4393,2+-），.∴N2点的坐标为（439+，0）.∵GFN2M2为平行四边形，且G（0，4-3），F（1，4），N2（4393+，0），∴M2（436,33+-）；③FG为平行四边形的一边，N点在y轴上，GFNM为平行四边形，如图3所示.∵GFN3M3为平行四边形，.∴GN3与FM3互相平分.∵G （0，4-3），N2点横坐标为0，.∴GN3中点的横坐标为0，∴F 与M 3的横坐标互为相反数，∴M 3的横坐标为-1，当x=-1时，y=3(1)43423-⨯-++=+，∴M 3（-1，4+23）；④FG 为平行四边形的对角线，GMFN 为平行四边形，如图4所示.过点G 作EF 的平行线，交x 轴于点N 4，连结N 4与GF 的中点并延长，交EF 于点M 。
人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元提优专项训练
人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元提优专项训练一、解答题1．在四边形ABCD 中，90A B C D ∠∠∠∠====，10AB CD ==，8BC AD ==．()1P 为边BC 上一点，将ABP 沿直线AP 翻折至AEP 的位置(点B 落在点E 处) ①如图1，当点E 落在CD 边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写作法，保留作图痕迹，用2B 铅笔加粗加黑).并直接写出此时DE =______； ②如图2，若点P 为BC 边的中点，连接CE ，则CE 与AP 有何位置关系？请说明理由； ()2点Q 为射线DC 上的一个动点，将ADQ 沿AQ 翻折，点D 恰好落在直线BQ 上的点'D 处，则DQ =______； 2．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC的值，写出你的猜想并加以证明；（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．3．（1）如图①，在正方形ABCD 中，AEF ∆的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF ∠的度数；（2）如图②，在Rt ABD ∆中，90,BAD AD AB ︒∠==，点M ，N 是BD 边上的任意两点，且45MAN ︒∠=，将ABM ∆绕点A 逆时针旋转90度至ADH ∆位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由；（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为12，GF=6，BM= 32，求EG ，MN 的长．4．在矩形ABCD 中，连结AC ，点E 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着B A →的路径运动，运动时间为t （秒）．以BE 为边在矩形ABCD 的内部作正方形BEHG ．（1）如图，当ABCD 为正方形且点H 在ABC ∆的内部，连结,AH CH ，求证：AH CH =；（2）经过点E 且把矩形ABCD 面积平分的直线有______条；（3）当9,12AB BC ==时，若直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分，求t 的值．5．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接,CP 将线段CP 绕点C 顺时针旋转90,︒得到线段,CQ 连接,BP DQ .()1如图甲，求证：CBP CDQ ∠=∠；()2如图乙，延长BP 交直线DQ 于点E .求证：BE DQ ⊥；()3如图丙，若BCP 为等边三角形，探索线段,PD PE 之间的数量关系，并说明理由.6．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =．（1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ： ①若522CE =，求BD 长度； ②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =； （2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最小值．7．如图①，已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，CD 上的点(点E ，F 不与端点重合)，且AE=DF ，BE ，AF 交于点P ，过点C 作CH ⊥BE 交BE 于点H ．（1）求证：AF ∥CH ；（2）若3，AE=2，试求线段PH 的长；（3）如图②，连结CP 并延长交AD 于点Q ，若点H 是BP 的中点，试求CP PQ的值． 8．直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线．(1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积；(2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，．①求证：13h h =；②设正方形ABCD 的面积为S ，求证222211 2 2 S h h h h =++．9．如图，ABCD 中，60ABC ∠=︒，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD 于点F ．（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积； （2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=︒，求证：3BG GD +=．10．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线EF ，GH 分别交边AB 、CD ，AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD 是正方形，且EF ⊥GH ，易知S △BOE ＝S △AOG ，又因为S △AOB ＝14S 四边形ABCD ，所以S 四边形AEOG ＝ S 正方形ABCD ； （2）类比探究：如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝14S 矩形ABCD ，若AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；（3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且S 四边形AEOG ＝14S ▱ABCD ，若AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，则AG ＝ ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）①6；②结论：//P EC A ；（2）为4和16．【分析】()1①如图1中，以A 为圆心AB 为半径画弧交CD 于E ，作EAB ∠的平分线交BC 于点P ，点P 即为所求.理由勾股定理可得DE ．②如图2中，结论：EC//PA.只要证明PA BE ⊥，EC BE ⊥即可解决问题． ()2分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：()1①如图1中，以A 为圆心AB 为半径画弧交CD 于E ，作EAB ∠的平分线交BC 于点P ，点P 即为所求．在Rt ADE 中，90D ∠=，10AE AB ==，8AD =，22221086DE AE AD ∴-=-=，故答案为6．②如图2中，结论：//P EC A ．理由：由翻折不变性可知：AE AB =，PE PB =，PA ∴垂直平分线段BE ，即PA BE ⊥，PB PC PE ==，90BEC ∠∴=，EC BE ∴⊥，//EC PA ∴．()2①如图31-中，当点Q 在线段CD 上时，设DQ QD'x ==．在Rt AD'B 中，AD'AD 8==，AB 10=，AD'B 90∠=，22BD'AB AD'6∴=-=， 在Rt BQC 中，222CQ BC BQ +=， 222(10x)8(x 6)∴-+=+，x 4∴=，DQ 4∴=．②如图32-中，当点Q 在线段DC 的延长线上时，DQ //AB ，DQA QAB ∠∠∴=，DQA AQB ∠∠=，QAB AQB ∠∠∴=，AB BQ 10∴==，在Rt BCQ 中，CQ BQ 6==，DQ DC CQ 16∴=+=，综上所述，满足条件的DQ 的值为4或16．故答案为4和16．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．2．（1）ΔDPM,ΔFPG ；等腰直角；（2）线段PG 与PC 的位置关系是PG ⊥PC ；PG PC ＝3；（3）213【分析】（1）延长GP 交DC 于点M ，由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，可得∠MDP=∠GFP ，DP=FP ，利用ASA 可证明△DPM ≌△FPG ；可得DM=GF ，MP=GP ，根据正方形的性质可得CM=CG ，即可证明△CMG 是等腰直角三角形，即可得答案；（2）如图，延长GP 交DC 于点H ，利用ASA 可证明△GFP ≌△HDP ，可得GP ＝HP ，GF ＝HD ，进而根据菱形的性质可证明△CHG 是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得PG ⊥PC ，∠HCP=∠GCP ，由∠ABC=60°可得∠HCG=120°，进而可得∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可得答案；（3）利用线段的和差关系可求出图2中CG 的长，由（2）可知∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求出CP 的长；在图3中，延长GP 到N ，使GP=PN ，连接DN 、CN 、CG ，过N 作NK ⊥CD ，交CD 延长线于K ，利用SAS 可证明△FGP ≌△DNP ，可得GF=DN ，∠GFP=∠NDP ，根据角的和差关系可得∠CDN=120°，根据平角的定义可得∠GBC=120°，利用菱形的性质及等量代换可得DN=GB ，利用SAS 可证明△NDC ≌△GBC ，可得CN=CG，∠DCN=∠BCG，根据等腰三角形的性质可得PC⊥GN，根据角的和差关系可得∠NCG=120°，进而可得出∠CNP=30°，可得PC=12CG，根据平角的定义可得∠KDN=60°，即可得出∠KND=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得得出KD的长，利用勾股定理可求出KN的长，再利用勾股定理可求出CN的长，根据含30°角的直角三角形的性质即可得出PC的长．【详解】（1）如图，延长GP交DC于点M，∵Р是线段DF的中点，四边形ABCD、BEFG是正方形，点,,A B E在同一条直线上，∴//DC CF，DP=FP，CD=BC，FG=BG，在△DPM和△FPG中，MDP GFP DP FPDPM FPG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DPM≌△FPG，∴DM=FG，KP=GP，∴CD-DM=BC-BC，即CM=CG，∴△CMG是等腰直角三角形，∴PG⊥PC，PG=PC．故答案为：ΔDPM，ΔFPG；等腰直角（2）猜想：线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；PGPC3．如图，延长GP交DC于点H，∵P是线段DF的中点，∴FP＝DP，∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∴CD//AB，CF//BE，CD＝CB，GF=GB，∵点A B E、、在一条直线上，∴DC∥GF，∴∠GFP＝∠HDP，在△GFP和△HDP中，GFP HDP FP DPGPF HPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△GFP≌△HDP，∴GP＝HP，GF＝HD，∴CD-DH＝CB-GB，即CG＝CH，∴△CHG是等腰三角形．∴PG⊥PC，（三线合一），∠HCP=∠GCP，∵∠ABC＝∠BEF＝60°，∴∠HCG=120°，∴∠CGP=12（180°-120°）=30°，∴CG=2PC，∴PG=2222(2)3CG PC PC PC PC-=-=，∴PGPC＝3．（3）如图2，∵AB=6，BE=2，∴CG=AB-BE=4，由（2）可知∠CGP=30°，PG⊥PC，∴PC=12CG=2，如图3，延长GP到N，使GP=PN，连接DN、CN、CG，过N作NK⊥CD，交CD延长线于K，在△DNP和△FGP中，DP FPNPD GPFPN PG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DNP≌△FGP，∴DN=GF=BG=BE=2，∠NDP=∠GFP，∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∴CD//AB，EF//BC，∵点A、B、G在一条直线上，∴DC∥EF，∴∠CDP=∠EFP，∵∠ABC=∠BEF=60°，∴∠EFG=∠CBG=120°，∴∠NDP+CDP=∠GFP+∠EFP=∠EFG=120°，即∠NDC=120°，∴∠KDN=60°，∠KND=30°，∴KD=12DN=1，NK=223DN KD-=，∴CK=CD+KD=7，∴CN=22CK NK+=213，在△CDN和△CBG中，CD BCCDN CBGND BG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CN=CG，∠DCN=∠BCG，∴PC⊥GN，∠DCN+∠NCB=∠BCG+∠NCB=∠DCB=120°，即∠NCG=120°，∴∠CNP=12（180°-∠NCG）=30°，∴PC=12CN=13．故答案为：213【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，正确作出辅助线、熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质及全等三角形的判定定理是解题关键．3．（1）见解析；（2）MN2=ND2+DH2，理由见解析；（3）EG=4，MN=52【分析】（1）根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解．（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论．（3）设EG=BE=x，根据正方形的边长得出CE，CF，EF，在Rt△CEF中利用勾股定理得到方程，求出EG的长，设MN=a，根据MN2=ND2+BM2解出a值即可．【详解】解：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE，∴Rt △ABE ≌Rt △AGE （HL ）．∴∠BAE=∠GAE ．同理，∠GAF=∠DAF ．∴∠EAF ＝12∠BAD ＝45°； （2）MN 2=ND 2+DH 2．∵∠BAM=∠DAH ，∠BAM+∠DAN=45°，∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．∴∠HAN=∠MAN ，又∵AM=AH ，AN=AN ，∴△AMN ≌△AHN （SAS ）．∴MN=HN ，∵∠BAD=90°，AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°，∴NH 2=ND 2+DH 2，∴MN 2=ND 2+DH 2；（3）∵正方形ABCD 的边长为12，∴AB=AG=12，由（1）知，BE=EG ，DF=FG ．设EG=BE=x ，则CE=12-x ，∵GF=6=DF ，∴CF=12-6=6，EF=EG+GF=x+6， 在Rt △CEF 中，∵CE 2+CF 2=EF 2，∴（12-x ）2+62=（x+6）2，解得x=4，即EG=BE=4，在Rt △ABD 中，22AB AD +2，在（2）中，MN 2=ND 2+DH 2，BM=DH ，∴MN 2=ND 2+BM 2．设MN=a ，则a 2＝()(2212222a +，即a 2=()()229232a -+， ∴a=52，即MN ＝52．【点睛】本题考查正方形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识点等．4．（1）见解析；（2）1条；（3）7211t =或185t = 【分析】(1)证△AEH ≌△CGH （SAS ），即可得出AH=CH ；(2)连接BD 交AC 于O ，作直线OE 即可；(3)分两种情况：①连接AH 交BC 于M ，证出BM=CM=12BC=6，由题意得BE=BG=EH=GH=t ，则AE=9-t ，GM=6-t ，由三角形面积关系得出方程，解方程即可； ②连接AH 交CD 于M ，交BC 的延长线于K ，证出DM=CM=12CD ，证△KCM ≌△ADM 得CK=DA=12，则BK=BC+CK=24，且BE=BG=EH=GH=t ，则AE=9-t ，GK=24-t ，由三角形面积关系得出方程，解方程即可．【详解】解：(1)四边形BEHG 是正方形， BE BG ∴=，90BEH BGH ∠=∠=︒，90AEH CGH ∠=∠=︒， 又AB BC =，AE CG ∴=，又EH HG =，()AEH CGH SAS ∴∆≅∆，AH CH ∴=．(2)解：连接BD 交AC 于O ，如图1所示：作直线OE ，则直线OE 矩形ABCD 面积平分，即经过点E 且把矩形ABCD 面积平分的直线有1条，故答案为：1；(3) 解：分两种情况：①如图2所示：连接AH 交BC 于M ，∵四边形ABCD是矩形，∴△ABC的面积=△ADC的面积，∵直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，∴△ABM的面积=△ACM的面积，∴BM=CM=12CD=6，由题意得：BE=BG=EH=GH=t，则AE=9-t，GM=6-t，∵△ABM的面积=△AEH的面积+正方形BEHG的面积+△GHM的面积，∴12×6×9=12t(9-t)+t²+12t(6-t)，解得：185t=；②如图3所示：连接AH交CD于M，交BC的延长线于K，∵四边形ABCD是矩形，∴∠MCK=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC=12，CD=AB=9，△ABC的面积=△ADC的面积，∵直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，∴△ADM的面积=△ACM的面积，∴DM=CM=12CD=92，在△KCM和△ADM中，∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩D MCKDM CMAMD KMC，∴△KCM≌△ADM(ASA)，∴CK=DA=12，∴BK=BC+CK=24，由题意得：BE=BG=EH=GH=t，则AE=9-t，GK=24-t，∵△ABK的面积=△AEH的面积+正方形BEHG的面积+△GHK的面积，∴12×24×9=12t(9-t)+t²+12t(24-t)，解得：7211t=，综上所述，7211t=或185t=，故答案为：7211t=或185t=．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．5．（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）△DEP为等腰直角三角形，理由见试题解析．【分析】（1）根据正方形性质得出BC＝DC，根据旋转图形的性质得出CP＝CQ以及∠PCB＝∠QCD，从而得出三角形全等来得出结论；（2）由（1）知∠PBC＝∠QBC，BE和CD交点为F，根据对顶角得出∠DFE＝∠BFC，从而说明BE⊥QD；（3）根据等边三角形的性质得出PB＝PC＝BC，∠PBC＝∠BPC＝∠PCB＝60°，则∠PCD＝30°，根据BC＝DC，CP＝CQ得出△PCD为等腰三角形，然后根据△DCQ为等边三角形，从而得出∠DEP＝90°，从而得出答案．【详解】（1）证明∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，又∵将线段CP绕点C顺时针旋90°得到线段CQ，∴CP＝CQ，∠PCQ＝90°，∴∠PCD＋∠QCD＝90°，又∵∠PCB＋∠PCD＝90°，∴∠PCB＝∠QCD在△BCP和△DCQ中，BC＝DC，CP＝CQ，∠PCB＝∠QCD，∴△BCP≌△DCQ，∴∠CBP＝∠CDQ；（2）证明：∵△BCP≌△DCQ，∴∠PBC＝∠QDC，∴∠DFE＝∠BFC，∠FED＝∠FCB＝90°，∴BE⊥QD；（3）△DEP为等腰直角三角形，理由如下：∵△BPC为等边三角形，∴PB＝PC＝BC，∠PBC＝∠BPC＝∠PCB＝60°，∴∠PCD＝90°－60°＝30°，∴∠DCQ＝90°－30°＝60°，又∵BC＝DC，CP＝CQ，∴PC＝DC，DC＝CQ，∴△PCD是等腰三角形，△DCQ是等边三角形，∴∠CPD＝∠CDP＝75°，∠CDQ＝60°，∴∠EPD＝180°－75°－60°＝45°，∠EDP＝180°－75°－60°＝45°，∴∠EPD＝∠EDP，PE＝DE，∴∠DEP＝180°－45°－45°＝90°，∴△DEP是等腰直角三形．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角，旋转的性质证明三角形全等是解题的关键．6．（1）①7；②证明见解析；（2）93，理由见解析【分析】（1）①如图1中，延长BC交DE的延长线于T，过点T作TH⊥BD于H，设BD=2x．证明△BDT是等腰直角三角形，四边形ACTE是矩形，进而利用勾股定理构建方程求解即可；②如图2中，延长BC交DE的延长线于T，连接TF，进而利用全等三角形的性质证明△CEF是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图3中，根据题意设∠EAD=x，则∠BAC=2x．证明△ABC是等边三角形，再根据垂线段最短即可解决问题．【详解】解：（1）①如图1中，延长BC交DE的延长线于T，过点T作TH⊥BD于H，设BD=2x．∵∠ACB=90°，∠ACB+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∵CA=CB，EA=ED，∴∠B=∠D=45°，∴∠BTD=90°，∵∠TCA=∠CTE=∠TEA=90°，∴四边形ACTE 是矩形， ∴52EC AT ==， ∵TH ⊥BD ，∴BH=HD=x ，∴TH=HB=HD=x ，∵AB=3，∴AH=x-3，在Rt △ATH 中，则有22252(())23x x =-+， 解得：72x =或12-（不符合题意舍弃）， ∴BD=2x=7．②证明：如图2中，延长BC 交DE 的延长线于T ，连接TF ．∵∠B=∠D=45°，∴TB=TD ，∵∠BTD=90°，BF=DF ，∴TF ⊥BD ，∠FTE=∠BTF=45°，∴TF=BF ，∠BFT=90°，∵四边形ACTE 是矩形，∴TE=AC ，∴AC=BC ，∴BC=TE ，∵∠B=∠FTE=45°，∴△FBC ≌△FTE （SAS ），∴FC=EF ，∠BFC=∠TFE ，∴∠CFE=∠BFT=90°，∴△CFE 是等腰直角三角形，∴2EF ．（2）如图3中，设∠EAD=x ，则∠BAC=2x ．∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA=x，∴2x+∠AED=180°，∵∠ACB+∠AED=180°，∴∠ACB=2x，∵CB=CA，∴∠B=∠CAB=2x，∴∠C=∠B=∠CAB，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAB=60°，∠EAD=30°，当AD⊥BC时，△ADE的面积最小，∵AB=BC=AC=3，∴322 AD=，∴S△ADE的最小值132393 24==．【点睛】本题属于三角形综合题，考查等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．7．（1）见解析；（2）33）CPPQ=4．【分析】（1）先证△ABE≌△DAF，然后通过角度转化，可得AF⊥BE，从而证平行；（2）先在Rt△ABE中利用勾股定理求得BE的长，在利用△ABE的面积，求得AP的长，最后利用PH=BP－BH求得PH的长；（3）设QP=a，CP=b，可推导出在Rt△APE中，QE=QA=QP，然后分别用a、b表示CP和PQ代入可求得．【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=DA，∠EAB=∠D=90°又∵AE=DF∴△ABE ≌△DAF(SAS)∴∠ABE=∠DAF又∵∠DAF+∠FAB=∠EAB=90°∴∠ABE+∠FAB=90°∴∠APB=90°∴AF ⊥BE又∵CH ⊥BE∴AF ∥CH（2）解：在正方形ABCD 中，∠EAB=90°，， AE= 2∴=从而由S △ABE = 12 AB·AE= 12 BE·AP 得：∴在Rt △ABP 中，= =3又容易得：△ABP ≌△BCH ∴∴（3）解：在正方形ABCD 中，AB=BC ，AD ∥BC∵CH ⊥BP ，PH=BH∴CP=BC∴∠CBP-=∠CPB而∠CPB=∠QPE ∠CBP=∠QEP∴∠QPE=∠QEP∴在Rt △APE 中 ∠QAP=∠QPA∴QE=QP=QA在四边形QABC 中，设QP=a CP=b则AB=BC=b ， AQ=a ，QC=a+b∴b²+(b-a)2=(a+b)2∴b²=4ab 即b=4a即 aCP b PQ = =4． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等的证明、勾股定理的应用和直角三角形斜边中线的性质，第（3）问的解题关键是推导得出QE=QA=QP ．8．（1）9或5；（2）①见解析，②见解析【分析】（1）分两种情况：①如图1-1，得出正方形ABCD 的边长为3，求出正方形ABCD 的面积为9；②如图1-2，过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，则EF ⊥l 4，证明△ABE ≌△BCF （AAS ），得出AE=BF=2由勾股定理求出AB=225AE BE +=，即可得出答案；（2）①过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，作DM ⊥l 4于M ，证明△ABE ≌△BCF （AAS ），得出AE=BF ，同理△CDM ≌△BCF （AAS ），得出△ABE ≌△CDM （AAS ），得出BE=DM 即可； ②由①得出AE=BF=h 2+h 3=h 2+h 1，得出正方形ABCD 的面积S=AB 2=AE 2+BE 2，即可得到答案.【详解】解：（1）①如图，当点B D ，分别在14,l l 上时，面积为：339⨯=；②如图，当点B D ，分别在23,l l 上时，过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，则EF ⊥l 4，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∵∠CBF+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF ，在△ABE 和△BCF 中90ABE BCF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF （AAS ），∴AE=BF=2，∴2222215AE BE +=+=∴正方形ABCD 的面积=AB 2=5；综上所述，正方形ABCD 的面积为9或5；（2）①证明：过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，作DM ⊥l 4于M ，如图所示：则EF ⊥l 4，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∵∠CBF+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF ，在△ABE 和△BCF 中，90ABE BCF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF （AAS ），∴AE=BF ，同理△CDM ≌△BCF （AAS ），∴△ABE ≌△CDM （AAS ），∴BE=DM ，即h 1=h 3．②解：由①得：AE=BF=h 2+h 3=h 2+h 1，∵正方形ABCD 的面积：S=AB 2=AE 2+BE 2，∴S=（h 2+h 1）2+h 12=2h 12+2h 1h 2+h 22．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．9．（1）32）见详解．【分析】（1）根据所给的60°，判断出等边三角形，得出BE=6，根据所给比例关系，求出CE ，然后求出三角形面积；（2）利用已知条件能够求出ABF ≌ADH ，之后需要构造全等图形，使所求的BG+GD 转化在同一直线上，然后根据含有30°的特殊直角三角形的关系，即可证明出结果．【详解】解：（1） 如图：过A 点作AN ⊥BE ，交BE 于N ．∵60ABC ∠=︒，6AB AE ==∴△ABE 为等边三角形，∴AB=BE=AE=6即：AN=33∵:5:2BC CE =∴:5:3BC BE =∵BE=6∴BC=10∴EC=4 ∴113346322ACE S AN EC ==⨯=即：ACE △的面积为3．（2）如图：延长GD 至P 使DP=BG ，连接AP ，∵AH=AF ，∴∠AFH=∠AHF即：∠AFB=∠AHD ，又∵AF=AH ，BF=DH ，∴ABF ≌ADH∴AB=AD又∵180ABG ADG ∠+∠=︒，180ADP ADG ∠+∠=︒，∴∠ABG=∠ADP∵BG=DP ，∴ABG ≌ADP △∴AG=AP ，∠BAG=∠DAP∵∠ABC=60°∴∠BAD=120°即：∠GAP=120°∴∠AGP=∠APG=60°，又∵AM ⊥GD∴3，∵BG=GP∴BG+GD=GD+DP=GP即：3．【点睛】本题重点考察在平行四边形中利用平行四边形的性质证明图形面积，以及构造全等图形求多边之间的关系，构造全等三角形是本题的解题关键．10．（1）14；（2）mbAGa；（3）53【分析】（1）如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，根据图形的面积得到14mb＝14AG•a，于是得到结论；（3）如图③，同理：过O作QM⊥AB，PN⊥AD，先根据平行四边形面积可得OM和ON 的比，同理可得S△BOE＝S△AOG，根据面积公式可计算AG的长．【详解】解：（1）如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC，∠OAG＝∠EBO＝45°，∠AOB＝90°，∵EF⊥GH，∴∠EOG＝90°，∴∠BOE＝∠AOG（SAS），∴△BOE≌△AOG，∴S△BOE＝S△AOG，又∵S△AOB＝14S四边形ABCD，∴S四边形AEOG＝14S正方形ABCD，故答案为：14．（2）解：如图②，过O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴S△AOB＝S△AOD＝14S矩形ABCD，∵S四边形AEOG＝14S矩形ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝12BE•OM＝14mb，S△AOG＝12AG•ON＝14AG•a，∴mb＝AG•a，∴AG＝mba；（3）如图③，过O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∵S△AOB＝S△AOD＝14S▱ABCD，S四边形AEOG＝14S▱ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝12BE•OM＝12OM，S△AOG＝12AG•ON，∴OM＝AG•ON，∵S▱ABCD＝3×2OM＝5×2 ON，∴53 OMON，∴AG＝53；【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明S△BOE＝S△AOG是解决问题的关键．。
提优测试卷八年级数学
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. -2C. 0D. 12. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为（-1，2），则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a > 13. 在直角坐标系中，点P（2，3）关于x轴的对称点坐标是（）A.（2，-3）B.（-2，3）C.（-2，-3）D.（2，-3）4. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为6cm，则腰长AB的长度为（）A. 6cmB. 3cmC. 12cmD. 9cm5. 若等差数列{an}中，a1=3，d=2，则a10=（）A. 19B. 21C. 23D. 256. 下列各式中，正确的是（）A. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a+b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a-b)^2 = a^2 + 2ab + b^27. 在三角形ABC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，则BC的长度是（）A. 10cmB. 12cmC. 14cmD. 16cm8. 已知函数y=kx+b（k≠0），当x=1时，y=2；当x=2时，y=3，则该函数的解析式是（）A. y=2x+1B. y=3x+1C. y=2x+2D. y=3x+29. 若一个正方形的边长为x，则其周长是（）A. 4xB. 2xC. xD. x/210. 下列各式中，正确的是（）A. 2^3 × 3^2 = 18B. (2^3) × (3^2) = 18C. 2^3 × 3^2 = 54D. (2^3) × (3^2) = 54二、填空题（每题5分，共25分）11. 若|3a-5|=4，则a的值为______。
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初二数学提优训练001
1、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )D A(等腰梯形
B(平行四边形 C(正三角形 D(矩形
C A 2、如图，绕点逆时针旋转得到，若?OABO80??OCD
α B ，，则的度数是( ) ，,A110?，,D40?，,
A(30? B(40? C(50? D(60? O
，将?ABC沿BC平移到?A?B?C?，3、已知?ABC的面积为36A,A使B?和C重合，连结AC?交AC于D，则?C?DC的面积为( ) D(A)6 (B)9 (C)12 (D)18 ,CB, C(B)
B
4如图，四边形ABCD中，AB=BC，?ABC=?CDA=90?，
BE?AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=( ) CA(2 B(3 C( D( 2322
D AE
A
E
15、如图，四边形ABCD中， ?EDC是由?ABC绕顶点C旋转40?
所得，顶点A恰好转到AB上一点E的位置，则?1+?2= 。
B 2C
A D?AOB,456、用等腰直角三角板画，并将三角板沿OB方向
22M平移到如图所示的虚线处后绕点逆时针方向旋转，则三
,角板的斜边与射线OA的夹角为______( , 22B O M
7、如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点。
小华按下列要
)在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条求作图:(1((((((((((((((((
,ABC实线上。
(2)连接三个格点，使之构成直角三角形。
小华在左边的正方形网格中作出Rt.(((
请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等。
C
A
B
8、梯形ABCD中，AD?BC，AB,4cm，AD,6cm，BC,12cm，?B,30?，现点P从B
点出发，沿BA?AD向点D运动，点Q从点C出发，沿CB向点B运动，P、Q的运动速度均为1cm/s，两点中有一点到达目的地时，另一点也停止运动
(1)、请用含有t的代数式表示S ?PBQ
(2)、在整个运动过程中，是否存在某一时刻，A、B、Q、P四点恰好构成一个平行四边形，若存在，请求出t的值;若不存在，请说明理由。
A D
B C
A。