2021年高考文科数学(人教A版)一轮复习讲义：第1讲平面向量的概念及线性运算
2021届课标版高考文科数学一轮复习学案：平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算
第5章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及线性运算[最新考纲] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．(6)向量平行或共线：如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线，规定零向量与任一向量平行．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ) a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb(1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线． (2)性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝λa . [常用结论]1．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．2.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)O 不在直线AB 上，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1. 3．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．4．与非零向量a 共线的单位向量为±a|a |.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( ) (2)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上． ( ) (3)若a∥b ，b∥c ，则a∥c.( )(4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( )[答案](1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材改编 1．如图，ABCD 的对角线交于点M ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示MD →为( )A.12a ＋12bB.12a －12b C ．－12a －12bD ．－12a ＋12bD [由题意可知BD →＝AD →－AB →＝b －a ，又BD →＝2MD →， ∴MD →＝12(b －a )＝12b －12a ，故选D.]2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．] 3．已知ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示)b －a －a －b [如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .]4．在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________． 矩形 [如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →|. 由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形．] ⊙考点1 平面向量的概念 辨析向量有关概念的五个关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线． 1.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4A [①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a ＝0时，无论λ为何值，λa ＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时，a 与b 可以是任意向量．]2．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a∥b ； 其中真命题的序号是________．③ [①错误．两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②错误．|a |＝|b |，但a ，b 方向不确定，所以a ，b 不一定相等或相反． ③正确．因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形．④错误．当a∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．](1)只要不改变向量a 的大小和方向，可以自由平移a ，平移后的向量与a 相等．(2)在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．⊙考点2 平面向量的线性运算 向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．向量的线性运算(1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC → (2) (2019·皖南八校联考)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC →，F 为AE 的中点，则BF →＝( )A ．13AB →－23AD → B ．－23AB →＋13AD →C ．－13AB →＋23AD →D ．23AB →－13AD → (1)A (2)B [(1)EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.(2)根据平面向量的运算法则得BF →＝12BA →＋12BE →，BE →＝23BC →，BC →＝AC →－AB →.因为AC →＝AD →＋DC →，DC →＝12AB →，所以BF →＝－12AB →＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →－AB →＝－23AB →＋13AD →，故选B.]平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．根据向量线性运算求参数(2019·山西师大附中模拟)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4B [∵AN →＝14NC →，∴AC →＝5AN →.又AP →＝mAB →＋25AC →，∴AP →＝mAB →＋2AN →，由B ，P ，N 三点共线可知，m ＋2＝1， ∴m ＝－1.]与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．1.(2019·西宁模拟)如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，点E 在AD 边上，且AD ＝3AE ，则用向量AB →，AC →表示CE →为( )A.29AB →＋89AC →B.29AB →－89AC →C.29AB →＋79AC → D.29AB →－79AC → B [由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得CE →＝AE →－AC →＝13AD →－AC →＝13(AB →＋13BC →)－AC →＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤AB →＋13AC →－AB →－AC →＝29AB →－89AC →.] 2．(2019·枣庄模拟)设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC →(λ∈R )，则λ＝( )A ．2B ．3C ．－2D ．－3D [由BC →＝λDC →可知AC →－AB →＝λ(AC →－AD →)， ∴AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λAC →＋1λAB →，又AD →＝－13AB →＋43AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1λ＝－13，1－1λ＝43.解得λ＝－3，故选D.]3．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________. 12 －16 [MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB → ＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC → ＝xAB →＋yAC →， ∴x ＝12，y ＝－16.]⊙考点3 共线向量定理的应用共线向量定理的三个应用 证明向量共线 对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb (b ≠0)，则a 与b 共线 证明三点共线 若存在实数λ，使AB →＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线 求参数的值利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解](1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线， 又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 和a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0， ∴k 2－1＝0，∴k ＝±1. [母题探究]若将本例(1)中“BC →＝2a ＋8b ”改为“BC →＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A ，B ，D 三点共线？ [解] BC →＋CD →＝(a ＋m b )＋3(a －b ) ＝4a ＋(m －3)b ， 即BD →＝4a ＋(m －3)b .若A ，B ，D 三点共线，则存在实数λ，使BD →＝λAB →. 即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )．∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝λ，m －3＝λ，解得m ＝7.故当m ＝7时，A ，B ，D 三点共线．(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．1.在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形D ．以上都不对C [由已知，得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，故AD →∥BC →.又因为AB →与CD →不平行，所以四边形ABCD 是梯形．]2．已知向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，若向量a 与向量b 共线，则( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0D [因为向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，又因为向量a 和b 共线，存在实数k ，使得a ＝k b ，所以e 1＋λe 2＝2k e 1，所以λe 2＝(2k －1)e 1，所以e 1∥e 2或λ＝0.]3．已知O 为△ABC 内一点，且AO →＝12(OB →＋OC →)，AD →＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t ＝( )A.14B.13C.12D.23B [设E 是BC 边的中点，则12(OB →＋OC →)＝OE →，由题意得AO →＝OE →，所以AO →＝12AE →＝14(AB →＋AC →)＝14AB →＋14t AD →，又因为B ，O ，D 三点共线，所以14＋14t ＝1，解得t ＝13，故选B.]。
高考数学第一轮复习-第5章 第1讲 平面向量的概念及线性运算 平面向量的基本定理
高考数学第一轮复习 第五章 平面向量第1讲 平面向量的概念及线性运算 平面向量的基本定理考点一 平面向量的线性运算及几何意义入门测1．思维辨析(1)单位向量只与模有关，与方向无关．( ) (2)零向量的模等于0，没有方向．( ) (3)若两个向量共线，则其方向必定相同．( ) (4)若a ∥b ，b ∥c ，则必有a ∥c .( ) (5)AB →＋BA →＝0.( )2．如图，在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，AB →＋BO →＋OC →＝( )A ．0 B.AD →C.AC →D.BD →3．设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________．解题法命题法 对概念的理解、运算和共线定理的应用 典例 (1)下列说法中： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③B ．①②C ．③④D ．④⑤(2)已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →(3)已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果 c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向对点练1.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →2．已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．93．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．|a ·b |≤|a ||b |B ．|a －b |≤||a |－|b ||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 24．记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |25．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.6．已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.7.设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.考点二 平面向量的基本定理及坐标表示入门测1．思维辨析(1)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( ) (2)平面内任何两个不共线的向量均可作为一组基底．( )(3)向量AB →与BC →的夹角为∠ABC .( )(4)在同一组基底下同一向量的表现形式是唯一的．( )2．已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8 3．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)解题法命题法 向量共线，垂直的条件和共线向量基本定理的应用典例 (1)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)(2)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(m,4)，且a ∥b ，则2a －b ＝( ) A ．(4,0) B ．(0,4) C ．(4，－8)D ．(－4,8)(3)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM→＋μAN →，则λ＋μ＝________.【解题法】 平面向量基本定理的应用及其坐标运算技巧 (1)共线问题的解题策略①向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．②证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．③若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.④直线的向量式参数方程，A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t∈R )．⑤OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1. (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路①先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．②在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．(3)坐标运算的技巧向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则，以向量为载体，可以解决三角函数、解析几何中的有关问题．对点练1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a ＝( ) A ．(－2,1) B ．(2，－1) C ．(2,0) D ．(4,3) 2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 3.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝_______；y ＝_______.4．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________． 5.设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________.6．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．7. 如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB→＝a ，AC →＝b ，用基底a ，b 表示向量AE →＝________.微型专题 以向量坐标运算为载体的创新问题创新考向以向量的坐标运算为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点，综合考查向量与函数等知识，考查学生的应变能力与创新能力．创新例题在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A ，B ，C 三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数λ，使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →成立，此时称实数λ为“向量OC →关于OA →和OB →的终点共线分解系数”．若已知P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3→与向量a ＝(1，－1)共线，则“向量OP 3→关于OP 1→和OP 2→的终点共线分解系数”为( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．课时练 基础组1已知非零向量a ，b ，则“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件2．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及其所在平面内一点P 满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( )A ．P 在△ABC 内B ．P 在△ABC 外 C ．P 在直线AB 上D ．P 是AC 边的一个三等分点3．如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AF →＝( )A.12a ＋14b B.14a ＋12b C.12a －14b D.14a －12b 4．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53C.53D.32 5．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．0 6．[2016·武邑中学模拟]已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B.43C.12D.137.如图，已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在线段AB 上，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则mn＝( )A.13 B ．3 C.33D. 38.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP→＝OA→＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心9．已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．10. △ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量m ＝(3c －b ，a －b )，n ＝(3a ＋3b ，c )，m ∥n ，则cos A ＝________.11．已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？P 在第三象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由． 12．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．能力组13设a 是已知的平面向量且a ≠0，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 14．已知向量OA →＝(1,3)，OB →＝(3，－1)，且AP →＝2PB →，则点P 的坐标为( ) A ．(2，－4) B.⎝⎛⎭⎫23，－43 C.⎝⎛⎭⎫73，13D ．(－2,4)15．在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA→－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________．16．如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．。
高考文科数学一轮复习课件-平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理
向量
a
b
a+b
a-b
λa
坐标
(x1,y1)
(x2,y2)
(x1+x2,y1+y2)
(x1-x2,y1-y2)
(λx1,λy1)
(2)向量坐标的求法 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB =(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于表示该向量 的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. (3)平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0.
=λ
1 2
-
1 n
,
消去λ,得(m-2)(n-2)=mn,
化简即得m+n=2.
解法二:连接AO,∵O是BC的中点,
∴ AO= 1 ( AB + AC).
2
又∵ AB =m AM , AC =nAN ,
∴ AO = m AM + n AN .
2
2
∵M、O、N三点共线,
∴ m + n =1.∴m+n=2.
22
答案 2
方法2 利用平面向量基本定理解决问题的方法
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用平面 向量基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,再通过向量的运算来 求解.在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要 熟练运用线段中点的向量表达式.
例3 (2019豫南九校第三次联考,8)如图所示,在△ABC中,点M是AB的中 点,且 AN = 1 NC ,BN与CM相交于点E,设AB =a,AC =b,则AE 等于 ( )
考点二 平面向量基本定理及向量的坐标运算
专题25 平面向量概念及线性运算-2021高考领跑一轮复习资料(解析版)
A.－2
1 B.－
2
C.－ 2
D. 2
【答案】A
【解析】 D→O＝D→A＋A→O＝C→B＋A→O＝A→B－A→C＋1A→C＝A→B－1A→C，∴λ＝1，μ＝－1，因此λ＝－2.
2
2
2
μ
ab 7．(2019·海南模拟)设 a，b 都是非零向量，下列四个选项中，一定能使 ＋ ＝0 成立的是( )
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1
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求a与b的
相反向量
减法 －b 的和的
a－b＝a＋(－b)
运算叫做 a 与 b 的差
三角形法则
数乘
求实数λ 与向量 a 的 积的运算
|λa|＝|λ||a|；当 λ＞0 时，λa λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋
的方向与 a 的方向相同；当λ＜0 时， μ)a＝λa＋μa；λ(a＋
条件，而是必要不充分条件.
综上所述，正确命题的序号是②③.
【解法小结】对于向量的有关概念应注意以下几点：
(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的，它们均与起点无关；非零向量的平行具有传递性；相等向量一
定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性.
(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小.
当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线. 2.向量 a，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0 成立. 三、【名校新题】
1.(2019·东莞调研)如图所示，已知A→C＝3B→C，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，则下列等式中成立的是( )
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2021届课标版高考文科数学一轮复习学案：平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算
第5章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一节 平面向量的概念及线性运算 [最新考纲] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量．规定零向量的相反向量仍是零向量． (6)向量平行或共线：如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线，规定零向量与任一向量平行． 2．向量的线性运算 向量 运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律： a＋b＝b＋a；
(2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ) a； (λ＋μ)a＝λa＋μ a；
λ(a＋b)＝λa＋λb 3.向量共线的判定定理和性质定理 (1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线． (2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa. [常用结论]
1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)．
2.OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)O不在直线AB上，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1. 3．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终
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第 1 讲平面向量的概念及线性运算一、知识梳理1 .向量的有关概念⑴向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.—(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.⑶单位向量：长度等于1个单位的向量.⑷平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定: 0与任一向量共线.(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6) 相反向量：长度相等且方向相反的向量.［注意］(1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向.⑵任意向量a的模都是非负实数，即|a|>0.2.向量的线性运算向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数入使得b=沦.常用结论1.两特殊向量（1）零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模是确定的，但方向不确定.a⑵非零向量a的同向单位向量为祈2.几个重要结论—》1—》—》（1）若P为线段AB的中点，0为平面内任一点，则0P= 2QC（人口为实数），若点A, B,（°A + OB）.⑵0A= XD B +⑶若G为△ ABC的重心，则有-— -— -— -— 1 -— -—①GA+ GB + GC = 0;②AG = ?(AB + AC).二、习题改编1.（必修4P86例4改编）已知？ABCD的对角线AC和BD相交于点0,且0A = a, OB = b,贝U DC =,BC = _________ .(用 a , b 表示)解析：如图，DC= A B = OB-0A = b — a , B C=O C—0B=- 0A-OB = — a — b.答案：b — a — a —b2.(必修4P118A组T2(3)改编)在平行四边形ABCD中，若|A 边形ABCD的形状为______________.解析：如图，因为AB+A D = A C, A B-AD = DB,所以|AC|=行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形.答案：矩形一、思考辨析判断正误(正确的打“V”，错误的打“X”)—> —> —>+ AD|=|AB- AD,则四|DB|.由对角线长相等的平(1) 向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( )(2) 若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )⑶若向量AB与向量CD是共线向量，则A, B, C, D四点在一条直线上.()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b =七，反之成立.()答案：(1)X (2)X (3)X (4)V二、易错纠偏常见误区(1)对向量共线定理认识不准确；(2)向量的减法忽视两向量的方向关系致误.1 .对于非零向量a, b, “a + b = 0”是“ a // b”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：选A.若a + b= 0,则a = - b,所以a // b若a // b,则a + b= 0不一定成立.故前者是后者的充分不必要条件.2.点D是厶ABC的边AB上的中点，则向量CD =( )T 1 T A.—BC+ 2BAT 1 T C. BC —2BA 答案：A B.—BC —2B A D. BC + *B A平面向量的有关概念（师生共研）给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|=|b|,则a= b 或a=—b;③若A, B, C, D是不共线的四点，且AB = DC，则四边形ABCD为平行四边形；④a= b的充要条件是|a|= |b|且a// b.其中真命题的序号是 _________ .【解析】①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点.②是错误的，|a|=|b|,但a, b的方向不确定，所以a, b的方向不一定相等或相反.③是正确的，因为A B= DC ,所以|AB|= |DC|且AB / DC ,又A, B, C, D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形.④是错误的，当a / b且方向相反时，即使|a|=|b|,也不能得到a = b,所以|a|=|b|且a // b不是a= b的充要条件，而是必要不充分条件.【答案】③平面向量有关概念的四个关注点(1) 相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2) 共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.不要把它与函数图象(3) 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时, 的移动混淆.(4) 非零向量a与说的关系：脅是与a同方向的单位向量.1. 给出下列命题:①向量AB的长度与向量BA的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反;③|a|+ |b|=|a+ b|? a与b方向相同；④若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，贝U a + b与a, b之一的方向相同.其中叙述错误的命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：选C•对于②：当a= 0时，不成立；对于③：当a, b之一为零向量时，不成立；对于④：当a + b = 0时，a + b的方向是任意的，它可以与a, b的方向都不相同•故选 C.2•下列与共线向量有关的命题：①相反向量就是方向相反的向量；②a与b同向，且|a|> |b|,则a>b；③两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件.其中错误命题的序号为 __________ .解析：因为相反向量是方向相反，大小相等的两个向量，所以命题①是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以命题②是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以命题③是正确的.答案：①②平面向量的线性运算（师生共研）（1）（一题多解）（2020合肥市第二次质量检测）在厶ABC 中，BD = 3B C，若AB = a, AC = b,则AD =（）32 1 1 2 A・2a+ 3b B于 + 3b1 2 2 1C.§a —3bD. ?a —§b（2）（2020河南八市联考改编）在等腰梯形ABCD中，AB = 2DC，点E是线段BC的中点, 若AE = 2AB + JJ AD，贝H _______ , 口= _______ .【解析】（1）通解：如图，过点D分别作AC, AB的平行线交AB, AC于点E, F,则四边形AEDF为平行四边形，所以AD = AE + AF.因为BD = 3BC，所以A E= fAB, A F= fAC, 所以AD = 3AB+ *AC= fa + 3b,故选 A.—> —> —> —> 1 —> —> 1 —> —> 2 ~1 -> 2 1优解一：AD = AB+ BD = AB+ 3BC = AB+ -(AC —AB) = -AB + -AC= _a+ 3b,故选 A.3 3 3 3 3 3—- 1 —- —- —- 1 —- —- —- —- 1 —- —- 2~- 1 --优解二：由BD = §BC,得AD —AB= §(AC —AB),所以AD = AB + -(AC—AB)= ^AB + 孑C2 1=3a + §b,故选 A.⑵取AB的中点F,连接CF ,则由题意可得CF // AD,且CF = AD.~—-—-—-— 1 -— -— 1 -—-—-— 1 ~— 1 ~— 3 -—1 -—因为AE= AB + BE= AB + AB + 2(FC —FB)= AB + ㊁AD —^AB = 4AB + qAD,所以3 1Q 4，尸2.【答案】(1)A (2)3 1向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则.⑵找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.1 •下列四个结论：①AB+ BC + C A= 0；②AB+ MB + BO + OM = 0;③AB-A C + B D - CD = 0 ；④NQ+ QP + MN - MP = 0.其中一定正确的结论的个数是（）A •1 B. 2C. 3D. 4解析：选C•①AB + BC+ CA= AC + CA= 0，①正确；②AB + MB + BO + OM = AB + MO + OM = AB,②错；③ AB - AC+ BD - CD = CB + BD + DC = CB+ BC = 0,③正确；④NQ + QP+ MN - MP = NP + PN= 0,④正确.故①③④ 正确.2. _____________ 已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足FA+ BP+ CP = 0, AP = 2PD，则实数入的值为______ .解析：因为D为边BC的中点，所以PB + PC = 2PD,又FA+ BP + CP= 0,所以RA = PB + PC= 2PD ,所以AP=—2PD ,所以A— 2.答案：—2平面向量共线定理的应用（典例迁移）设两个非零向量 a 与 b 不共线．⑴若A B= a+ b, BC = 2a + 8b, CD = 3(a —b)，求证:A, B, D 三点共线；⑵试确定实数k,使ka+ b和a+ kb共线.【解】⑴证明：因为AB = a+ b, BC = 2a + 8b, CD = 3(a —b),所以BD = BC + CD = 2a+ 8b+ 3(a —b)= 5(a + b) = 5A B,所以AB, BD共线，又它们有公共点B,所以A，B， D 三点共线．⑵因为ka + b与a + kb共线,所以存在实数入使ka + b= X a+ kb),即(k- ?)a=(入k 1)b.又a， b 是两个不共线的非零向量，k 为何值？所以k—k=入k 1= 0,所以k2- 1 = 0, 所以k=±1.【迁移探究】(变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，解：因为ka＋ b 与a＋kb 反向共线，所以存在实数入使ka + b= ?(a+ kb)( XO),k=人所以所以k= ±1.k X= 1,又?<O, k=入所以k=— 1.故当k=— 1 时，两向量反向共线．［提醒］证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点.1. 已知向量a与b不共线，AB = a+ mb, AC= na + b（m, n€ R），则AB与AC共线的条件是（）A . m+ n= 0 B. m—n = 0C. mn +1 = 0D. mn—1 = 0T T 1 2= X n 解析：选 D.由AB = a+ mb, AC= na + b（m, n € R）共线,得a+ mb = X na+ b）,即m= X 所以mn— 1 = 0.T 2 T 口.2. （一题多解）（2020广东六校第一次联考）如图，在△ ABC中，AN = 3NC , P是BN上一。