2021届江苏省南京市六校联合体高三上学期11月联考试题 数学 PDF版
江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高三上学期11月期中数学试题(解析版)
2023—2024学年第一学期11月六校联合调研试题高三数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}22log 2,20A x xB x x x =≤=--<，则A B ⋃=（）A.()0,2 B.()1,2- C.(],4∞- D.(]1,4-【答案】D 【解析】【分析】解不等式可得集合,A B ，根据集合的并集运算即得答案.【详解】因为{}(]2log 20,4A x x =≤=，{}()2201,2B x x x =--<=-，所以(]1,4A B =- ，故选：D.2.若,a b 是夹角为60︒的两个单位向量，a b λ+与32a b -+ 垂直，则λ=（）A.18B.14C.78 D.74【答案】B 【解析】【分析】由题意先分别算出22,,a b a b ⋅ 的值，然后将“a b λ+与32a b -+ 垂直”等价转换为()()032a b a b λ-⋅=++，从而即可求解.【详解】由题意有2222111,1,cos601122a ab b a b a b ︒====⋅=⋅=⨯⨯= ，又因为a b λ+与32a b -+ 垂直，所以()()()()221323232320322a ab a a b b b λλλλλ+⋅=-+-⋅+=-+⨯=--++ ，整理得1202λ-+=，解得14λ=.故选：B.3.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为（）A.2B.C.4D.【答案】D 【解析】【分析】设圆台的母线长为l ，根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形即可求解.【详解】设圆台的母线长为l ，因为该圆台侧面积为，则由圆台侧面积公式可得π(12)3πl l +==，所以l =，设截去的圆锥的母线长为l '，由三角形相似可得12l l l '='+，则2l l ''=+，解得l '=，所以原圆锥的母线长l l '+=+=，故选：D .4.已知,x y 取表中的数值，若,x y 具有线性相关关系，线性回归方程为0.95 2.6y x =+$，则a ＝（）x0134ya4.34.86.7A.2.2B.2.4C.2.5D.2.6【答案】A 【解析】【分析】根据线性回归方程经过样本中心，计算即可求解.【详解】由题意可知：013424x +++==， 4.3 4.8 6.715.844a a y ++++==，所以样本中心(),x y 为15.82,4a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入回归方程有：15.80.952 2.64a +=⨯+，解得 2.2a =.故选：A .5.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(,1)t -，若cos 5α=，则πtan()4α+＝（）A.3-B.13 C.13- D.3【答案】C【解析】【分析】先根据任意角的三角函数求出t，再求出tanα的值，最后根据两角和的正切公式即可求出所需的值.【详解】由任意角的三角函数公式可知cosα==，解得12t=，所以tan2yxα==-，所以()πtan tanπ2114tanπ412131tan tan4ααα+-+⎛⎫+===-⎪--⨯⎝⎭-，故选：C6.已知数列{}n a通项公式为2322,7494,7nn tn nan n⎧-+≤=⎨+>⎩，若对任意*n∈N，都有1n na a+>，则实数t的取值范围是（）A.[3,)t∈+∞ B.239[,142t∈ C.239(,)142t∈ D.23[,)14t∈+∞【答案】C【解析】【分析】根据数列的单调性，即可根据263t n<+对{}1,2,3,4,5,6n∈恒成立，以及87a a>求解.【详解】当{}1,2,3,4,5,6n∈时，()()221312123226320n na a n t n n tn n t+-+-++--+-=+=>恒成立，所以263t n<+对{}1,2,3,4,5,6n∈恒成立，故9292t t<⇒<，又当7,Nn n>∈时，494na n=+为单调递增的数列，故要使对任意*n∈N，都有1n na a+>，则87a a>，即2489437142t⨯+>⨯-+，解得2314t>，综上可得239(,142t∈，故选:C7.已知圆()2221:0C x y b b +=>与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>，若在双曲线2C 上存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线，切点为A 、B ，且π3APB ∠=，则双曲线2C 的离心率的取值范围是（）A.51,2⎛ ⎝⎦B.,2⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.(D.)+∞【答案】B 【解析】【分析】连接OA 、OB 、OP ，则OA AP ⊥，OB BP ⊥，设点(),P x y ，则22222b xy b a=-，分析可得2OP b a =≥，可得出b a 的取值范围，由e =可求得e 的取值范围.【详解】连接OA 、OB 、OP ，则OA AP ⊥，OB BP ⊥，由切线长定理可知，PA PB =，又因为OA OB =，OP OP =，所以，AOP BOP ≌，所以，1π26APO BPO APB ∠=∠=∠=，则22OP OA b ==，设点(),P x y ，则22222b xy b a=-，且x a ≥，所以，2OP b a ===，所以，12b a ≥，故2c e a ===，故选：B.8.定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()2f x f x -=+；且当[]0,1x ∈时，()32f x x x x =-+．则方程()420f x x -+=所有的根之和为（）A.6B.12C.14D.10【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得()f x 为奇函数，其图象关于直线1x =对称且一个周期为4，再根据当[]0,1x ∈时，()32f x x x x =-+，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可.【详解】∵()()0f x f x -+=，∴()f x 为奇函数，又∵()()2f x f x -=+，∴()f x 的图象关于直线1x =对称．当[]0,1x ∈时，()23210f x x x '=-+>，()f x 单调递增．由()()()2f x f x f x -=+=-，即有()()42f x f x +=-+，所以()()4f x f x +=，即函数()f x 的一个周期为4，由()()0f x f x -+=可得，()()40f x f x -++=，所以()f x 的图象关于()2,0中心对称．函数()f x 的简图如下：其中32x =，由1()(2)4f x x =-，∴所有实根之和为()()1524344210x x x x x ++++=++=.故选：D ．【点睛】本题求零点之和需要掌握的方法：（1）函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和；（2）数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象；二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9.已知复数2i z =+，1i z x y =+(,R x y ∈)(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（）A.z 的虚部为i -B.z 对应的点在第一象限C.1z z= D.若11z z -£，则在复平面内1z 对应的点形成的图形的面积为2π【答案】BC 【解析】【分析】根据复数的性质和对应复平面内对应的点以及复数的几何意义依次判断即可.【详解】对于A ：2i z =-，所以z 的虚部为1-，A 错误；对于B ：z 对应的点为()2,1，位于第一象限，所以B 正确；对于C ：z ==，z ==，所以1z z=，C 正确；对于D ：在复平面内11z z -£表示到点()2,1距离小于等于1的所有的点，所以形成的图形为以()2,1为圆心1为半径的圆，所以面积为πS =，D 错误，故选：BC10.已知0,0a b >>，21a b +=，则（）A.21a b+的最小值为4 B.ab 的最大值为18C.22a b +的最小值为15D.24a b +的最小值为【答案】BCD 【解析】【分析】根据基本不等式即可求解BD ，由乘“1”法即可求解A,代换后利用二次函数的性质即可求解C.【详解】对于A ，0,0a b >>，()212142448b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即11,24a b ==取等号，故A 错误，1218a b ab +=≥⇒≤，当且仅当2a b =，即11,24a b ==取等号，故B 正确，()2222222112541555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，故当25b =时，取到最小值15，此时15a =，满足题意，故C 正确，24a b +≥==，当且仅当24a b=，即11,24a b ==时等号成立，所以D 正确故选：BCD11.函数()sin (0)f x x ωω=>在区间ππ[,]22-上为单调函数，图象关于直线2π3x =对称，则（）A.34ω=B.将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位长度，所得图象关于y 轴对称C.若函数()f x 在区间14π(,9a 上没有最小值，则实数a 的取值范围是2π14π(,)99-D.若函数()f x 在区间14π(,)9a 上有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是4π[,0)3-【答案】ABD 【解析】【分析】根据单调性及对称轴求出解析式，即可以判断选项A ，由函数的平移变换可以判断选项B ，根据函数图象的零点和最值即可判断C ，D.【详解】选项A ：根据题意函数()sin (0)f x x ωω=>在区间ππ[,]22-上为单调函数，可以判断为单调递增函数，则ππ22ω-≤-，ππ22ω≤，解得01ω<≤又因为图象关于直线2π3x =，则2πππ23k ω=+，Z k ∈，解得3342kω=+，Z k ∈当0k =时，34ω=符合条件.则A 正确；选项B ：由A 可知3()sin4f x x =向右平移2π3个单位长度后，解析式变成3π3()sin cos 424g x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则图象关于y 轴对称.B 正确；选项C ：函数()f x 在区间14π(,)9a 没有最小值，则令34t x =，14π(,)9x a ∈，则37π(,)46t a ∈，当π37π246a -≤<，即2π14π39a -≤<时，没有最小值.C 错误；选项D ：函数()f x 在区间14π(,)9a 上有且仅有2个零点，因为πt =时，为函数的零点，所以另一个端点只能让函数再有一个零点即可.所以3π04a -≤<，即4π03a -≤<，D 正确.故选：ABD.12.已知椭圆C ：()222104x y b b+=>的左右焦点分别为1F 、2F，点)P在椭圆内部，点Q 在椭圆上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（）A.离心率e的取值范围为0,2⎛ ⎪⎝⎭B.当4e =时，1QF QP +的最大值为4+C.存在点Q ，使得210QF QF ⋅=D.1211QF QF +的最小值为1【答案】ABD 【解析】【分析】A 项中需先解出b 的范围，然后利用离心率的定义进行判断；B 项中根据椭圆定义转化为求24QF QP -+的最大值，从而进而判断；C 项中先求出点Q 的轨迹方程，再判断该轨迹图形与椭圆是否有交点，从而进行判断；D 项中根据椭圆定义得1224QF QF a +==，并结合基本不等式判断.【详解】对于A项：因为点)P在椭圆内部，所以22114b+<，得224b <<，所以得：0,2c e a ⎛== ⎝⎭，故A 项正确；对于B 项：由椭圆定义知124QF QP QF QP +=-+，当Q 在x 轴下方时，且P ，Q ，2F 三点共线时，1QF QP +有最大值24PF +，由42c e ==，得2c =，2,02F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以得22PF ==，所以1QF QP +最大值42+，故B 项正确；对于C 项：设(),Q x y ，若210QF QF ⋅=，即：()(),,0c x y c x y ---⋅--=，则得222x y c +=，即点Q 在以原点为圆心，半径为c 的圆上，又由A项知：0,2c e a ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，得(c ea ==∈，又因为224b <<，得)2b ∈，所以得：c b <，所以该圆与椭圆无交点，故C 项错误；对于D 项：由椭圆定义得1224QF QF a +==，所以()121212111114QF QF QF QF QF QF ⎛⎫+=⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭21121122144QF QF QF QF ⎛⎛⎫ =++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当122QF QF ==时取等号，故D 项正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为________（用数字作答）．【答案】12【解析】【分析】利用捆绑求得正确答案.【详解】由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为2323A A 12=种.故答案为：1214.设6656510(21)x a x a x a x a -=++++ ，则135a a a ++=__________．（用数字作答）【答案】364-【解析】【分析】利用赋值法计算可得【详解】因为6656510(21)x a x a x a x a -=++++ ，令=1x ，则01561a a a a =++++ ①，令1x =-，则01456729a a a a a --=+++ ②，∴①－②得()1352++=728a a a -，所以135364a a a ++=-，故答案为：364-15.现有一张正方形纸片，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，…，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为___________．【答案】28【解析】【分析】根据题意，可得所有多边形纸片的边数总和是公差为3的等差数列，进而利用等差数列的通项公式算出结果．【详解】设没剪之前正方形的边数为1a ，即14a =，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到一个三角形和一个四边形，无论是选择三角形四边形，剪一次后边数均增加3，即可得所有多边形纸片的边数总和是公差为3的等差数列，故经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为：948328a =+⨯=．故答案为：2816.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，2AC =，14AA =，6AB =，点E ，F 分别是AA 1，AB 上的动点，那么11C E EF FB ++的长度最小值是__________，此时三棱锥11B C EF -外接球的表面积为__________.【答案】①.②.44π【解析】【分析】将立体几何中线段之和最小问题，转化为平面几何中的线段之和最小问题，利用对称性求出最小值，并得到此时各线段的长度和1EF B F ⊥，由于1A E ⊥11A B ，故11,,,A E F B 四点共圆，三棱锥11B C EF -外接球即为四棱锥111C A B FE -的外接球，找到球心问题，求出半径，得到表面积.【详解】将三棱柱的侧面11ACC A 与侧面11ABB A 沿着1A A 展开到同一平面内，如下：则11C E EF FB ++长度最小值转化为11C F FB +的最小值，作点1C 关于直线BC 的对称点H ，连接1HB ，交BC 于点F ，则1HB 即为11C F FB +的最小值，也即11C E EF FB ++的最小值，其中1128C C H C ==，11628B C AB AC =+=+=，所以1B H ==，此时可求出4,2BF AF ==，且145B FB ∠=︒，45AFE ∠=︒，故12,2AE AF A E ===，由勾股定理得11EF B F B E =====所以22211EF B F B E +=，由勾股定理逆定理可知，1EF B F ⊥，由于1A E ⊥11A B ，故11,,,A E F B 四点共圆，三棱锥11B C EF -外接球即为四棱锥111C A B FE -的外接球，连接1AQ ，由于四边形11A B FE 的外接圆圆心为1B E 的中点Q ，半径为112B E =1AQ =，故OQ ⊥平面11A B FE ，所以OQ 平行于11C A ，取11A C 的中点W ，连接1,OW OC ，则1OW A Q =，且1OC 即为外接球半径，且1OC ===，外接球的表面积为4π44π=.故答案为：，44π【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，222n n n a a S +=+，数列{}n b 满足3n an n b a =⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）1n a n =+（2）2219344n n n T ++=⋅-【解析】【分析】（1）利用n S 与n a 的关系，求解通项公式;（2）利用错位相减法求解数列的前n 项和.【小问1详解】当1n =时，211122a a S +=+，即21120a a --=，12a =或11a =-（舍）当2n ≥时，211122n n n a a S ---+=+，又因为222n n n a a S +=+，两式相减得22110n n n n a a a a -----=，整理得()()1110n n n n a a a a --+--= {}n a 为正项数列，∴11n n a a --=数列{a n }为等差数列，公差为1.()1111n a a n n ∴=+-⨯=+【小问2详解】()1313n a n n n b a n +=⋅=+，()()123423334313n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ ()()2345323334313n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ 两式相减得()()()122345223333313n n n T n ++-=⨯+++++⨯-+⨯291322n n +⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭2219344n n n T ++=⋅-.18.在ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2()b c a c =+.（1）若π4B =，求c a 的值；（2）若ABC 是锐角三角形，求22cos B C +的取值范围．【答案】（11（2）1,3)+【解析】【分析】（1）根据余弦定理即可求解，（2）根据余弦定理得边角关系，即可利用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得2B C =，即可由三角函数的性质求解.【小问1详解】在ABC 中，π4B =，据余弦定理可得222222cos b a c ac B a c =+-=+又2()b c a c =+，故2a ac -=，由于0a >，故)1a c =+，得1c a=-.【小问2详解】在ABC 中，据余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，又2()b c a c =+，故22cos a ac B ac -=，又0a >，故2cos a c B c-=据正弦定理sin sin a c A C=，可得sin 2sin cos sin A C B C -=，sin 2i [πs n cos )si (]n B C C B C =--+，sin cos cos sin 2sin cos sin B C B C C B C +-=，sin si (n )B C C =-,因为,,(0,π)A B C ∈，所以)π,π(B C -∈-，则B C C -=或πB C C -+=，即2B C =或B π=（舍）2π2cos 2cos 212sin(2)16B C C C C +=++=++,)ππ3(A B C C +==--,因为ABC 是锐角三角形，所以π0π32π022π02C C C ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，得ππC 64<<，2ππ2πC 263<+<,故πsin(2),162C ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭,)π2sin(2)11,36C ++∈)22cos 1,3B C +∈,19.为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有A 和B 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A 类试题得10分；每答对1道B 类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学A 类试题中有7道题能答对，而他答对各道B 类试题的概率均为23．（1）若该同学只抽取3道A 类试题作答，设X 表示该同学答这3道试题的总得分，求X 的分布和期望；（2）若该同学在A 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．【答案】（1）分布列见解析，()21E X =（2）1990【解析】【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，利用期望公式即可求解，（2）根据相互独立事件的概率，即可求解.【小问1详解】{}0102030X ∈，，，33310C 1(0)C 120P X ===，1273310C C 217(10)C 12040P X ====，2173310C C 6321(10)C 12040P X ====，37310C 357(30)C 12024P X ====所以X 的分布为X 0102030P 11207402140724所以17217()010203021120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯=【小问2详解】记“该同学仅答对1道题”为事件M.()2127131219(C 103103390P M =⨯+⨯=∴这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为1990.20.已知在四棱锥C ABED -中，//DE 平面ABC ，ACBC⊥，24,2BC AC AB DE ===，DA DC =，点F 为线段BC 的中点，平面DAC ⊥平面ABC ．（1）证明：EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求二面角B AD C --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）4【解析】【分析】（1）通过证明,EF AB EF AC ⊥⊥来证得EF ⊥平面ABC ；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角B AD C --的余弦值.【小问1详解】取AC 的中点O ，连接OF 、OD ，∵//DE 平面ABC ，DE ⊂平面ABED ，平面ABED ⋂平面ABC AB =，∴//DE AB ，又∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴1//,2OF AB OF AB =∵2AB DE =∴//,OF DE OF DE =，∴四边形DEFO 为平行四边形，∴//EF DO ，∵在DAC △中DA DC =且O 为AC 中点，∴DO AC ⊥.∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，DO ⊂平面DAC ，得DO ⊥平面ABC .∵,AB AC ⊂平面ABC ，∴⊥DO AB ，DO AC ⊥，∵//EF DO ，∴EF AB ⊥，EF AC ⊥，∵AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC .【小问2详解】∵DO ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂平面ABC ，所以,DO AC DO BC ⊥⊥，又因为AB AC ⊥，所以,,DO AC BC 三者两两互相垂直，∴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()1,4,0B -.∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成的角为60EBF ∠= .∴tan 60DO EF BF ===o(0,0,D .平面ADC 的一个法向量为()0,1,0m = ，设平面ADB 的法向量(),,n x y z = ，()2,4,0AB =-，(1,0,AD =-uuu r ，则2400x y x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则x =y =∴()n = ，∴cos ,4m n m n m n⋅<>== ，由图可知二面角B AD C --为锐角，∴二面角B AD C --的余弦值为34.21.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>经过点()4,6P ，且离心率为2.（1）求C 的方程；（2）过点P 作y 轴的垂线，交直线:1l x =于点M ，交y 轴于点N .设点,A B 为双曲线C 上的两个动点，直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，若122k k +=，求MAB NABS S .【答案】（1）221412x y -=（2）32【解析】【分析】（1）根据题意求出22,a b 即可得解；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，方法一：分直线AB 斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线AB 方程为y kx m =+，联立方程，利用韦达定理求得1212,x x x x +，再根据122k k +=求出,k m 的关系，从而可得直线AB 过定点，进而可得出答案.方法二：可设直线AB 方程为()()461m x n y -+-=，由221412x y -=可得()()2244661412x y ⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦-=，再根据122k k +=求出m ，从而可得直线AB 过定点，进而可得出答案.【小问1详解】由题意得22222163612a b c a a b c ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得22412a b ⎧=⎨=⎩，所以C 的方程为221412x y -=；【小问2详解】由题意，点M 坐标为()1,6，点N 坐标为()0,6，设()()1122,,,A x y B x y ，方法一：①若直线AB 斜率存在，设直线AB 方程为y kx m =+，221412x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()22232120k x kmx m ----=，230k -≠且()22Δ124120m k =-+>，且2121222212,33km m x x x x k k++==---，()()()()()()12211212121264646624444kx m x kx m x y y k k x x x x +--++----+=+==----，整理可得()()()121242228160m k x x k x x m -+++--+=，()()2222124222816033km m m k k m k k ⎛⎫+-+⋅+-⋅--+= ⎪--⎝⎭，化简得22128122360m m k k km ---++=，即()()26460m k m k --+-=，因为直线AB 不过点()4,6P ，所以460m k +-≠，所以260m k --=，即26m k =+，所以直线AB 的方程为()26y k x =++，恒过定点()2,6Q -，②若直线AB 斜率不存在，则1212,0x x y y =+=，121212121166121224444y y y y k k x x x x --+--+=+===----，解得122x x ==-，所以直线AB 的方程为2x =-，过定点()2,6Q -，综上，直线AB 恒过定点()2,6Q -，设点M 到直线AB 的距离为1d ，点N 到直线AB 的距离为2d ，1122132122MAB NAB AB d S d MQ S d NQ AB d ⋅⋅====⋅⋅ .方法二：因为直线AB 不过点()4,6P ，所以可设直线AB 方程为()()461m x n y -+-=，由221412x y -=可得()()2244661412x y ⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦-=，即()()22(6)3(4)1262440y x y x ---+---=，()()][()()22(6)3(4)126244460y x y x m x n y ⎡⎤---+---⋅-+-=⎣⎦，得()()()()()22121(6)122446243(4)0n y m n x y m x +-+----+-=，等式左右两边同时除以2(4)x -，得()()()2661211224243044y y n m n m x x --⎛⎫++--+= ⎪--⎝⎭，()()2Δ(1224)41212430m n n m =-+++>，121212661224244121y y m n k k x x n ---+=+=-=--+，解得16m =-，所以直线AB 方程为()()14616x n y -⋅-+-=，即()()2660x n y -++-=，恒过定点()2,6Q -，下同法一.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.22.已知函数23()e 232xa x f x x ax =---．（1）当0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．（2）若()f x 在[0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；（3）若()f x 的最小值为1，求a ．【答案】（1）2(e 1)210x y --+=（2）12a ≤（3）12a =【解析】【分析】（1）求导，利用导函数的几何意义求出切线方程；（2）参变分离，构造2e ()2x x g x x -=+，求导，得到其最小值，求出a 的取值范围；（3）注意到(0)1f =，多次求导得到()e 2x l x a '=-，从而分12a =，12a >，0a ≤与102a <<，结合函数单调性，极值和最值情况，求出答案【小问1详解】21()e ,(1)e 22xx f x f =-=-，()e ,(1)e 1x f x x f ''=-=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程1e (e 1)(1)2y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，即2(e 1)210x y --+=．【小问2详解】因为2()e 20x f x ax x a =---≥'在区间[0,)+∞上恒成立，所以2mine 2x x a x ⎛⎫-≤ ⎪+⎝⎭，令2e ()2x x g x x -=+，则()()()()222e 12e 2()2x x x x xg x x ⋅'-+--=+，令()()()2()e 12e 2x x h x x x x =-+--⋅，则2()e 2x h x x x '=+，当0x ≥时，()0,()h x h x '≥单调递增，()(0)0h x h ≥=，所以()0g x '≥，所以()g x 在[0,)+∞上单调递增，故min 1()(0)2g x g ==，所以12a ≤．【小问3详解】23()e 2,(0)132xa x f x x ax f =---=，2()e 2,(0)12,x f x ax x a f a =---=-''令()2()e 2x k x f x ax x a -'==--，则()e 21x k x ax '=--，令()()e 21xl x k x ax '==--，则()e 2x l x a '=-，当12a =时，2231()e ,()e 1622x x x x f x x x f x x =-----'=-，则()e 1x k x x '=--，()e 1x l x '=-，当0x <时，()0,()l x k x ''<在(,0)-∞上单调递减，当0x ≥时，()0,()l x k x ''≥在[0,)+∞上单调递增，()(0)0,()k x k k x ''≥=在(,)-∞+∞上单调递增，且(0)0k =，所以，当0x <时，()0,()0,()k x f x f x '<<在(,0)-∞上单调递减，当0x >时，()0,()0,()k x f x f x '>>在(0,)+∞上单调递增，所以min ()(0)1f x f ==．所以12a =适合，当12a >时，当0ln 2x a <<时，()0l x '<，()l x 在(0,ln 2)a 上单调递减，()(0)0l x l <=，()2()e 2x k x f x ax x a -'==--在(0,ln 2)a 上单调递减，因为()(0)120f x f a '<='-<，所以()f x 在(0,ln 2)a 上单调递减，此时()(0)1f x f <=，舍去．当0a ≤时，当0x <时，()e 210x k x ax '=--<，()f x '在(,0)-∞上单调递减，()(0)120f x f a >=-'>'，()f x 在(,0)-∞上单调递增，()(0)1f x f <=，舍去；当102a <<时，当ln 20a x <<时，()e 20,()x l x a k x ''=->在(ln 2,0)a 上单调递增，()(0)0,()k x k f x ''<='在(ln 2,0)a 上单调递减，()(0)120,()f x f a f x >=->''在(ln 2,0)a 上单调递增，此时，()(0)1f x f <=，舍去．综上，12a =．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。
2021年高三数学上学期11月联考试题 理
2021年高三数学上学期11月联考试题理试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z满足( i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是（）A. B. C. D.2．下列说法中，正确的是（）A．命题“若，则”的逆命题是真命题B．命题“存在，”的否定是：“任意，”C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知，则“”是“”的充分不必要条件3．某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N（110，102），若P（100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）A．10 B．9 C．8 D．74．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（）A. B. C． D.5. 高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为( )A． B． C．D．6. 在数列中，若对任意的均有为定值，且，则数列的前100项的和( )A．132 B．299 C．68 D．997. 若函数的图象如图所示，则等于（ ） A ． B. C ． D ．8. 一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度(的单位:, 的单位:)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;)是( ) A ． B ． C ． D ．9．已知函数的图象与直线y=m 有三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），那么x1+2x2+x3的值是（ ） A ． B ． C ． D ． 10. 已知点F1、F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，若|PF2|2|PF1|的最小值为9a ，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．5C ．3D ．2或5二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题） 11. 设f(x)＝lg2＋x2－x，则的定义域为__________________. 12. 已知集合A ＝{(x ，y)|x2＋y2＝1}，B ＝{(x ，y)|kx －y －2≤0}，其中x 、y∈R.若A ⊆B ，则实数k 的取值范围是________． 13. 菱形的边长为，,为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为____________. 14. 若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_______. （二）选考题 15．（选修4-1：几何证明选讲）如右图，为圆的内接三角形，为圆的弦，且∥．过点做圆的切线与的延长线交于点，与交于点．若，则线段的长为________。
2021届江苏省南京市六校联合体高三上学期11月联考数学试卷及答案
2021届江苏省南京市六校联合体高三上学期11月联考数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分,共计40分. 每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意的．1.已知i是虚数单位,则复数4i1＋i在复平面内对应的点在（▲）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A＝{x| y＝1x＋1 },B＝{x|1x＜1 },则A∩B＝（▲）A. {x|x＞1}B. {x|－1＜x＜0或x＞1}C. {x|0＜x＜1 }D. {x|－1＜x＜1}3.已知命题p：∀x∈R , ax2＋ax＋1＞0, 命题q：函数y＝－(a＋1)x是减函数,则命题p成立是q成立的（▲）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4.已知非零向量a,b,若|a|＝3|b|,a⊥(a－2b),则a与b的夹角是（▲）A. π6 B.π3 C.2π3 D.5π65. 2020年是“干支纪年法”中的庚子年.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…癸酉,甲戌、乙亥、丙子、…癸未,甲申、乙酉、丙戌、…癸巳,…. 共得到60个组合,周而复始,循环记录.今年国庆节是小明10岁生日,那么他80岁生日时的年份是“干支纪年法”中的（▲）A ．己亥年B ．戊戌年C ．庚戌年D ．辛丑年6.已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的顶点都在球O 上,且AB ＝4, A A 1＝6, ∠ACB ＝30º,则此直三棱柱的外接球O 的表面积是（ ▲ ）A. 25πB. 50πC. 100πD. 500π3 7.已知a ＞0,b ＞0,直线l 1：x ＋(a －4)y ＋1＝0,l 2：2bx ＋y －2＝0,且l 1⊥l 2,则1a ＋1＋12b的最小值为（ ▲ ） A ．2B ．4C ．23 D. 458.已知a ＞0,函数f (x )＝(a ＋1)x 2－x ＋sin x ＋cos x ＋a －2,x ∈R ．记函数f (x )的值域为M ,函数f (f (x ))的值域为N ,若M ⊆N ,则a 的最大值是 （ ▲ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、多项选择题：本大题共4小题,每小题5分,共计20分. 每小题给出的四个选项中, 有多个选项符合题意．全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分． 9.若b a )21()21(>,则下列关系式中一定成立的是（ ▲ ）A. 33b a > B ．e a ＜e b （e ≈2.718） C ．b a )cos (sin )cos (sin θθθθ+<+（θ是第一象限角） D ．ln(a 2＋1) ＜ln(b 2＋1) 10.已知双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a by ax 的实轴长是2,右焦点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合,双曲线C 1与抛物线C 2交于A 、B 两点,则下列结论正确的是 ( ▲ )A ．双曲线C 1的离心率为2 3B ．抛物线C 2的准线方程是x ＝－2 C ．双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±3x D. |AF |＋|BF |＝320 11.若数列{a n }的前n 项和是S n ,且S n ＝2 a n －2,数列{b n }满足b n =n a 2log ,则下列选项正确的为（ ▲ ）A. 数列{a n }是等差数列 B ．a n ＝2n。
江苏省南京市六校联合体2020-2021学年高三上学期期初数学试题
江苏省南京市六校联合体2020-2021学年高三上学期期初数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．集合{}1,0,1A =-，{}|20B x x =-<<，则A B 中元素的个数是______．2．已知复数z 满足1i 1zz-=-+，则z =________. 3．某校共有学生1600人，其中高一年级400人．为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从中抽取容量为80的样本，则应抽取高一学生____人． 4．已知函数()()cos 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4，则ω=________. 5．已知命题“存在2000,40x R x ax a ∈+-<”为假命题，则实数a 的取值范围是_______．6．执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为______.7．从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为_____．8．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为340x y ±=，则双曲线的离心率为____.9．已知实数,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围为_____．10．已知圆C ：22(1)()16x y a -+-=，若直线20ax y +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且CA CB ⊥，则实数a 的值为_______.11．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =__________．12．知a >0，b >0，且a ＋3b ＝11b a-，则b 的最大值为________． 13．如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC 的中点．若AC AD AE λμ=+(,R λμ∈)，则λμ的值为_______．14．已知函数330()ln 0x mx m x f x x m x ，，，⎧--≤=⎨->⎩有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是____．二、解答题15．在ABC ∆中，2sin 3A =，A π(,π)2∈．（1）求sin 2A 的值； （2）若1sin 3B =，求cos C 的值． 16．如图，在三棱锥P —ABC 中，过点P 作PD⊥AB，垂足为D ．E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB⊥平面PCD ．（1）求证：EF∥平面ABC ； （2）求证：CE⊥AB．17．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2,且过点(.（Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）已知点()()2,1,3,0A B --,过点B 的直线l 交椭圆于,P Q 两点,直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ,求证: 12k k +为定值.18．某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，,A B 两点为喷泉，圆心O 为AB 的中点，其中OA OB a ==米，半径10OC =米，市民可位于水池边缘任意一点C 处观赏． （1）若当23OBC π∠=时，1sin 3BCO ∠=，求此时a 的值；（2）设22y CA CB =+，且22232CA CB +≤． （i ）试将y 表示为a 的函数，并求出a 的取值范围；（ii ）若同时要求市民在水池边缘任意一点C 处观赏喷泉时，观赏角度ACB ∠的最大值不小于6π，试求,A B 两处喷泉间距离的最小值．19．设函数32()f x x ax bx =++(a ，b ∈R)的导函数为()f x ,已知1x ，2x 是()f x '的两个不同的零点． （1）证明：23a b >；（2）当b ＝0时，若对任意x ＞0，不等式()ln f x x x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）求关于x 的方程1211()()()()2x x f x f x x f x -+'+=的实根的个数． 20．已知数列{}n a 的前n 项和记为n A ，且()12n n n a a A +=，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为n B .若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使得k m a b =.（1）若11a =，35a =，求2a 的值； （2）求证：数列{}n a 是等差数列； （3）若2q，是否存在整数m ，k ，使得86k m A B =，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由.21．已知矩阵01M ⎡=⎢⎣ 10-⎤⎥⎦，21N ⎡=⎢-⎣12⎤⎥-⎦.（1）求MN ；（2）若曲线221:1C x y -=在矩阵MN 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程.22．在极坐标系下，已知圆C ：cos sin ρθθ=+和直线l ：20x y -+=. （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程； （Ⅱ）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．23．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满200元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：一个袋子装有5只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励20元；共两只球都是绿色，则奖励10元；若两只球颜色不同，则不奖励． （1）求一名顾客在一次摸奖活动中获得20元的概率；（2）记X 为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量X 的分布列和数学期望．24．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P 3(,)4m 到准线的距离与到原点O 的距离相等，抛物线的焦点为F . (1)求抛物线的方程；(2)若A 为抛物线上一点(异于原点O )，点A 处的切线交x 轴于点B ，过A 作准线的垂线，垂足为点E ，试判断四边形AEBF 的形状，并证明你的结论.参考答案1．1 【分析】对A 中元素逐个检验后可得A B 中元素的个数.【详解】A 中仅有1B -∈，故A B 中元素的个数为1，填1 .【点睛】本题考查集合的交，属于基础题. 2．1 【分析】化简原式，利用复数的乘法运算法则求得z i ，利用复数模的计算公式即可得结果.【详解】 复数z 满足11zi z-=-+， (1)1i z i ∴-=+，(1)(1)(1)(1)i i z i i ∴+-=++，即22z i =，z i ∴=， 则1z =，故答案为1. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘除运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3．20 【解析】 【分析】利用分层抽样方法直接求解. 【详解】由题意，应抽取高一学生40080201600⨯=（人）， 故答案是20.该题考查的是有关分层抽样中某层所抽个体数的问题，涉及到的知识点有分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，列式求得结果，属于简单题目. 4．2π【解析】 【分析】()()cos 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期计算公式2T ωπ= 可得答案【详解】()()cos 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭由周期计算公式可得24T πω==，解得ω=2π【点睛】()()cos f x A x ωϕ=+或()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期计算公式均为2T ωπ=5．[-16,0] 【解析】试题分析：命题：“存在x ∈R ，使x 2+ax-4a ＜0”为假命题， 即x 2+ax-4a≥0恒成立，必须△≤0， 即：a 2+16a≤0，解得-16≤a≤0， 故实数a 的取值范围为[-16，0]． 考点：命题的真假判断与应用 6．30 【分析】根据循环语句的意义求出S 的表达式,再计算即可. 【详解】根据循环语句可知, 213530S =⨯⨯⨯=. 故答案为：30本题主要考查了根据循环语句计算输出结果的问题,属于基础题.7．3 8【分析】先求出别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数，然后再求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件的个.数，运用古典概型公式求出概率.【详解】写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数为4416⨯=，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件为：(2,1),(3,1),(3,2)(4,1)(4,2),(4,3)，共6个，因此抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为63 168=.【点睛】本题考查了古典概型概率的计算公式，考查了有放回抽样，属于基础题.8．5 4【解析】【分析】焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为34y x，可知34ba，由此可求出双曲线的离心率。
2021届江苏省南京市高三第一学期期初联考数学试题Word版含解析
2021届江苏省南京市高三第一学期期初联考数学试题一、填空题1．已知集合A ＝{}12x x -<≤，B ＝{}0x x ≤，则A B ＝_______． 【答案】{}10x x -<≤【解析】根据交集定义直接求得结果. 【详解】由交集定义可得：{}10A B x x ⋂=-<≤ 本题正确结果：{}10x x -<≤ 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2．已知复数z 31ii-=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 . 【答案】-2【解析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z 的虚部可求． 【详解】 ∵z ()()()()31324121112i i i ii i i i ----====-++-， ∴z 的虚部是﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为_______．【答案】200.【解析】根据频率分布直方图求得三等品对应频率，根据频数等于频率乘以总数求得结果. 【详解】由题意可知，单间产品质量在[)10,15和[)35,40的为三等品∴三等品对应的频率为：0.0125250.125⨯⨯= ∴三等品件数为：16000.125200⨯=本题正确结果：200 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算频数的问题，属于基础题.4．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是_______． 【答案】13. 【解析】计算出三位数个数和其中偶数个数，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】三张卡片随机排序组成一个三位数，共有：336A =个，其中偶数有：222A =个∴该三位数是偶数的概率：2163p == 本题正确结果：13【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题. 5．函数21log y x =+______． 【答案】1[,)2+∞【解析】直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案. 【详解】由201log 0x x >⎧⎨+≥⎩，得12x ≥，∴函数21log y x =+的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题. 6．运行如图所示的伪代码，其结果为 ．【答案】17【解析】试题分析：第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17 【考点】循环结构流程图7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为453，则双曲线C 的方程为_______．【答案】2212016x y -=.【解析】由方程得到顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式构造方程求得2a ，从而得到所求方程. 【详解】由双曲线方程知，右顶点为(),0a ，渐近线方程为：4y x a=±，即40x ay ±-= ∴右顶点到双曲线渐近线距离2445316ad a ±=+220a =∴双曲线C 的方程为：2212016x y -=本题正确结果：2212016x y -=【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够利用点到直线距离公式构造方程求得未知量.8．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】32. 【解析】设球的半径为R ，可知圆柱高为2R ；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果. 【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R∴圆柱的表面积2212226S R R R R πππ=+⋅=；球的表面积224S R π=∴圆柱的表面积与球的表面积之比为21226342S R S R ππ==本题正确结果：32【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题.9．函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2-2]，则n ﹣m 的最小值是_______．【答案】3.【解析】根据三角函数图象求得函数解析式()2sin 4f x x π=；利用()2f x =-()2f x =求得x 的取值，可知当12k k =时取最小值，从而得到结果. 【详解】由图象知：()max 2f x = 2A ∴=，又()22628T πω==⨯-= 4πω∴=()22sin 22f πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2k ϕπ∴=，k Z ∈()2sin 22sin 44f x x k x πππ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭当()2f x =-1244x k πππ=-+或15244x k πππ=+，1k Z ∈ 181x k ∴=-或185x k =+，1k Z ∈当()2f x =时，2242x k πππ=+，2k Z ∈ 282x k ∴=+若n m -最小，则12k k = ()min 3n m ∴-= 本题正确结果：3 【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式、根据值域求解定义域的问题；关键是能够通过特殊角三角函数值确定角的取值.10．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和．若121a q =，且527S S =+，则首项1a 的值为_______． 【答案】14. 【解析】首先验证1q =时，不符合题意，可知1q ≠；利用()252317S S a q q-=++=和2311aa q ==可构造方程求得q ，代入求得结果. 【详解】当1q =时，由527S S =+得：11527a a =+，解得：173a = 与11a =矛盾，可知1q ≠()252345317S S a a a a q q -=++=++=，2311a a q ==260q q ∴+-=，又0q >，解得：2q114a ∴=本题正确结果：14【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，关键是能够利用已知等式构造出关于公比的方程.11．已知()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =-．已知m 满足不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为_______．【答案】(0，1).【解析】根据二次函数性质和奇偶性可知()f x 在()1,1-上单调递减；将不等式变为()()211f m f m -<-，根据单调性和定义域可得不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】()f x 为定义在()1,1-上的奇函数 ()00f ∴=(]1,0x ∴∈-时，()221124f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ()f x ∴在(]1,0-上单调递减()f x 为奇函数 ()f x ∴在[)0,1上单调递减 ()f x ∴在()1,1-上单调递减由()()2110f m f m-+-<得：()()()22111f m f m f m-<--=-2211111111m m m m -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩，解得：01m <<，即m 的取值范围为：()0,1 本题正确结果：()0,1 【点睛】本题考查利用单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够将问题转化为函数值之间的比较，根据单调性将函数值的比较变为自变量的比较；易错点是忽略定义域的要求，造成求解错误.12．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是_______． 【答案】1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】根据4PO =可知220016x y +=，利用PO PC λ=构造方程可求得0215x λ=-；根据044x -≤≤且0λ>可解不等式求得结果.【详解】120AOB ∠=，2OA OB == 4cos60AO PO ∴==，即22016x y += 又()22008PC x y =-+且PO PC λ= ()22200816x y λ⎡⎤∴-+=⎣⎦且0λ> 解得：20225115x λλλ-==-220016x y += 044x ∴-≤≤ 21454λ∴-≤-≤，解得：1,13λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到两点间距离公式的应用、点的轨迹方程的求解；关键是能够利用λ表示出动点的横坐标，从而根据横坐标范围构造不等式. 13．如图，已知梯形ABCD ，//AD BC ，23BC AD =，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若2AB AD FA CD ⋅=⋅，则ABAD=_______．【答案】33. 【解析】作//FG AD ，根据三角形相似得到比例关系证得34DF DC =；利用平面向量线性运算可用AD ，AB表示出CD，FA ，根据数量积的运算律可整理得到223122AB AD=，从而得到结果.【详解】作//FG AD，交BD于点GAED FEG∆∆GF EGAD DE∴=，又2FG GD DE EGBC BD DE+==又23BCAD=，可得：2DE EG=3344DF DG EGDC DB EG∴===2133CD CB BA AD DA BA AD AD AB=++=++=-()3313344344FA AD DF AD DC AD AD AB AD AB⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+=-+-+=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22133312234422FA CD AD AB AD AB AB AD AB AD⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅--=+⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又2AB AD FA CD⋅=⋅223122AB AD∴=，即223122AB AD=3ABABAD AD∴==本题正确结果：33【点睛】本题考查平面向量的综合应用问题，涉及到向量的线性运算、向量数量积的运算律等知识；关键是能够用基底准确的表示向量，将数量积运算转化为模长之间的关系，属于较难题.14．已知函数()1ln,111,122x xf xx x+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,若12x x≠，且()()122f x f x+=，则12x x+的取值范围是________.【答案】[32ln2,)-+∞【解析】首先可根据题意得出12x x、不可能同时大于1，然后令121x x，根据122f x f x即可得出122212ln x x x x ，最后通过构造函数12ln 1g xx x x 以及对函数12ln 1g x x x x 的性质进行分析即可得出结果。
【数学】江苏省南京市六校联合体2020-2021学年高三上学期12月联考数学试题
边长的 10 10 倍，若视力 4.1 的视标边长为 a，则视力 4.8 的视标边长为（ ）
A．100.8 a
B．100.7 a
C．100.8 a
D．100.7 a
5．已知双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的右顶点为
A，直线
y
3 (x a) 与 C 的一条渐近线在第一 2
象限相交于点 P，若 PA 与 x 轴垂直，则 C 的离心率为（ ）
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小題 5 分，共 20 分。在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．若
X
~
B
n,
1 3
，且
EX
2 ，则 n
6
B．设有一个回归方程 y 3 5x ，变量 x 增加 1 个单位时，y 平均减少 5 个单位
使用年限
台数 款式
1年
2年
3年
4年
5年
甲款
5
20
15
10
50
乙款
15
20
10
5
50
某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器，以使用年限的频率估计概率。根据以往经验估计，
该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久？
参考公式：相关系数 r
n
xi x yi y
i 1
n
n
xi x yi y 2
如图，点 C 是以 AB 为直径的圆上的动点（异于 A，B），已知 AB 2 ， AC 2 ， AE 7 ，四边 形 BEDC 为矩形，平面 ABC 平面 BEDC．设平面 EAD 与平面 ABC 的交线为 l。
2021年高三上学期11月统练数学(文)试卷含解析
2021年高三上学期11月统练数学（文）试卷含解析一.选择题（每题只有一个正确选项，计50分）1．若集合A={x||x|≤1，x∈R}，B={x|x≥0，x∈R}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|0≤x≤1} D．∅2．已知复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则为（）A．0 B．2i C．﹣2i D．﹣1﹣2i3．在△ABC中，若tanAtanB=tanA+tanB+1，则cosC=（）A．B．C．D．4．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]5．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β=n，则m∥n其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．16．若f（x）是幂函数，且满足=2，则=（）A． B． C．2 D．47．若{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且S15=10π，则tana8的值为（）A． B．﹣C．±D．﹣8．设函数f（x）=log3在（1，2）内有零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，log32）B．（log32，1）C．（﹣1，﹣log32）D．（1，log34）9．一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①② B．①③ C．③④ D．②④10．已知函数f（x）=，则函数y=f（1﹣x）的大致图象（）A． B． C． D．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+4y+1的最小值是．12．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+1（e是自然对数的底数），若f（a）=2，则f（﹣a）的值为．13．已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|= ．14．若函数f（x）=sin（3x+ϕ）满足f（a+x）=f（a﹣x），则的值为．15．S n为等差数列{a n}的前n项和，若，则= ．三、解答题（共6小题，满分75分）16．△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，﹣1）且∥．（1）求锐角B的大小；（2）如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．17．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=3．（1）求证：OD⊥平面ABC；（2）求三棱锥M﹣ABD的体积．18．已知数列{a n}的前n项和为S n．且满足（1）证明：数列{}为等差数列；（2）求S n及a n．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．20．已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数f′（x）=2x+2，数列{a n}的前n项和为S n，点均在函数y=f（x）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n是数列{b n}的前n项和，求T n．21．已知函数f（x）=，g（x）=alnx﹣x（a≠0）．（1）a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．xx学年山东省滨州市北镇中学高三（上）11月统练数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（每题只有一个正确选项，计50分）1．若集合A={x||x|≤1，x∈R}，B={x|x≥0，x∈R}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|0≤x≤1} D．∅考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求解绝对值的不等式化简集合A，然后直接利用交集运算求解．解答：解：∵A={x||x|≤1，x∈R}={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x≥0，x∈R}，则A∩B={x|0≤x≤1}．故选：C．点评：本题考查了交集及其运算，考查了绝对值不等式的解法，是基础题．2．已知复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则为（）A．0 B．2i C．﹣2i D．﹣1﹣2i考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：由纯虚数的定义可得a值，进而可得复数z，可得．解答：解：由纯虚数的定义可得，解得a=1，∴z=2i，∴故选：C点评：本题考查复数的基本概念，属基础题．3．在△ABC中，若tanAtanB=tanA+tanB+1，则cosC=（）A． B． C． D．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A+B），将已知等式变形后代入求出tan （A+B）的值，进而确定出tanC的值，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，即可确定出cosC的值．解答：解：∵tanAtanB=tanA+tanB+1，即tanA+tanB=tanAtanB﹣1，∴tan（A+B）==﹣1，即tan（A+B）=﹣tanC=﹣1，∴tanC=1，即C=，则cosC=cos=．故选B点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．4．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]考点：命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由p转化到¬p，求出¬q，然后解出a．解答：解：由p：x2+2x﹣3＞0，知 x＜﹣3或x＞1，则¬p为﹣3≤x≤1，¬q为x≤a，又¬p是¬q的充分不必要条件，所以a≥1．故选：B．点评：四种命题的转化，二次不等式的解法，充要条件的判定都制约本题结果．基本知识的考查．5．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β=n，则m∥n其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据空间直线，平面间的位置关系的判定定理和性质定理，结合选项进行逐个判断即可．同时利用反例的应用．解答：解：对于①：若m∥n，m⊥α，则n⊥α；故该命题为真命题；对于②：若m⊥α，m⊥β，则α∥β；故该命题为真命题；对于③：若m⊥α，m∥n，∴n⊥α，∵n⊂β，∴α⊥β，故该命题为真命题；对于④：如图，若m∥α，α∩β=n则m∥n不成立，故该命题为假命题；综上所述，正确命题的个数为3，故选：B．点评：本题重点考查了空间中直线与直线平行、直线与平面平行、平面和平面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．6．若f（x）是幂函数，且满足=2，则=（）A． B． C．2 D．4考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：由待定系数法求得幂函数解析式，从而求出．解答：解：设f（x）=xα，由，得α=log32，∴．故选：B．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用．7．若{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且S15=10π，则tana8的值为（）A． B．﹣C．±D．﹣考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列{a n}的前n项和的性质，S15=15a8=10π，求出a8，进而根据特殊角的三角函数值求出结果．解答：解：由等差数列{a n}的前n项和的性质，S15=15a8=10π，∴∴，故选B．点评：由等差数列{a n}的前n项和的性质，n为奇数时，，求出a8，进而根据特殊角的三角函数值求出结果．8．设函数f（x）=log3在（1，2）内有零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，log32）B．（log32，1）C．（﹣1，﹣log32）D．（1，log34）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的零点的判定定理可得 f（1）•f（2）＜0，由此求得实数a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）在区间（1，2）内有零点，∴f（1）•f（2）＜0，∴（﹣a）（﹣a）＜0，解得：＜x＜1，故选：B．点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．9．一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①② B．①③ C．③④ D．②④考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．专题：空间位置关系与距离．分析：根据空间几何体的三视图的画法结合正方体判断分析．解答：解：①中线段为虚线，②正确，③中线段为实线，④正确，故选：D点评：本题考查了空间几何体的三视图的画法，属于中档题，空间想象能力．10．已知函数f（x）=，则函数y=f（1﹣x）的大致图象（）A． B． C． D．考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．专题：数形结合．分析：排除法，观察选项，当x=0时y=3，故排除A，D；判断此函数在x＞0时函数值的符号，可知排除B，从而得出正确选项．解答：解：∵当x=0时y=3，故排除A，D；∵1﹣x≤1时，即x≥0时，∴f（1﹣x）=3 1﹣x＞0，∴此函数在x＞0时函数值为正，排除B，故选C．点评：利用函数的性质分析本题，本题有助于使学生更好的掌握分析函数图象的一般方法．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+4y+1的最小值是﹣14 ．考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，将z=2x+4y+1化为y=﹣0.5x+0.25z﹣0.25，0.25z﹣0.25相当于直线y=﹣0.5x+0.25z﹣0.25的纵截距，由几何意义可解得．解答：解：由题意作出其平面区域，将z=2x+4y+1化为y=﹣0.5x+0.25z﹣0.25，0.25z﹣0.25相当于直线y=﹣0.5x+0.25z﹣0.25的纵截距，由几何意义可得，当过点A时，0.25z﹣0.25有最小值，此时，z=2x+4y+1取得最小值，由y=x，x+y+5=0联立解得，x=y=﹣2.5，则z min=2×（﹣2.5）+4×（﹣2.5）+1=﹣14．故答案为：﹣14．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．12．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+1（e是自然对数的底数），若f（a）=2，则f（﹣a）的值为0 ．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意f（a）=e a﹣e﹣a+1=2，从而求f（﹣a）=﹣（e a﹣e﹣a）+1=﹣1+1=0．解答：解：∵f（a）=e a﹣e﹣a+1=2，则e a﹣e﹣a=1；∴f（﹣a）=﹣（e a﹣e﹣a）+1=﹣1+1=0；故答案为：0．点评：本题可以发现f（x）=e x﹣e﹣x+1的常项若为0，则为奇函数，从而找到了解题的突破口，属于基础题．13．已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|= ．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：设=（x，y）．由于向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），可得，解出即可．解答：解：设=（x，y）．∵向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），∴=λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），∴，化为λ2=5．解得．故答案为：．点评：本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题．14．若函数f（x）=sin（3x+ϕ）满足f（a+x）=f（a﹣x），则的值为0 ．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由题意求出函数的对称轴，函数的周期，利用正弦函数的基本性质即可求出f（a+）的值．解答：解：对于任意的x∈R，函数f（x）=sin（3x+φ），满足条件f（a+x）=f（a﹣x），∴函数关于x=a对称，x=a时函数取得最值，∴3a+φ=kπ+，k∈Z，∴f（a+）=sin（3a++φ）=sin（kπ++）=0；故答案为：0．点评：本题考查三角函数的基本性质，函数的周期对称性的应用，三角函数的最值是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．15．S n为等差数列{a n}的前n项和，若，则= 4 ．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：首先根据等差数列的性质得出，进而得出a1=，然后分别代入s n和s2n求出结果．解答：解析：答由，即，得．，．故=4．故答案为4．点评：本题采用基本量法来作，但显然运算量会大上许多，本题可用特殊法处理．三、解答题（共6小题，满分75分）16．△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，﹣1）且∥．（1）求锐角B的大小；（2）如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．考点：二倍角的余弦；平行向量与共线向量；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（1）由两向量的坐标，及两向量平行时满足的关系列出关系式，利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后求出tan2B的值，由B为锐角，得到2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由cosB的值及b的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB及ac的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．解答：解：（1）∵=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1），且∥，∴2sinB•（2cos2﹣1）=﹣cos2B，即2sinBcosB=sin2B=﹣cos2B，∴tan2B=﹣，∵B∈（0，），∴2B∈（0，π），∴2B=，即B=；（2）∵B=，b=2，∴由余弦定理cosB=得：a2+c2﹣ac﹣4=0，又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立），∴S△ABC=acsinB=ac≤（当且仅当a=c=2时等号成立），则S△ABC的最大值为．点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，基本不等式，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．17．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=3．（1）求证：OD⊥平面ABC；（2）求三棱锥M﹣ABD的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由题意，OM=OD=3，又，利用勾股定理的逆定理可得OD⊥OM．利用菱形的性质可得OD⊥AC．再利用线面垂直的性质可得OD⊥平面ABC．（2）三棱锥M﹣ABD的体积等于三棱锥D﹣ABM的体积．由（1）知，OD⊥平面ABC，OD为三棱锥D﹣ABM的高．再求出△ABM的面积，利用三棱锥的体积计算公式即可．解答：（1）证明：由题意，OM=OD=3，∴．∴∠DOM=90°，∴OD⊥OM．又∵菱形OM∩AC=O，∴OD⊥AC．∵OM∩AC=O，∴OD⊥平面ABC．（2）解：三棱锥M﹣ABD的体积等于三棱锥D﹣ABM的体积．由（1）知，OD⊥平面ABC，∴OD=3为三棱锥D﹣ABM的高．△ABM的面积===，所求体积等于．点评：熟练掌握线面垂直的判定定理、勾股定理的逆定理、菱形的性质、三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式等是解题的关键．18．已知数列{a n}的前n项和为S n．且满足（1）证明：数列{}为等差数列；（2）求S n及a n．考点：等差关系的确定；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用条件求出{}的通项公式，利用等差数列的定义证明：数列{}为等差数列；（2）根据{}为等差数列，求S n及a n．解答：解（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣2S n•S n﹣1，∴，∴是以为首项，2为公差的等差数列．（2）∵数列{}为等差数列，∴，即．当n≥2时，，∴．点评：本题主要考查等差数列的定义以及等差数列的通项公式，以及数列{a n}的前n项和为S n与a n之间的关系．考查学生的基本运算能力．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；（2）先证明BD⊥平面PAC，即可证明平面PBD⊥平面PAC；（3）利用四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求出四棱锥P﹣ABCD的高为PA，利用PA⊥AB，即可求PB的长．解答：（1）证明：∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，…（1分）∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，…（3分）∴OM∥平面PAB．…（4分）（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（5分）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．…（6分）∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，…（8分）∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．…（10分）（3）解：∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴菱形ABCD的面积为，…（11分）∵四棱锥P﹣ABCD的高为PA，∴，得…（12分）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．…（13分）在Rt△PAB中，．…（14分）点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20．已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数f′（x）=2x+2，数列{a n}的前n项和为S n，点均在函数y=f（x）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n是数列{b n}的前n项和，求T n．考点：数列的求和；导数的运算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由已知设函数f（x），结合导函数可求函数解析式，进而可得s n，然后利用当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1，a1=S1，可求通项（Ⅱ）由（I）可求b n，然后利用错位相减可求数列的和解答：解：（Ⅰ）设f（x）=ax2+bx，f'（x）=2ax+b=2x+2，…（2分）∴a=1，b=2，f（x）=x2+2x，∴…（4分）∴当n≥2时，，…（6分）又a1=S1=3，适合上式，∴a n=2n+1…（7分）（Ⅱ）∵，∴，…（9分）∴，相减得：…（11分）=．∴…（14分）点评：本题主要考查了利用数列的和与项之间的递推关系求解数列的通项，及错位相减法求解数列的和的应用，要求考生熟练掌握基本方法．21．已知函数f（x）=，g（x）=alnx﹣x（a≠0）．（1）a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）由题意，确定函数的定义域并求导，由导数的正负确定函数的单调区间；（2）当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立化为g（x1）max＜f（x2）min，从而求解．解答：解：（1）函数f（x）的定义域为R，，当a＞0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，1） 1 （1，+∞）f'（x）﹣ 0 + 0 ﹣f（x）↘↗↘当a＞0时， f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；（2）证明：由（1）可知，当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）＞f（0）=a；f（x）在[，e]上单调递减，且．则f（x2）＞a，∵g′（x）=，①当0＜a＜e时，g（x）=alnx﹣x在（0，a）上单调递增，在[a，e]上单调递减；故g（x1）max=g（a）=alna﹣a；则alna﹣a﹣a=a（lna﹣2）＜0；故对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立；②当a≥e时，g（x）=alnx﹣x在（0，e]上单调递增，故g（x1）max=g（e）=a﹣e；故a﹣e﹣a=﹣e＜0，故对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．综上所述，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题的处理方法，属于中档题．33316 8224 舤31615 7B7F 筿629660 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江苏省南京市六校联合体高三数学上学期12月联考试题(附加卷)
数学Ⅱ(附加题)注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40 分，考试时间30 分钟．3．答题前，请务必然自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】本题A、B、C三小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，．并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[ 选修4—2：矩阵与变换]( 本小题满分10 分 )已知矩阵a -1A ，其中a,b R，若点P (1,1)在矩阵 A 的变换下获取的点P1 (1,4 )b 1（1）求实数a,b的值；（2）求矩阵 A 的逆矩阵.B．[ 选修4—4：坐标系与参数方程]( 本小题满分10 分)在直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是y 2t 1x t（t 是参数），若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ 2 2(sin ) ．求直线l 被曲线C截得的弦长．4C．[ 选修4—5：不等式选讲]( 本小题满分10 分)若x，y，z 为实数，且x+2y+2z=6，求 2 2 2x y z 的最小值．【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答．解1答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）将4 名大学生随机安排到A,B,C,D 四个公司实习．（1）求 4 名大学生恰幸好四个不相同公司的概率；（2）随机变量X表示分到 B 公司的学生的人数，求X的分布列和数学希望E( X) ．23. （本小题满分10 分）设*n N 且n 4，会集M 1,2,3,L ,n 的所有3个元素的子集记为A1 , A2 ,L , A ．3Cn （1）当n4时，求会集A1 , A2 ,L , A 中所有元素之和S；3A1 , A2 ,L , A 中所有元素之和S；Cn3C2018（2）记m i 为A i 3(i 1,2,L ,C n )中最小元素与最大元素之和，求mii 13C2018的值．南京市六校联合体高三年级12 月份联考试卷2数学附加题参照答案21．【选做题】本题A、B、C三小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，．并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．．A．解：（1）因为ab111114，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分所以ab 1114所以ab23．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分2 1（2）d et(A) 5 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分3 11 1 1 15 5 5 5 1A ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分3 2 3 25 5 5 5B．解：消去参数t ，得直线l 的一般方程为y 2x 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分ρ 2 2 (sin ) 即ρ2( sin cos ) ，两边同乘以得422( sin cos ) ，所以 2 2(x1) (x 1) 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分圆心C 到直线l 的距离|2 1 1| 2 5d ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2 252 1所以弦长为2 5 2 302AB 2 2 ( ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分5 5C．解：由柯西不等式，得 2 2 2 2 2 2 2(x y z )(1 2 2 ) (x 2 y 2z) ．⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分因为x 2 y 2 z=6 ，所以 2 2 2 4x y z ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分当且仅当x y z1 2 2 时，不等式取等号，此时2 4 4x ，y ，z ，3 3 3所以 2 2 2x y z 的最小值为4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分22．解：（1）将 4 人安排四个公司中，共有 44=256 种不相同放法．记“4 个人恰幸好四个不相同的公司”为事件A，事件A共包含 4A4 24 个基本事件，3所以24 3P A ，256 32所以 4 名大学生恰幸好四个不相同公司的概率332．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（2）方法1：X的可能取值为0，1，2，3，4，1 343 81 C 3 274P X 0 ，P X 1 ，4 44 256 4 643 4C 3 3 C 14 4P X 3 ，P X 4 ．4 44 64 4 256所以X的分布列为：2 2C 3 274P X 2 ，44 128X 0 1 2 3 4P 812562764271283641256 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分所以X的数学希望为：81 27 27 3 1E X 0 1 2 3 4 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分256 64 128 64 256方法2：每个同学分到 B 公司的概率为P(B) 1 ，( ) 1 1 3P B ．⋯⋯ 5 分4 4 4依照题意X ～ 4 1B ，，所以4所以X的分布列为：k 4 k1 3kP X k C ，k 0，1，2，3，4，44 4X 0 1 2 3 4P 812562764271283641256 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分所以X的数学希望为 4 1 1E X ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分42 2 23．（1）因为含元素 1 的子集有C 个，同理含2,3, 4的子集也各有 C 个，于是所求3 3元素之和为(1 2 3 4) 2 30C ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分3（2）会集M 1,2,3, L , n 的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有 2C 个，以n 为最大元素的子集有n 12C 个；n 1以 2 为最小元素的子集有 2C 个，以n 1为最大元素的子集有n 22C 个；n 2L L以n 2为最小元素的子集有 2C 个，以3为最大元素的子集有22C 个．⋯⋯⋯ 5 分2C3ni 1 mim m L m1 23Cn42 2 2(n1)(C n C n L C )1 2 22 2 2 3(n 1)(C n C n L C C )1 2 3 32 2 2 3(n 1)(C n C n L C C )1 2 4 43L (n 1)C n ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3nCimi13 1nCn3C2018mi．2018 1 2019i 13C2018．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分5。
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分
-5-
bn
2
(b1
2)( 1 )n1 2
( 1 )n1 2
，
即 bn
( 1 )n1 2
2, n N ;………………4
分
由
S6
a3 a1 6a1
2d 65
2
d
7
48,
解得
a1
3, d
2，
所以 an a1 (n 1)d 2n 1.………………6 分
（2）由（1）知 cn
an (bn
丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫
做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，
其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…癸未，甲申、乙酉、丙戌、…癸巳，….
共得到 60 个组合，周而复始，循环记录.今年国庆节是小明 10 岁生日，那么他 80 岁生日时的年份是“干
6 )在椭圆 C 上，P 点坐标（0， 1 ），直线
2
3
l: y＝－x＋m 交椭圆 C 于 A、B 两点，且|PA|＝|PB|.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）求△PAB 的面积.
22.（本题满分 12 分） 已知函数 f(x)＝ax－xlnx，g(x)＝ bx ．a、b∈R， 1 x2
（1）讨论 f(x)的单调性； （2）已知函数 f(x)的极大值为 1，
出 3 项进行测试，假设他们对这 6 项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有 2 项相同的概率
为 ▲.
15.已知边长是 4 的菱形 ABCD，∠A＝60º, 点 P 是菱形 ABCD 内部一点，若 PA ＋3 PB ＋2 PC＝0, 则△PBC 与菱形 ABCD 的面积的比值是 ▲ .
16.已知对任意的 x＞0，不等式 xex－lnx－ax≥1 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ▲ .
所以
Tn
10 (2n 5)(1 )n1 ………………12 2
分
………
19.【解】方法一：（1）PC 平面 ABCD ，AC 平面 ABCD ， 得 AC PC .………………1 分 又 AD CD 1，在 RtADC 中，得 AC 2 ， 设 AB 中点为 G ，连接 CG ， 则四边形 ADCG 为边长为 1 的正方形，所以 CG AB ，且 BC 2 ， 因为 AC2 BC2 AB2 ，所以 AC BC ，………………3 分
12. BCD 16. a≤1
17.
b cos Acos C a sin B sin C 1 b , 2
sin B cos Acos C sin Asin B sin C 1 sin B , 2
………………1 分
因为 sin B 0 .所以 cos Acos C sin Asin C 1 ，即 cos(A C) 1 ，………………3 分
即 a 3或a 3(舍），
………………8 分
所以∴ABC 的面积 S 1 acsin B 1 3 2 3 3 3 . ………………10 分
2
2
22
18.
解（1） bn1 2
1 2
bn
1
2
1 2
(bn
2)
1，
bn 2
bn 2
bn 2 2
所以数列
bn
2是公比
q
1 2
等比数列；………………2
12.函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜0)的部分图象如图所示，已知函数 f(x)在区间
[0，m]有且仅有 3 个极大值点，则下列说法正确的是
（▲）
A．函数|f(x)|的最小正周期为 2
B．点（ 9 ，0）为函数 f(x)的一个对称中心 4 3
C．函数 f(x)的图象向左平移2个单位后得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
2
2
因为 A C B ，所以 cos(A C) cos B 1 ，即 cos B 1 ，………………4 分
2
2
因为 0 B .所以 B 2 .
3
………………5 分
若选① b 19 ，② c 2 ，
b2 a2 c2 2ac cos B,a2 2a 15 0,
所以∴ABC 的面积 S 1 acsin B 1 3 2 3 3 3 .………………10 分
2
2
22
若选① b 19 ，③ 2sin A 3sin C
由 2sin A 3sin C ,得 2a 3c ，
………………6 分
b2 a2 c2 2ac cos B,a2 9,
………………7 分
-3-
(1) 通过分析可以认为考生初试成绩 X 服从正态分布 N(μ，δ2)，其中 μ＝64，δ2＝169，试估计初试
成绩不低于 90 分的人数；
(2) 已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为 3 ，后两题答对的概率均为 2 ，且
4
3
每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为 Y，求 Y 的分布列及数学期望.
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4.已知非零向量 a,b，若|a|＝ 3|b|，a⊥(a－2b)，则 a 与 b 的夹角是
π
π
A. 6
B. 3
2π C. 3
5π D. 6
（▲）
5. 2020 年是“干支纪年法”中的庚子年.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、
支纪年法”中的
（▲）
A．己亥年
B．戊戌年
C．庚戌年
D．辛丑年
6.已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 的顶点都在球 O 上，且 AB＝4, A A1＝6, ∠ACB＝30º,则此直三棱柱的外接
球 O 的表面积是
（▲）
A. 25π
B. 50π
C. 100π
500π D. 3
7.已知 a＞0，b＞0，直线 l1：x＋(a－4)y＋1＝0，l2：2bx＋y－2＝0，且 l1⊥l2，则a＋1 1＋21b
2)
(2n
1)( 1 )n1 2
，
所以 Tn
3(1)0 2
5( 1 )1 7( 1 )2
2
2
(2n 1)( 1 )n2 2
(2n 1)( 1 )n1 ，① 2
1 2
Tn
3 ( 1 )1 2
5( 1 )2 2
7( 1 )3 2
(2n 1)( 1 )n1 2
(2n 1)(1)n ，② 2
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分 10 分）
-2-
在△ABC中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，并且bcosAcosC＝asinBsinC＋ 1 b. 2
请在①b＝ 19，②c＝2，③2sinA＝3sinC 这三个条件中任选两个，将下面问题补充完整，并作答.注意： 只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分. 问题：已知_______________，计算△ABC 的面积.
的最小值为
（▲）
2
4
A．2
B．4
C．3
D. 5
8.已知 a＞0，函数 f (x)＝(a＋1)x2－x＋sinx＋cosx＋a－2，x∈R．记函数 f(x)的值域为 M，函数 f (f (x))的值
域为 N，若 M⊆N，则 a 的最大值是
（▲）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分. 每小题给出的四个选项中，
35 44
D．函数 f(x)在区间[ 3 m，0]上是增函数
-1
25
第 12 题图
三、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）．
13.已知函数 f(x)满足 f(x)＝－f(x＋1)，当 x(0,1)时，函数 f(x)＝3x，则 f (log 19) ＝ ▲ . 1 3
14.某校进行体育抽测，小明与小华都要在 50m 跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这 6 项运动中选
（▲）
10.已知双曲线 C1：
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的实轴长是
2，右焦点与抛物线 C2：y2＝8x 的焦点 F 重合，
双曲线 C1 与抛物线 C2 交于 A、B 两点，则下列结论正确的是
( ▲)
A．双曲线 C1 的离心率为 2 3
B．抛物线 C2 的准线方程是 x＝－2
C．双曲线 C1 的渐近线方程为 y＝± 3x
①-②得
1 2
Tn
3 2[( 1 )1 2
(1)2 2
(1)3 2
( 1 )n1] (2n 1)( 1 )n
2
2
3
2
1 2
[1
( 1 )n1] 2
(2n
1)( 1 )n
1 1
2
2
3 2 (1 ( 1 )n1) (2n 1)( 1 )n
2
2
………10 分
5 (2n 5)( 1 )n 2
2021 届江苏省南京市六校联合体高三上学期 11 月联考试题
高三数学
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分. 每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题意的．
4i 1.已知 i 是虚数单位，则复数1＋i在复平面内对应的点在
（▲）
A. 第一象限
B. 第二象限