2019-2020学年山东省德州市禹城市七年级(下)期末数学试卷

2019-2020学年山东省德州市禹城市七年级（下）期末数学试卷一、单选题（共48分）1．（4分）下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是()A．B．C．D．2．（4分）在平面直角坐标系中，将点(2,1)P-向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P'的坐标是()A．(2,4)B．(1,5)C．(1,3)-D．(5,5)-3．（4分）下列调查最适合于抽样调查的是()A．某校要对七年级学生的身高进行调查B．卖早餐的师傅想了解一锅茶鸡蛋的咸度C．班主任了解每位学生的家庭情况D．了解九年级一班全体学生立定跳远的成绩4．（4分）在1-，0，22()A．1-B．0C．2D25．（4分）下列说法正确的是()A．9的立方根是3B．算术平方根等于它本身的数一定是1C．2-是4的平方根D426．（4分）过(4,2)A-和(2,2)B--两点的直线一定()A．垂直于x轴B．与y轴相交但不平于x轴C．平行于x轴D．与x轴、y轴平行7．（4分）用加减消元法解方程组2333211x yx y+=⎧⎨-=⎩，下列变形正确的是()A ．4639611x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．6396222x y x y +=⎧⎨-=⎩C ．4669633x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．6936411x y x y +=⎧⎨-=⎩ 8．（4分）关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集是( )A ．1x >-B ．3xC ．13x -<D ．13x -<9．（4分）如图，下列判断中错误的是( )A ．由180A ADC ∠+∠=︒得到//AB CDB ．由//AB CD 得到180ABC C ∠+∠=︒C ．由12∠=∠得到//AD BC D ．由//AD BC 得到34∠=∠10．（4分）天籁音乐行出售三种音乐CD ，即古典音乐，流行音乐，民族音乐，为了表示这三种唱片的销售量占总销售的百分比，应该用( )A ．扇形统计图B ．折线统计图C ．条形统计图D ．以上都可以11．（4分）下列四个命题中是真命题的是( )A ．相等的角是对顶角B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C ．实数与数轴上的点是一一对应的D ．垂直于同一条直线的两条直线互相平行12．（4分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为()A．46383548x yx y+=⎧⎨+=⎩B．46483538y xy x+=⎧⎨+=⎩C．46485338x yx y+=⎧⎨+=⎩D．46483538x yx y+=⎧⎨+=⎩二、填空题（共24分）13．（4分）计算：3|2|8--=．14．（4分）已知点(2,21)P m m--在第二象限，则实数m的取值范围是．15．（4分）将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则12∠+∠=．16．（4分）如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC∆沿着AD方向向右平移，得到△A B C'''，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA'等于．17．（4分）为打贏新冠疫情保卫战，福建省前后派出1381名医务人员驰援湖北，如图是福建省援鄂医务人员构成扇形统计图，其中医生有名．18．（4分）如图，把图中的圆A经过平移得到圆O（如图），如果左图A上一点P的坐标为(,)m n，那么平移后在右图中的对应点P'的坐标为．三、解答题（共78分）19．（10分）解方程组（1）641 623 x yx y=+⎧⎪⎨-=⎪⎩（2）45 3212x yx y-=⎧⎨+=⎩20．（8分）解不等式组513(1)2151132x xx x-<+⎧⎪-+⎨-⎪⎩，并把它们的解集表示在数轴上．21．（12分）为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调査（问卷调査表如图1所示），并根据调查结果绘制了图2、图3两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答下列问题．（1）本次接受问卷调查的学生有名．（2）补全条形统计图．（3）扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数为．（4）该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数．22．（10分）如图， 直线CD 与直线AB 相交于C ，根据下列语句画图（1） 过点P 作//PQ CD ，交AB 于点Q ；（2） 过点P 作PR CD ⊥，垂足为R ；（3） 若120DCB ∠=︒，猜想PQC ∠是多少度？并说明理由 ．23．（12分）如图，在单位正方形网格中，建立了平面直角坐标系xOy ，试解答下列问题：（1）写出ABC ∆三个顶点的坐标；（2）画出ABC ∆向右平移6个单位，再向下平移2个单位后的图形△111A B C ；（3）求ABC ∆的面积．24．（12分）“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A 型车和1辆B 型车载满脐橙一次可运走10吨；用1辆A 型车和2辆B 型车载满脐橙一次可运走11吨．现有脐橙31吨，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B 型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．25．（14分）如图1，E 是直线AB ，CD 内部一点，//AB CD ，连接EA ，ED ．（1）探究猜想：①若30A ∠=︒，40D ∠=︒，则AED ∠等于多少度？②若20A ∠=︒，60D ∠=︒，则AED ∠等于多少度？③猜想图1中AED ∠，EAB ∠，EDC ∠的关系并证明你的结论．（2）拓展应用：如图2，射线FE 与矩形ABCD 的边AB 交于点E ，与边CD 交于点F ，①②③④分别是被射线FE 隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB 上方，P 是位于以上四个区域上的点，猜想：PEB ∠，PFC ∠，EPF ∠的关系（不要求证明）．2019-2020学年山东省德州市禹城市七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（共48分）1．（4分）下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是()A．B．C．D．【分析】根据平移与旋转的性质得出．【解答】解：A、能通过其中一个四边形平移得到，故本选项不符合题意；B、能通过其中一个四边形平移得到，故本选项不符合题意；C、能通过其中一个四边形平移得到，故本选项不符合题意；D、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，导致误选．2．（4分）在平面直角坐标系中，将点(2,1)P-向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P'的坐标是()A．(2,4)B．(1,5)C．(1,3)-D．(5,5)-【分析】根据向右平移，横坐标加，向上平移纵坐标加求出点P'的坐标即可得解．【解答】解：点(2,1)P-向右平移3个单位长度，-+=，∴点P'的横坐标为231向上平移4个单位长度，+=，∴点P'的纵坐标为145∴点P'的坐标为(1,5)．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．3．（4分）下列调查最适合于抽样调查的是()A．某校要对七年级学生的身高进行调查B．卖早餐的师傅想了解一锅茶鸡蛋的咸度C．班主任了解每位学生的家庭情况D．了解九年级一班全体学生立定跳远的成绩【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【解答】解：A、某校要对七年级学生的身高进行调查，调查范围小，适合普查，故A错误；B、卖早餐的师傅想了解一锅茶鸡蛋的咸度无法进行普查，适合抽样调查，故B正确；C、班主任了解每位学生的家庭情况，适合普查，故C错误；D、了解九年级一班全体学生立定跳远的成绩适合普查，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有坏的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．4．（4分）在1-，0，2()A．1-B．0C．2D【分析】根据实数的大小比较法则进行比较即可．【解答】解：102-<<<，∴在1-，0，21-故选：A．【点评】本题考查了实数的大小比较，正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．5．（4分）下列说法正确的是()A．9的立方根是3B．算术平方根等于它本身的数一定是1C．2-是4的平方根D 2【分析】根据立方根和算术平方根及平方根的定义逐一判断可得．【解答】解：A ．27的立方根是3，此选项错误；B ．算术平方根等于它本身的数是1和0，此选项错误；C ．2-是4的平方根，此选项正确；D 2故选：C ．【点评】本题主要考查立方根与平方根及算术平方根，解题的关键是掌握立方根和平方根、算术平方根的定义．6．（4分）过(4,2)A -和(2,2)B --两点的直线一定( )A ．垂直于x 轴B ．与y 轴相交但不平于x 轴C ．平行于x 轴D ．与x 轴、y 轴平行【分析】根据平行于x 轴的直线上两点的坐标特点解答．【解答】解：A ，B 两点的纵坐标相等，∴过这两点的直线一定平行于x 轴．故选：C ．【点评】解答此题的关键是掌握平行于坐标轴的直线上的点的坐标的特点．7．（4分）用加减消元法解方程组2333211x y x y +=⎧⎨-=⎩，下列变形正确的是( ) A ．4639611x y x y +=⎧⎨-=⎩ B ．6396222x y x y +=⎧⎨-=⎩C ．4669633x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．6936411x y x y +=⎧⎨-=⎩ 【分析】运用加减法解方程组时，要满足方程组中某一个未知数的系数相等或互为相反数，把原方程变形要根据等式的性质，本题中方程①2⨯，②3⨯，就可把y 的系数变成互为相反数．【解答】解：2333211x y x y +=⎧⎨-=⎩①② ①2⨯得，466x y +=③，②3⨯得，9633x y -=④，组成方程组得：4669633x y x y +=⎧⎨-=⎩． 故选：C ．【点评】二元一次方程组的解法有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．运用加减法解方程组时，要满足方程组中某一个未知数的系数相等或互为相反数．8．（4分）关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集是( )A ．1x >-B ．3xC ．13x -<D ．13x -<【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：由数轴知，此不等式组的解集为13x -<，故选：D ．【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>，向右画；<，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“ ”要用实心圆点表示；“<”，“ >”要用空心圆点表示．9．（4分）如图，下列判断中错误的是( )A ．由180A ADC ∠+∠=︒得到//AB CDB ．由//AB CD 得到180ABC C ∠+∠=︒C ．由12∠=∠得到//AD BC D ．由//AD BC 得到34∠=∠【分析】根据平行线的性质与判定，逐一判定．【解答】解：A 、由180A ADC ∠+∠=︒得到//AB CD （同旁内角互补，两直线平行），正确；B 、由//AB CD 得到180ABC C ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），正确； C 、由12∠=∠得到//AD BC （内错角相等，两直线平行），正确； D 、由//AD BC 得到12∠=∠（两直线平行，内错角相等），所以此选项错误． 故选：D ．【点评】此题考查了平行线的判定与性质．解题时注意内错角与同旁内角的确定，关键是找到哪两条直线被第三条直线所截构造的内错角与同旁内角．10．（4分）天籁音乐行出售三种音乐CD ，即古典音乐，流行音乐，民族音乐，为了表示这三种唱片的销售量占总销售的百分比，应该用( )A ．扇形统计图B ．折线统计图C ．条形统计图D ．以上都可以【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目． 【解答】解：根据题意，知要求表示这三种唱片的销售量占总销售的百分比，结合统计图各自的特点，应选用扇形统计图． 故选：A ．【点评】此题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点． 11．（4分）下列四个命题中是真命题的是( ) A ．相等的角是对顶角B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C ．实数与数轴上的点是一一对应的D ．垂直于同一条直线的两条直线互相平行【分析】根据对顶角的定义对A 进行判断；根据平行线的性质对B 进行判断；根据实数与数轴上的点一一对应对C 进行判断；根据异面直线对D 进行判断． 【解答】解：A 、相等的角不一定是对顶角，所以A 选项为假命题；B 、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以B 选项为假命题；C 、实数与数轴上的点一一对应，所以C 选项为真命题；D 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以D 选项为假命题．故选：C ．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果⋯那么⋯”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 12．（4分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为( ) A ．46383548x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．46483538y x y x +=⎧⎨+=⎩C ．46485338x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．【解答】解：设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为： 46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩． 故选：D ．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键． 二、填空题（共24分）13．（4分）计算：|2|-= 0 ．【分析】首先计算开方，然后计算减法，求出算式的值是多少即可．【解答】解：|2|-22=-0=故答案为：0．【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．14．（4分）已知点(2,21)P m m--在第二象限，则实数m的取值范围是122m<<，．【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可．【解答】解：点(2,21)P m m--在第二象限，∴20210mm-<⎧⎨->⎩①②，解不等式①得，2m<，解不等式②得，12 m>，所以，不等式组的解集是122m<<，故答案为122m<<．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(,)++；第二象限(,)-+；第三象限(,)--；第四象限(,)+-．15．（4分）将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则12∠+∠=90︒．【分析】依据平行线的性质，即可得到13∠=∠，再根据平角的定义，即可得到1290∠+∠=︒．【解答】解：//AE BD，13∴∠=∠，又90ABC∠=︒，321809090∴∠+∠=︒-︒=︒，1290∴∠+∠=︒，故答案为：90︒．【点评】本题主要考查了平行线的性质，矩形的对边互相平行的性质，熟记性质是解题的关键．16．（4分）如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC∆沿着AD方向向右平移，得到△A B C'''，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA'等于4或8．【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA H'与HCB∆'都是等腰直角三角形，则若设AA x'=-，根据平行四边形的面积公'=，则阴影部分的底长为x，高12A D x式即可列出方程求解．【解答】解：设AC交A B''于H，AC CA'，'，//A H CD//'是平行四边形，∴四边形A HCDD∠=︒A∠=︒，9045'是等腰直角三角形∴△A HA设AA x'=，则阴影部分的底长为x，高12'=-A D xx x∴-=(12)32x∴=或8，4即4AA'=或8cm．故答案为：4或8．【点评】考查了平移的性质及一元二次方程的解法等知识，解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．17．（4分）为打贏新冠疫情保卫战，福建省前后派出1381名医务人员驰援湖北，如图是福建省援鄂医务人员构成扇形统计图，其中医生有361名．【分析】利用扇形统计图得到医生所占的比例为26.14%，然后用派出的总人数乘以26.14%可得到医生人数．【解答】解：福建省援鄂医务人员中医生的人数为：138126.14%361⨯≈（人)．故答案为361．【点评】本题考查了扇形统计图：扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1)，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．18．（4分）如图，把图中的圆A经过平移得到圆O（如图），如果左图A上一点P的坐标为(,)+-．m nm n，那么平移后在右图中的对应点P'的坐标为(2,1)【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：由点A的平移规律可知，此题点的移动规律是(2,1)+-，照此规律计算可x y知P’的坐标为(2,1)m n+-．故答案为：(2,1)m n+-【点评】本题考查了坐标与图形的变化-平移，解决本题的关键是分别根据已知对应点找到各对应点的横纵坐标之间的变化规律．三、解答题（共78分）19．（10分）解方程组（1）641 623 x yx y=+⎧⎪⎨-=⎪⎩（2）45 3212x yx y-=⎧⎨+=⎩【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1）方程组整理得：6432x yx y=+⎧⎨-=⎩①②，把①代入②得：6432y y+-=，解得：23y=-，把23y=-代入①得：0x=，则方程组的解为23xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2）453212x yx y-=⎧⎨+=⎩①②，①2⨯+②得：1122x=，解得：2x=，把2x=代入①得：3y=，则方程组的解为23xy=⎧⎨=⎩．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．20．（8分）解不等式组513(1) 2151132x xx x-<+⎧⎪-+⎨-⎪⎩，并把它们的解集表示在数轴上．【分析】分别求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分即可得解．【解答】解：()51312151132x xx x⎧-<+⎪⎨-+-⎪⎩①②，解不等式①得，2x<，解不等式②得，1x-，在数轴上表示如下：所以不等式组的解集为：12x-<．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．21．（12分）为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调査（问卷调査表如图1所示），并根据调查结果绘制了图2、图3两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答下列问题．（1）本次接受问卷调查的学生有100名．（2）补全条形统计图．（3）扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数为．（4）该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数．【分析】（1）根据D的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数；（2）根据（1）中的结果和图1中的数据可以将条形统计图补充完完整；（3）根据条形统计图中的数据可以求得扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数；（4）根据统计图中的数据可以求得该校最喜爱新闻节目的学生人数．【解答】解：（1）本次接受问卷调查的学生有：3636%100÷==（名)，故答案为：100；（2）喜爱C的有：10082036630----=（人)，补全的条形统计图如右图所示；（3）扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数为：2036072100︒⨯=︒，故答案为：72︒；（4）82000160100⨯=（人)，答：该校最喜爱新闻节目的学生有160人．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．（10分）如图， 直线CD 与直线AB 相交于C ，根据下列语句画图 （1） 过点P 作//PQ CD ，交AB 于点Q ； （2） 过点P 作PR CD ⊥，垂足为R ；（3） 若120DCB ∠=︒，猜想PQC ∠是多少度？并说明理由 ．【分析】（1） 过点P 作//PQ CD ，交AB 于点Q ； （2） 过点P 作PR CD ⊥，垂足为R ；（3） 利用两直线平行， 同旁内角互补即可解决问题 ． 【解答】解： （1） 如图所示：PQ 即为所求；（2） 如图所示：PR 即为所求；（3）60PQC ∠=︒ 理由：//PQ CD ，180DCB PQC ∴∠+∠=︒，120DCB ∠=︒，18012060PQC ∴∠=︒-︒=︒．【点评】本题主要考查了基本作图， 熟练掌握基本作图， 并能利用平行线的性质来解决问题是解题关键 ．23．（12分）如图，在单位正方形网格中，建立了平面直角坐标系xOy ，试解答下列问题：（1）写出ABC ∆三个顶点的坐标；（2）画出ABC ∆向右平移6个单位，再向下平移2个单位后的图形△111A B C ； （3）求ABC ∆的面积．【分析】（1）观察图象，根据各点所在象限的符号和距坐标轴的距离可得各点的坐标； （2）将A 、B 、C 按平移条件找出它的对应点1A 、1B 、1C ，顺次连接11A B 、11B C 、11C A ，即得到平移后的图形；（3）利用三角形的面积=直角梯形的面积-两个直角三角形的面积即可求出答案． 【解答】解：（1）(1,8)A -，(4,3)B -，(0,6)C ；（3分） （2）如图：；（7分）（3）ABC ∆的面积111(14)51243 5.5222=+⨯-⨯⨯-⨯⨯=．（10分）【点评】用到的知识点为：图形的平移要归结为图形顶点的平移；求点的坐标应根据所在象限确定符号，根据距离原点的水平距离和竖直距离确定具体坐标；格点中的三角形的面积通常整理为长方形或梯形的面积与几个三角形的面积的差．24．（12分）“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走11吨．现有脐橙31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆B型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．【分析】（1）设1辆A型车载满脐橙一次可运送x吨，1辆B型车载满脐橙一次可运送y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据一次运送脐橙31吨，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案；（3）根据总租金=每辆车的租金⨯租车辆数，分别求出三个租车方案所需租金，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设1辆A型车载满脐橙一次可运送x吨，1辆B型车载满脐橙一次可运送y吨，依题意，得：210211x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：34xy=⎧⎨=⎩．答：1辆A型车载满脐橙一次可运送3吨，1辆B型车载满脐橙一次可运送4吨．（2）依题意，得：3431a b+=，a，b均为正整数，∴17ab=⎧⎨=⎩或54ab=⎧⎨=⎩或91ab=⎧⎨=⎩．∴一共有3种租车方案，方案一：租A 型车1辆，B 型车7辆；方案二：租A 型车5辆，B 型车4辆；方案三：租A 型车9辆，B 型车1辆．（3）方案一所需租金为10011207940⨯+⨯=（元)；方案二所需租金为10051204980⨯+⨯=（元)；方案三所需租金为100912011020⨯+⨯=（元)．9409801020<<，∴最省钱的租车方案是方案一，即租A 型车1辆，B 型车7辆，最少租车费为940元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，分别求出三个租车方案所需租金．25．（14分）如图1，E 是直线AB ，CD 内部一点，//AB CD ，连接EA ，ED ．（1）探究猜想：①若30A ∠=︒，40D ∠=︒，则AED ∠等于多少度？②若20A ∠=︒，60D ∠=︒，则AED ∠等于多少度？③猜想图1中AED ∠，EAB ∠，EDC ∠的关系并证明你的结论．（2）拓展应用：如图2，射线FE 与矩形ABCD 的边AB 交于点E ，与边CD 交于点F ，①②③④分别是被射线FE 隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB 上方，P 是位于以上四个区域上的点，猜想：PEB ∠，PFC ∠，EPF ∠的关系（不要求证明）．【分析】（1）①根据图形猜想得出所求角度数即可；②根据图形猜想得出所求角度数即可；③猜想得到三角关系，理由为：延长AE 与DC 交于F 点，由AB 与DC 平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再利用外角性质及等量代换即可得证；（2）分四个区域分别找出三个角关系即可．【解答】解：（1）①70AED ∠=︒；②80AED ∠=︒；③猜想：AED EAB EDC ∠=∠+∠，证明：延长AE 交DC 于点F ，//AB DC ，EAB EFD ∴∠=∠，AED ∠为EDF ∆的外角，AED EDF EFD EAB EDC ∴∠=∠+∠=∠+∠；（2）根据题意得：点P 在区域①时，360()EPF PEB PFC ∠=︒-∠+∠；点P 在区域②时，EPF PEB PFC ∠=∠+∠；点P 在区域③时，EPF PEB PFC ∠=∠-∠；点P 在区域④时，EPF PFC PEB ∠=∠-∠．【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．。