二项式定理教案

20.3二项式定理

1?二项式定理及其特例:

2.二项展开式的通项公式：

T r 1 C n r a n r b r …

/ 八 /

.、n — 0 n

(1) (a b) C n a

C n a n

b

C n a n r b r Cnb n (n N ),

(2) (1 x)n

1 Ux 川 c n x r HI x n .

课堂教学安排教学环

节主要教学内容

教学手

段与方

式

导入新授

、复习引入:

1?二项式定理及其特例:

(1)

/ —n -0 n 川n

(a b) C n a C n a b

(2) (1 x)n 1 C l x

2?二项展开式的通项公式:

III c n a n r b r川C n n b n(n N ),

III cn/ II

T r 1 c n a n r b r…

3.求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对

r的限制；求有理项时要注意到指数及

项数的整数性

4二项式系数表(杨辉三角)

(a b)n展开式的二项式系数，当n依次

取.1,2,3…时，二项式系数表，表中每行

?

两端都是1,除1以「外的每一个数都等于它肩上两个数的和

5?二项式系数的性质:

(a b)n展开式的二项式系数是Cn , C：, Cn，…，c：? C可

以看成以r为自变量的函数f(r)，定义域是r{0,1,2j)|,n}，例当n 6时，其图象是7个孤立的点(如图)

(1) 对称性.与首末两「端“等距离”的两个二项式系数相等(???

课堂教学安排

教学环节

主要教学内容

教学

手段

与方

式直线r n是图象的对称轴?

n

增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项C n2取得最大值; 当n是

奇数时，中间两项

n 1

C^取得最大值.

各二项式系数和:

?-

(1

x)n 1 Ux III

C；x r

1，则2n C0Cn c n

二、讲解范例:

a o a j x 2

a2X 1

(

n

a n X ,

当a o a1 a2 I

I

)

a n 254

时,

n的值.

解：令

a o a1 a2 a n 2 22232n

2(2n 1)

2 1

254

，

???

2n

128,

n

课堂教学安排教学环

节主要教学内容

教学手

段与方

式

思考点评：对

x a 1,即

值；令x a

关系*

例2 .求证:

f (x) a o(x a)n a1(x a)n 1

a 1可得各项系数的和a0 a-i a2

1,即x

C1 2Cn

证（法一）倒序相加：设

S nC；

?- c n c；r，二C0

由①+②得: 2S

a 1，可得奇数项系数和与偶数项和的

3c

3

III

S C1

(n 1)C；1

c：,c n

Cn C：

nC

；

2C2

n 2n 1

3c3nc n

C n n

(n 2)C；2I

I

Q 1 2

C n 2C n

3C

；

1

2

I

I

I

n 2n

nc n n 2n 1

（法二）：左边各组合数的通项为

rC；

n!

r -------

r!( n r)!

n (n 1)!

(r 1)!( n

r)!

nC；

-c n 2Cn 3c3nC： n C01 C22

2n1

a n , 令

II a n 的

即

C; 1

C n 1

2c2 c n

课堂教学安排

教学环节主要教学内容

三、课堂练习:

1.仮14 5 4

1展开式中x的系数为—，各项系数之和为

思考

1

f(x) C n(x 1

)

Cn(x 1)2 C n3(x 1)3 II

（n 6）的展开式中，x6的系数为

3.若二项式（3x2

项，则n的最小值为

A.4

D.8

B.5

c：(x 1)n

1

2/（n N）的展开式中含有常数

C.6

4.某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么

该企业年产值的年平均增长率最低应

A.低于5% B

.

在5%?6%之间

C.在6%?8%之间

D. 在8 %以上

5.在(1 x）n的展开式

中,

奇数项之和为P，偶数项之和为

q，则（1 x2）n等于（）

A.0

B. pq

C. f 2 2

D. P q

式

教学手段

与方式

教学环节

主要教学内容教

手

与

式四、小结：二项式定理体现了二项式的正整数幕的展开式的指数、

项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项

和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条

件进行「逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用

且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用

五、课后作业二

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