相似三角形提高练习经典
相似三角形经典练习
相似三角形提高练习1. 如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，12AD BD =，DE ＝4 cm ，则BC 的长为 ( )A ．8 cmB ．12 cmC ．11 cmD ．10 cm2.如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点， BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（ ）A 、21B 、31C 、32D 、413.两个相似多边形的面积之比为1∶3，则它们周长之比为（ ） A ．1∶3 B ．1∶9 C ．1D ．2∶34．如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 （Ａ．91 Ｂ．92 Ｃ．31 Ｄ．945．在□ABCD 中，E 为BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，若AB =7，CF =3，则CEAD= ．6.若23a b =，则23a b b b -=+ ；）7.如图，正方形ABCD的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则DE的长为．8.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB＋∠EDC＝120°，BD＝3，CE＝2，则△ABC的边长为( )A．9 B．12 C．16 D．189.如图，在直角三角形ABC中（∠C＝90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为( )A．5 B．6 C．7 D．1210．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为_．11．如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3．若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为2，8，则图中三个阴影三角形面积之和为____________．12.如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是13.如图，△AB C 与△O 为BC 、EF 的中点，则AD ：BE 的值为（ ）A B C ．5:3 D ．不确定14.如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，AC=6，AD=3.6，则BC= ．ABCD F EOO1 234B B15．如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AD=3，BD=2，则AC ：BC 的值是( )A ．3：2B ．9：4C ．3：2D ．2：316．如图所示，已知CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，若AD ＝10，BD ＝5，求CD 的长．17．已知：如图，△A B C 中，A B =2，B C =4，D 为 BC 边上一点，BD =1.（1）求证：△ABD ∽△CBA ；（2）若DE ∥AB 交AC 于点E ，请再写出另一个与 △ABD 相似的三角形，并直接写出DE 的长.18．如图，在∆ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AD 的中点，AD 与CE 相交于点G .试说明31==AD GD CE GE .19. 小亮同学想利用影长测量学校旗杆AB 的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上BD 处，另一部分在某一建筑的墙上CD 处，分别测得其长度为9.6米和2米，求旗杆AB 的高度．20．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC = 5，BC = 8， D ，E 分别为BC ，AB 边上一点，∠ADE =∠C ． （1）求证：△BDE ∽△CAD ； （2）若CD =2，求BE 的长．21. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m ，两个路灯的高度都是9m ，求两路灯之间的距离22.如图，在矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于点F ．（1）求证：ΔABE ∽ΔDFA ；（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF 的长．23.矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，M 是BC 的中点，DE ⊥AM ，E 是垂足． ①求△ABM 的面积；②求DE 的长；③求△ADE 的面积．24. 如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，过点E 作EF ⊥EC 交边AB 于点F ，交CB的延长线于点G ， 且EF =EC ． （1）求证：CD =AE ；（2）若DE =4cm ，矩形ABCD 的周长为 32cm ，求CG 的长．EM DC B A25、如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边上一点，连AD ，EF ∥BC ，EF 与AB 、AC 、AD 分别交于点E 、F 、G ，求证：DCBDGF EG .26、（1）如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，求CD 的长（2）如图∠CAB ＝∠BCD ，AD ＝2，BD ＝4，求BC 的长27．如图，在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒钟后，△PBQ 与△ABC 相似？ABDF GE28.如图，已知抛物线y＝x2－1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．。
相似三角形经典题(含答案)
相似三角形典范习题之阳早格格创做例1 从底下那些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，供AEF ∆取CDF ∆的周少的比，如果2cm 6=∆AEF S ，供CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，供证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是透彻的，哪些是过失的？（1）所有的曲角三角形皆相似．（2）所有的等腰三角形皆相似．（3）所有的等腰曲角三角形皆相似．（4）所有的等边三角形皆相似． 例5 如图，D 面是ABC ∆的边AC 上的一面，过D 面绘线段DE ，使面E 正在ABC ∆的边上，而且面D 、面E ABC ∆的一个顶面组成的小三角形取ABC ∆相似．尽大概多天绘出谦脚条件的图形，并道明线段DE 的绘法．例6 如图，一人拿着一收刻有厘米分绘的小尺，站正在距电线杆约30米的场合，把脚臂背前伸曲，小尺横曲，瞅到尺上约12个分绘恰佳遮住电线杆，已知脚臂少约60厘米，供电线杆的下．例7 如图，小明为了丈量一下楼MN 的下，正在离N 面20m 的A 处搁了一个仄里镜，小明沿NA 退却到C 面，正佳从镜中瞅到楼顶M 面，若5.1=AC m ，小明的眼睛离大天的下度为1.6m ，请您助闲小明估计一下楼房的下度（透彻到0.1m ）．例8格面图中的二个三角形是可是相似三角形，道明缘由．例9 根据下列各组条件，判决ABC ∆战C B A '''∆是可相似，并道明缘由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存没有存留相似的三角形，如果存留，把它们用字母表示出去，并简要道明识别的根据．例11例125、12、1326S．例13正在一次数教活动课上，教授让共教们到操场上丈量旗杆的下度，而后回去接流各自的丈量要领．小芳的丈量要领是：拿一根下米的竹竿曲坐正在离旗杆27米的C处（如图），而后沿BC目标走到D处，那时目测旗杆顶部A取竹竿顶部E恰佳正在共背去线上，又测得C、D二面的距离为3米，小芳的目下为米，那样即可知讲旗杆的下．您认为那种丈量要领是可可止？请道明缘由．例14．如图，为了估算河的宽度，咱们不妨正在河对于岸选定一个目标动做E，使面A，再正在河的那一边选面B战CBC取AE的接面为D您能供出二岸之间AB的大概距离吗？例15．如图，为了供出海岛上的山峰AB的下度，正在D战F处横坐标杆DC战FE，标杆的下皆是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），而且AB、CD战EF正在共一仄里内，从标杆DC退后123步的G处，可瞅到山峰A战标杆顶端C正在背去线上，从标杆FE退后127步的H处，可瞅到山峰A战标杆顶端E正在背去线上．供山峰的下度AB及它战标杆CD的火仄距离BD 各是几？（古代问题）例16如图，已知△ABC的边AB AC＝2，BC边上的下AD （1）供BC的少；（2）如果有一个正圆形的边正在AB上，其余二个顶面分别正在AC，BC 上，供那个正圆形的里积．相似三角形典范习题问案例1．解①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2．1：3．例3分解道明例4．分解（1）没有透彻，果为正在曲角三角形中，二个钝角的大小没有决定，果此曲角三角形的形状分歧．（2）也没有透彻，等腰三角形的顶角大小没有决定，果此等腰三角形的形状也分歧．（3）透彻．设有等腰曲角三角形ABCa、b、c（4问：（1）、（2）没有透彻．（3）、（4）透彻．例5．解：绘法略．例6．分解BCBC的少．解，∴，∴∽．∴杆的下为6米．例7．分解的相似闭系便透彻了．解m）．例8．分解那二个图如果没有是绘正在格面中，那是无法推断的．本量上格面无形中给图形删加了条件——少度战角度．解道明逢到格面的题目一定要充散创造其中的百般条件，勿使遗漏．例9．解（1（2（3例10．解（1二角相等；（2二角相等；（3二角相等；（4二边成比率夹角相等；6二边成比率夹（5角相等．例11．分解有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的比率推出线段之间的比率闭系．∴道明（1）有二个角对于应相等，那么那二个三角形相似，那是推断二个三角形相似最时常使用的要领，而且根据相等的角的位子，不妨决定哪些边是对于应边．（2或者仄办法．例12分解26，不妨供解三边依次为∴例13．分解推断要领是可可止，应试虑利用那种要领加之咱们现有的知识是可供出旗杆的下．按那种丈量要领，过FG，接CE于H，可知GF、HF、EH可供，那样可供得AG，故旗杆AB可供．F G，接CE于H所解（米）所以旗杆的下为米．道明正在简曲丈量时，要领要现真、确真可止．例14.AB大概相距100米．例15.例16. 分解：央供BC的少，需绘图去解，果AB、AC皆大于下AD，那么有二种情况存留，即面D正在BC上或者面D正在BC的延少线上，所以供BC的万古要分二种情况计划．供正圆形的里积，闭键是供正圆形的边少．解：（1）如上图，由AD⊥BC，由勾股定理得BD＝3，DC＝1，所以BC ＝BD＋DC＝3＋1＝4．如下图，共理可供BD＝3，DC＝1，所以BC＝BD－CD＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC＝4，ABC是曲角三角形．由AE G F是正圆形，设G F＝x，则FC＝2－x，∵G F∥AB，∴，即．∴，∴如下图，当BC＝2，AC＝2，△ABC是等腰三角形，做CP⊥AB于P，∴AP正在Rt△APC中，由勾股定理得CP＝1，∵GH∥AB，∴△C GH∽△CBA，∵，∴。
初三相似三角形提高拓展专题练习附答案
14．〔1〕把两个含 450 角的直角三角板如图 1 放置，点 D 在 BC 上，连接 BE、AD，AD 的延长线
交 BE 于点 F，求证：AF⊥BE
〔2〕把两个含 300 角的直角三角板如图 2 放置，点 D 在 BC 上，连接 BE、AD，AD 的延长线交 BE
于点 F，问 AF 与 BE 是否垂直？并说明理由.
2
________________．
12. 将三角形纸片〔△ABC〕按如下图的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B′，折痕为 EF．AB
A
பைடு நூலகம்
B
＝AC＝3，
设以点 B′，F，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则 BF 的长度是．
D
F
E BC＝4，假
C
13．如图，
正方形 ABCD 的边长为 1cm，E、F 分别是 BC、CD 的中点，连接 BF、DE，则图中阴影局部的 面积是 cm2． 三、解答题
A．1 B．2 C．3 D．4
4.如图，
A
菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，M、N 分别是边
M
N
B AB、AD 的中点，连接 OM、ON、MN，则以下表达正确的选
O
D
项是
C
〔〕
A．△AOM 和△AON 都是等边三角形
B．四边形 MBON 和四边形 MODN 都是菱形
C．四边形 AMON 与四边形 ABCD 是位似图形
A．8
B．9.5
C．10
D．11.5
A
D
G
二、填空题 B
E
C
8．如图，路灯距离地面 8 米F ，身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部〔点 O 〕20 米的 A 处，则小明
相似三角形30道经典题
相似三角形30道经典题英文回答：1. Theorem: If two triangles are similar, then their corresponding sides are proportional.2. Corollary: If two triangles have two pairs of corresponding sides proportional, then they are similar.3. Theorem: If two triangles have three pairs of corresponding angles congruent, then they are similar.4. Corollary: If two triangles have two pairs of corresponding angles congruent, then the third pair is also congruent, and the triangles are similar.5. Theorem: The ratio of the areas of two similar triangles is equal to the square of the ratio of any two corresponding sides.6. Corollary: The ratio of the areas of two similar triangles is equal to the square of the ratio of any two corresponding altitudes.7. Theorem: If a line parallel to one side of a triangle divides another side into two segments, then the ratio of the lengths of the segments is equal to the ratio of the corresponding sides of the triangle.8. Corollary: If a line parallel to the base of a triangle divides the other two sides into segments, then the ratios of the lengths of the segments are equal to the ratio of the corresponding sides of the triangle.9. Theorem: If a line parallel to one side of a triangle divides the area of the triangle into two parts, then the ratio of the areas of the parts is equal to the ratio of the corresponding sides of the triangle.10. Corollary: If a line parallel to the base of a triangle divides the area of the triangle into two parts, then the ratios of the areas of the parts are equal to theratio of the corresponding sides of the triangle.11. Theorem: The sum of the interior angles of a triangle is 180 degrees.12. Corollary: The sum of the exterior angles of a triangle is 360 degrees.13. Theorem: The Pythagorean Theorem: For a right triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the other two sides.14. Corollary: The converse of the Pythagorean Theorem: If the square of one side of a triangle is equal to the sum of the squares of the other two sides, then the triangle is a right triangle.15. Theorem: The Law of Cosines: For any triangle, the square of one side is equal to the sum of the squares of the other two sides minus twice the product of the other two sides and the cosine of the included angle.16. Corollary: The Law of Sines: For any triangle, the ratio of the sine of one angle to the length of theopposite side is equal to the ratio of the sine of anyother angle to the length of its opposite side.17. Theorem: The area of a triangle is equal to halfthe product of the base and height.18. Corollary: The area of a triangle is equal to half the product of two sides and the sine of the included angle.19. Theorem: The perimeter of a triangle is equal tothe sum of the lengths of its three sides.20. Corollary: The perimeter of a triangle is equal to the sum of the lengths of two sides plus the length of the third side.21. Theorem: If a triangle is equilateral, then its angles are all equal to 60 degrees.22. Corollary: If a triangle has two sides equal, thenits angles opposite the equal sides are equal.23. Theorem: If a triangle has two angles equal, thenits sides opposite the equal angles are equal.24. Corollary: If a triangle has three equal sides,then its angles are all equal to 60 degrees.25. Theorem: If a triangle has a right angle, then its other two angles are acute.26. Corollary: If a triangle has an obtuse angle, then its other two angles are acute.27. Theorem: If a triangle has two adjacent sides equal, then the angle opposite the equal sides is greater than the other angles.28. Corollary: If a triangle has two adjacent sides unequal, then the angle opposite the greater side isgreater than the angle opposite the smaller side.29. Theorem: If a triangle has two adjacent angles equal, then the sides opposite the equal angles are equal.30. Corollary: If a triangle has two adjacent angles unequal, then the side opposite the greater angle isgreater than the side opposite the smaller angle.中文回答：1. 定理，如果两个三角形相似，那么它们对应边的比值相等。
(完整版)相似三角形提高练习(经典)
第四章相似图形11.等边三角形的一边与这边上的高的比是___________2.已知a 、b 、c 为△ABC 的三条边，且a ：b ：c=2：3：4，则△ABC•各边上的高之比为______．3.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为________.4.已知四条线段a 、b 、c 、d 成比例，若a=2,b=3,c=33,则 d=________.5.已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是( ) A.a ∶d=c ∶b B.a ∶b=c ∶d C.d ∶a=b ∶c D.a ∶c=d ∶b6.如果b a =43,那么b b a 2+=____;b b a 2-=____;a b a3-=____;ab b a 3-2+=____ 7.如果53=-b b a ,那么b a =________b b a 2+=____;b b a 2-=____;ab b a 3-2+=____8.若d c b a ==3（b+d ≠0），则d b c a ++=_______,d b c a 3-23-2=_______9.若3x －4y = 0，则yy x +的值是____________10.若875c b a ==,且3a －2b+c=3,则2a+4b －3c 的值是____________ 11.若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21. ,则2a+4b －3c 的值是___________12.x ：y ：z=3：5：7，3x ＋2y －4z ＝9则x ＋y ＋z 的值为___________ 13.如果kcb a dd b a c d c a b d c b a =++=++=++=++，则k 的值是___________。
14.在长度为10的线段上找到两个黄金分割点Ｐ、Ｑ.则ＰＱ=_________15.当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165cm ，下半身 长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 cm16.顶角为360的等腰三角形称为黄金三角形.如右图，△ABC, △BDC, △DEC 都是黄金三角形.若AB=1则DE=＿ 17.如图以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上， （1）求AM 、DM 的长.（2）求证：AM 2=AD ·DM.（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？18.以下五个命题：①所有的正方形都相似 ②所有的矩形都相似 ③所有的三角形都相似 ④所有的等腰直角三角形都相似 ⑤所有的正五边形⑥所有的菱形⑦所有的平行四边形都相似.,其中正确的命题有_______ 19.下列判断中，正确的是（ ）（A ）各有一个角是67°的两个等腰三角形相似（B ）邻边之比都为2：1的两个等腰三角形相似 （C ）各有一个角是45°的两个等腰三角形相似（D ）邻边之比都为2：3的两个等腰三角形相似20.如图在一矩形ABCD 的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等。
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅． 【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）． 观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处； 第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平． 猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想． （3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。
《相似三角形判定定理的证明》巩固练习(提高)
【巩固练习】一、选择题1. （2015•深圳校级模拟）若△ABC ∽△DEF ，且AB ：DE=1：3，则S △ABC ：S △DEF =（ ）A ．1：3B ．1：9C ．1：D ．1：1.52．已知如图：（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB 、CD 交于0点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）A ．都相似B ．都不相似C ．只有（1）相似D ．只有（2）相似3．如图，G 是平行四边形ABCD 的边CD 延长线上一点，BG 交AC 于E ，交AD 于F ，则图中与△FGD 相似的三角形有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对4．如图，分别以下列选项作为一个已知条件，其中不一定能得到△AOB∽△COD 的是（ ）A ．∠BAC=∠BDCB ．∠ABD=∠ACDCD AO DO CO BO =AO OD OB CO=5．如果一个三角形能够分成两个与原三角形都相似的三角形，我们把这样的三角形称为孪生三角形，那么孪生三角形是（ ）A ．不存在B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1）；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（ ） A．1B．2C．3D．4二、填空题7．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件 （只需写一个）．8．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．则图中相似三角形（相似比为1除外）有 ．9．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与△ABC相似，写出所有符合条件的三角形 ．10．如图，∠1=∠2=∠3，有几对三角形相似，请写出其中的两对 ．11．如图，在3×4的方格上，每个方格的边长为1个单位，△ABC的顶点都在方格的格点位置．若点D在格点位置上（与点A不重合），且使△DBC与△ABC相似，则符合条件的点D共有 个．12.（2015•六合区一模）如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC= ．三、解答题13. 如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．14.（2015春•成武县期末）如图，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．15．如图，在△ABC和△ADE中，==，点B、D、E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.【解析】∵△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，∴S△ABC：S△DEF=1：9．故选B．2.【答案】A;【解析】如图（1）∵∠A=35°，∠B=75°，∴∠C=180°-∠A-∠B=70°，∵∠E=75°，∠F=70°，∴∠B=∠E，∠C=∠F，∴△ABC∽△DEF；3.【答案】C；【解析】∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△GFD∽△GBC，△GFD∽△BFA，∴图中与△FGD相似的三角形有2对，故选C．4.【答案】C；【解析】A、若∠BAC=∠BDC，结合∠AOB=∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项错误；B、若∠ABD=∠ACD，结合∠AOB=∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项错误；C、若=，因为只知道∠AOB=∠COD，不符合两边及其夹角的判定，不一定能得到△AOB∽△COD，故本选项正确．D、若=，结合∠AOB=∠COD，根据两边及其夹角的方法可得△AOB∽△COD，故本选项错误；故选C．5.【答案】C；【解析】∵△ABD∽△CBD，∴∠ADB=∠BDC又∵∠ADB+∠BDC=180°，∴∠ADB=∠BDC=×180°=90°，∵△ADB∽△ABC，ABC△∽△BDC，∴∠ABC=∠ADB=∠BDC=90°，∴△ABC为直角三角形．故选：C．6.【答案】C；【解析】能判断△ABC∽△A′B′C′的有：（1）（2），（2）（4），（3）（4），∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3组．故选C．二、填空题7．【答案】如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC等；【解析】∵∠A是公共角，∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B时，△ADE∽△ACB（有两角对应相等的三角形相似），当AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC时，△ADE∽△ACB（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），∴要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件：答案不唯一，如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC等．故答案为：此题答案不唯一，如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC等．8．【答案】△PCQ∽△RDQ∽△PAB；【解析】∵CP∥ER，∴△BCP∽△BER；∵CP∥DR，∴△PCQ∽△RDQ；∵CQ∥AB，∴△PCQ∽△PAB；∴△PCQ∽△RDQ∽△PAB．9．【答案】△DP2P5、△DP2P4、△DP4P5；【解析】设网格的边长为1．则AC=，AB=，BC=．连接DP2P5，DP5=，DP2=，P2P5=．∵==，∴△ACB∽△DP5P2．同理可找到△DP2P4，DP4P5和△ACB相似．故答案为：△DP2P5，DP2P4，DP4P5．10．【答案】△CDE∽△CAB；△EDA∽△AEB;【解析】∵∠2=∠3，∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB，∵∠2=∠3，∴∠DEA=∠EAB，∵∠1=∠3，∴△EDA∽△AEB，故答案为：△CDE∽△CAB；△EDA∽△AEB．11．【答案】4;【解析】∵方格中小正方形的边长为1，∴AB=1、BC=、AC=，∵△DBC与△ABC相似，∴BC=、CD=2、BD=，如图可知这样的点D如图：故答案为：4．12.【答案】4.8或.【解析】∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∴AB==10，当△ABC∽△PCA时，则AB：PC=BC：AC，即10：PC=6：8，解得：PC=，当△ABC∽△ACP时，则AB：AC=BC：PC，即10：8=6：PC，解得：PC=4.8．综上可知若△ABC与△PAC相似，则PC=4.8或．三、解答题13.【解析】解：（1）如图1，当t=1秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2由S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG=×﹣=×（10+2）×8﹣×10×4﹣=24.（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，此时AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，FC=8﹣4t，CG=2tS=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG=×（EB+CG）•BC﹣EB•BF﹣FC•CG=×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）=8t2﹣32t+48．②如图2，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF=4t﹣8，CG=2tFG=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2tS=FG•BC=（8﹣2t）•8=﹣8t+32．即S=﹣8t+32（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，0≤t≤2在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°1若=，即=，解得t=．又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△FCG2若=即=，解得t=．又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△GCF综上所述，当t=或t=时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．14.【解析】解：①图1，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，有，∵M为AB中点，AB=，∴AM=，∵BC=6，∴MN=3；②图2，作∠ANM=∠B，则△ANM∽△ABC，有，∵M为AB中点，AB=，∴AM=，∵BC=6，AC=，∴MN=，∴MN的长为3或．15.【解析】证明：∵在△ABC和△ADE中，==，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵，∴，∴△ABD∽△ACE．。
相似三角形提高练习30题
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相似三角形提高练习30题填空题1．（2005•北京）在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD•DC，则∠BCA的度数为_________．2．（2001•重庆）已知：如图，在△ABC中，AB=15m，AC=12m，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE=_________m．3．如图，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2，…，则CA1=_________，=_________．4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，S△AOD：S△COB=1：9，则S△DOC：S△BOC=_________．5．如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么=_________．6．如图，在△ABD中，∠ADB=90°，C是BD上一点，若E、F分别是AC、AB的中点，△DEF的面积为3.5，则△ABC的面积为_________．7．在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH=DC．若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为_________．8．如图，在▱ABCD中，E为CD中点，AE与BD相交于点O，S△DOE=12cm2，则S△AOB等于_________cm2．9．如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2BE，则△AEF与梯形BCFE的面积比_________．10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，CB=6，在斜边AB上取一点M，使MB=CB，过M作MN⊥AB交AC 于N，则MN=．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，则CD=_________．12．如图，在△ABC中，M、N是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是_________．13．如图，AD=DF=FB，DE∥FG∥BC，则SⅠ：SⅡ：SⅢ=_________．14．如图，已知点D是AB边的中点，AF∥BC，CG：GA=3：1，BC=8，则AF=_________．解答题15．（2008•黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．（1）求直线BC的解析式；（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的；（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（4）试探究：当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？并求出此时动点P的坐标．16．（2005•重庆）在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．（1）求直线AB的解析式；（2）当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？（3）当t=2秒时，四边形OPQB的面积多少个平方单位？17．（2003•南宁）如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（28，0）和（0，28）．动点P从A点开始在线段AO 上以每秒3个单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴，线段AB交于E，F点，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）当t=1秒时，求梯形OPFE的面积，当t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？（2）当梯形OPFE的面积等于三角形APF的面积时，求线段PF的长；（3）设t的值分别取t1，t2时（t1≠t2），所对应的三角形分别为△AF1P1和△AF2P2．试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断．18．（2009•兰州）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P 在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P 点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；（2）求正方形边长及顶点C的坐标；（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．19．（2008•孝感）锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0）（1）△ABC中边BC上高AD=_________；（2）当x=_________时，PQ恰好落在边BC上（如图1）；（3）当PQ在△ABC外部时（如图2），求y关于x的函数关系式（注明x的取值范围），并求出x为何值时y最大，最大值是多少？20．（2008•青岛）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC；（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．21．（2008•梅州）如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y．当x取什么值时，y有最大值？并求出这个最大值．22．（2007•温州）在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，并且CD=3cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC 向终点C移动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为x秒．（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设△EDQ的面积为y（cm2），求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；23．（2006•南平）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG．请探究：（1）线段AE与CG是否相等请说明理由：（2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y最大？（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE？24．（2001•上海）已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q．①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当CE=1时，写出AP的长．（不必写解答过程）25．已知一个二次函数的图象经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（4，﹣5）三点．（1）求这个二次函数的解析式及其图象的顶点D的坐标；（2）这个函数的图象与x轴有两个交点，除点A外的另一个交点设为E，点O为坐标原点．在△AOB、△BOE、△ABE和△BDE着四个三角形中，是否有相似三角形？如果有，指出哪几对三角形相似，并加以证明；如果没有，要说明理由．26．如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=CD=．点M从点B开始，以每秒2个单位长的速度向点C运动；点N从点D开始，以每秒1个单位长的速度向点A运动，若点M，N同时开始运动，点M与点C不重合，运动时间为t（t＞0）．过点N作NP垂直于BC，交BC于点P，交AC于点Q，连接MQ．（1）用含t的代数式表示QP的长；（2）设△CMQ的面积为S，求出S与t的函数关系式；27．如图，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，AB=．将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，连接DE、DF、EF，且使DE始终与AB垂直，设AD=x，△DEF的面积为y．（1）画出符合条件的图形，写出与△ADE一定相似的三角形并说明理由；（2）EF与AB可能平行吗？若能，请求出此时AD的长；若不能，请说明理由；（3）求出y与x之间的函数关系式并求出自变量的取值范围；当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？28．（2009•青岛）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由B出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PE∥AB；（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ=S△BCD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．29．（2008•湖州）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF，BD之间的位置关系为_________，数量关系为_________．②当点D在线段BC的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C，F重合除外）画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）（3）若AC=4，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．30．（2008•恩施州）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；（3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2；（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．。
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第四章相似图形11.等边三角形的一边与这边上的高的比是___________2.已知a 、b 、c 为△ABC 的三条边，且a ：b ：c=2：3：4，则△ABC•各边上的高之比为______．3.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为________.4.已知四条线段a 、b 、c 、d 成比例，若a=2,b=3,c=33,则 d=________.5.已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是( )A.a ∶d=c ∶bB.a ∶b=c ∶dC.d ∶a=b ∶cD.a ∶c=d ∶b6.如果b a =43,那么b b a 2+=____;b b a 2-=____;a b a 3-=____;ab b a 3-2+=____ 7.如果53=-b b a ,那么b a =________b b a 2+=____;b b a 2-=____;ab b a 3-2+=____ 8.若dc b a ==3（b+d ≠0），则d b c a ++=_______,db c a 3-23-2=_______ 9.若3x －4y = 0，则yy x +的值是____________ 10.若875c b a ==,且3a －2b+c=3,则2a+4b －3c 的值是____________11.若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21. ,则2a+4b －3c 的值是___________ 12.x ：y ：z=3：5：7，3x ＋2y －4z ＝9则x ＋y ＋z 的值为___________13.如果k c b a d d b a c d c a b d c b a =++=++=++=++，则k 的值是___________。
14.在长度为10的线段上找到两个黄金分割点Ｐ、Ｑ.则ＰＱ=_________15.当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 cm16.顶角为360的等腰三角形称为黄金三角形.如右图，△ABC, △BDC, △DEC 都是黄金三角形.若AB=1则DE=＿17.如图以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，（1）求AM 、DM 的长.（2）求证：AM 2=AD ·DM.（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？18.以下五个命题：①所有的正方形都相似 ②所有的矩形都相似 ③所有的三角形都相似 ④所有的等腰直角三角形都相似 ⑤所有的正五边形⑥所有的菱形⑦所有的平行四边形都相似.,其中正确的命题有_______19.下列判断中，正确的是（ ）（A ）各有一个角是67°的两个等腰三角形相似（B ）邻边之比都为2：1的两个等腰三角形相似（C ）各有一个角是45°的两个等腰三角形相似（D ）邻边之比都为2：3的两个等腰三角形相似20.如图在一矩形ABCD 的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等。
花坛AB ＝20米，AD ＝30米，试问小路的宽x 与y 的比值为________时，能使小路四周所围成的矩形A`B`C`D`能与矩形ABCD 相似？请说明理由。
21.把矩形对折后，和原来的矩形相似，那么这个矩形的长、宽之比为______22.如图所示相片框（长和宽不等，阴影宽度相等），内外两个矩形是否相似？23.把一个矩形剪去一个正方形，若剩余的矩形和原矩形相似，则原矩形的宽与长的比为______．17题 20题 22题 24题 25题24.如图已知DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ，则ABAD =________=________. 25.如图△AED ∽△ABC ，其中∠1＝∠B ，则AD ∶________＝________∶BC ＝________∶AB ．26.△ABC ∽△A ′B ′C ′，如果∠A=55°，∠B=100°，则∠C ′的度数等于__________27.如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形________FABECD28.若△ABC∽△A′B′C′，AB=2，BC=3，A′B′=1，则B′C′=_________29.若△ABC的三条边长的比为3∶5∶6,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么△A′B′C′的最大边长是________30.已知△ABC的三条边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的形状是______，又知△A′B′C′的最大边长为20 cm，那么△A′B′C′的面积为________.31.△ABC的三边长分别为2、10、2，△A′B′C′的两边长分别为1和5，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边的长应等于__________32.在△ABC中AB=12cm，AC=8cm，点D，E分别在AB，AC上，如果△ADE与△ABC能够相似，且AD＝4cm时，则AE=__________33.△ABC∽△DEF若△ABC的边长分别为5cm，6cm，7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由。
34.如图在△ABC中，DE∥BC，AD=3 cm，BD=2 cm,△ADE与△ABC是否相似________，若相似，相似比是________.35.如图D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，请你添加一个条件，使△ADE∽△ACB，你添加的条件是_______36.如图AB∥CD，AD与BC相交于点O，那么列比例式是__________37.如图D为△ABC的边AB上一点，且∠ABC=∠ACD，AD=3cm,AB=4cm，则AC的长为___________ cm38.如图测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长是10毫米，AC被分成60等份.如果小管口DE正好对着量具上30份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是_____________毫米.34题 35题 36题 37题 38题39.如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，则△DEF∽________,理由是________.39题 40题 41题 42题 43题40.如图为边长为1个单位的方格纸，求证：△ABC∽△FED41.如图∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AB=2AD，若BC=3 cm,则DE=________cm.42.已知，如图，AD·AB＝AE·AC.求证：△FDB∽△FEC.．43.已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC2=AB﹒AD．试说明∠BCD=∠B＋∠D的理由第四章相似图形21.如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO＝48cm，BO＝24cm，CD＝78cm，求CO和DO．AB CDEAB CD2.如图，BD、CE为△ABC的高，求证∠AED＝∠ACB．3.己知：如图，矩形ABCD中，AB∶BC=1∶2，点E在AD上，且3AE=ED．试问：△ABC与△EAB相似吗？为什么？4.己知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥CD．(1) 试说明：BD2=AD﹒BC(2) 若AB=12，AD=5，求梯形ABCD的底BC的长．5.铁道口的栏道木短臂长1米，长臂长16米，当短臂下降0.5米时，长臂的端点升高________米6.在Rt△ABC中，∠C=90°，MN⊥AB于M，AM=8 cm，AC=54AB，则AN=________.7.如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，(1)当BD=________时，△ABC∽△CDB;(2)当BD=________时，△ABC∽△BDC.8.如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点，那么△ADQ与△QCP相似吗？为什么？9.如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF∶FD=1∶3，则BE∶EC=__________10.如图，RtΔABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，AB＝5，AC＝4，若ΔABC∽ΔBDC，则CD＝．11.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中的相似三角形共有______对12.已知：如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有______对13.如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形_____14.如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有____________条A B C DE F A B C Q P A B D P Q S R T11题 12题 13题 14题15.如图，在△ABC 中，AB=8cm ，AC=16cm ，点P 从点B 开始沿BA 边向点A 以每秒2cm 的速度移动，点Q 从点A 开始沿AC 边向点C 以每秒4cm 的速度移动．如果P 、Q 分别从B 、A 同时出发，经过几秒钟△APQ 与△ABC 相似？16.如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 中点，且DE ⊥AC ，则CD:AD ＝__________．17.如图正方形ABCD 的边长为2，AE=EB ，MN=1，线段MN 的两端分别在CB 、CD 上滑动，那么当CM=________时，△ADE 与△MNC 相似.18.如图，点A 1、A 2，B 1、B 2，C 1、C 2分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的三等分点，且ABC 的周长为30，则六边形A 1A 2B 1B 2C 1C 2的周长为_______________19.已知：如图，P 为平行四边形ABCD 对角线BD 上的一点，过P 作一直线分别交BA 、BC 的延长线于Q 、R ，交CD 、AD 于S 、T ．试说明：PT PR PS PQ20.如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,BC=3,AC=4,AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为______21.如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，CD=2，BD=1，则AD 的长是__________22.己知：如图，D 是△ABC 的边AC 上一点，CD=2AD ，AE ⊥BC ，交BC 于点E ，DF ⊥BC ，交BC 于点F ．若BD=8，DF ∶BD=3∶4，求AE 的长．AB C DEA BC DEFO23.如图，在△EAD中，∠EAD=90°，AC是高，B在DE延长线上，且∠BAE=∠EAC．(1) 试说明：△ABE∽△DBA；(2) 试说明：BD﹒EC=AB﹒AC；(3) 问：当AB∶BD等于多少时，EC∶CD=1∶4？24.己知：如图，AB∥CD，AF=BF，EC=EB，EC交AD于O．试说明OC2=OF﹒OD25.如图，直线l1∥l2，AF∶FB=2∶3，BC∶CD=2∶1，则AE∶EC是__________26.如图所示，一个边长分别为3cm、4cm、5cm的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是__________27.如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度( )A．增大1.5米 B. 减小1.5米 C. 增大3.5米 D. 减小3.5米28.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是_________29.如图，在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC= .30.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E，连结DE交AC于点P，过P作PF⊥BC，垂足为F，则CBCF的值是_____.31. 如图,已知点D是AB边的中点,AF∥BC,CG∶GA=3∶1,BC=8,则AF＝32.⊿ABC中，如果4:3:=CBAC，∠C的内角平分线交AB于P，那么=PBPA:___________33.在直角三角形中，斜边上的高为6，斜边上的高把斜边分成两部分，这两部分的比为2:3，则斜边上的中线的长为________A B C D EF 34.如图，点D 是Rt △ABC 的斜边AB 上一点，DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，若AF=15，BE=10，则四边形DECF 的面积是__________．35.如图，已知⊿ABC 中，∠C 的平分线交AB 于点D ，过D 作BC 的平行线交AC 于E ，若AC =a ，BC =b ，求DE 的长36.如图，在⊿ABC 中，AD 是∠BAC 的外角平分线，CE ∥AB ，求证:AB ﹒DE=AD ﹒AC37.如图，已知矩形ABCD 中，AB=10，BC=12，E 为DC 中点，AF ⊥BE 于点F ，则AF=_____．38.已知：如图在△ABC 中，AE=ED=DC ，FE//MD//BC ，FD 的延长线交BC 的延长线于N ，则BN EF 为___________-39.如图，△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，则ED AE为________40.如图，已知BE 、CF 分别是△ABC 的边AC 、AB 的高。