【期末试卷】-2019学年河南省郑州市高一(下)期末数学试卷
2018-2019 学年河南省郑州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有是符合题目要求的）1．（5 分）＝（）A ．B ．C．D．2．（5 分）sin140°cos10°+cos40°sin350°＝（）A ．B ．C．D．3．（5 分）某校高一年级从815 名学生中选取30 名学生参加庆祝建党98 周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从815 人中剔除 5 人，剩下的810 人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（）A ．不全相等B．均不相等C．都相等，且为D．都相等，且为4．（5 分）第十一届全国少数民族传统体育运动会将于2019 年9 月8 日至16 日在郑州举行如图所示的茎叶图是两位选手在运动会前期选拔赛中的比赛得分，则下列说法正确的是（）A ．甲的平均数大于乙的平均数B．甲的中位数大于乙的中位数C．甲的方差大于乙的方差D．甲的极差小于乙的极差25．（5 分）要得到函数y＝2 cos x+sin2 x﹣的图象，只需将函数y＝2sin2x 的图象（）A ．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位6．（5 分）如图给出的是计算+ + + + 的值的一个程序框图，其中判断框中应填入的是（）A ．i ＞102B ．i ≤102 C．i ＞100 D．i ≤1007．（5 分）如图所示，在△ABC 内机选取一点P，则△PBC 的面积不超过四边形ABPC 面积的概率是（）A ．B ．C．D．8．（5 分）若sin （﹣α）＝，则cos（+2α）＝（）A ．B ．C．D．9．（5 分）已知边长为1 的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，点E 满足＝，则? 的值是（）A ．﹣B ．﹣C．﹣D．﹣10．（5 分）已知α，β∈（0，），cosα＝，cos（α+β）＝﹣，则角β＝（）A ．B ．C．D．11．（5 分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E、F 满足＝2 ，＝2 ，EF 与AC 交于点G，设＝，则λ＝（）A ．B ．C．D．12．（5 分）设f（x）＝asin2x+bcos2x，ab≠0，若f（x）≤|f（）|对任意x∈R 成立，则下列命题中正确的命题个数是（）（1）f（）＝0；（2）|f（）|＜|f（）|；（3）f（x）不具有奇偶性；（4）f（x）的单调增区间是[kx+ ，kx+ ] （k∈Z）；（5）可能存在经过点（a，b）的直线与函数的图象不相交A ．1 个B ．2 个C．3 个D．4 个二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共20 分）13．（5 分）平面向量，的夹角为120°，若| |＝2，| |＝1，则| ﹣3 |＝．14．（5 分）在△ABC 中，若，则∠C ．15．（5 分）水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发．市疾控中心为了调查某校高年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取 5 个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，则样本据中的最大值是．16．（5 分）如图，在等腰三角形ABC 中，已知|AB|＝|AC|＝1，∠A＝120°，E，F 分别是AB，AC 上的点，且，（其中λ，μ∈（0，1）），且λ+4μ＝1，若线段EF ，BC 的中点分别为M，N，则| |的最小值为．三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10 分）已知平面向量＝（2，2），＝（x，﹣1）（Ⅰ）若∥，求x（Ⅱ）若⊥（﹣2 ），求与所成夹角的余弦值18．（12 分）如图所示，在平面直角坐标系中，角α与β（0＜β＜α＜π）的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于P、Q 两点，点P 的横坐标为﹣．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若＝，求sinβ19．（12 分）保险公司统计的资料表明：居民住宅区到最近消防站的距离x（单位：千米）和火灾所造成的损失数额y（单位：千元）有如下的统计资料：距消防站距离x（千米） 1.8 2.6 3.1 4.3 5.5 6.1 火灾损失费用y（千元）17.8 19.6 27.5 31.3 36.0 43.2 如果统计资料表明y 与x 有线性相关关系，试求：（Ⅰ）求相关系数r （精确到0.01）；（Ⅱ）求线性回归方程（精确到0.01）；（III ）若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0 千米，评估一下火灾的损失（精确到0.01）．参考数据：y i ＝175.4，：x i y i ＝764.36，（x i ﹣）（y i ﹣）＝80.30，（x i ﹣）2＝14.30，（y i﹣）2≈471.65，≈82.13参考公式：相关系数r ＝，回归方程＝+ t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣x．20．（12 分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示（Ⅰ）求f（x）的解析式及对称中心坐标（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移 1 个单位，得到函数g（x）的图象，求函数y＝g（x）在x∈（0，π）上的单调区间及最值21．（12 分）近年来，郑州经济快速发展，跻身新一线城市行列，备受全国属目，无论是市内的井字形快速交通网，还是辐射全国的米字形高铁路网，郑州的交通优势在同级别的城市内无能出其右．为了调查郑州市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1000 名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a＝4b．（I）求a，b 的值；（Ⅱ）求被调查的市民的满意程度的平均数，众数，中位数；（Ⅲ）若按照分层抽样从[50，60），[60 ，70）中随机抽取8 人，再从这8 人中随机抽取2 人，求至少有 1 人的分数在[50 ，60）的概率．22．（12 分）已知向量＝（cosωx，cosωx），＝（sinωx，﹣cosωx），ω＞0 且函数f（x）＝? 的两个对称中心之间的最小距离为（Ⅰ）求f（x）的解析式及f（）的值；（Ⅱ）若函数g（x）＝a+1﹣f（x）在x∈[0，π]上恰有两个零点，求实数 a 的取值范围2018-2019 学年河南省郑州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有是符合题目要求的）1．（5 分）＝（）A ．B ．C．D．【分析】直接利用向量的加法及减法法则写出结果即可．【解答】解：由向量加法及减法的运算法则可知：向量＝．故选：B．【点评】本题考查向量的基本运算，基本知识的考查，是基础题．2．（5 分）sin140°cos10°+cos40°sin350°＝（）A ．B ．C．D．【分析】利用诱导公式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．【解答】解：sin140°cos10°+cos40°sin350°＝sin40°cos10°﹣cos40°sin10°＝sin30．故选：C．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，诱导公式的应用，是基本知识的考查．3（．5 分）某校高一年级从815 名学生中选取30 名学生参加庆祝建党98 周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从815 人中剔除 5 人，剩下的810 人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（）A ．不全相等B．均不相等C．都相等，且为D．都相等，且为【分析】根据抽样的定义和性质进行判断即可．【解答】解：无论采用哪种抽样方法，每个人入选的概率相同，都为＝，故选：C．【点评】本题主要考查抽样的应用，结合每个个人被抽到的概率相同是解决本题的关键．如图所示的茎叶图是两位选手在运动会前期选拔赛中的比赛得分，则下列说法正确的是（）A ．甲的平均数大于乙的平均数B．甲的中位数大于乙的中位数C．甲的方差大于乙的方差D．甲的极差小于乙的极差【分析】根据茎叶图，分别分析甲乙的平均数，中位数，方差和极差即可．【解答】解：依题意，甲的平均数＝×（11+12+14+24+26+32+38+45+59 ）＝29，乙的平均数＝×（12+20+25+27+28+30+34+43+51 ）＝30，故A 错误，根据茎叶图甲的中位数为26，乙的中位数为28 故B 错误，根据茎叶图可知，甲的得分比较分散，乙的得分相对集中，故 C 正确．甲的极差为59﹣12＝47，乙的极差为51﹣12＝39，故D 错误．故选：C．【点评】本题考查样本据中的最大值的求法，考查平均数、方差的性质，考查运算求解能力，是基础题．25．（5 分）要得到函数y＝2 cos x+sin2 x﹣的图象，只需将函数y＝2sin2x 的图象（）A ．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位2【分析】先将y＝2 cos x+sin2x﹣化简，然后利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换可得结果．【解答】解：y＝2 cos2x+sin2x﹣＝＝＝．∴要得到函数y＝2 cos2 x+sin2x﹣的图象，只需将函数y＝2sin2x 的图象向左平移个单位．故选：C．【点评】本题考查了三角恒等变换和函数y＝Asin （ωx+φ）的图象变换规律，考查了转化思想，属基础题．6．（5 分）如图给出的是计算+ + ++ 的值的一个程序框图，其中判断框中应填入的是（）A ．i ＞102B ．i ≤102 C．i ＞100 D．i ≤100【分析】根据程序框图，模拟运行，依次计算S 和i 的值，直到输出S＝+ + + + ，此时的i 不满足判断框中的条件，即可得到答案．【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一圈：S＝0+ ，i＝4，第二圈：S＝+ ，i＝6，第三圈：S＝+ + ，i＝8，依此类推，第51 圈：S＝+ + ++ ，i＝104，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：i≤102，故选：B．【点评】本题考查了程序框图，主要是根据运行的结果，求解判断框中的条件，解题的关键是根据程序框图中的运算，按顺序求解，判断i 的成立条件和不成立条件．属于基础题．7．（5 分）如图所示，在△ABC 内机选取一点P，则△PBC 的面积不超过四边形ABPC 面积的概率是（）A ．B ．C．D．【分析】由几何概型中的面积型可得：P（A）＝＝，得解．【解答】解：由在△ABC 内机选取一点P，则△PBC 的面积不超过四边形ABPC 面积，则△PBC 的面积不超过△ABC 的面积的一半，取AB，AC 的中点F ，E，则点P 在区域BCEF 内运动，记“△PBC 的面积不超过四边形ABPC 面积”为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A）＝＝，故选：D ．【点评】本题考查了几何概型中的面积型，属中档题．8．（5 分）若sin （﹣α）＝，则cos（+2α）＝（）A ．B ．C．D．【分析】利用诱导公式把要求的式子化为﹣cos（），再利用二倍角的余弦公式进一步化为 2 ﹣1，把已知条件代入运算求得结果．【解答】解：∵＝﹣cos[π﹣]＝﹣cos（）＝2 ﹣1＝2×﹣1＝﹣，故选：C．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式，诱导公式的应用，属于基础题．9．（5 分）已知边长为 1 的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，点E 满足＝，则? 的值是（）A ．﹣B ．﹣C．﹣D．﹣【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量、，计算? 的值．【解答】解：菱形ABCD 中，AB＝1，∠BAD ＝60°，点E 满足＝，如图所示；则A（﹣，0），B（0，﹣），C（，0），D（0，），E（，﹣），∴＝（，﹣），＝（0，1），∵? ＝0﹣＝﹣．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的数量积计算问题，是基础题．第11 页（共24 页）10．（5 分）已知α，β∈（0，），cosα＝，cos（α+β）＝﹣，则角β＝（）A ．B ．C．D．【分析】由题意求出α+β的范围，由条件和平方关系分别求出sinα、sin（α+β），由角之间的关系和两角差的余弦函数求出cosβ，由β的范围和特殊角的三角函数值求出β．【解答】解：∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∵cosα＝，∴sinα＝＝，∵cos（α+β）＝﹣，∴sin（α+β）＝＝，∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝＝∴β＝，故选：A．【点评】本题考查两角差的余弦函数，平方关系，以及变角在三角函数求值中的应用，注意角的范围，考查化简、计算能力．11．（5 分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E、F 满足＝2 ，＝2 ，EF 与AC 交于点G，设＝，则λ＝（）A ．B ．C．D．【分析】由平面向量基本定理及共线向量得：因为E，G，F 三点共线，则＝m +（1 ﹣m）＝，则，所以，所以＝，即＝，得解．【解答】解：因为E，G，F 三点共线，第12 页（共24 页）则＝m +（1﹣m）＝，设＝μ，则＝μ，由平面向量基本定理可得：，所以，所以＝，即＝，即，故选：C．【点评】本题考查了平面向量基本定理及共线向量，属中档题．12．（5 分）设f（x）＝asin2x+bcos2x，ab≠0，若f（x）≤|f（）|对任意x∈R 成立，则下列命题中正确的命题个数是（）（1）f（）＝0；（2）|f（）|＜|f（）|；（3）f（x）不具有奇偶性；（4）f（x）的单调增区间是[kx+ ，kx+ ] （k∈Z）；（5）可能存在经过点（a，b）的直线与函数的图象不相交A ．1 个B ．2 个C．3 个D．4 个【分析】利用三角函数的图象和性质逐一分析四个答案结论的真假，可得答案．第13 页（共24 页）【解答】解：设f（x）＝asin2x+bcos2x＝sin（2x+θ），ab≠0，若f（x）＜|f（）|对任意x∈R 成立，则∵若f（x）≤|f（）|，∴2×+θ＝kπ+ ；∴θ＝kπ+ ；k∈Z ；∴f（x）═sin（2x+kπ+ ）＝±sin（2x+ ）；（1）f（）＝±sin （2×+ ）＝0；（1）正确．（2）代入计算|f（）|＞|f（）|；（2）错误．（3）f（x）不具有奇偶性；（3）正确．（4）f（x）的单调增区间是[kx+ ，kx+ ] （k∈Z）；（4）错误．（5）要使经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且|b|＞，此时平方得 b 2＞a 2 这不可能，矛盾，2+b∴不存在经过点（a，b）的直线于函数f（x）的图象不相交；故（5）错误故：①③正确．故选：B．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共20 分）13．（5 分）平面向量，的夹角为120°，若| |＝2，| |＝1，则| ﹣3 |＝．【分析】利用向量的模的运算法则化简求解即可．【解答】解：平面向量，的夹角为120°，若| |＝2，| |＝1，则| ﹣3 |＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．14．（5 分）在△ABC 中，若，则∠C 60°．【分析】利用两角和的正切公式，求出tan（A+B）的三角函数值，求出A+B 的大小，然后求出C 的值即可．【解答】解：由可得第14 页（共24 页）tan（A+B）＝＝﹣因为A，B，C 是三角形内角，所以A+B＝120°，所以C＝60°故答案为：60°【点评】本题考查两角和的正切函数，考查计算能力，公式的灵活应用，注意三角形的内角和是180°．15．（5 分）水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发．市疾控中心为了调查某校高年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5 个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，则样本据中的最大值是10 ．【分析】由题意得：x1+x2+x3+x4+x5＝35，[（x1﹣7）2+（x2﹣7）2 +（x3﹣7）2 +（x4﹣7）+（x5﹣7）] ＝4，由此能求出样本据中的最大值．【解答】解：由题意得：x1+x2+x3+x4+x5＝35，[（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）+（x5﹣7）]＝4，两式整理，得：＝265，设x1＜x2＜x3＜x4＜x5，由此推导出（x5 ）max ＝10．∴样本据中的最大值是10．故答案为：10．【点评】本题考查样本据中的最大值的求法，考查平均数、方差的性质，考查运算求解能力，是基础题．16．（5 分）如图，在等腰三角形ABC 中，已知|AB|＝|AC|＝1，∠A＝120°，E，F 分别是AB，AC 上的点，且，（其中λ，μ∈（0，1）），且λ+4μ＝1，若线段EF ，BC 的中点分别为M，N，则| |的最小值为．第15 页（共24 页）【分析】由向量的数量积公式求出? ＝﹣，连接AM 、AN，利用三角形中线的性2 质得出，，再根据向量的数量积公式和向量的加减的几何意义得＝μ﹣μ+ ，结合二次函数的性质可得最小值．【解答】解：连接AM 、AN，∵等腰三角形ABC 中，AB＝AC＝1，A＝120°，∴? ＝| |?| |cos120°＝﹣∵AM 是△AEF 的中线，∴＝（+ ）＝（λ+μ）同理，可得＝（+ ），由此可得＝﹣＝（1﹣λ）+ （1﹣μ）2＝（1﹣λ）2 + （1﹣λ）（1﹣μ）? +（1﹣μ）∴＝[ （1﹣λ）+ （1﹣μ）]2＝（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）（1﹣μ）+ （1﹣μ）2，∵λ+4μ＝1，可得1﹣λ＝4μ，2 2 2 ∴代入上式得＝×（4μ）﹣×4μ（1﹣μ）+（1﹣μ）＝μ﹣μ+∵λ，μ∈（0，1），∴当μ＝时，的最小值为，此时| |的最小值为．故答案为：【点评】本题给出含有120 度等腰三角形中的向量，求向量模的最小值，着重考查了平面向量数量积公式及其运算性质和二次函数的最值求法等知识，属于难题．三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10 分）已知平面向量＝（2，2），＝（x，﹣1）（Ⅰ）若∥，求x第16 页（共24 页）（Ⅱ）若⊥（﹣2 ），求与所成夹角的余弦值【分析】（Ⅰ）由平面向量的共线定理列方程求出x 的值；（Ⅱ）根据平面向量垂直的坐标表示列方程求出x，再计算与所成夹角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）平面向量＝（2，2），＝（x，﹣1）若∥，则2×（﹣1）﹣2x＝0，解得x＝﹣1；（Ⅱ）若⊥（﹣2 ），则?（﹣2 ）＝﹣2 ? ＝0，2 2即（2 +2 ）﹣2（2x﹣2）＝0，解得x＝3，∴＝（3，﹣1），∴与所成夹角的余弦值为cosθ＝＝＝．【点评】本题考查了平面向量的共线定理与数量积应用问题，是基础题．α与β（0＜β＜α＜π）的顶点与坐标原18．（12 分）如图所示，在平面直角坐标系中，角点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于P、Q 两点，点P 的横坐标为﹣．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若＝，求sinβ【分析】（Ⅰ）由题意知cosα＝﹣，求得sinα，再计算的值；第17 页（共24 页）（Ⅱ）由题意知＝（﹣，），＝（cosβ，sinβ），由＝和同角的三角函数关系求得sinβ的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，cosα＝﹣，0＜α＜π，∴sinα＝＝，∴＝＝＝﹣；（Ⅱ）＝（﹣，），＝（cosβ，sinβ），＝，∴﹣cosβ+ sinβ＝，∴cosβ＝sinβ﹣，∴sin2β+cos2β＝sin2β+ sin2β﹣sinβ+ ＝1，2化简得75sin β﹣30 sinβ﹣23＝0，解得sinβ＝或sinβ＝（不合题意，舍去）；即sinβ＝．【点评】本题考查了平面向量的数量积计算问题，也考查了三角函数求值问题，是中档题．19．（12 分）保险公司统计的资料表明：居民住宅区到最近消防站的距离x（单位：千米）和火灾所造成的损失数额y（单位：千元）有如下的统计资料：距消防站距离x（千米） 1.8 2.6 3.1 4.3 5.5 6.1 火灾损失费用y（千元）17.8 19.6 27.5 31.3 36.0 43.2 如果统计资料表明y 与x 有线性相关关系，试求：第18 页（共24 页）（Ⅰ）求相关系数r （精确到0.01）；（Ⅱ）求线性回归方程（精确到0.01）；（III ）若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0 千米，评估一下火灾的损失（精确到0.01）．参考数据：y i ＝175.4，：x i y i ＝764.36，（x i ﹣）（y i ﹣）＝80.30，（x i ﹣）2＝14.30，（y i﹣）2≈471.65，≈82.13参考公式：相关系数r ＝，回归方程＝+ t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣x．【分析】（Ⅰ）利用相关系数计算公式，即可求得r；（Ⅱ）利用回归方程＝+ t 中斜率和截距的最小二乘估计公式，即可求得线性回归方程；（III ）由（Ⅱ）可知当x＝10 时，代入即可评估一下火灾的损失．【解答】解：（Ⅰ）（2 分）（Ⅱ）依题意得（3 分）（4 分），，第19 页（共24 页）所以，（6 分）又因为（7.32，7.33 均给分）（8 分）故线性回归方程为（+7.32 或7.33 均给分）（9 分）（III ）当x＝10 时，根据回归方程有：（63.52 或63.53 均给分），发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0 千米，火灾的损失63.51 千元．（12 分）【点评】本题考查线性回归方程的应用，考查相关系数公式，考查计算能力，属于中档题．20．（12 分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示（Ⅰ）求f（x）的解析式及对称中心坐标（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移 1 个单位，得到函数g（x）的图象，求函数y＝g（x）在x∈（0，π）上的单调区间及最值【分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出 A 和B，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式．再根据正弦函数的图象的对称性对称中心坐标．（Ⅱ）利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性和最值，得出结论．【解答】解：（Ⅰ）根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，第20 页（共24 页）可得B＝＝﹣1，A＝＝2，? ＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2? +φ＝，∴φ＝，∴f（x）＝2sin（2x+ ）﹣1．令2x+ ＝kπ，求得x＝﹣，k∈Z ，故函数的对称中心为（﹣，﹣1），k∈Z ．（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位，可得y＝2sin（2x﹣+ ）﹣1＝2sin2x﹣1 的图象；再将横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，可得y＝2sinx﹣1 的图象；最后将图象向上平移 1 个单位，得到函数g（x）＝2sinx 的图象，在x∈（0，π）上，sinx∈（﹣，1]，g（x）∈（﹣1，2]，故函数y＝g（x）在x∈（0，π）上有最大值为2，此时，x＝．g（x）的增区间，即y＝sinx 的增区间，为[2kπ﹣，2kπ+ ] ，结合x∈（0，π），可得增区间为（0，]；g（x）的减区间，即y＝sinx 的减区间，为[2kπ+ ，2kπ+ ]，结合x∈（0，π），可得减区间为[ ，）．【点评】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出 A 和B，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象的对称性；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性和最值，属于中档题．21．（12 分）近年来，郑州经济快速发展，跻身新一线城市行列，备受全国属目，无论是市内的井字形快速交通网，还是辐射全国的米字形高铁路网，郑州的交通优势在同级别的城市内无能出其右．为了调查郑州市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1000 名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a＝4b．（I）求a，b 的值；（Ⅱ）求被调查的市民的满意程度的平均数，众数，中位数；（Ⅲ）若按照分层抽样从[50，60），[60 ，70）中随机抽取8 人，再从这8 人中随机抽取2 人，求至少有 1 人的分数在[50 ，60）的概率．【分析】（Ⅰ）根据题目频率分布直方图频率之和为1，已知其中a＝4b，可得答案．（Ⅱ）利用矩形的面积等于频率为0.5 可估算中位数所在的区间．利用估算中位数定义，矩形最高组估算纵数可得答案；（Ⅲ）利用古典概型的定义找出概率的分子分母求概率即可．【解答】解：研究人员随机抽取了1000 名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如图的频率分布直方图，其中a＝4b，（Ⅰ）（b+0.008+ a+0.027+0.035 ）×10＝1，其中a＝4b，解得：a＝0.024，b＝0.006；（Ⅱ）随机抽取了1000 名市民进行调查，则估计被调查的市民的满意程度的平均数：55×0.08+65×0.24+75×0.35+85×0.27+95×0.06＝74.9，众数：75，中位数：由题中位数在70 到80 区间组，0.035x＝0.5﹣0.08﹣0.24＝0.18；x≈5.14，中位数：70+5.14≈75.14（Ⅲ）若按照分层抽样从[50，60），[60 ，70）中随机抽取8 人，则[50，60）共80 人抽2 人，[60，70）共240 人抽6 人，2＝28 种不同的结果，再从这8 人中随机抽取 2 人，则共有C81 1 2其中至少有 1 人的分数在[50 ，60）共C5 C2 +C5 ＝13 种不同的结果，所以至少有 1 人的分数在[50 ，60）的概率为：p＝；【点评】本题考查由频数分布直方图求频数、频率，考查频率公式，频率分布直方图的应用，属于中档题．22．（12 分）已知向量＝（cosωx，cosωx），＝（sinωx，﹣cosωx），ω＞0 且函数f（x）＝? 的两个对称中心之间的最小距离为（Ⅰ）求f（x）的解析式及f（）的值；（Ⅱ）若函数g（x）＝a+1﹣f（x）在x∈[0，π]上恰有两个零点，求实数 a 的取值范围【分析】（Ⅰ）根据向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性质求出的周期和ω即可．（Ⅱ）求出函数G（x）的解析式，利用参数法，结合三角函数的图象和性质进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）向量＝（cosωx，cosωx），＝（sinωx，﹣cosωx），ω＞0，则f（x）＝? ＝sinωxcosωx﹣cos2 ωx＝sin2ωx﹣cos2ωx﹣＝sin（2ωx﹣）﹣，且函数f （x）的两个对称中心之间的最小距离为，∴T＝＝2? ，ω＝1，∴f（x）＝sin（2x﹣）﹣，f（）＝sin （2×﹣）﹣＝1﹣＝；（Ⅱ）函数g（x）＝a+1﹣f（x）＝a+1﹣sin（x﹣）+ ，令g（x）＝0，得a＝sin （x﹣）﹣﹣1，当0≤x≤π时，﹣≤x﹣≤，当≤x﹣≤且x﹣≠时，y＝sin （x﹣）才有两个交点，此时≤sin（x﹣）＜1，则≤sin（x﹣）＜，即0≤sin（x﹣）﹣＜，﹣1≤sin（x﹣）﹣﹣1＜﹣1，即﹣1≤a＜﹣1，即实数a 的取值范围是[ ﹣1，﹣1）．【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质应用问题，利用向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简是解题的关键．Earlybird。
2022-2023学年河南省天一大联考高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年河南省天一大联考高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足i •z ＝4﹣2i ，则|z |＝（ ） A ．2√3B ．2√5C ．4D ．52．一组数据a ，5，6，7，7，8，11，12的平均数为8，则这组数据的中位数为（ ） A ．6.5B ．7C ．7.5D ．83．已知向量a →=(2，4)，b →=(2，λ)，若(a →+2b →)∥(2a →+b →)，则实数λ的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．2D ．﹣24．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列结论： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β；②若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α；③若l ∥β，l ⊂α，则β∥α；④若α∩β＝l ，m ∥l ，则m 至少与α，β中一个平行． 则下列说法正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③5．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：e ix ＝cos x +i sin x （x ∈R ，i 为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，可知(√22+√22i)4=（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i6．某圆台的侧面展开是一个半圆环（如图所示），且其中内、外半圆弧所在圆的半径分别为2和6，则该圆台的体积为（ ）A ．14√33π B ．26√33π C ．263π D ．523π7．甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束），假设每场比赛甲班获胜的概率为35，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为（ ）A ．727B ．925C ．36125D ．811258．在△ABC 中，AB ＝2，cos （A ﹣B ）cos （B ﹣C ）cos （C ﹣A ）＝1，P 为△ABC 所在平面内的动点，且P A＝1，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−32，92]B ．[−12，112] C ．[3−2√3，3+2√3] D ．[3−√3，3+√3]二、多项选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知z 1，z 2为复数，则下列说法正确的是（ ） A ．若z 1=z 2，则z 1=z 2B ．若z 1+z 2∈R ，则z 1与z 2的虚部相等C ．若z 1z 2＝0，则z 1＝0或z 2＝0D ．若z 12+z 22=0，则z 1＝z 2＝010．某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照[50，60），[60，70），⋯，[90，100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）A ．图中x ＝0.1B ．估计样本数据的第60百分位数约为85C ．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5D ．若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在[60，70）内的学生应抽取10人11．已知正方形ABCD 的边长为2，向量a →，b →满足AB →=2a →，BC →=b →−2a →，则（ ） A ．|b →|=2B ．a →⋅b →=2C ．a →在b →上的投影向量的模为√2D ．(b →−4a →)⊥b →12．如图，已知点P 在圆柱O 1O 的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，A 1A ，B 1B 为圆柱的两条母线，且A 1A ＝3，OA ＝1，∠BOP ＝60°，则（ ）A ．PB ⊥平面A 1APB ．直线A 1P 与平面ABP 所成的角的正切值为√32C ．直线A 1P 与直线AB 所成的角的余弦值为√34D ．点A 到平面A 1BP 的距离为32三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，一个水平放置的△ABO 的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若B ′A ′＝B ′O ′＝1，则原三角形ABO 的面积为 ．14．甲、乙各自从“篮球”“足球”“排球”“游泳”“体操”5个社团中随机选择1个社团加入，且他们加入的社团不同，则他们加入的都是球类运动社团的概率是 ．15．在△ABC 中，点D 满足DC →=2AD →，若线段BD 上的一点P 满足AP →=xAB →+yAC →(x ＞0，y ＞0)，则y ﹣x 的取值范围是 ．16．如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设AB ＝a ，则该模型中5个球的表面积之和为 ．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z ＝m +（4﹣m 2）i （m 为正实数），且z +5i ∈R ． （1）求z ；（2）若z 1=z(a +i)在复平面内对应的点位于第二象限，求实数a 的取值范围．18．（12分）如图所示，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，△ABF 是等边三角形，EF ∥AD ，且EF =12AD =2，M ，N 分别是AD ，CB 的中点． （1）证明：平面NMF ∥平面ECD ；（2）若平面ABF ⊥平面ABCD ，求四棱锥E ﹣ABCD 的体积．19．（12分）根据城市空气质量污染指数的分级标准，空气污染指数（API ）不大于100时，空气质量为优良．某城市环境监测部门从上个月的空气质量数据中随机抽取5天的空气污染指数，所得数据分别为90，110，x ，y ，150，已知这5天的空气污染指数的平均数为110． （1）若x ＜y ，从这5天中任选2天，求这2天空气质量均为优良的概率； （2）若90＜x ＜150，求这5天空气污染指数的方差的最小值． 20．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a−b+c c=b a+b−c．（1）求A ；（2）若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．21．（12分）为了保护一件珍贵文物，博物馆需要用一个密封的玻璃罩罩住文物，玻璃罩的几何模型如图，上部分是正四棱锥P ﹣A 1B 1C 1D 1，下部分是正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的52倍．（1）若AB ＝6dm ，OO 1＝5dm ，求玻璃罩的容积是多少升（玻璃厚度不计）；（2）若P A 1＝4dm ，当PO 1为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是多少？22．（12分）某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了200人，分别对这两家餐厅进行评分，满分为60分．整理评分数据，将评分分成6组：[0，10），[10，20），⋯，[50，60]，得到A餐厅评分的频率分布直方图，以及B餐厅评分的频数分布表如下：B餐厅评分的频数分布表根据学生对餐厅的评分定义学生对餐厅的“满意度指数”如下：（1）在调查的200名学生中，求对A餐厅的满意度指数为2的人数；（2）从该大学再随机抽取1名在A，B餐厅都用过餐的学生进行调查，用样本中不同的满意度指数的频率估计这名学生对应的满意度指数的概率，假设他对A，B餐厅的评分互不影响，求他对A餐厅的满意度指数比对B餐厅的满意度指数低的概率．2022-2023学年河南省天一大联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足i •z ＝4﹣2i ，则|z |＝（ ） A ．2√3 B ．2√5C ．4D ．5解：z =4−2ii=−2−4i ，所以|z|=√(−2)2+(−4)2=2√5． 故选：B ．2．一组数据a ，5，6，7，7，8，11，12的平均数为8，则这组数据的中位数为（ ） A ．6.5 B ．7C ．7.5D ．8解：由题意得a+5+6+7+7+8+11+128=8，解得a ＝8，故这组数据的中位数为7+82=7.5．故选：C ．3．已知向量a →=(2，4)，b →=(2，λ)，若(a →+2b →)∥(2a →+b →)，则实数λ的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．2D ．﹣2解：因为a →=(2，4)，b →=(2，λ)，所以a →+2b →=(6，2λ+4)，2a →+b →=(6，λ+8)，又(a →+2b →)∥(2a →+b →)，∴6×（λ+8）﹣（2λ+4）×6＝0，解得λ＝4． 故选：A ．4．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列结论： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β；②若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α；③若l ∥β，l ⊂α，则β∥α；④若α∩β＝l ，m ∥l ，则m 至少与α，β中一个平行． 则下列说法正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③解：对于①，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以①正确； 对于②，若m ⊥β，α⊥β，则m ⊂α或m ∥α，所以②错误； 对于③，由l ∥β，得β∥α或β与α相交，故③错误；对于④，α∩β＝l ，m ∥l ，则m 至少与α，β中一个平行，故④正确． 故选：C ．5．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：e ix ＝cos x +i sin x （x ∈R ，i 为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，可知(√22+√22i)4=（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i解：由题意可知，(√22+√22i)4=(cos π4+isin π4)4=(e π4i )4=e πi =cosπ+isinπ=−1．故选：A ．6．某圆台的侧面展开是一个半圆环（如图所示），且其中内、外半圆弧所在圆的半径分别为2和6，则该圆台的体积为（ ）A ．14√33π B ．26√33π C ．263π D ．523π解：设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ， 则2πr =12×2π×2，2πR =12×2π×6， 所以r ＝1，R ＝3，且圆台的母线长为6﹣2＝4， 则圆台的高为ℎ=√42−(3−1)2=2√3，所以圆台的体积为V =13(π⋅12+π⋅32+√π⋅12⋅π⋅32)×2√3=26√33π． 故选：B ．7．甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束），假设每场比赛甲班获胜的概率为35，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为（ ）A ．727B ．925C ．36125D ．81125解：甲班最终获胜有三种情况： ①甲班前两场获胜；②甲班第1场和第3场获胜，第2场输； ③甲班第1场输，第2场和第3场获胜．故甲班最终获胜的概率为(35)2+35×(1−35)×35+(1−35)×(35)2=81125．故选：D ．8．在△ABC 中，AB ＝2，cos （A ﹣B ）cos （B ﹣C ）cos （C ﹣A ）＝1，P 为△ABC 所在平面内的动点，且P A ＝1，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−32，92]B ．[−12，112]C ．[3−2√3，3+2√3]D ．[3−√3，3+√3]解：∵A ，B ，C ∈（0，π），∴A ﹣B ∈（﹣π，π），B ﹣C ∈（﹣π，π），C ﹣A ∈（﹣π，π），可得cos （A ﹣B ）∈（﹣1，1]，cos （B ﹣C ）∈（﹣1，1]，cos （C ﹣A ）∈（﹣1，1]， 若cos （A ﹣B ）cos （B ﹣C ）cos （C ﹣A ）＝1，则cos （A ﹣B ）＝1，cos （B ﹣C ）＝1，cos （C ﹣A ）＝1， 可得A ﹣B ＝0，B ﹣C ＝0，C ﹣A ＝0， 所以A ＝B ＝C ，所以△ABC 是等边三角形． 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AB ＝2，∴B （2，0），C(1，√3)．由题意设P （cos θ，sin θ）（0≤θ＜2π），则PB →=(2−cosθ，−sinθ)，PC →=(1−cosθ，√3−sinθ)，∴PB →⋅PC →=(2−cosθ)(1−cosθ)−sinθ(√3−sinθ)=3−2√3cos(θ−π6)． 因为cos(π6−θ)∈[−1，1]，所以3−2√3cos(θ−π6)∈[3−2√3，3+2√3]． 故选：C ．二、多项选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是（）A．若z1=z2，则z1=z2B．若z1+z2∈R，则z1与z2的虚部相等C．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0D．若z12+z22=0，则z1＝z2＝0解：对于A，若z1=z2，则z1和z2互为共轭复数，所以z1=z2，故A正确；对于B，若z1+z2∈R，则z1与z2的虚部互为相反数，故B错误；对于C，若z1z2＝0，则|z1z2|＝|z1|•|z2|＝0，所以|z1|＝0或|z2|＝0，可得z1＝0或z2＝0，故C正确；对于D，取z1＝1，z2＝i，可得z12+z22=1−1=0，故D错误．故选：AC．10．某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照[50，60），[60，70），⋯，[90，100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A．图中x＝0.1B．估计样本数据的第60百分位数约为85C．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5D．若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在[60，70）内的学生应抽取10人解：对于A，由图知10×（x+0.015+0.02+0.03+0.025）＝1，解得x＝0.01，A错误；对于B，成绩在[50，80）内对应的频率为0.1+0.15+0.2＝0.45＜0.6，成绩在[50，90）内对应的频率为0.1+0.15+0.2+0.3＝0.75＞0.6，因此第60百分位数m位于区间[80，90）内，m=80+0.6−0.450.3×(90−80)=85，所以估计样本数据的第60百分位数约为85，B正确；对于C，平均数约为x=55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5，C正确；对于D，成绩低于80分的三组学生的人数之比为0.1：0.15：0.2＝2：3：4，则应选取成绩在[60，70）内的学生人数为30×32+3+4=10，D 正确． 故选：BCD ．11．已知正方形ABCD 的边长为2，向量a →，b →满足AB →=2a →，BC →=b →−2a →，则（ ） A ．|b →|=2B ．a →⋅b →=2C ．a →在b →上的投影向量的模为√2D ．(b →−4a →)⊥b →解：对于A ，由已知可得b →=2a →+BC →=AB →+BC →=AC →， 在正方形ABCD 中可得|AC →|=2√2，故A 错误；对于B ，a →⋅b →=12AB →⋅AC →=12|AB →||AC →|cos45°=12×2×2√2×√22=2，故B 正确；对于C ，a →在b →上的投影向量的模为|a →⋅b →||b →|=2√2=√22，故C 错误；对于D ，(b →−4a →)⋅b →=b →2−4a →⋅b →=0， 又b →−4a →与b →均不是零向量， 所以(b →−4a →)⊥b →，故D 正确． 故选：BD ．12．如图，已知点P 在圆柱O 1O 的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，A 1A ，B 1B 为圆柱的两条母线，且A 1A ＝3，OA ＝1，∠BOP ＝60°，则（ ）A ．PB ⊥平面A 1APB ．直线A 1P 与平面ABP 所成的角的正切值为√32C ．直线A 1P 与直线AB 所成的角的余弦值为√34D ．点A 到平面A 1BP 的距离为32解：对于A ，由已知得AA 1⊥平面ABP ，PB ⊂平面APB ，所以AA 1⊥PB ， 又因为AB 是底面圆的直径，P 在圆周上且异于A 、B 两点，所以BP ⊥AP ， 又A 1A ∩AP ＝A ，AA 1、AP ⊂平面A 1AP ，所以PB ⊥平面A 1AP ，故A 正确； 对于B ，因为AA 1⊥平面ABP ，所以直线A 1P 与平面ABP 所成的角为∠A 1P A ， 因为∠BOP ＝60°，则∠PAO =12∠BOP =12×60°=30°， 所以PB =12AB =12×2=1，PA =√AB 2−PB 2=√22−12=√3，AA 1＝3，故tan ∠APA 1=AA 1AP =33=√3，故直线A 1P 与平面ABP 所成的角的正切值为√3，故B 错误； 对于C ，连接B 1P ，因为AA 1∥BB 1且AA 1＝BB 1，故四边形AA 1B 1B 为平行四边形， 所以AB ∥A 1B 1，所以直线A 1P 与直线AB 所成的角为∠B 1A 1P 或其补角， 在△A 1B 1P 中，A 1P =√AP 2+A 1A 2=√(√3)2+32=2√3， B 1P =√BP 2+B 1B 2=√12+32=√10，所以cos ∠B 1A 1P =A 1B 12+A 1P 2−B 1P 22A 1B 1⋅A 1P =22+(2√3)2−(√10)22×2×2√3=√34，故C 正确； 对于D ，设点A 到平面A 1PB 的距离为h ， 则V A−A 1PB =V A 1−APB ，即13⋅S △A 1PB ⋅ℎ=13⋅S △APB ⋅AA 1，又S △APB =12AP ⋅BP =12×√3×1=√32，S △A 1PB =12A 1P ⋅PB =12×2√3×1=√3， 所以13×√3×ℎ=13×√32×3，解得ℎ=32，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，一个水平放置的△ABO 的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若B ′A ′＝B ′O ′＝1，则原三角形ABO 的面积为 √2 ．解：根据题意可得O ′A ′=√2， 在△ABO 中，OB ＝O ′B ′＝1， OA =2O ′A ′=2√2， 所以△ABO 的面积为S =12×1×2√2=√2 故答案为：√2．14．甲、乙各自从“篮球”“足球”“排球”“游泳”“体操”5个社团中随机选择1个社团加入，且他们加入的社团不同，则他们加入的都是球类运动社团的概率是310．解：总的样本点的个数为A 52=20，事件“他们加入的都是球类运动社团”包含的样本点有A 32=6个，故所求概率为620=310．故答案为：310．15．在△ABC 中，点D 满足DC →=2AD →，若线段BD 上的一点P 满足AP →=xAB →+yAC →(x ＞0，y ＞0)，则y ﹣x 的取值范围是 (−1，13) ．解：∵DC →=2AD →，∴AC →=3AD →，∴AP →=xAB →+3yAD →． ∵B ，P ，D 三点共线，∴x +3y ＝1，∵x ＞0，∴y =13(1−x)＜13，∴0＜y ＜13， ∴y −x =y −(1−3y)=4y −1∈(−1，13)．故答案为：(−1，13)．16．如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设AB ＝a ，则该模型中5个球的表面积之和为π3a 2 ．解：如图所示，设O 为大球的球心，大球的半径为R ，大正四面体的底面中心为E ，棱长为a ，高为h ，CD 的中点为F ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，BF ， 则BE =23BF =√33a ，正四面体的高ℎ=AE =√AB 2−BE 2=√63a ， 因为V 正四面体＝4V O ﹣ABC ，所以13×S △ABC ℎ=4×13×S △ABC ×R ，所以R =14ℎ=√612a ，设小球的半径为r ，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高ℎ小=ℎ−2R =√66a ，所以r =14ℎ小=√624a =R2，故该模型中5个球的表面积之和为4πR 2+4×4πr 2=8πR 2=8π×6144a 2=π3a 2． 故答案为：π3a 2．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z ＝m +（4﹣m 2）i （m 为正实数），且z +5i ∈R ． （1）求z ；（2）若z 1=z(a +i)在复平面内对应的点位于第二象限，求实数a 的取值范围． 解：（1）由z +5i ＝m +（9﹣m 2）i 为实数，可得9﹣m 2＝0， 解得m ＝±3，因为m ＞0，所以m ＝3， 所以z ＝3﹣5i ；（2）由（1）可知z =3+5i ，所以z 1=z(a +i)=(3+5i)(a +i)=(3a −5)+(5a +3)i ， 因为z 1在复平面内对应的点在第二象限， 所以{3a −5＜05a +3＞0，解得−35＜a ＜53，故实数a 的取值范围为(−35，53)．18．（12分）如图所示，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，△ABF 是等边三角形，EF ∥AD ，且EF =12AD =2，M ，N 分别是AD ，CB 的中点． （1）证明：平面NMF ∥平面ECD ；（2）若平面ABF ⊥平面ABCD ，求四棱锥E ﹣ABCD 的体积．解：（1）证明：因为EF ∥AD ，EF =12AD =2，M 是AD 的中点， 所以EF ∥DM ，且EF ＝DM ， 所以四边形DEFM 是平行四边形， 从而MF ∥DE ．因为MF ⊄平面ECD ，DE ⊂平面ECD ， 所以MF ∥平面ECD ． 同理NF ∥平面ECD ， 又MF ∩NF ＝F ，所以平面NMF ∥平面ECD ．（2）设AB 的中点为H ，连接FH ，则FH ⊥AB ．因为平面ABF ⊥平面ABCD ， 平面ABF ∩平面ABCD ＝AB ， FH ⊂平面ABF ， 所以FH ⊥平面ABCD ，因为EF ∥AD ，EF ⊄平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD ，所以E 到平面ABCD 的距离为FH =2√3， 所以V E−ABCD =13×(4×4)×2√3=32√33． 19．（12分）根据城市空气质量污染指数的分级标准，空气污染指数（API ）不大于100时，空气质量为优良．某城市环境监测部门从上个月的空气质量数据中随机抽取5天的空气污染指数，所得数据分别为90，110，x ，y ，150，已知这5天的空气污染指数的平均数为110． （1）若x ＜y ，从这5天中任选2天，求这2天空气质量均为优良的概率； （2）若90＜x ＜150，求这5天空气污染指数的方差的最小值． 解：（1）由题意知15(90+110+x +y +150)=110，则x +y ＝200．因为x ＜y ，所以x ＜100＜y ．从这5天中任选2天，所有的结果为：（90，110），（90，x ），（90，y ），（90，150），（110，x ），（110，y ），（110，150），（x ，y ），（x ，150），（y ，150），共10种， 这2天的空气质量均为优良的结果为（90，x ），只有1种， 故所求的概率为P =110． （2）方差s 2=15×[(90−110)2+(110−110)2+(x −110)2+(y −110)2+(150−110)2] =15[2000+(x −110)2+(90−x)2]=25(x −100)2+440，因为90＜x ＜150，所以当x ＝100时，s 2的值最小，最小值为440． 20．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a−b+c c=b a+b−c．（1）求A ； （2）若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形． 解：（1）∵a−b+c c=b a+b−c，∴bc ＝b 2+c 2﹣a 2，由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12， 又0＜A ＜π，∴A =π3； （2）证明：∵b −c =√33a ， 由正弦定理得sinB −sinC =√33sinA =12，∴sinB −sin(2π3−B)=sinB −√32cosB −12sinB =12sinB −√32cosB =sin(B −π3)=12， ∵B ∈(0，2π3)， ∴B −π3∈(−π3，π3)， ∴B −π3=π6，即B =π2， 故△ABC 是直角三角形．21．（12分）为了保护一件珍贵文物，博物馆需要用一个密封的玻璃罩罩住文物，玻璃罩的几何模型如图，上部分是正四棱锥P ﹣A 1B 1C 1D 1，下部分是正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的52倍．（1）若AB ＝6dm ，OO 1＝5dm ，求玻璃罩的容积是多少升（玻璃厚度不计）；（2）若P A 1＝4dm ，当PO 1为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是多少？解：（1）（1）∵OO 1＝5dm ，∴PO 1＝2dm ．∴玻璃罩的容积V =13×62×2+62×5=24+180=204(dm 3)=204(L)． （2）连接A 1O 1，设PO 1＝xdm （0＜x ＜4），则O 1O =52xdm ，A 1O 1=√16−x 2dm ，A 1B 1=√2√16−x 2dm ， ∴正四棱柱的侧面积S =4⋅52x ⋅√2√16−x 2=10√2√(16−x 2)x 2．∵S ≤10√2×x 2+16−x 22=80√2，当且仅当x =√16−x 2，即x =2√2时，取等号．∴当PO 1=2√2dm 时，正四棱柱侧面积最大，最大为80√2dm 2．22．（12分）某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了200人，分别对这两家餐厅进行评分，满分为60分．整理评分数据，将评分分成6组：[0，10），[10，20），⋯，[50，60]，得到A 餐厅评分的频率分布直方图，以及B 餐厅评分的频数分布表如下： B 餐厅评分的频数分布表根据学生对餐厅的评分定义学生对餐厅的“满意度指数”如下：（1）在调查的200名学生中，求对A 餐厅的满意度指数为2的人数；（2）从该大学再随机抽取1名在A，B餐厅都用过餐的学生进行调查，用样本中不同的满意度指数的频率估计这名学生对应的满意度指数的概率，假设他对A，B餐厅的评分互不影响，求他对A餐厅的满意度指数比对B餐厅的满意度指数低的概率．解：（1）学生对A餐厅的评分在[30，50）的频率为（0.02+0.02）×10＝0.4，即学生对A餐厅的满意度指数为2的频率为0.4，所以对A餐厅的满意度指数为2的人数为200×0.4＝80；（2）设“对A餐厅的满意度指数比对B餐厅的满意度指数低”为事件M，记“对A餐厅的满意度指数为1”为事件A1，“对A餐厅的满意度指数为2”为事件A2，“对B餐厅的满意度指数为2”为事件B2，“对B餐厅的满意度指数为3”为事件B3，则P（A1）＝（0.003+0.005+0.012）×10＝0.2，P（A2）＝0.4，P(B2)=30+80200=0.55，P(B3)=70200=0.35，所以P（M）＝P（A1B2+A1B3+A2B3）＝P（A1）P（B2）+P（A1）P（B3）+P（A2）P（B3）＝0.2×0.55+0.2×0.35+0.4×0.35＝0.32．。
河南省郑州市2019-2020学年高一下期末达标测试数学试题含解析
河南省郑州市2019-2020学年高一下期末达标测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量a ,b 满足1a b ==,a 和b 的夹角为4π,则a b ⋅=( ) A ．12BCD ．1【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的数量积公式，即可得到本题答案. 【详解】由题意可得o 112c s 4cos4a b a b ππ⋅==⨯⨯⋅=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积公式，属基础题.2．若变量x ，y 满足约束条件82400x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则-a b 的值是A ．48B ．30C ．24D ．16【答案】C 【解析】 由()()8842165161624428x y x y x y y x z y x a y x y x +≤+≤⎧⎧⇒⇒++-≤⇒-≤⇒=⎨⎨-≤-≤⎩⎩＝， 由8802408400,02x y x y x x xx y +≤⎧-≥⎧⎪⎪-≤⇒⇒≤≤⎨⎨+≥⎪⎪≥≥⎩⎩，当8x =最大时，0y = 最小，此时58z y x =-=- 最小，8,16824b a b ∴=-∴-=+=，故选C.【点睛】本题除了做约束条件的可行域再平移0l 求得正解这种常规解法之外，也可以采用构造法解题，这就要求考生要有较强的观察能力，或者采用设元求出构造所学的系数. 3．若23x =，则x =（ ）A ．2log 2B ．lg 2lg3-C ．lg 2lg 3D ．lg3lg2【答案】D 【解析】 【分析】将指数形式化为对数形式可得2log 3x =，再利用换底公式即可. 【详解】 解：因为23x =， 所以2lg 3log 3lg 2x ==， 故选：D. 【点睛】本题考查了指数与对数的互化，重点考查了换底公式，属基础题.4．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ） A ．14B ．12C ．18D ．16【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】设三件正品分别记为1,2,3，一件次品记为a则从三件正品、一件次品中随机取出两件，取出的产品可能为{}{}{}{}{}{}1,2,1,3,1,,2,3,2,,3,a a a ，共6种情况，其中取出的产品全是正品的有3种 所以产品全是正品的概率31=62P = 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用古典概型概率公式计算概率，属于基础题.5．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递减的函数是（ ） A ．1y x=B ．21y x =+C ．21y x =-+D ．lg y x =【答案】C 【解析】【分析】依次分析选项的奇偶性和在区间()0,∞+上的单调性即可得到答案. 【详解】 因为1y x=是奇函数，故A 选项错误， 因为lg y x =是非奇非偶函数，故D 选项错误， 因为21y x =+是偶函数，由函数图像知， 在区间()0,∞+上单调递增，故B 选项错误， 因为21y x =-+是偶函数，由函数图像知， 在区间()0,∞+上单调递减，故C 选项正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判断，二次函数单调性的判断，属于基础题.6．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得. 【详解】依题意正四棱柱的体对角线1BD 是其外接球的直径, 1BD 的中点O 是球心, 如图:依题意设AB BC ==x ,则正四棱柱的体积为:24x 16=,解得2x =, 所以外接球的直径2222444162426R x x ++=++=所以外接球的半径6R =,则这个球的表面积是2424R ππ=.故选C. 【点睛】本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题.7．某社区义工队有24名成员，他们年龄的茎叶图如下表所示，先将他们按年龄从小到大编号为1至24号，再用系统抽样方法抽出6人组成一个工作小组，则这个小组年龄不超过55岁的人数为（ ） 3 9 4 0 1 1 2 5 5 1 3 6 6 7 7 8 8 8 9 6 00 123 34 5A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】求出样本间隔，结合茎叶图求出年龄不超过55岁的有8人，然后进行计算即可． 【详解】解：样本间隔为2464÷=，年龄不超过55岁的有8人， 则这个小组中年龄不超过55岁的人数为2人．故选：B ． 【点睛】本题主要考查茎叶图以及系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键，属于基础题． 8．在一段时间内，某种商品的价格x （元）和销售量y （件）之间的一组数据如下表：若y 与x 呈线性相关关系，且解得回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率0.9b ∧=，则a ∧的值为（ ） A ．0.2 B ．-0.7C ．-0.2D ．0.7【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用线性回归方程的性质计算可得a 的值. 【详解】 由于468101285x ++++==，35891075y ++++==，由于线性回归方程过样本中心点(),x y ，故：70.98a =⨯+， 据此可得：0.2a =-. 故选C. 【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质及其应用，属于中等题.9．从A ，B ，C 三个同学中选2名代表，则A 被选中的概率为（ ） A ．13B ．14C ．12D ．23【答案】D 【解析】 【分析】先求出基本事件总数，A 被选中包含的基本事件个数2，由此能求出A 被选中的概率． 【详解】从A ，B ，C 三个同学中选2名代表， 基本事件总数为：,,AB AC BC ，共3个，A 被选中包含的基本事件为：,AB AC ，共2个，A ∴被选中的概率23p =． 故选：D ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法和运算求解能力，是基础题． 10．已知圆心为C （6，5），且过点B （3，6）的圆的方程为（ ） A ．22(6)(5)10x y -+-= B ．22(6)(5)10x y +++= C ．22(5)(6)10x y -+-= D ．22(5)(6)10x y +++=【答案】A 【解析】 【分析】在知道圆心的情况下可设圆的标准方程为222(6)(5)x y r -+-=,然后根据圆过点B （3，6），代入方程可求出r 的值，得到圆的方程. 【详解】因为||BC ==,又因为圆心为C （6，5）,所以所求圆的方程为222(6)(5)x y r -+-=,因为此圆过点B （3，6），所以222(36)(65)r -+-=,所以210r =，因而所求圆的方程为22(6)(5)10x y -+-=.考点：圆的标准方程.11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若323n n S a n =-，则2019a =（） A ．201921-- B ．201936--C ．20191728⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．201911033⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】再递推一步，两个等式相减，得到一个等式，进行合理变形，可以得到一个等比数列，求出通项公式，最后求出数列{}n a 的通项公式，最后求出2019a ，选出答案即可. 【详解】因为323n n S a n =-，所以当2,n n N *≥∈时，11323(1)n n S a n --=--，两式相减化简得：1131212()n n n n a a a a --=--⇒++=-，而13a =-，所以数列{}1n a +是以112a +=-为首项，2-为公比的等比数列，因此有1(2)(2)(21)1n n n n a a -+==-⋅-⇒--，所以201292001919(2)121a --=--=，故本题选A.【点睛】本题考查了已知数列递推公式求数列通项公式的问题，考查了等比数列的判断以及通项公式，正确的递推和等式的合理变形是解题的关键.12．计算sin15sin30sin75的值等于（ ）A ．4B ．8C ．18D ．14【答案】C 【解析】 【分析】由三角正弦的倍角公式计算即可． 【详解】 原式111sin15cos15sin30248===．故选C 【点睛】本题属于基础题，考查三角特殊值的正弦公式的计算． 二、填空题：本题共4小题13．已知等比数列｛a n ｝为递增数列，且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=，则数列｛a n ｝的通项公式a n =______________． 【答案】2n 【解析】设数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则28911a q a q =，所以1a q =，由212()5n n n a a a +++=得22520q q -+=解得122q q ==或，因为数列{}n a 为递增数列，所以2q ，12a =，所以2n n a =考点定位：本题考查等比数列，意在考查考生对等比数列的通项公式的应用能力 14．若1()(1)k f x k x +=-()k ∈R 为幂函数，则满足sin()sin k θθ=02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的θ的 值为________. 【答案】3π 【解析】 【分析】根据幂函数定义知2k =，又sin 2sin θθ=，由二倍角公式即可求解. 【详解】因为1()(1)k f x k x+=-()k ∈R 为幂函数，所以1=1k -，即2k =, 因为sin()sin k θθ=,所以sin 2sin θθ=，即2sin cos sin θθθ=， 因为02πθ<<，所以1cos 2θ=，=3πθ.故填3π. 【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，正弦的二倍角公式，属于中档题.15．数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a = _____.【答案】()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【解析】 【分析】根据n a 和n S 之间的关系,应用公式()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得出结果 【详解】当1n =时,113a S ==；当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦； ∴()()3122n n a n n ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩故答案为()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【点睛】本题考查了n a 和n S 之间的关系式,注意当1n =和2n ≥时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题16．设数列{}n a 的前n 项和为()*n S n ∈N，关于数列{}na ，有下列三个命题：（1）若{}n a 既是等差数列又是等比数列，则()*1n n a a n +=∈N ；（2）若2(,R)n S an bn a b =+∈，则{}n a 是等差数列： （3）若1(1)nn S =--，则{}n a 是等比数列这些命题中，真命题的序号是__________________________. 【答案】（1）、（2）、（3） 【解析】 【分析】利用等差数列和等比数列的定义，以及等差数列和等比数列的前n 项和形式，逐一判断即可. 【详解】既是等差数列又是等比数列的数列是非零常数列，故（1）正确. 等差数列的前n 项和是二次函数形式，且不含常数，故（2）正确. 等比数列的前n 项和是常数加上常数乘以nq 的形式，故（3）正确.故答案为：（1），（2），（3） 【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的定义，同时考查了等差数列和等比数列的前n 项和，属于简单题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年河南省郑州市高一下学期期末数学试卷(解析版)
2019-2020 学年河南省郑州市高一第二学期期末数学试卷、选择题（共 12 小题）1．已知平行四边形 ABCD 中，向量 ＝（ 3，7）， ＝（﹣ 2，3），则向量的坐标为3．某学校从编号依次为 01，02．⋯ 72的 72 个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽学生的编号为（s 2 为（）大排成的两位数记为 I （ a ），按从大到小排成的两位数记为 D a ）＝57，D （a ）＝ 75），执行如图所示的程序框图，若输入的6． 7． A ．已知 cos θ＝ A ．﹣7 B ．3C ．D ．4，且 θ∈（﹣B ．7，0），则 tan （ +θ）＝（C ．设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的两位数．将组成 D ．a 的 2 个数字按从小到 A ．15B ．﹣ 272．sin (﹣）的值是（ ）A ．﹣B ．C ．（ 5，4）C ．取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为12，21， 则该样本中来自第四组的4． 5．A ．30B ．31列函数中是偶函数且最小正周期为22A ． y ＝ cos 4x ﹣ sin C ． y ＝ sin2x+cos2xC ． 的是（B ．D ． 32y ＝ sin4 x y ＝ cos2x已知某 7 个数据的平均数为 5，方差为 4，现又加入一个新数据 D ．335，此时这 8 个数的方差 a ）（例如 a ＝ 75，则 Ia ＝97，则输出的b ＝）A．45B．40C．35 D．308．如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等．某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中深色部分的概率为（B．C．D．9 ．在△ ABC 中，，且∠ BAC＝120°，若，则A．2 ＝（）B．1 C．D．10．若点在函数＝sin（2x+ ）的图象上，为了得到函数A．向左平行移动B．向右平行移动C．向右平行移动x∈R）的图象，只需把曲线f（x）上所有的点（个单位长度个单位长度个单位长度D ．向左平行移动 个单位长度则实数 a 的取值范围为（二、填空题（每小题 5 分，共 20分）16．在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3．以 C 为圆心， 2为半径作圆，线段 PQ 为该圆的一条直径，则 的最小值为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知向量 ＝（3，2）， ＝（﹣ 1，2）， ＝（ 4， 1）． （ 1）求 3 + ﹣2 ；2）若（ +k ）∥（ 2 ﹣ ），求实数 k ． 18．疫情期间口罩需求量大增， 某医疗器械公司开始生产质量按指标测试分数进行划分， 其中分数不小于 70 机抽取 100 件口罩进行检测，其结果如表：11．已知 ＝（ 2sin13°，2sin77°），| ﹣ |＝1， 与 ﹣ 的夹角为，则 ? ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512．若 关于 x 的方程有两个不同解，A ．B ．C ．D ．13．已知向量 ＝（ 1， ）， ＝（ 2， 0），则 | ﹣2 | ＝ 14．已知函数 f （x ）＝ sin （ ωx +φ）（ ω>0，0< φ< π）的部分图象如图所示，则 ? 的值 ﹣ x )﹣ sin ( π﹣ x )的值KN 95 口罩，并且对所生产口罩的的为合格品， 否则为不合格品， 现随测试分数[50，60)[60， 70)[70， 80)[80，90)[90， 100]数量16422414，则 sin 2（Ⅰ）根据表中数据，估计该公司生产口罩的不合格率； Ⅱ）根据表中数据，估计该公司口罩的平均测试分数；Ⅲ）若用分层抽样的方式按是否合格从所生产口罩中抽取 5 件，再从这 5 件口罩中随 机抽取 2件，求这 2 件口罩全是合格品的概率．19．已知 α， β为锐角，1）求 cos2α的值；﹣4）．（Ⅰ）求函数 f （ x ）的单调递增区间； （Ⅱ）求函数 f （ x ）的最大值和最小值．21．如图，四边形 OQRP 为矩形，其中 P ，Q 分别是函数 f （ x ）＝ sin ωx （A >0，ω> 0） 图象上的一个最高点和最低点， O 为坐标原点， R 为图象与 x 轴的交点．求 f （ x ）的解22．红外线治疗仪的治疗作用是在红外线照射下，组织温度升高，毛细血管扩张，血流加快，物质代谢增强，组织细胞活力及再生能力提高，对我们身体某些疾病的治疗有着很大的贡献，某药店兼营某种红外线治疗仪，经过近5 个月的营销，对销售状况进行相关数据分析，发现月销售量与销售价格有关，其统计数据如表：每台红外线治疗仪的销售价格： x/元140 150 160 170 180 红外线治疗仪的月销售量： y/台6455453526（I ）根据表中数据求 y 关于 x 的线性回归方程；（Ⅱ） ① 每台红外线治疗仪的价格为 165 元时，预测红外线治疗仪的月销售量；（四舍 五入为整数）2）求 tan （β﹣ α）的值． 20．已知函数 f （ x ）＝ ? ，x ∈[，］，其中 ＝（ ，cos 2x ）， ＝（sin （ 2x），② 若该红外线治疗仪的成本为120 元/台，药店为使每月获得最大的纯收益，利用（Ⅰ）中结论，问每台该种红外线治疗仪的销售价格应定为多少元？（四舍五入，精确到 1 元）．参考公式：回归直线方程参考答案、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）1．已知平行四边形 ABCD 中，向量＝（ 3， 7）， ＝（﹣ 2，3），则向量 的坐标为（）A ．15B ．﹣27C ．（ 5，4）D ．（ 1，10）【分析】根据向量加法的平行四边形法则即可得出 ，然后带入坐标即可．解：根据向量加法的平行四边形法则， ． 故选： D ．2．sin (﹣）的值是（分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．故选： B ．3．某学校从编号依次为 01，02．⋯ 72的 72 个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为 12，21，则该样本中来自第四组的 学生的编号为（ ）A ． 30B ． 31C ．32D ． 33【分析】由样本中相邻的两个组的编号分别为12， 21，得到抽样间隔为： 21﹣ 12＝9，从而第二组的编号为 12，第三组的编号为 21，由此能求出该样本中来自第四组的学生的 编号．解：某学校从编号依次为 01， 02．⋯ 72 的 72 个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方 法抽取一个样本，样本中相邻的两个组的编号分别为 12， 21， ∴抽样间隔为： 21﹣12＝ 9， ∴样本单元数为＝ 8，第二组的编号为 12，第三组的编号为 21，A ．B ．C ．D ．解： sin （﹣)＝ sin (﹣ 4π+）＝sin＝si＝， ＝，则该样本中来自第四组的学生的编号为21+9＝30．故选： A ．4．下列函数中是偶函数且最小正周期为的是（）22A ．y＝cos 4x﹣sin 4x B．y＝sin4 xC．y＝sin2x+cos2x D．y＝cos2x【分析】利用三角函数的奇偶性和三角函数的周期公式逐一判断即可．解：A．y＝cos24x﹣sin24x＝cos8x，是偶函数，周期T＝，符合条件；B．函数是奇函数，不符合条件；C．y＝sin2x+cos2x＝，是非奇非偶函数，不符合条件；D．函数是偶函数，周期T＝，不符合条件．故选： A ．5．已知某7 个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8 个数的方差s2为（）A．B．3 C．D．4分析】根据平均数和方差的定义，计算加入一个新数据后，这组数据的平均数和方差．解：因为7 个数据的平均数为5，方差为4，又加入一个新数据5，则这8 个数的平均数为＝5，方差为s2＝×[4×7+（5﹣5）2]＝故选：C．6．已知cosθ＝，且θ∈（﹣，0），则tan +θ）＝（A．﹣7 B．7 C．D．分析】由已知结合同角基本关系可求sin θ，tan θ，然后利用两角和的正切公式可求tan +θ）．解：∵ cosθ＝，且θ∈（﹣，0），∴sinθ＝，tan ，故选： D ．7．设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的两位数．将组成 a 的 2 个数字按从小到 大排成的两位数记为 I （ a ），按从大到小排成的两位数记为 D （ a ）（例如 a ＝ 75，则 I （a ）＝57，D （a ）＝ 75），执行如图所示的程序框图，若输入的 a ＝97，则输出的 b ＝ （）A ． 45B ． 40C ．35D ． 30【分析】模拟运行程序，直到满足条件，确定输出 b 的值，可得答案． 解：模拟程序的运行，可得a ＝ 97，b ＝ 97﹣79＝18 a ＝ 18， b ＝ 81﹣18＝63 a ＝63， b ＝ 63﹣36＝27 a ＝27，b ＝ 72﹣27＝45 45 为 5的倍数，退出循环，输出 b 的值为 45． 故选： A ．8．如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等．某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中深色部分的概率为（则 tan （ + θ）r ，求出由内到外的区域面积，再计算所求的概率值．解：设中心圆的半径为 r ，则由内到外的环数对应的区域面积依次为πr 2，3πr 2，5πr 2，7πr 2，则命中深颜色的概率为故选： D ．＝（ ）A ． 2B ． 1【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算可．解：建立平面直角坐标系，如图所示，由题意知 A （0，1）， B （﹣ ，0），C （ ，0），则 ＝λ ＝λ（2 ，0）＝（ 2 λ，0）， ＝（﹣ ，﹣1）， ＝（ ，﹣1），所以 + ＝（ 0，﹣ 2），＝ + ＝（ 2 λ﹣ ，﹣ 1 ），所以 ? （ + ）＝ 0×（ 2 λ﹣ ）+（﹣ 1）×（﹣ 2）＝ 2． 故选： A ．C ．9．在△ ABC 中， ，且∠ BAC ＝ 120，若 ，则C ．分析】设中心圆的半径为所以 ＝，1＝4﹣分析】利用向量的模以及向量的数量积的运算法则化简求解即可． 解： ＝（ 2sin13°， 2sin77 °）＝（ 2sin13 °， 2cos13°）， | |＝ 2，| ﹣ |＝1， 与 ﹣ 的夹角为 ，的图象上，为了得到函数x ∈R ）的图象，只需把曲线 f （ x ）上所有的点（A ．向左平行移动B ．向右平行移动C ．向右平行移动 个单位长度 个单位长度 个单位长度D ．向左平行移动个单位长度分析】首先利用点的坐标求出函数的关系式，进一步利用函数的图象的平移变换和伸 缩变换的应用求出结果． 解：点 在函数 的图象上， φ）＝ 1，所以由于 ，整理得： φ＝﹣故 f （x ）＝ cos （ 2x ﹣ ），将函数的图象向左平移 个单位得到 y ＝cos[2（ x+﹣ ］＝ cos ( 2x ﹣ ）＝ sin ）＝ sin （2x）的图象．故选： D ．11．已知 ＝( 2sin13°，2sin77° ），| ﹣ |＝ 1， 与 ﹣ 的夹角为，则 ? ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5＝sin (2x+∴ ? ＝ 3， 故选： B ．12．若关于 x 的方程有两个不同解，则实数 a 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【分析】设 t ＝sinx+cosx ，由正弦公式和正弦函数的图象和性质，可得 t 的范围，进而原 方程即为 t ﹣t 2+2﹣a ＝0即 a ＝﹣ t 2+t+2 在［0， ］有两解， 由二次函数的图象和性质， 可 得所求范围． 解：关于 x 的方程t ∈［0， ］，且 t 随着 x 的增大而增大；又 2sinxcosx ＝t 2﹣1，原方程即为 t ﹣t 2+2﹣a ＝0 即 a ＝﹣ t 2+t+2 在［0， ］有两解， 由 f （t ）＝﹣ t 2+t+2 在［0， ］递增， { ， ］递减，可得 f （t ）的最大值为 ，最小值为， 则 2≤ a < ． 故选： D ．二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13．已知向量 ＝（ 1， ）， ＝（ 2， 0），则 | ﹣2 |＝【分析】可求出向量 的坐标，进而可求出 的值．解：∵ ，∴．故答案为： ．设 t ＝sinx+cosx ＝ sin (x+），由 x ∈［﹣］，14．已知函数 f （x ）＝ sin （ ωx+φ）ω>0， 0<φ<π）的部分图象如图所示，则 ? 的值］，可得 x∈[0，φ．解：由题意知， f （x ）＝ sin （ ωx+ φ），∵ f （0）＝ sin φ＝ ∵0<φ< π，根据图象特征，可得 φ＝代入可得答案．故答案为：16．在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3．以 C 为圆心， 2为半径作圆，线段 PQ 为该圆的一条直径，则 的最小值为 ﹣ 10分析】先建系，再标各点的坐标，再结合平面向量数量积的运算及三角函数辅助角公 式运算可得解．解：设 C （ 0，0），A （ a ，0），B （ 0，b ），P （ 2cos α，2sin α），Q （﹣ 2cos α，﹣2sin α）， 则 a 2+b 2＝9，又 ＝（ 2cos α﹣ a ， 2sin α）， ＝（﹣ 2cos α，﹣ 2sin α﹣ b ），则 ＝（ 2cos α﹣ a ）（﹣ 2cos α） +2sin α（﹣ 2sin α﹣ b ）15．已知 sin （ +x ）＝﹣，则 sin 2（ ﹣x )﹣sin (π﹣x ）的值分析】由已知中 sin （ x+ 可得 sin （﹣ x )＝ sin ( x +）＝ ，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系公式，22），sin 2（ ﹣x ）＝ cos 2（x+解：∵ sin ( x+ ）＝∴ sin (﹣x )＝ sin[ π﹣ x+sin 2(x )＝ sin 2[x+]＝sin (x+ + ＝ 1﹣ sin 2( x）＝+φ＝ ．及图象特征，可得故答案为： ），）＝1﹣sin 2（x﹣ x )﹣ sin ( ∴ sin 2﹣]＝ cos 2( xπ﹣ x ）＝＝﹣ 4+2 acos α﹣ 2bsin α ＝﹣ 4+2cos （α+β）则当 cos （α+β）＝﹣ 1 时，的最小值为﹣ 10，三、解答题（本大题共 6 小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知向量 ＝（3，2）， ＝（﹣ 1，2）， ＝（ 4，1）．（ 1）求 3 + ﹣2 ；（ 2）若（ +k ）∥（ 2 ﹣ ），求实数 k ．【分析】（ 1）根据题意，由向量的坐标计算公式计算即可得答案．（ 2）根据题意，求出（ +k ）和（ 2 ﹣ ）的坐标，由向量平行的坐标计算公式可得2×（ 3+4k ）﹣（﹣ 5）×（ 2+k ）＝ 0，解可得 k 的值，即可得答案． 解：（ 1）根据题意，向量 ＝（ 3，2）， ＝（﹣ 1，2）， ＝（ 4， 1）， 则 3 + ﹣2 ＝3（3，2）+（﹣1，2）﹣ 2（4，1）＝（ 0，6）；2）向量 ＝（ 3， 2）， ＝（﹣ 1， 2）， ＝（ 4， 1），则（ +k ）＝（ 3+4k ， 2+k ），（ 2 ﹣ ）＝（﹣ 5， 若（ +k ）∥（ 2 ﹣ ），则 2×（ 3+4k ）﹣（﹣ 5） 解可得 k ＝﹣ ； 故 k ＝﹣18．疫情期间口罩需求量大增， 某医疗器械公司开始生产 质量按指标测试分数进行划分， 其中分数不小于 70 的为合格品， 否则为不合格品， 现随2），×（ 2+k ）＝ 0， KN 95 口罩，并且对所生产口罩的＝ 6cos （ α+ β）﹣ ，故答案为：﹣ 10．机抽取 100 件口罩进行检测，其结果如表： 测试分数[50，60） [60， 70）[70，80）分析】（ 1）由已知结合同角基本关系进行弦化切，代入可求；[80，90)[90， 100]数量 416 4224 14（Ⅰ）根据表中数据，估计该公司生产口罩的不合格率； （Ⅱ）根据表中数据，估计该公司口罩的平均测试分数； （Ⅲ）若用分层抽样的方式按是否合格从所生产口罩中抽取 机抽取 2件，求这 2 件口罩全是合格品的概率． 【分析】 （1）在抽取的 100 件产品中，不合格的口罩 5 件，再从这 5 件口罩中随4+16＝20，由此能估计该公司 所生产口罩的不合格率．2）由频数分布表能求出平均测试分数．3）由题意所抽取的 5 件口罩中不合格的 1 件，合格的 4 件．设 4 件合格口罩记为 a ， b ，c ，d ，1件不合格口罩记为 x ．从 5 件口罩中抽取 2 件，利用列举法能求出 2 件口罩全是合格品的概率．解：（ 1）在抽取的 100 件产品中，不合格的口罩有： 4+16＝20（件）根据频率可估计该公司所生产口罩的不合格率为2）平均测试分数为3）由题意所抽取的 5 件口罩中不合格的 1 件，合格的 4 件．设 4 件合格口罩记为 a ，b ，c ，d ，1 件不合格口罩记为 x ．若抽取的口罩中恰有 1 件不合格，则共有 ax ，bx ， cx ， d x ， 4 种情况，而从 5 件口罩中抽取 2 件，共有 ab ，ac ， ad ，ax ，bc ，bd ，bx ，cd ，cx ，dx ，10 种情况， 所以 2 件口罩中至少有一件不合格品的概率为 故 2 件口罩全是合格品的概率为 ．19．已知 α， β为锐角，1）求 cos2α的值；2）求 tan （β﹣ α）的值． 所以口罩为不合格品的频率为∵（Ⅱ）∵ ，可得 ∴．，．当当 时，函数 f （ x ）有最小值﹣ 2 ．时，函数 f （ x ）有最大值﹣ 1；21．如图，四边形 OQRP 为矩形，其中 P ，Q 分别是函数 f （ x ）＝ sin ωx （ A > 0， ω> 0） 2）由已知结合同角基本关系及两角差的正切公式即可求解．2）由 α， β为锐角，得 α+β∈（0，π）， 2α∈（ 0，π）， ，．由 ，得﹣4）．（Ⅰ）求函数 f （ x ）的单调递增区间； （Ⅱ）求函数 f （ x ）的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）先化简并整解析式，再利用正弦函数的性质即可求解． Ⅱ）利用正弦函数整体的性质求解即可．∴＝＝．图象上的一个最高点和最低点， O 为坐标原点， R 为图象与 x 轴的交点．求 f （ x ）的解 析解： 1）由 tan α＝ ，得 cos2又 cos （ α+β）＝ ，∴ sin （ α+ β）＝20．已知函数 f （ x ）＝ ? ，x ∈[]，其中 ＝（ ， 22，cos 2x ）， ＝（ sin （ 2x+），解： （Ⅰ）因为函数 f （ x ）＝ ? ，x ∈[ ，，其中 ＝（ ， cos 2x ）， ＝（ sin2x+），﹣ 4）．，；k ∈Z ；式．【分析】设函数f（x）的最小正周期为T，则，由题意可得，然后求出周期T，利用周期公式可求ω，即可得函数f（x）的解析式．解：设函数f （x）的最小正周期为T，则，因为四边形OQRP 为矩形，得OP⊥ OQ，所以，即，解得T＝4，所以，所以．22．红外线治疗仪的治疗作用是在红外线照射下，组织温度升高，毛细血管扩张，血流加快，物质代谢增强，组织细胞活力及再生能力提高，对我们身体某些疾病的治疗有着很大的贡献，某药店兼营某种红外线治疗仪，经过近 5 个月的营销，对销售状况进行相关数据分析，发现月销售量与销售价格有其统计数据如表：关，每台红外线治疗仪的销售价格：x/元140150160170180红外线治疗仪的月销售量：y/台6455453526（I）根据表中数据求y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）① 每台红外线治疗仪的价格为165 元时，预测红外线治疗仪的月销售量；（四舍五入为整数）② 若该红外线治疗仪的成本为120 元/台，药店为使每月获得最大的纯收益，利用（Ⅰ）中结论，问每台该种红外线治疗仪的销售价格应定为多少元？（四舍五入，精确到 1 元）．2）① 由回归方程计算 x ＝165 时对应的函数值即可；② 利用获利函数 Q （x ）是二次函数，求出 Q （ x ）取最大值时 x 的值．；2）① 由（ 1）知，当 x ＝165 时，所以每台红外线治疗仪的价格为 165 元时，红外线治疗仪的月销量为 40 台；② 药店每月获取得纯利为 Q （ x ）＝（﹣ 0.96x+198.6 ）（ x ﹣ 120）＝﹣ 0.96x 2+313.8x ﹣23832，所以药店为使每月获得最大的纯收益， 每台该种红外线治疗仪的销售价格应定为 163 元．参考公式：回归直线方程，其中分析】（ 1）计算、，求出回归系数，写出回归方程；×(140+150+160+170+180 )＝ 160，×( 64+55+45+35+26 )＝45，所以，，所以 y 关于 x 的回归方程为，所以当时， Q （x ）取得最大值；解：（1）。
2019-2020学年河南省郑州市高一下期末考试数学试题有答案(已审阅)
下期期末考试高一数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.0sin585的值为（ ）A ．B ．C ．2.已知向量a =(3,5-),b =(5,3),则a 与b （ ）A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向3.下列各式中，值为） A ．002sin15cos15 B ．2020cos 15sin 15- C ．202sin 151- D ．2020sin 15cos 15+4.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如下图所示的茎叶图表示，则运动员甲得分的中位数，乙得分的平均数分别为（ ）A ．19，13B ．13，19 C.19，18 D ．18，195.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ） A ．23 B ．25 C. 12 D ．136.函数cos sin cos sin 4444y x x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++∙+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图像是（ ）A ．B ． C. D ．7.设单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则向量1234e e +与向量1e 的夹角的余弦值是（ ）A ．34 B ．5378.如果下面程序框图运行的结果1320s =，那么判断框中应填入（ ）A ．10?k <B ．10?k > C. 11?k < D ．11?k >9.甲、乙两人各自在400米长的直线型跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是（ ） A ．18 B ．1136 C.14 D ．156410.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图像关于直线6x π=对称，则ϕ可能取值是（ ）A ．2π B ．12π- C.6π D ．6π- 11.如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圈内一点P ，若3OC mOA mOB =+，AP AB λ=，则λ=（ ）A ．56 B ．45 C.34 D ．2512.已知平面上的两个向量OA 和OB 满足cos OA α=，sin OB α=，[0,]2πα∈，0OA OB ⋅=，若向量(,)OC OA OB R λμλμ=+∈，且22221(21)c o s 2(21)s i n 4λαμα-+-=，则OC 的最大值是（ ） A ．32 B ．34 C.35 D ．37第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知tan 4α=，tan()3πβ-=，则tan()αβ+．14.已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是8，则xy =．15.已知ABC ∆的三边长4AC =，3BC =，5AB =，P 为AB 边上的任意一点，则()CP BC BA -的最小值为．16.将函数()2sin(2)6f x x π=+的图像向左平移12π个单位，再向下平移2个单位，得到()g x 的图像，若12()()16g x g x =，且1x ，2[2,2]x ππ∈-，则122x x -的最大值为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知向量(1,2)a =，(3,4)b =-. （I ）求向量a b -与向量b 夹角的余弦值 （II ）若()a a b λ⊥-，求实数λ的值.18.某同学用“五点法”画函数()sin()(0,)2f x A x B πωϕωϕ=++><在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：（I ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式 （II ）将()f x 的图像上所有点向左平行移动6π个单位长度，得到()y g x =的图像，求()y g x =的图像离y 轴最近的对称中心.19. 某商场经营某种商品，在某周内获纯利y （元）与该周每天销售这种商品数x 之间的一组数据关系如表：（I ）画出散点图；（II ）求纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程；（III ）估计当每天销售的件数为12件时，每周内获得的纯利为多少？ 附注：721280ii x ==∑，721()27i i x x =-=∑，713076i i i x y ==∑，72134992i i y ==∑，1122211()()()n niiiii i nniii i x x y y x ynx y b x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.20. 在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 在边CD 上.（I ）若点F 是CD 上靠近C 的四等分点，设EF AB AD λμ=+，求λμ的值； （II ）若3AB =，4BC =，当2AE BE =时，求DF 的长.21.某中学举行了数学测试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示. （I ）若该所中学共有3000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数；（II ）若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人，试求恰好抽中1名优秀生的概率.22.已知函数21()sin cos 2f x x x x ωωω=+（0ω>），()y f x =的图象与直线2y =相交，且两相邻交点之间的距离为x . （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）已知,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域；f x的单调区间并判断其单调性. （III）求函数()试卷答案一、选择题1-5:BABCB 6-10:BDADC 11、12：CB 二、填空题 13.113 14.60 15.16- 16.5512π 三、解答题17.解：（1）()4,2a b -=-，设a b -与a 的夹角为θ，所以()()2(3)(2)44cos a a b bb b θ-⋅-+-⨯===- ， （2）()13,24a b λλλ-=+-()a ab λ⊥-，∴()0a a b λ⋅-=()()1132240λλ∴⨯++⨯-=，解得1λ=18.．．．解：．．(1)．．．根据表中已知数据，解得．．．．．．．．．．．5A ＝，．2ω=，．6πϕ=-.．数据补全如下表：．．．．．．．．且函数表达式为．．．．．．．f(x)=5sin 2+26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.． (2)．．．由．(1)．．．知．f(x)=5sin 2+26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 因此．．g(x)=5sin 2+2=5sin 2+2666x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.．因为．．y sinx ＝的对称中心为．．．．．．(,2)k π ，．k Z ∈，令．．2x+=k 6ππ，．k Z ∈，解得．．．x=212k ππ-，．k Z ∈，． 即．()y g x ＝图象的对称中心为．．．．．．．．222kx π（-，），．k Z ∈，其中离．．．．y 轴最近的对称中心为．．．．．．．．．(,2)12π-.． 19.解：(1)（2）712723456789675659637179808270730767670136 4.92807362813670640.928i ii iix y x y nx yb xnxa y bx =++++++==++++++==--⨯⨯∴===≈-⨯-∴=-=-⨯≈∑∑∴回归方程为： 4.940.9y x ∧=+ （3）当12x -时 4.91240.999.7y ∧=⨯+=所以估计当每天销售的简述为12件时，周内获得的纯利润为99.7元.20.解：（1）EF EC CF =+，因为E 是BC 边的中点，点F 是CD 上靠近C 的四等分点，所以1124EF EC CF BC CD =+=+，在矩形ABCD 中，,BC AD CD AB ==-， 所以，1142EF AB AD =-+，即14λ=-，12μ=，则18λμ⋅=-.（2）设DF mDC =(0)m >，则(1)CF m DC =-，1122AE AB BC AB AD =+=+，(1)(1)BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+， 又0AB AD ⋅=， 所以1()[(m 1)]2AE BF AB AD AB AD ⋅=+-+221(1)2m AB AD =-+9(1)82m =-+=， 解得13m =，所以DF 的长为1．21.解：（1）由直方图可知，样本中数据落在[]80,100的频率为0.20.10.3+=，则估计全校这次考试中优秀生人数为30000.3900⨯=．（2）由分层抽样知识可知，成绩在[)70,80，[)80,90，[]90,100间分别抽取了3人，2人，1人．记成绩在[)70,80的3人为a ，b ，c ，成绩在[)80,90的2人为d ，e ，成绩在[]90,100的1人为f ，则从这6人中抽取3人的所有可能结果有(,,)a b c ，(,,)a b d ，(,,)a b e ，(,,)a b f ，(,,)a c d ，(,,)a c e ，(,,)a c f ，(,,)a d e ，(,,)a d f ，(,,)a e f ，(,,)b c d ，(,,)b c e ，(,,)b c f ，(,,)b d e ，(,,)b d f ，(,,)b e f ，(,,)c d f ，(,,)c e f ，(,,)d e f 共20种，其中恰好抽中1名优秀生的结果有(,,)a b d ，(,,)b c d ，(,,)c a d ，(,,)a b e ，(,,)b c e (,,)c a e ，(,,)a b f ，(,,)b c f ，(,,)c a f 共9种， 所以恰好抽中1名优秀生的概率为920P =．22.解：（1）()211cos2ωx 1sin 21sin(2)22226f x x xcos x sin x x πωωωωω-=+==-+=-+与直线2y =的图象的两相邻交点之间的距离为π，则T π=，所以1ω=（2）7131[,]2[,]sin(2)[1,]266662x x x ππππππ∈∴+∈∴+∈-()f x ∴的值域是1[,2]2（3）令222()262kx x kx k Z πππ-≤+≤+∈，则()36kx x kx k Z ππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调减区间为()ππk π-,k πk Z 63⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令3222(),262kx x kx k Z πππ+≤+≤+∈则2()63kx x kx k Z ππ+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调增区间为()π2πk π,k πk Z 63⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦。
河南省郑州市2019年高一下学期数学期末考试试卷C卷
河南省郑州市2019年高一下学期数学期末考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2013·大纲卷理) 已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（）A .B .C .D . 22. （2分）若角的终边上有一点(-4,a)，则a的值是（）A .B .C .D .3. （2分）(2019·新宁模拟) 某校共有30个班，每个班的同学从1至45排学号，为了抽查学生体质达标情况，要求每班学号为9的同学进行交流体质检测，这里运用的抽样方法是（）A . 系统抽样B . 分层抽样C . 抽签抽样D . 随机抽样4. （2分） (2019高二上·荔湾期末) 某学校共有教师120人，老教师、中年教师、青年教师的比例为，其中青年男教师24人. 现用分层抽样的方式从该校教师中选出一个30人的样本，则被选出的青年女教师的人数为（）A . 12B . 6C . 4D . 35. （2分）(2018高二下·甘肃期末) 在中，的对边分别为 ,若，，，则的值为（）A .B .C .D . 66. （2分）运行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A . -2B . 3C . 4D . 87. （2分）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A . “至少有一个红球”与“都是黑球”B . “至少有一个黑球”与“都是黑球”C . “至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D . “恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”8. （2分） (2017高二上·龙海期末) 如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为2km，大圆的半径为4km，卫星P在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点P与点O的距离小于3km的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）设有一个回归方程为，变量x增加一个单位时，则（）A . y平均增加2.5个单位B . y平均增加2个单位C . y平均减少2.5个单位D . y平均减少2个单位10. （2分）为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是A . 30B . 60C . 70D . 8011. （2分）(2017·临翔模拟) 已知，则 =（）A .B .C .D . 412. （2分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A . 1B .C .D .二、填空题 (共4题；共6分)13. （1分） (2019高二上·阜阳月考) 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为________.14. （2分）利用计算机模拟来估计未来三天中恰有两天下雨的概率过程如下：先产生0到9之间均匀整数随机数，用1、2、3、4表示下雨，用5、6、7、8、9、0表示不下雨，每三个随机数作为一组，共产生20组：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989，则每一天下雨概率是________，三天中两天下雨概率是________．15. （1分）sin75°cos30°﹣sin30°cos75°=________16. （2分） (2016高一下·岳阳期中) 在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于________，AC的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2018高一下·枣庄期末) 已知，， .（1）求向量与的夹角；（2）求及向量在方向上的投影.18. （10分） (2018高二下·牡丹江期末) 已知函数在一个周期内的部分对应值如下表：（1）求的解析式；（2）求函数的最大值和最小值．19. （5分）(2017·泉州模拟) 某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试．测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离）．无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2．表1停车距离d（米）（10，20]（20，30]（30，40]（40，50]（50，60]频数26a b82表2平均每毫升血液酒精含量x毫克1030507090平均停车距离y米3050607090已知表1数据的中位数估计值为26，回答以下问题．（Ⅰ）求a，b的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；（Ⅱ）根据最小二乘法，由表2的数据计算y关于x的回归方程；（Ⅲ）该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y大于（Ⅰ）中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”．请根据（Ⅱ）中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？（附：对于一组数据（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．）20. （10分） (2016高二下·大丰期中) 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图．（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率．21. （10分） (2017高二下·吉林期末) 在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B的考生有10人．（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数；（2）已知参加本考场测试的考生中，恰有2人的两科成绩等级均为A．在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩等级均为A的概率．22. （5分）已知函数f（x）=cos（π+x）cos（π﹣x）﹣ cos2x+ ．（I）求f（x）的最小正周期和最大值；（II）求f（x）在[ ，π]上的单调递增区间．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
河南省郑州市2019-2020学年高一下学期期末考试 数学(含答案)
2019⼀2020学年下期期末考试⾼⼀数学试题卷注意事项：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(⾮选择题)两部分，考试时间120分钟，满分150分考⽣应⾸先阅读答题卡上的⽂字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答⽆效.交秒时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题，共60分)⼀、选择题(本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的)1.已知平⾏四边形ABCD 中，向量AD →=(3，7)，AB →=(－2，3)，则向量=A.(1，5)B.(－2，7)C.(5，4)D.(1，10).2.sin(－103π)的值等于A.2 B. C. D.-.3.某学校从编号依次为01，02，…，72的72个学⽣中⽤系统抽样(等间距抽样)的⽅法抽取⼀个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为12：21，则该样本中来⾃第四组的学⽣的编号为A.30B.31C.32D.334.下列函数中是偶函数且最⼩正周期为14的是A.y=cos 24x-sin 24x B.y=sin4x C.y=sin2x+cos2x D.y=cos2x5.已知某7个数据的平均数为5，⽅差为4，现⼜加⼊⼀个新数据5，此时这8个数的⽅差s 2为A. B.3 C.32 D.46.已知cos θ=45，且θ∈(－12π，0)，则tan(π+θ)=A.－7 B.7 C.－17 D.177.设a 是⼀个各位数字都不是0且没有重复数字的两位数.将组成a 的2个数字按从⼩到⼤排成的两位数记为I(a)，按从⼤到⼩排成的两位数记为D(a)(例如a=75，则I(a)=57，D(a)=75).执⾏如图所示的程序框图，若输⼈的a=97，则输出的b=A.45B.40C.35D.307；8；8.如图是⼀个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中⼼园的半径相等.某⼈朝靶上任意射击⼀次没有脱靶，则其命中深⾊部分的概事为A.45B.40C.35D.309.在△ABC 中，|AB →|=||=2。
2019-2020学年郑州市高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年郑州市高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知角α∈(π,3π2),β∈(0,π2)，且满足tanαcosβ=1+sinβ，则β=()(用α表示)．A. 2α−12π B. 52π−2α C. 2α−52π D. 2α−32π2.已知向量a⃗=(2,1)，a⃗+b⃗ =(1,k2−1)，则k=2是a⃗⊥b⃗ 的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知sinα=513且α是第二象限角，那么tanα的值是()A. −512B. −125C. 512D. 1254.某公司对4月份员工的奖金情况统计如下：根据上表中的数据，可得该公司4月份员工的奖金：①中位数为800元；②平均数为1373元；③众数为700元，其中判断正确的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 35. 从五件正品、一件次品中随机取出两件，则取出两件产品中恰好是一件正品、一件次品的概率()A. 1B. 12C. 13D. 236. 把函数y=cos(π3−2x)的图象向右平移π12，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)为()A. 周期为π的奇函数B. 周期为π的偶函数C. 周期为2π的奇函数D. 周期为2π的偶函数7. 已知|a⃗|=2√2，|b⃗ |=3，a⃗,b⃗ 的夹角为π4，如图所示，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ =5a⃗+2b⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗−3b⃗ ，D为BC的中点，则|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |为()A. 18B. 7C. 152D. √1528. 用秦九韶算法求当x =1.032时多项式f(x)=3x 2+2x +3的值时，需要_______次乘法运算，________次加法运算( )A. 3 2B. 4 3C. 2 2D. 2 39. 在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为( )A.B.C.D.10. 函数f(x)=sin 2(2x −π3)的最小正周期是( )A. π2B. 2πC. πD. 4π11. 在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BD DC=( ) A. 13B. 12C. 23D. 212. 已知三个向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 共面，且均为单位向量，a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则|a ⃗ +b ⃗ −c ⃗ |的取值范围是( )A. [√2−1,√2+1]B. [1,√2]C. [√2,√3]D. [√2−1,1]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 2sin75°cos15°−1= ______ ．14. 为了了解贯彻执行国家提倡的“阳光体育运动”的实施情况，将某班50名同学一周的体育锻炼情况绘制成了如图所示的条形统计图，根据统计图提供的数据，该班50名同学一周参加体育锻炼时间的中位数与众数之和为______．15. 如图，在△ABC 中，∠BAC =60°，AB =3，AC =2，D 是BC 边上的一点(含端点)，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______．16. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)图象如图所示，其中A >0，ω>0，|φ|<π2，ω= ______ ，φ=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，已知m⃗⃗⃗ =(3,2sinA)，n ⃗ =(sinA,1+cosA)满足m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，且a =√7(c −b)． (Ⅰ)求∠A 的值； (Ⅱ)求cos C 的值．18. 如图，四边形ABCD 是一块边长为100cm 的正方形铁皮，其中扇形AMPN的半径为90cm ，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，P 是MN ⏜弧上一点，∠PAB =θ，工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个边在BC 与CD 上的矩形铁皮，求矩形铁皮PQCR 面积的最大值和这时θ的值．19. 某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y(单位：万元)的数据如表：年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y 关于t 的线性回方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ̂=∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)∑(n i=1t i −t −)2，a ̂=y −−b ̂t −．20. 已知曲线C 上任意一点P 到两定点A(−√3,0)、B(√3,0)的距离之和为4．(Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)若直线l 与圆O ：x 2+y 2=1相切，并与曲线C 交于不同的两点E ，F.当OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ，且满足13≤λ≤12时，求△EOF 面积S 的取值范围．21. 某学校微信公众号收到非常多的精彩留言，学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”，其留言者年龄集中在[25,85]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下： (1)求这100位留言者年龄的平均数和中位数；(2)学校从参加调查的年龄在[35,45)和[65,75)的留言者中，按照分层抽样的方法，抽出了6人参加“精彩留言”经验交流会，赠与年龄在[35,45)的留言者每人一部价值1000元的手机，年龄在[65,75)的留言者每人一套价值700元的书，现要从这6人中选出3人作为代表发言，求这3位发言者所得纪念品价值超过2300元的概率．22. (本题满分12分)已知向量，设函数(Ⅰ)求函数的解析式和单调增区间；(Ⅱ)若，求的值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：法一：由已知得sinαcosα=1+sinβcosβ，所以sinαcosβ=cosα(1+sinβ)，即sin(α−β)=cosα．结合诱导公式得sin(α−β)=sin(π2−α)．因为α∈(π,3π2),β∈(0,π2)，所以α−β∈(π,3π2),π2−α∈(−π,−π2)．由诱导公式可得sin(α−β)=sin[2π+(π2−α)]，易知2π+(π2−α)∈(π,32π)，因为y=sinx在(π2,32π)上单调递减，所以α−β=2π+(π2−α)，即β=2α−52π．法二：由tanα=1+sinβcosβ得tanα=sinβ2+cosβ2cosβ2−sinβ2=tanβ2+11−tanβ2=tan(β2+π4)，所以tanα=tan(β2+π4).因为α∈(π,3π2),β∈(0,π2)，所以β2+π4∈(π4,π2)．由诱导公式可得tan(α−π)=tanα，即tan(α−π)=tan(β2+π4)因为y=tanx在(0,π2)上单调递增，所以α−π=β2+π4，即β=2α−52π．故选：C．法一：切化弦，得到sin(α−β)=sin(π2−α).再由α，β的范围，结合诱导公式，把角转化到同一个单调区间，从而由函数值相等得到自变量相等，用α表示出β即可．法二：弦化切，得到tanα=tan(β+π4)，再由α，β的范围，结合诱导公式，把角转化到同一个单调区间，从而由函数值相等得到自变量相等，用α表示出β即可．本题主要考查了两角和与差的三角函数，做题时注意诱导公式的灵活运用，是中档题．2.答案：A解析：根据向量垂直的充要条件，可知若a⃗⊥b⃗ 则两个向量的数量积等于0，再用向量的数量积的坐标公式计算即可．本题主要考查向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的坐标运算公式．解析：解：∵向量a⃗=(2,1)，a⃗+b⃗ =(1,k2−1)，∴b⃗ =( a ⃗⃗⃗⃗⃗ +b⃗ )−a⃗=(−1,k2−2)，当k=2时，∴b⃗ =( a ⃗⃗⃗⃗⃗ +b⃗ )−a⃗=(−1,2)，∴a⃗⋅b⃗ =2×(−1)−1×2=0，∴a⃗⊥b⃗ ，若果a⃗⊥b⃗ ，∴ a⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅b⃗ =2×(−1)−1×(k2−2)=0∴k=0．∴当k=2是a⃗⊥b⃗ 的充分不必要条件．故选A．3.答案：A解析：本题主要考查同角基本关系式；根据常用的同角间三角函数关系sin2α+cos2α=1，tanα=sinαcosα，先求出cosα，再求tanα.注意符号的判断．解：由sin2α+cos2α=1，sinα=513得cosα=±1213，由α是第二象限的角，所以cosα=−1213∴tanα=−512．故选A．4.答案：C解析：解：将员工的奖金的中位数为800元，平均数为82400÷60=41203，众数为700，故①③正确，②错误．故选：C．根据中位数，平均数，众数的概念求出中位数，平均值，众数可得． 本题考查了众数，中位数，平均数，属基础题．5.答案：C解析：解：由于产品中共有5件正品，一件次品，故共有6件产品，给正品编号1，2，3，4，5，次品编为A ，从中取出两件产品共有，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,A)......(5,A)，共5+4+3+2+1=15种 其中恰好是一件正品，一件次品的情况共有：(1,A)，(2,A)，(3,A)，(4,A)，(5,A)5种， 故取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率P =515=13， 故选C ．根据已知中五件正品，一件次品，我们易得共有6件产品，由此我们先计算出从中任取出两件产品的事件个数，及满足条件“恰好是一件正品，一件次品”的基本事件个数，然后代入古典概型概率公式，可求出答案．本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，计算出满足条件的基本事件总数及其满足条件的基本事件个数是解答此类题型的关键．6.答案：A解析：本题主要考查函数图象的变换(平移、对称、伸缩、翻折变换)、正弦、余弦函数的图象与性质，属于基础题，由条件利用诱导公式，函数的图象变换规律得到f(x)=sin2x ，进而利用正弦函数的周期性、奇偶性，得出结论，解：把函数y =cos(π3−2x)=cos(2x −π3)的图象向右平移π12， 得到函数f(x)=cos[2(x −π12)−π3]=cos(2x −π2)=sin2x 的图象， 所以f(x)是周期为π的奇函数， 故选：A ．7.答案：C解析：解：由已知|a ⃗ |=2√2，|b ⃗ |=√3，a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为π4有：a⃗ ⋅b ⃗ =2√2×3×√22=6， 由向量的运算可得：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3a ⃗ −12b ⃗ ， 则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(3a ⃗ −12b ⃗ )2=9a ⃗ 2+14b ⃗ 2−3a ⃗ ⋅b ⃗ =72+94−18=2254，即|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=152， 故选：C ．数量积表示两个向量的夹角及向量的运算得：a ⃗ ⋅b ⃗ =2√2×3×√22=6， 由向量的运算可得：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3a ⃗ −12b ⃗ 由向量的模的运算得：则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(3a ⃗ −12b ⃗ )2=9a ⃗ 2+14b ⃗ 2−3a ⃗ ⋅b ⃗ =72+94−18=2254，即|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=152． 本题考查了数量积表示两个向量的夹角及向量的运算、向量的模的运算，属中档题．8.答案：C解析：试题分析：按秦九韶算法，求n 次多项式f(x)的值可以转化为求n 个一次多项式的值。
2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷(含解析)
考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷.1. 已知(){}(){},3,,1A x y x y B x y x y =+==-=∣∣，则A B = （ ）A. 2,1x y ==B. ()2,1 C.(){}2,1 D. {}2,1【答案】C 【解析】【分析】利用交集定义即可求得A B⋂【详解】由31x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得21x y =⎧⎨=⎩则A B =(){}(){},3,1x y x y x y x y +=⋂-=∣∣()(){}3=,=2,11x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭∣故选：C2. 已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列说法正确的是（ ）A. 若a b >，c d >，则a c b d +>+ B. 若a b >，c d >，则a c b d ->-C. 若a b >，c d >，则ac bd > D. 若ac bc >，则a b>【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.【详解】对于A ，根据同向不等式具有可加性可知A 正确；对于B ，21a b =>=，24c d =->=-，但45a c b d -=<-=，故B 错误；对于C ，21a b =>=，24c d =->=-，但44ac bd =-==-，故C 错误；对于D ，当0c <时，由ac bc >，得a b <，故D 错误．故选：A ．3. 下列函数中，与函数2y x =+是同一函数的是（ ）A. 22y =+B. 2y =+C. 22x y x=+ D.y =【答案】B 【解析】【分析】通过两个函数三要素的对比可得答案.【详解】2y x =+的定义域为R ．对于A ，22y =+的定义域为[)0,+∞，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于B ，22y x =+=+定义域为R ，与2y x =+的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，22x y x=+的定义域为{}0x x ≠，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于D，2,2,22,2x x y x x x +≥-⎧==+=⎨--<-⎩与2y x =+对应关系不同，不是同一函数．故选：B ．4. 已知p ：0a b >> q ：2211a b<，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据0a b >>与2211a b <的互相推出情况判断出属于何种条件.【详解】当0a b >>时，220a b >>，所以2211a b<，所以充分性满足，当2211a b<时，取2,1a b =-=，此时0a b >>不满足，所以必要性不满足，所以p 是q 的充分不必要条件，的故选：A.5. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，则()()03f f +等于（ ）A. 3- B. 1- C. 1D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据(3)f (3)f =--以及(0)0f =可求出结果.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，所以()()()33321f f =--=--+=．而()00f =，∴()()031f f +=．故选：C ．6. 若0x <，则1x x+（ ）A 有最小值―2B. 有最大值―2C. 有最小值2D. 有最大值2【答案】B 【解析】【分析】运用基本不等式求解即可.【详解】因为0x <，则0x ->，所以1()()2x x -+≥=-，当且仅当1x x -=-即：=1x -时取等号.所以12x x+≤-，当且仅当=1x -时取等号.故选：B.7. 已知函数()f x 的图象由如图所示的两条曲线组成，则（ ）A. ()()35ff -= B. ()f x 是单调增函数.C. ()f x 的定义域是(][],02,3∞-⋃D. ()f x 的值域是[]1,5【答案】D 【解析】【分析】根据函数的图象，结合函数求值、函数单调性、定义域与值域，可得答案.【详解】对于选项A ，由图象可得()32f -=，所以()()()321ff f -==，A 错误；对于选项B ，()04f =，()21f =，()()02f f >，故()f x 不是单调增函数，B 错误；对于选项C ，由图象可得()f x 的定义域为[][]3,02,3-⋃，C 错误；对于选项D ，由图象可得()f x 的值域为[]1,5，D 正确．故选：D ．8. 若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是（ ）A. [][)2,02,-⋃+∞ B. ][3,10,1⎡⎤--⋃⎣⎦C. [)[)2,02,-⋃+∞ D. [)(]2,00,2-U 【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，由20)(x f x x≥可得()0xf x ≥且0x ≠可得020x x <⎧⎨-≤<⎩或002x x >⎧⎨<≤⎩解得20x -≤<或02x <≤，所以满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是[)(]2,00,2-U ，故选：D .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ）A. y =B. 2y x =C. yD. 1y x=【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐项分析判断.【详解】对A ：=y =在定义域内为奇函数，又∵y =在R 上单调递增，5u x =在R 上单调递增，则y =在R 上单调递增，A 错误；对B ：∵()22x x -=，则2y x =在定义域内为偶函数，且在()0,∞+内单调递增，B 正确；对C ：y又∵当()0,x ∈+∞，y 在()0,∞+内单调递增，C 正确；对A ：∵11=--x x ，则1y x =在定义域内为奇函数，且1y x=在()0,∞+内单调递减，D 错误；故选：BC.10. 下列关于幂函数y x α=的说法正确的是（ ）A. 幂函数的图象都过点()0,0，()1,1B. 当1,3,1α=-时，幂函数的图象都经过第一、三象限C. 当1,3,1α=-时，幂函数是增函数D. 若0α<，则幂函数的图象不过点()0,0【答案】BD 【解析】【分析】由幂函数的性质逐个判断即可.【详解】对于A ，当0α<时，幂函数的图象不通过点()0,0，A 错误；对于B ，幂指数1,3,1α=-时，幂函数分别为y x =，3y x =，1y x -=，三者皆为奇函数，图象都经过第一、三象限，故B 正确；对于C ，当1α=-时，幂函数1y x -=在(),0∞-，(0,+∞)上皆单调递减，C 错误；对于D ，若0α<，则函数图象不通过点()0,0，D 正确．故选：BD ．11. 下列结论正确的是（ ）A. 函数21x y x+=的最小值是2B. 若0ab >，则2b a a b+≥C. 若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2D. 若0,0a b >>22a b ++≥【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，当0x <时，可得0y <，所以A 错误；对于B 中，因0ab >，则2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =时，即a b =时，等号成立，所以B 正确；对于C中，由221222x x ++≥=+，当且仅当22122x x +=+时，此时方程无解，即等号不成立，所以C 错误；对于D 中，因为0,0a b >>22a b ++≥≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以D 正确.故选BD ．12. 已知函数()f x 的定义域为A ，若对任意x A ∈，存在正数M ，使得()f x M ≤成立，则称函数为()f x 是定义在A 上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）A. 3()4x f x x+=- B. ()f x =C. 25()22f x x x =-+ D. ()f x 【答案】BCD 【解析】【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.【详解】对于A ，3(4)77()1444x x f x x x x+--+===-+---，由于704x ≠-，所以()1f x ≠-，所以()[)0,f x ∈+∞，故不存在正数M ，使得()f x M ≤成立.对于B ，令21u x =-，则[]0,1u ∈，()f x =，所以()[]0,1f x ∈，故存在正数1，使得()1f x ≤成立.对于C ，令2222(1)1u x x x =-+=-+，则()5f x u=，易得1u ≥.所以()5051f x <≤=，即()(]0,5∈f x ，故存在正数5，使得()5f x ≤成立.对于D ，令t =[]0,2t ∈，24x t =-，则[]()22117()40,224f x t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭，易得()1724f x ≤≤，所以()172,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故存在正数174，使得()174f x ≤成立.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题p ：x ∀∈Q ，x N ∈，则p ⌝为______．【答案】x ∃∈Q ，x ∉N 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】因为p ：x ∀∈Q ，x ∈N ，所以p ⌝为x ∃∈Q ，x ∉N ．故答案为：x ∃∈Q ，x ∉N .14. 函数()1f x x=+的定义域为_____________.【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】由题意列不等式组即可求得.【详解】要使函数()1f x x=有意义，只需10,0,x x -≥⎧⎨≠⎩解得：1x ≤且0x ≠，从而()f x 的定义域为()(],00,1-∞⋃.故答案为：()(],00,1-∞⋃15. 已知函数()f x 满足下列3个条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②函数()f x 在()0,∞+上单调递增；③函数()f x 无最值．请写出一个满足题意的函数()f x 的解析式：______．【答案】()21f x x=-（答案不唯一）【解析】【分析】结合函数的对称性、单调性及常见函数即可求解.【详解】由()f x 的图象关于y 轴对称知()f x 为偶函数，()f x 在(0,+∞)上单调递增，()f x 无最值，根据幂函数性质可知满足题意的一个函数为()21f x x=-.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）16. 已知函数()21x f x x=+，则不等式()211f x -<的解集是____________.【答案】()0,1【解析】【分析】由题可得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，后利用()()f x f x =可得答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.的又当0x >时，()21x f x x =+2222211x x x+-==-++单调递增.因为()f x 是偶函数，所以()f x 在(),1-∞单调递减，又因为()11f =，所以()211f x -<()()211f x f ⇔-<211121101x x x ⇔-<⇒-<-<⇒<<.故答案为：()0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集U =R ，集合{}2680A x x x =-+=，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭．（1）求()U A B ⋃ð；（2）设集合(){}233,C x x a a x a =+=+∈Z ，若A C 恰有2个子集，求a 的值．【答案】（1）(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x = （2）2或4．【解析】【分析】（1）解方程和不等式求出集合,A B ，再由补集、并集运算即可求解；（2）解方程求出集合C ,再通过a 的讨论即可求解.【小问1详解】2680x x -+=，解得2x =或4，则{}2,4A =；由31x<，解得0x <或3x >，则{0B x x =<或}3x >；所以{}03U B x x =≤≤ð，(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x =．【小问2详解】因为A C 恰有2个子集，所以A C 仅有一个元素．()()()23330x a a x x x a +=+⇒--=，当3a =时，{}3C =，A C ⋂=∅，不满足题意；当2a =时，{}2,3C =，{}2A C ⋂=，满足题意；当4a =时，{}4,3C =，{}4A C ⋂=，满足题意．综上，a 的值为2或4．18. 已知函数()1f x x x=+．（1）求证：()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 值域．【答案】（1）证明见解析 （2）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合作差法，可得答案；（2）根据（1）的单调性，求得给定区间上的最值，可得答案.【小问1详解】证明：()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，有()()()121221212121212121121211111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-+=-+-=-+=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，得210x x ->，1210x x -<，120x x >，所以()12211210x x x x x x --⋅<，即()()21f x f x <．所以()f x 在()0,1上单调递减．同理，当()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，有()()()1221211210x x f x f x x x x x --=-⋅>．故()f x 在()1,+∞上单调递增．【小问2详解】由（1）得()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；在[]1,2上单调递增．()12f =，()15222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()52,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故函数()f x 的值域为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．的19. 设函数()223y ax b x =+-+.（1）若关于x 的不等式0y >的解集为{}13x x -<<，求4y ≥的解集；（2）若1x =时，2,0,0y a b =>>，求14a b+的最小值.【答案】（1）{}1（2）9【解析】【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出,a b ，从而解不等式求出解集；（2）先得到1a b +=，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小问1详解】由题知()2230ax b x +-+=的两个根分别是1-，3，则23093630a b a b +-+=⎧⎨+-+=⎩，解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩故()2223234y ax b x x x =+-+=-++≥，2210x x -+≤，解得1x =.所求解集为{}1.【小问2详解】1x =时，2y =，即12++=a b ，所以有1a b +=，那么()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭41459b a a b=+++≥+=，当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1,323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.故14a b+的最小值为9.20. 已知集合(){}40A x x x =-≥，{}121B x a x a =+<<-．（1）若x A ∀∈，均有x B ∉，求实数a 的取值范围；（2）若2a >，设p ：x B ∃∈，x A ∉，求证：p 成立的充要条件为23a <<．【答案】（1）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案；（2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案.【小问1详解】(){}(][)40,04,A x x x ∞∞=-≥=-⋃+．因为x A ∀∈，均有x B ∉，所以A B =∅ ．当2a ≤时，B =∅，满足题意；当2a >时，10214a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得512a -≤≤，所以522a <≤．综上，52a ≤，即a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【小问2详解】证明：若p ：x B ∃∈，x A ∉为真命题，则p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题．先求p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为真命题时a 的范围，因为2a >，所以B ≠∅，由p ⌝：x B ∀∈，x A ∈，得B A ⊆．则210a -≤或14a +≥，解得12a ≤或3a ≥，所以3a ≥．因为p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题，所以23a <<.综上，若2a >，则p 成立的充要条件为23a <<．21. 某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数1y （单位：百万元）：12710x y x =+，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数2y （单位：百万元）：20.3y x =.设分配给植绿护绿项目的资金为x （单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y （单位：百万元）.（1）将y 表示成关于x 的函数；（2）为使生态收益总和y 最大，对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】（1）27330(0100)1010x x y x x =-+≤≤+ （2）分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元【解析】【分析】（1）由题意列式化简即可；（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可.【小问1详解】若分配给植绿护绿项目的资金为x 百万元，则分配给处理污染项目的资金为()100x -百万元，∴272730.3(100)30(0100)101010x x x y x x x x =+-=-+≤≤++.【小问2详解】由（1）得27(10)2703(1010)2703(10)306010101010x x x y x x +-+-+⎡⎤=-+=-+⎢⎥++⎣⎦6042≤-=（当且仅当2703(10)1010x x +=+，即20x =时取等号），∴分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和y 最大.22. 设函数()()2*1488,,N f x mx m mn x m m n =+-++∈ .（1）若()f x 为偶函数，求n 的值；（2）若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，求m 的最大值.【答案】（1）2. （2）2.【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数可得到14880m mn -+=，变形为714n m=+，结合*,1,N m n m ∈≥，即可确定答案.（2）根据对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，可得22(1488)40m mn m ∆=-+-≥恒成立，结合二次不等式的解法，讨论n 取值，即可确定答案.【小问1详解】根据题意，函数()()2*1488,R,,N f x mx m mn x m x m n =+-++∈∈为偶函数，即满足()()f x f x -=，即()()22()1488()1488m x m mn x m mx m mn x m -+-+-+=+-++，R x ∈，则14880m mn -+=变形可得：714n m =+ ，又由*,1,N m n m ∈≥ ，则 101m<≤ ， 故77111711,44444n m <+≤<≤∴ ，又N n *∈ ，则2n = ；【小问2详解】根据题意，若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，由于*,N 0m m ∈>，则22(1488)416[(32)2][(42)2]0m mn m m n m n ∆=-+-=-+-+≥恒成立 ，当1n = 时，32(2)(1)0m m ∆=++≥ ，对*N m ∀∈都成立， 当2n =时，32(2)0m ∆=-+≥，解得2m ≤ ，又*N m ∈，则12m ≤≤ ，当3n ≥时，21232n n <-- ，则223m n ≤- 或 12m n ≥-,当 223m n ≤- 时，又由1m ≥，则n 只能取2，不符合题意，舍去，当 12m n ≥- 时，又由1m ≥，从3n =开始讨论:令1()2g n n =-,由于1()2g n n =-单调递减，故只需1(3)132m g ≥==-，此时m 的取值范围为[1,2] ；综上所述，m 的最大值为2.。
2021-2022学年河南省郑州市高一(下)期末数学试卷
2021-2022学年河南省郑州市高一（下）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知i 为虚数单位，复数 5i−2 的共轭复数为（ ）A.2+iB.-2+iC.-2-iD.2-i2.（单选题，5分）已知直线a ，b ，平面α，β，则下列命题中正确的是（ ）A.α⊥β，a⊂α，则a⊥βB.α || β，a || α，则a || βC.a || β，b⊂β，则a || bD.a 与b 互为异面直线，a || α，a || β，b || α，b || β，则α || β3.（单选题，5分）已知 a ⃗ ， b ⃗⃗ 是两个不共线的向量，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+2b ⃗⃗ ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2a ⃗+λb⃗⃗ ，若A ，B ，C 三点共线，则实数λ=（ ）A.-4B.-1C.1D.44.（单选题，5分）厦门地铁1号线从镇海路站到文灶站有4个站点．甲、乙同时从镇海路站上车，假设每一个人自第二站开始在每个站点下车是等可能的，则甲乙在不同站点下车的概率为（ ）A. 14B. 13C. 23D. 345.（单选题，5分）2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强、视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目．首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用、城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光．如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C 点的高度，小王在场馆内的A ，B 两点测得C 的仰角分别为45，30，AB=60（单位：m ），且∠AOB=30°，则大跳台最高高度OC=（ ）A.45mB. 45√2mC.60mD. 60√3m 6.（单选题，5分）已知向量 a ⃗ =（1，2）， b⃗⃗ =（2，2），则向量 a ⃗ 在向量 b⃗⃗ 上的投影向量为（ ） A.（ 32 ， 32 ）B.（ 34 ， 34 ）C.（ √2 ， √2 ）D.（ √22 ， √22 ）7.（单选题，5分）根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10℃即为入冬．将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本 ① 、 ② 、 ③ 、 ④ ，依次计算得到结果如下：① 平均数 x ＜4；② 平均数 x ＜4且极差小于或等于3；③ 平均数 x ＜4且标准差s≤4；④ 众数等于5且极差小于或等于4．则4组样本中一定符合入冬指标的共有（ ）A.1组B.2组C.3组D.4组8.（单选题，5分）若O 为△ABC 的内心，且满足（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=0，则△ABC 的形状为（ ）A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.以上都不对9.（单选题，5分）先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a，b，则，a，b，4能够构成钝角三角形的概率是（）A. 16B. 12C. 1336D. 2910.（单选题，5分）疫情期间，某校为了了解学生在线学习情况，统计了该校A、B两班2022年4月18日-4月26日每天在线学习人数情况，如图所示：下列说法不正确的是（）A.A班每天在线学习人数的中位数为34B.记A班与B班每天在线学习人数的方差分别为s12，s22，则s12＞s22C.A班与B班每天在线学习人数之和不超过60的天数为3天D.从20日-23日，A班与B班每天在线学习人数都在逐日减少11.（单选题，5分）已知三棱锥P-ABC的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O的半径为5，则满足上述条件的顶点P 的轨迹长度为（）A.6πB.30πC. (9+2√21)πD. (6+2√21)π12.（单选题，5分）在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，∠ABC=2π，BD=4，则3△ABC周长的最小值为（）A. 8+8√3B. 8+4√2C. 16+8√3D. 16+4√213.（填空题，5分）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从10只“冰墩墩”，15只“雪容融”和20个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了2只，则n为 ___ ．14.（填空题，5分）已知a⃗ =（1，2），b⃗⃗ =（1x，1），若a⃗与b⃗⃗的夹角为锐角，则x的取值范围为 ___ ．15.（填空题，5分）我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵也被作为装饰物来使用，图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的体积为___ ．16.（填空题，5分）设非零向量a⃗和b⃗⃗的夹角是2π3，且| b⃗⃗ |=| a⃗ + b⃗⃗ |，若t∈R，则|ta⃗⃗+2b⃗⃗||2a⃗⃗|的最小值为 ___ ．17.（问答题，10分）已知复数z1= 2m21−i，z2=（2+i）m-3（1+2i），m∈R，i为虚数单位．（Ⅰ）若z1+z2是纯虚数，求实数m的值；（Ⅱ）若z1+z2＞0，求z1•z2的值．18.（问答题，12分）某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差=生产的产品质量一标准质量，单位mg）的样本数据统计如图：（Ⅰ）求样本数据的80%分位数；（Ⅱ）公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在（x -s，x +s）范围内的产品为一等品，其余为二等品，其中x，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈10（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．① 若产品的质量差为78mg，试判断该产品是否属于一等品；② 假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率．19.（问答题，12分）已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SA⊥平面ABCD．（Ⅰ）设平面SBC∩平面SAD=l，求证：l || BC；（Ⅱ）求证：平面SAC⊥平面SBD．20.（问答题，12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量e1⃗⃗⃗⃗ =（c，a），e2⃗⃗⃗⃗ =（cos（C- π6），sinA），且e1⃗⃗⃗⃗ || e2⃗⃗⃗⃗．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若ccosB+bcosC=1，且A= π4，求△ABC的面积．21.（问答题，12分）甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示．只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为14，乙、丙每人面试合格的概率都是13，且三人面试是否合格互不影响．求：（Ⅰ）恰有一人面试合格的概率；（Ⅱ）至多一人签约的概率．22.（问答题，12分）已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，E是棱BB1的中点．（Ⅰ）设AB=2，求三棱锥A-A1CE的体积；（Ⅱ）若把平面A1EC与平面A1B1C1所成的锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由．2021-2022学年河南省郑州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知i为虚数单位，复数5i−2的共轭复数为（）A.2+iB.-2+iC.-2-iD.2-i【正确答案】：B【解析】：根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．【解答】：解：5i−2=5−2+i=5(−2−i)(−2+i)(−2−i)=−2−i，则复数5i−2的共轭复数为-2+i．故选：B．【点评】：本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．2.（单选题，5分）已知直线a，b，平面α，β，则下列命题中正确的是（）A.α⊥β，a⊂α，则a⊥βB.α || β，a || α，则a || βC.a || β，b⊂β，则a || bD.a与b互为异面直线，a || α，a || β，b || α，b || β，则α || β【正确答案】：D【解析】：根据空间中线线、线面、面面间的位置关系判断求解．【解答】：解：对于A，α⊥β，a⊂α，则只有当直线a与平面α，β的交线垂直时，才有a⊥β，故A错误；对于B，α || β，a || α，则a || β或a⊂β，故B错误；对于C，a || β，b⊂β，则a与b平行或异面，故C错误；对于D ，a 与b 互为异面直线，a || α，a || β，b || α，b || β，由线面平行的性质及面面平行的判定得α || β，故D 正确．故选：D ．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．3.（单选题，5分）已知 a ⃗ ， b ⃗⃗ 是两个不共线的向量，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+2b ⃗⃗ ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2a ⃗+λb⃗⃗ ，若A ，B ，C 三点共线，则实数λ=（ ）A.-4B.-1C.1D.4【正确答案】：A【解析】：由A ，B ，C 三点共线，得 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=tBC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，列出方程组，能求出实数λ．【解答】：解：∵ a ⃗ ， b ⃗⃗ 是两个不共线的向量，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+2b ⃗⃗ ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2a ⃗+λb⃗⃗ ， A ，B ，C 三点共线，∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=tBC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 a ⃗+2b ⃗⃗ =-2t a ⃗+λtb⃗⃗ ， ∴ {−2t =1λt =2，解得实数λ=-4． 故选：A ．【点评】：本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.（单选题，5分）厦门地铁1号线从镇海路站到文灶站有4个站点．甲、乙同时从镇海路站上车，假设每一个人自第二站开始在每个站点下车是等可能的，则甲乙在不同站点下车的概率为（ ）A. 14B. 13C. 23D. 34【正确答案】：C【解析】：可令事件A为甲乙在相同站点下车，计算出事件A的概率后利用对立事件的性质P（A）=1-P（A）可求出甲乙在不同站点下车的概率．【解答】：解：令事件A为甲乙在相同站点下车，则P（A）= 13 × 13+ 13× 13+ 13× 13= 13，所以P（A）=1-P（A）=1- 13 = 23．故选：C．【点评】：本题主要考查古典概型；考查学生的逻辑推理和运算求解能力；考查的核心素养是数学运算，属于基础题．5.（单选题，5分）2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强、视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目．首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用、城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光．如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C点的高度，小王在场馆内的A，B两点测得C的仰角分别为45，30，AB=60（单位：m），且∠AOB=30°，则大跳台最高高度OC=（）A.45mB. 45√2mC.60mD. 60√3m【正确答案】：C【解析】：先用OC分别表示出OA、OB，再在三角形AOB中利用余弦定理求得OC．【解答】：解：在△BOC中，OB= OCtan30°= √3 OC，在△AOB中，OA= OCtan45°=OC，在△AOB中，由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA•OBcos∠AOB，即有3600=3OC2+OC2-2 √3 OC2cos30°，解得OC2=3600，则OC=60，故选：C．【点评】：本题考查解三角形，涉及余弦定理的应用，属于基础题．6.（单选题，5分）已知向量a⃗ =（1，2），b⃗⃗ =（2，2），则向量a⃗在向量b⃗⃗上的投影向量为（）A.（32，32）B.（34，34）C.（√2，√2）D.（√22，√22）【正确答案】：A【解析】：利用投影向量计算公式代入化简即可．【解答】：解：∵ a⃗ =（1，2），b⃗⃗ =（2，2），∴向量a⃗在向量b⃗⃗上的投影向量为a⃗⃗•b⃗⃗|b⃗⃗|2• b⃗⃗= 1×2+2×222+22•（2，2）=（32，32），故选：A．【点评】：本题考查了投影向量的应用，属于基础题．7.（单选题，5分）根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10℃即为入冬．将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本① 、② 、③ 、④ ，依次计算得到结果如下：① 平均数x＜4；② 平均数x＜4且极差小于或等于3；③ 平均数x＜4且标准差s≤4；④ 众数等于5且极差小于或等于4．则4组样本中一定符合入冬指标的共有（）A.1组B.2组C.3组D.4组【正确答案】：B【解析】：举反例判断① ③ ；采用反证法判断② ；利用众数、极差的定义判断④ ．【解答】：解：对于 ① ，举反例：0，0，0，4，11，其平均数 x =3＜4，但不符合题意，故 ① 错误；对于 ② ，假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3， 得到此数据中最小值为10-3=7，此时数据的平均数必然大于7，与 x ＜4 矛盾，故假设错误，∴此组数据全部小于10，符合题意，故 ② 正确； 对于 ③ ，举反例：1，1，1，1，11，平均数 x =3＜4，且标准差s=4， 但不符合入冬指标，故 ③ 错误； 对于 ④ ，∵众数为5，极差小于等于4， ∴最大数不超过9，故 ④ 正确． 故选：B ．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查平均数、极差、众数、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.（单选题，5分）若O 为△ABC 的内心，且满足（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=0，则△ABC 的形状为（ ） A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.以上都不对 【正确答案】：A【解析】：利用向量的运算法则将等式中的向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状．【解答】：解：∵（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=0， ∴（ OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•[（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）+（ OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）]=0， 即（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=0， CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=0， （ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）（ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=0， ∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 =0， ∴ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ． ∴△ABC 为等腰三角形．故选：A ．【点评】：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：平面向量加减的平行四边形法则，平面向量的数量积运算，平面向量模的运算，以及等腰三角形的判定方法，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．9.（单选题，5分）先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a ，b ，则，a ，b ，4能够构成钝角三角形的概率是（ ） A. 16B. 12C. 1336D. 29【正确答案】：D【解析】：利用乘法原理求出基本事件总数，然后按照分类讨论的方法求出a ，b ，4能够构成钝角三角形的基本事件数，再利用古典概型的概率公式求解即可．【解答】：解：要使a ，b ，4能够构成钝角三角形， 则a ，b ，4需要满足a 2+b 2＜42或a 2+42＜b 2或42+b 2＜a 2， 且能够满足三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 由乘法原理知，基本事件总数是36， 结合已知条件可知：当a=1时，均不符合要求，有0种情况； 当a=2时，b=3，5，符合要求，有2种情况； 当a=3时，b=2，6，符合要求，有2种情况； 当a=4时，b=6，符合要求，有1种情况， 当a=5时，b=2符合要求，有1种情况， 当a=6时，b=3，4符合要求，有2种情况， ∴能够构成钝角三角形的共有8种情况，故a ，b ，4能够构成钝角三角形的概率P= 836 = 29 ． 故选：D ．【点评】：本题考查概率的运算，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.（单选题，5分）疫情期间，某校为了了解学生在线学习情况，统计了该校A、B两班2022年4月18日-4月26日每天在线学习人数情况，如图所示：下列说法不正确的是（）A.A班每天在线学习人数的中位数为34B.记A班与B班每天在线学习人数的方差分别为s12，s22，则s12＞s22C.A班与B班每天在线学习人数之和不超过60的天数为3天D.从20日-23日，A班与B班每天在线学习人数都在逐日减少【正确答案】：D【解析】：由中位数的运算，结合方差的统计意义逐一判断即可得解．【解答】：解：由图可知：A班2022年4月18日-4月26日每天在线学习人数情况为35、38、40、34、28、22、26、38、34，B班2022年4月18日-4月26日每天在线学习人数情况为33、35、39、36、30、31、28、40、36，对于选项A，A班每天在线学习人数的中位数为34，即选项A正确；对于选项B，A班每天在线学习人数比B班每天在线学习人数离散程度要大些，即s12＞s22，即选项B正确；对于选项C，A班与B班每天在线学习人数之和不超过60的天数为4月22日，23日，24日，即选项C正确；对于选项D，从20日-23日，A班每天在线学习人数都在逐日减少，B班在线学习人数22日到23日有所提升，即选项D错误，故选：D．【点评】：本题考查了中位数的运算，重点考查了方差，属基础题．11.（单选题，5分）已知三棱锥P-ABC的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O的半径为5，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（）A.6πB.30πC. (9+2√21)πD. (6+2√21)π【正确答案】：D【解析】：根据题意求得外接球的球心O到平面ABC的距离为1，进而分两种情况：当球心在底面ABC和截面圆之间时，得到球心O到点P轨迹所在圆的距离为2，当球心在底面ABC和截面圆同一侧时，球心O到该截面圆的距离为d1=3+1=4，利用圆的周长公式，即可求解．【解答】：解：如图所示，由△ABC是等腰直角三角形，可得AB=BC=x，又由P到平面ABC的距离为3，三棱锥P-ABC的体积为24，可得13 × 12x2×3=24，解得x=4 √3，所以AC=4 √6，因为其外接球的半径R=5，可得52= AO12+OO12 = (2√6)2 + OO12，解得OO1=1，即圆心O到平面ABC的距离为1，又因为点P到平面ABC的距离为3，顶点P的轨迹是一个截面圆的圆周，当球心在底面ABC和截面圆之间时，球心O到该截面圆的距离为d=3-1=2，设点P的轨迹所在圆的半径为r，可得r= √52−22 = √21，∴顶点P的轨迹长度为2πr=2 √21π，当球心在底面ABC和截面圆同一侧时，球心O到该截面圆的距离为d1=3+1=4，∵截面圆的半径为r1= √R2−d12 = √25−16 =3，∴顶点P 的轨迹长度为2πr 1=6π，综上所述，顶点P 的轨迹的总长度为（6+2 √21 ）π， 故选：D ．【点评】：本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中档题． 12.（单选题，5分）在△ABC 中，∠ABC 的平分线交AC 于点D ， ∠ABC =2π3，BD =4 ，则△ABC 周长的最小值为（ ） A. 8+8√3 B. 8+4√2 C. 16+8√3 D. 16+4√2 【正确答案】：C【解析】：由题意可得 12 BC×BAsin 2π3 = 12 AB×BDsin π3 + 12 BC×BDsin π3 ，从而4（a+c ）=ac ，由余弦定量有b 2= 116 a 2c 2-ac ，从而周长l=a+b+c= 14 ac+ √116a 2c 2−ac ，利用换元法可求最小值．【解答】：解：因为BD 是角平分线， ∠ABC =2π3，BD =4 ，∴∠ABD=∠DBC= π3，由S △ABC =S △ABD +S △BCD ，可得 12BC×BAsin 2π3= 12AB×BDsin π3+ 12BC×BDsinπ3， 在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，因为BD=4，所以4（a+c ）=ac ，又由余弦定理有b 2=a 2+c 2-2accos 2π3 =a 2+c 2+ac=（a+c ）2-ac= 116 a 2c 2-ac ，设△ABC 的周长为l ， 则l=a+b+c= 14 ac+ √116a 2c 2−ac ，设ac=x ，则l= 14 x+ √116x 2−x ，由基本不等式得4（a+c ）=ac≥8 √ac ，当且仅当a=c 时取等号，所以ac≥64，易得x≥64时，l= 14 x+ √116x 2−x 单调递增，所以当x=64时，l 的值最小，最小值为 14 ×64+ √116×642−64 =16+8 √3 ．故选：C ．【点评】：本题考查解三角形，属难题．13.（填空题，5分）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从10只“冰墩墩”，15只“雪容融”和20个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n 的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了2只，则n 为 ___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：利用分层抽样的结果列方程组，能求出n 的值．【解答】：解：现工厂决定从10只“冰墩墩”，15只“雪容融”和20个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n 的样本进行质量检测， “冰墩墩”抽取了2只，则 210 = n10+15+20 ， 解得n=9． 故答案为：9．【点评】：本题考查样本单元数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.（填空题，5分）已知 a ⃗ =（1，2）， b ⃗⃗ =（ 1x ，1），若 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为锐角，则x 的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1]{x|x ＜- 12 或x ＞0}【解析】：根据题意，由向量数量积的计算公式可得 a ⃗ • b ⃗⃗ ＞0且 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 不同向，由此可得关于x 的不等式组，解可得答案．【解答】：解：根据题意，若 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为锐角，则 a ⃗ • b ⃗⃗ ＞0且 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 不同向， 则有 {a ⃗•b ⃗⃗=1x+2＞02x ≠1 ，解可得x ＜- 12 或0＜x ＜2或x ＞2，即x 的取值范围为{x|x ＜- 12 或0＜x ＜2或x ＞2}． 故答案为：{x|x ＜- 12 或0＜x ＜2或x ＞2}．【点评】：本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量夹角的分析，属于基础题． 15.（填空题，5分）我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵也被作为装饰物来使用，图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的体积为___ ．【正确答案】：[1] 92π【解析】：先根据对称性得该几何体外接球的球心为正四棱柱的体心，再利用方程思想求出球的半径，最后利用球的体积公式即可求解．【解答】：解：设正四棱柱和正四棱锥的高均为h，根据对称性可知：该几何体的外接球的球心为正四棱柱的体心，球的直径2R即为正四棱柱的体对角线，且正四棱柱的体心到正四棱锥的顶点的距离32h=R，根据正四棱柱的体对角线公式得（2R）2=22+22+h2，∴ (2R)2=4+4+(23R)2，∴R= 32，∴所求球的体积为43πR3=43×π×278=92π，故答案为：92π．【点评】：本题考查几何体的对称性，几何体的外接球问题，方程思想，球的体积公式，属基础题．16.（填空题，5分）设非零向量a⃗和b⃗⃗的夹角是2π3，且| b⃗⃗ |=| a⃗ + b⃗⃗ |，若t∈R，则|ta⃗⃗+2b⃗⃗||2a⃗⃗|的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1] √32【解析】：对| b⃗⃗ |=| a⃗ + b⃗⃗ |两边平方，化简|ta⃗⃗+2b⃗⃗||2a⃗⃗|，根据二次函数的最值公式转化求解即可．【解答】：解：由条件：| b ⃗⃗ |2=| a ⃗ + b ⃗⃗ |2；可得 a ⃗2 +2 a ⃗•b ⃗⃗ =0， a ⃗2 = | a ⃗⃗⃗⃗||b ⃗⃗| ，所以| a ⃗ |=| b⃗⃗ |， ∴ |ta ⃗⃗+2b ⃗⃗||2a ⃗⃗| = √t 2a ⃗⃗2+4ta ⃗⃗•b ⃗⃗+4b ⃗⃗24a ⃗⃗2 = 12√t 2−2t +4 = 12 √( t −1)2+3 ≥ √32；当且仅当t=1时取等号，∴|ta ⃗⃗+2b ⃗⃗||2a ⃗⃗| 的最小值为 √32． 故答案为： √32 ．【点评】：考查数量积的运算及其计算公式，以及二次函数的最值公式的应用，是基础题． 17.（问答题，10分）已知复数z 1= 2m 21−i ，z 2=（2+i ）m-3（1+2i ），m∈R ，i为虚数单位．（Ⅰ）若z 1+z 2是纯虚数，求实数m 的值； （Ⅱ）若z 1+z 2＞0，求z 1•z 2的值．【正确答案】：【解析】：（I ）结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解． （II ）结合实数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．【解答】：解：（I ）∵z 1= 2m 21−i = 2m 2(1+i )(1−i )(1+i )=m 2(1+i ) =m 2+m 2i ，z 2=（2+i ）m-3（1+2i ）=2m-3+（m-6）i ，∴ z 1+z 2=(m 2+2m −3)+(m 2+m −6)i ， ∵z 1+z 2是纯虚数，∴ {m 2+2m −3=0m 2+m −6≠0，解得m=1． （II ）∵ z 1+z 2=(m 2+2m −3)+(m 2+m −6)i ， ∴ {m 2+2m −3＞0m 2+m −6=0 ，解得m=2，∴z 1=4+4i ，z 2=1-4i ，∴z 1•z 2=（4+4i ）（1-4i ）=20-12i ．【点评】：本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数和实数的定义，属于基础题． 18.（问答题，12分）某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差=生产的产品质量一标准质量，单位mg ）的样本数据统计如图：（Ⅰ）求样本数据的80%分位数；（Ⅱ）公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在（x -s，x +s）范围内的产品为一等品，其余为二等品，其中x，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈10（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．① 若产品的质量差为78mg，试判断该产品是否属于一等品；② 假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由百分位数的运算求解即可；（Ⅱ）① 先求平均数，然后结合题意判断即可；② 由古典概型概率的求法求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）由0.1+0.2+0.45=0.75＜0.8，0.75+0.2=0.95＞0.8，即样本数据的80%分位数在第4组中，设样本数据的80%分位数为t，则0.75+（t-76）×0.02=0.8，则t=78.5，即样本数据的80%分位数为78.5；（Ⅱ）① x=51×0.1+61×0.2+71×0.45+ 81×0.2+91×0.05=70，则质量差在（60，80）范围内的产品为一等品，又78∈（60，80）， 则该产品属于一等品② 设摸出2件产品中至少有1件一等品的事件为A ， 则P （A ）= 1−C 22C 52=1−110=910 ，即摸出2件产品中至少有1件一等品的概率为 910 ．【点评】：本题考查了百分位数的运算，重点考查了平均数的求法及古典概型概率的求法，属基础题．19.（问答题，12分）已知四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，SA⊥平面ABCD ． （Ⅰ）设平面SBC∩平面SAD=l ，求证：l || BC ； （Ⅱ）求证：平面SAC⊥平面SBD ．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由AD || BC ，得BC || 平面SAD ，由此能证明l || BC ．（Ⅱ）推导出SA⊥BD ，AC⊥BD ，从而BD⊥平面SAC ，由此能证明平面SAC⊥平面SBD ．【解答】：证明：（Ⅰ）∵BC⊄平面SAD ，AD⊂平面PAD ，AD || BC ， ∴BC || 平面PAD ，又BC⊂平面PBC ，平面SBC∩平面PBC=l ， ∴l || BC ．（Ⅱ）∵SA⊥平面ABCD ，BD⊂平面ABCD ，∴SA⊥BD ， ∵四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，∴AC⊥BD ， ∵AC∩SA=A ，AC ，SA⊂平面SAC ，∴BD⊥平面SAC，∵BD⊂平面SBD，∴平面SAC⊥平面SBD．【点评】：本题考查线线平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.（问答题，12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量e1⃗⃗⃗⃗ =（c，a），e2⃗⃗⃗⃗ =（cos（C- π6），sinA），且e1⃗⃗⃗⃗ || e2⃗⃗⃗⃗．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若ccosB+bcosC=1，且A= π4，求△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）结合平面向量平行的条件与正弦定理，可得sinC=cos（C- π6），再利用两角差的余弦公式与辅助角公式，即可得解；（Ⅱ）利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式，可推出a=1，进而知c的值，再由sinB=sin（A+C），求得sinB的值，根据S= 12acsinB，得解．【解答】：解：（Ⅰ）因为e1⃗⃗⃗⃗ =（c，a），e2⃗⃗⃗⃗ =（cos（C- π6），sinA），且e1⃗⃗⃗⃗ || e2⃗⃗⃗⃗，所以csinA=acos（C- π6），由正弦定理，可得sinCsinA=sinAcos（C- π6），因为sinA＞0，所以sinC=cos（C- π6）= √32cosC+ 12sinC，整理得，12 sinC- √32cosC=sin（C- π3）=0，因为C∈（0，π），所以C= π3．（Ⅱ）由正弦定理知，asinA = bsinB= csinC=2R，所以c=2RsinC，b=2RsinB，因为ccosB+bcosC=1，所以2RsinCcosB+2RsinBcosC=1，所以2R（sinCcosB+sinBcosC）=2Rsin（B+C）=2RsinA=1，所以a=2RsinA=1，c= asinCsinA = 1×√32√22= √3√2，因为A+B+C=π，所以sinB=sin（A+C）=sin（π4 + π3）= √22（12+ √32），故△ABC的面积S= 12 acsinB= 12×1× √3√2× √22（12+ √32）= √3+38．【点评】：本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，三角形面积公式，两角和差公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示．只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为14，乙、丙每人面试合格的概率都是13，且三人面试是否合格互不影响．求：（Ⅰ）恰有一人面试合格的概率；（Ⅱ）至多一人签约的概率．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据相互独立事件概率的乘法公式计算即可；（Ⅱ）求得三人都没有签约的概率和一人签约即甲签约的概率，求和即可．【解答】：解：（Ⅰ）恰有一人面试合格的概率为：14×(1−13)×(1−13) +（1- 14）× 13×（1- 13）+（1- 14）（1- 13）× 13= 49．（Ⅱ）3人都没有签约的概率为：（1- 14）（1- 13×13）= 23，甲签约乙、丙没有签约的概率为：14×(1−13×13) = 29，则至多有一人签约的概率为：23+29= 89．【点评】：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．22.（问答题，12分）已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，E是棱BB1的中点．（Ⅰ）设AB=2，求三棱锥A-A1CE的体积；（Ⅱ）若把平面A1EC与平面A1B1C1所成的锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）化归转化成三棱柱B1-ABC的体积即可求解；（Ⅱ）先利用二面角的定义作出所求二面角的平面角，再求解即可验证是否为“黄金棱柱”．【解答】：解：（Ⅰ）V A−A1CE =V C−AEA1=2V C−ABE= 2V E−ABC=2×12V B1−ABC= V B1−ABC= 13×12×2×2×sin60°×2= 2√33；（Ⅱ）延长A1E，AB并且两直线交于F，再连接FC，又E是BB1的中点，∴B是AF的中点，又△ABC为等边三角形，∴BA=BC=BF，∴FC⊥AC，又A1A⊥底面ABC，FC⊂底面ABC，∴FC⊥A1A，又FC⊥AC，且A1A∩AC=A，∴FC⊥平面ACA1，∴∠ACA1即为平面面A1EC与平面ABC所成锐二面角，又平面ABC || 平面A1B1C1，∴∠ACA1即为平面面A1EC与平面A1B1C1所成锐二面角，=1，又tan∠ACA1= AA1AC∴∠ACA1=45°≠60°，∴此三棱柱不是“黄金棱柱”．【点评】：本题考查化归转化思想，二面角的定义，属中档题．。
河南省郑州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
河南省郑州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．4πB ．3πC ．3π-D ．-4．若0.70.6a =，0.60.7b =，lg13c =，则下列结论正确的是（）A ．b c a>>B ．c a b>>C ．a b c>>D ．c 5．已知函数()y f x =的表达式为()3log f x x =．若0m n <<且()(f m f n =的取值范围为（）A ．()1,+∞；B ．[)1,+∞；C ．()22,+∞；D ．)22,⎡+∞⎣．．．．．．将函数sin23cos2y x x=+的图象沿轴向左平移ϕ个单位后，得到一个偶函数的图象，则||ϕ的最小值为（）．π12B．π6π4D．5π12设函数1,[1,)()2(2),(x xf xf x x⎧-∈-+∞=⎨+∈-∞若对任意的[,)x m∈+∞，都有()4f x≥-二、多选题三、填空题四、双空题五、解答题参考答案：当(6,5)x ∈--时，f （x ）=8（令f （x ）=-4，解得112x =-.数形结合可得，若对任意的[,)x m ∈∞，都有故选：D 9．AC【分析】对A 、B ：根据充分、必要条件结合不等式性质分析判断；对否定分析判断；对D ：根据指数函数的单调性分析判断【详解】对A ：若“22ac bc >”若“a b >”，则2c ≥0，故2ac ≥综上所述：“22ac bc >”是“a >对B ：若“0xy >”，不能得出若“0x y +>”，不能得出xy >综上所述：“0xy >”是“x y +>对C ：命题“x ∃∈R ，210x +≠对D ：∵211x -+≤，且y ⎛= ⎝11．AC【分析】根据同角的三角函数的基本关系式和两角和与差的余弦公式和积化和差公式即可求解.【详解】因为()5cos 5αβ+=-故23sin21cos 25αα=-=,故因为()25sin 5αβ+=,所以()(cos cos 2αβαα⎡-=-+⎣()cos2cos ααβ=++(sin2sin αα45322555555⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。