第一章数学建模综述
数学建模综述
数学建模学习综述数学建模的学习不仅仅是获得数学方面的知识，更是综合能力的提升和分析问题能力的提高，更是培养了我们多角度思考问题的能力，使得我们的逻辑分析能力和量化分析能力得到很好地锻炼和提高。
让我学会了用数学问题解决日常生活中的事情，学会了用数学软件对模型进行求解的方法，让我明白学以致用才是学习的精华所在。
每一门课程都有其独特的方法，数学建模的学习不仅是理论的学习，更是要动手自己做的过程后中的学习，平时老师理论的讲解加上后期实验课程中Matlab的基本操作和基本运算的学习，整数学建模有了更加清晰的了解。
课堂中的学习中，老师讲解的方法和形式都把不好理解的知识给生动形象的讲解出来，举的例子生动形象，让我们能够很好地理解数学模型是对现实对象信息的翻译、归纳的产物。
通对数学模型的假设、求解、验证，得到数学上的解答，再经过翻译回到现实对象，给出分析、决策的结果。
其实，数学建模对我们来说并不陌生，在我们的日常生活和工作中，经常会过，这些问题和建模都有着很大的联系。
例如，我们出门用到的地图，经济学中用到的模型，机械设计中用到的三维软件等都是模型，而在学习数学建模训练以前，我们面对这些问题时，基本上都不是很清楚是怎么来的。
当然数学问题在我们的生活中随处可见，像我们买东西的时候，肯定会对一下价格的高低，选择最为经济的价格去买，特别是经济学中用到的边际成本，公司当中为了利益最大化运用到的经济手段，都是数学问题，而解决这些问题都需要进行数学理论和运用到学习。
当然我们从上小学就开了数学的学习，这些知识到现在可能还不够，要我们运用更好的办法去解决实际当中遇到的问题。
而最优化问题及时一个数学建模中学到，比如现在送快递的快递员，他送快递要快，那么他就要选择一个最佳的送货路线，避免重复的行走浪费时间。
学习数学建模中收获最大的就是学会了建立模型，用数学软件去解决问题，然后进行分析，综合，给出实际的解决方案。
当然，数学建模所要解决的问题决不是单一学科问题，它除了要求我们有扎实的数学知识外，还需要我们不停地去学习和查阅资料，除了我们要学习许多数学分支问题外，还要了解工厂生产、经济投资、保险事业等方面的知识，这些知识决不是任何专业中都能涉猎得到的。
第一章数学建模综述
数学建模基础讲义第一章数学建模综述近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。
不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解。
数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。
数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。
数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性，进入20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在即将进入21世纪的知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国或经济和科技的后备走到了前沿。
经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数理论与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。
培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。
§1.1数学技术的作用举例1. 运筹学的产生及二战中的作用1940年，英国和美国海军为了对付德国潜艇的威胁，大批被德国迫害的数学家，聚集在美国创建了运筹学，其具体应用在不增加设备的情况下，提高设备的能力和使用效率。
六十年代，我国数学家华罗庚创建了“优选法”和“统筹法”，并运用到国家重点建设项目的研究，在节约能源，增加产量，降低消耗，缩短工期等方面取得了显著的经济效益。
2. 冯·诺依曼型计算机目前世界上运行的计算机，尽管种类繁多，但按其加工方式可以分为两大类：串行计算机与并行计算机。
数学建模综述
数学建模综述李健宗20132200012姚杰涛20132200040汤斌健20132200100指导老师：杨坦2014年美国大学生数学建模竞赛A题论文综述我们小组精读两篇14年美赛A题论文，选择了其中一篇来进行学习，总结。
1、问题分析The Keep-Right-Except-To-Pass Rule除非超车否则靠右行驶的交通规则问题：建立数学模型来分析这条规则在低负荷和高负荷状态下的交通路况的表现。
这条规则在提升车流量的方面是否有效？如果不是，提出能够提升车流量、安全系数或其他因素的替代品（包括完全没有这种规律）并加以分析。
在一些国家，汽车靠左形式是常态，探讨你的解决方案是否稍作修改即可适用，或者需要一些额外的需要。
最后，以上规则依赖于人的判断，如果相同规则的交通运输完全在智能系统的控制下，无论是部分网络还是嵌入使用的车辆的设计，在何种程度上会修改你前面的结果论文：基于元胞自动机和蒙特卡罗方法,我们建立一个模型来讨论“靠右行”规则的影响。
首先,我们打破汽车的运动过程和建立相应的子模型car-generation的流入模型,对于匀速行驶车辆，我们建立一个跟随模型,和超车模型。
然后我们设计规则来模拟车辆的运动模型。
我们进一步讨论我们的模型规则适应靠右的情况和,不受限制的情况, 和交通情况由智能控制系统的情况。
我们也设计一个道路的危险指数评价公式。
我们模拟双车道高速公路上交通(每个方向两个车道,一共四条车道),高速公路双向三车道（总共6车道)。
通过计算机和分析数据。
我们记录的平均速度,超车取代率、道路密度和危险指数和通过与不受规则限制的比较评估靠右行的性能。
我们利用不同的速度限制分析模型的敏感性和看到不同的限速的影响。
左手交通也进行了讨论。
根据我们的分析,我们提出一个新规则结合两个现有的规则(靠右的规则和无限制的规则)的智能系统来实现更好的的性能。
该论文在一开始并没有作过多分析，而是一针见血的提出了自己对于这个问题的做法。
数学建模文献综述
数学建模文献综述数学建模文献综述摘要：综述数学建模方法前言：数学建模，就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题。
数学模型是一种模拟，是用数学符号，数学式子，程序，图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。
应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。
在21世纪新时代下，信息技术的快速发展使得数学建模成了解决实际问题的一个重要的有效手段。
正文：自从20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。
经济发展的全球化、计算机的迅猛发展、数学理论与方法的不断扩充，使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。
培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。
而数学建模作为数学方面的分支，在其中起到了关键性的作用。
谈到数学建模的过程，可以分为以下几个部分：一.模型准备了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。
以数学思想来包容问题的精髓，数学思路贯穿问题的全过程，进而用数学语言来描述问题。
要求符合数学理论，符合数学习惯，清晰准确。
二.模型假设根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
三.模型建立在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量常量之间的数学关系，建立相应的数学结构。
四.模型计算利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。
其中需要应用到一些计算工具，如matlab。
五.模型分析对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析。
数学建模概述(李福乐)
一、数学建模概述1.1 什么是数学建模通常我们把现实问题的一个模拟称为模型，如交通图、地质图、航空模型等。
利用数学的语言、公式、图、表、或符号等来模拟现实的模型称为数学模型。
我们知道，对于一个现实问题的研究，一般不需要甚至不可能直接研究现实问题的本身，而是研究模拟该现实问题的模型。
举个简单例子：某司机欲把某货物从甲地运往已地，应如何选择运输路线使总路程最短？该司机不会开着车去试探，而是利用交通图来确定自己的行车路线。
从这个简单的例子中我们可以看到数学建模的重要性。
1.2 数学建模包含哪些步骤数学建模主要包含模型建立、求解以及对结果的分析与检验等步骤。
模型建立 模拟现实问题建立数学模型，不仅要有一定的数学知识与技巧，还要有敏锐的洞察力与理解力，善于抓住问题的内在联系，作出合理的假设与简化，找出影响问题的各种因素及其相互关系。
建立数学模型，不仅要有一定的数学知识与技巧，还要具备其他学科的一些知识，另外还要有一定的编程能力。
一般来说，模型建立的方法不止一种。
如最短路线问题，可以用图论方法，也可以用线性规划方法，有时还可用动态规划的方法。
模型求解 在建立模型之后，就要求解模型，给出有效的计算方法。
例如旅行推销员问题：一个推销员要到n 个城市去推销，如何安排行程？如果用简单的组合算法，其计算步骤是!n 的倍数，随着n 的增大，计算量之大以至无法得到结果。
如30n ，即使以每秒以2410步的速度来计算，也需要8年多，况且现在的计算机还没有达到上述速度。
结果的分析与检验 有些问题需要对解的现实意义作出解释，检验模型的正确性，并对模型的稳定性进行分析。
如种群的相互竞争问题需要对解的现实意义作出解释，并对模型的稳定性进行分析。
二、基本知识微分方程在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用。
大量的实际问题需要用微分方程来描述。
首先，我们要对实际研究现象作具体分析，然后利用已有规律、或者模拟，或近似的得到各种因素变化率之间的关系，从而建立一个微分方程。
2011上第1次课数学建模概述
归纳：数学建模含义
• 据具体问题，在一定的假设下，找出 这个问题的数学模型，求出模型的解， 并对它进行验证的全过程。 • 建模是“迭代”的过程 ： 准备→简化假设→建立模型→求解→ 分析→检验→应用
四、数学建模与数学应用题的差异
• 客房的定价问题：
• 一星级旅馆有150个60元，住房率为55%；
生活实例：
在一次乘船游览中，母亲、妻子和儿子同 时落水，应该先救谁？
问题抽象: 将母亲、妻子和儿子抽象地看成三个人， 提炼问题的结果：救人。 寻求答案：先救谁？ 解决办法：救谁最“方便”就先救 谁。
如何界定“方便”？ 距离
一个相对理性的答案：救离自己最近的人
第一节
为什么要学？2
• 2、训练人——促进思维能力及问题解决 能力的培养
数学建模与应用题的差异
• ①问题的条件是否充分； • ②问题是否需要假设； • ③问题的讨论与验证不同； • ④问题解决表达形式不同。
实例：牙膏出厂价的定价问题(P49)
• (1)模型准备. • 在日常生活中我们知道，在商店买一种商品时，买大包 装比小包装合算，这是由出厂价决定的。 • 例如，某工厂生产某牙膏60g装的出厂价为1.15元/支。 150g装的牙膏出厂价为2.50元/支，显然二者单位质量的 价格比为1.15:１，现在该厂据市场需求要生产180g装的 这种牙膏，请你确定这种牙膏的合理出厂价格。 • (2)模型假设. • (i)牙膏的出厂价格y只由生产牙膏的成本y1和包装成本y2 决定； • (ii)假设生产成本与牙膏(不包括牙膏皮)的质量成正比； • (iii)假设生产成本与牙膏壳的表面积成正比； • (iv)牙膏壳里的牙膏都是满装。
实例：牙膏出厂价的定价问题
• (3)模型建立. • 设生产成本y1与牙膏质量w的比例系数为k1， 则y1=k1· w， • 包装成本y2与牙膏壳的表面积Sw的比例系数 为k2，则y2=k2· Sw。 • 于是y=y1+y2=k1· w+k2· Sw即为wg装的牙膏出 厂价格， • 显然y是一个与w有关的变量。 • 本题即求解当w=180时y的值。
数学建模概论.
太原理工大学数学系 魏毅强 教授
第一章 数学模型概论
1.1 数学模型与数学建模 1.2 数学建模示例1 1.3 数学建模示例2 1.4 数学建模示例3 1.5 数学模型的特点和分类 1.6 数学建模的方法和步骤 1.7 怎样撰写数学建模的论文
1.1 数学模型与数学建模
原型： 原型是指人们在现实世界里关心、研 究或者从事生产、管理的实际对象
数学建模将各种知识综合应用于解决实际 问题中，需要有较好的抽象概括能力、数学语 言的翻译能力、善于抓住本质的洞察能力、联 想及综合分析能力、掌握和使用当代科技成果 的能力等。从而数学建模是培养和提高同学们 应用所学知识分析问题、解决问题的综合能力 与素质的必备手段之一。
数学建模是一种创造性的思维活动，没有 统一模式和固定的方法，在数学建模过程中需 要充分发挥想象力，善于联想，新颖而独特地 提出问题、解决问题，并由此产生有价值的新 思想、新方法、新成果等。从而数学建模也是 培养和提高同学们想象力和创新能力的必备手 段之一。
数学模型是一种抽象的模拟，它用符号、 式子、程序、图形等数学语言刻划客观事物的 本质属性与内在联系，是现实世界的简化而又 本质的描述。
数学模型的三个主要功能是：解释、判 断与预测。也就是数学模型能用来解释某些 客观现象及发生的原因；数学模型能用来判 断原来知识，认识的可靠性；数学模型能用 来预测事物未来的发展规律，或为控制某一 现象的发展提供某种意义下的最优策略或较 好策略，为人们的行为提供指导。
问题分析
这是一类智力游戏问题，可经过一番逻辑 推理求解。当然也可视为一个多步决策问题， 每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）都要对船 上的人员作出决策，在保证安全的前提下（两 岸的随从数不比商人多）经有限步使全体人员 过河
第一章数学建模概述
1数学建模概述⏹ 数学模型 ⏹ 数学建模过程 ⏹ 数学建模示例⏹ 建立数学模型的方法和步骤 ⏹数学模型的分类1数学模型模型：是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不一定是对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象。
直观模型： 实物模型，主要追求外观上的逼真。
物理模型：为一定目的根据相似原理构造的模型，不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模拟试验，间接地研究原型的某些规律。
思维模型，符号模型，数学模型 数学模型：1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。
它是模型的一种。
2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。
3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用 适当的数学工具得到一个数学结构。
数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。
总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。
古希腊时期：“数理是宇宙的基本原理”。
文艺复兴时期：应用数学来阐明现象“进行尝试”。
微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、符号反映客观世界越来越广泛，越来越精确。
费马（P.Fermal 1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间最短的路径前进”。
牛顿（Newton 1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达，如，牛顿第二定律：结合开普勒三定律得出万有引力定律航行问题：甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？用y x ,分别代表船速、水速，可以列出方程解方程组，得221r m m G F =ma F =⎩⎨⎧=⋅-=⋅+75050)(75030)(y x y x 小时）（千米小时）（千米/5/20==y x答：船速、水速分别为20千米/小时、5千米小时。
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Mathematical Modeling
动力传输系统
DepartmDenetpaofrtmMaetnhetmaotifcs MHaUtShTematics HUST
1.1 数学的应用与数学建模 ➢数学模型 (Mathematical Model) ➢数学建模（Mathematical Modeling)
全国大学生数学建模竞赛：1992年至今，每年一 次，时间在9月下旬第一个周五至下周一，共72 小时。三名学生组成一队参赛，要完成以包括数 学建模全过程为素材撰写的论文。
1.3 数学建模示例
1.3.1 稳定的椅子 1.3.2 商人安全过河 1.3.3 传送系统效率 1.3.4 人口增长预测
1.3.1 稳定的椅子
问 题 椅子能在不平的地面上放稳吗？ 问题分析 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地 模型假设
➢ 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;
➢ 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;
➢ 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。
模型构成
Mathematical Modeling
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置
四只脚着地 椅脚与地面距离为零
B´ B A´
距离是 的函数
四个距离
C 两个
(四只脚) 正方形对称性 距离
A
O
x
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
第一章 数学建模概述
1.1 数学的应用与数学建模 1.2 数学建模的基本问题 1.3 数学建模示例 1.4 插值法与最小二乘法简介Fra bibliotek1.1
Mathematical Modeling
数学的应用与数学建模
➢数学广泛地应用于各个领域，如:传统的物 理学、天文学、力学，及现代的工程技术、 社会生活、信息技术等。
机理分析的方法：根据对客观事物特性的认 识，分析其因果关系，通过推理分析得到的 数学模型。 如：微分方程方法，最优化方法等。
测试分析的方法：对客观事物的特性不能 准确认识，只能通过对问题的观测数据的 测量和分析，找到与数据吻合最好的模型。
如：回归分析方法，方差分析方法等。
数学建模的基本过程
1.模型准备 了解问题的实际背景，明确建模目的， 收集掌握必要的数据资料。
数学模型 (Mathematical Model)
数学模型是实际对象的一种 抽象模拟，它用数学符号、数学 公式、图表、算法或程序描述现 实对象中的数量关系。
对于一个现实对象，为了一个特定目的，
根据其内在规律，做出必要的简化假设，
运用适当的数学工具, 得到的一个数学结构
数学建模（Mathematical Modeling)
C´
D´
D
正方形ABCD
绕O点旋转
DepartmDenetpaofrtmMaetnhetmaotifcs MHaUtShTematics HUST
模型构成
Mathematical Modeling
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
地面为连续曲面
f() , g()是连续函数
椅子在任意位置 至少三只脚着地
研究课题的实际 范畴
具体类别
描述、优化、预报、决策 …
白箱模型、灰箱模型、黑箱模型
连续型模型、离散型模型 或确定性模型、随机型模型等 初等模型、微分方程模型、 差分方程模型、优化模型等 人口模型、生态系统模型 、交通 流模型、经 济模型、基因模型等
怎样学好数学建模
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术
技术大致有章可循 艺术无法归纳成普遍适用的准则
想像力
洞察力
判断力
• 学习、分析、评价、改进别人做过的模型
• 亲自动手，认真做几个实际题目
数学建模竞赛
美国大学生数学建模竞赛：1985年至今，每年一 次，时间在2月初的第一个周五至下周二，共96 小时。三名学生组成一队参赛，要完成以包括数 学建模全过程为素材撰写的论文（英文）。
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、验证等）
Mathematical Modeling
数学建模的全过程
现 现实对象的信息 表述
数学模型
数
实
(归纳)
学
世
验证
求解 (演绎) 世
界
界
现实对象的解答
数学模型的解答 解释
表述 求解 解释
根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象
验证 用现实对象的信息检验得到的解答 实践 理论 实践
DepartmDenetpaofrtmMaetnhetmaotifcs MHaUtShTematics HUST
1.2 数学建模的基本问题
➢数学建模的方法 ➢数学建模的基本过程 ➢数学模型的分类 ➢怎样学好数学建模 ➢数学建模竞赛
数学建模的方法
➢计算机技术的发展为数学的广泛应用创造 了条件，尤其是一些数学软件的开发使用， 使得很多数学思想、方法得以实现。
DepartmDenetpaofrtmMaetnhetmaotifcs MHaUtShTematics HUST
Mathematical Modeling
生物学 航空宇宙 滤波设计
DepartmDenetpaofrtmMaetnhetmaotifcs MHaUtShTematics HUST
2.模型假设 在明确建模目的, 掌握必要资料的基础上, 通过对资料的分析计算, 找出起主要作用的因素, 经
实息(体3数必.模信据要型)的建精立炼假、在设简所化作,假提建设出模的若基干础符求上合解，客利观用实适验际当证的的假数设学应。工用 具去刻划各变量之间的关系, 建立相应的数学结构— —即建立数学模型。
对任意, f(), g()
至少一个为0
数学问题
已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ;且 g(0)=0， f(0) > 0.
在难以得出解析解时，也应当
4.模型求解 选择适当借的助 方计算法机（求解出析数法值解、。数值法、画图 法等）求解数学模型。
5.模型的分析与检验 对模型进行理论或计算分析，并 用实际数据检验是否符合实际。
数学模型的分类
分类标准
建模目的
对某个实际问题 了解的深入程度
模型中变量的特 征
建模中所用的数 学方法