变量代换在微积分中的体现
微积分的解题技巧
微积分的解题技巧引言微积分是数学中非常重要的一门学科，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。
在研究微积分的过程中，掌握一些解题技巧可以帮助我们更好地理解和应用微积分知识。
本文将介绍一些常见的微积分解题技巧。
微分技巧1. 使用导数求极值当我们需要确定函数的最大值或最小值时，可以使用导数的概念。
首先求出函数的导数，然后找出导数为0的点，这些点可能是函数的极值点。
接着，我们可以通过二阶导数的正负性来确定哪些是极大值，哪些是极小值。
2. 利用导数的性质简化运算在进行微积分运算时，经常需要对函数进行求导。
有时候，我们可以利用导数的性质来简化运算。
例如，导数的和的导数等于各个函数的导数之和，导数的积的导数等于各个函数的导数的乘积。
3. 使用链式法则和反向法则当我们需要求复合函数的导数时，可以使用链式法则和反向法则。
链式法则可以帮助我们求出复合函数的导数，而反向法则可以在已知导数的情况下求出原函数的导数。
积分技巧1. 利用不定积分的性质简化运算在进行积分运算时，有时可以利用不定积分的性质来简化运算。
例如，积分的和等于各个函数的积分之和，积分的积等于各个函数的积分的乘积。
2. 使用换元法当需要求一些特定类型的积分时，可以使用换元法。
通过选择合适的变量代换，将原先的积分转化为更容易求解的形式。
3. 利用分部积分法分部积分法是求解含有乘积的积分的一种方法。
通过选取一个作为被积项的函数和一个作为积分项的函数，然后利用分部积分公式进行变换，可以将原先复杂的积分转化为更简单的形式。
结论掌握一些微积分的解题技巧可以提高我们解决微积分问题的效率和准确性。
上述提到的技巧只是微积分中的一小部分，希望能够对大家的学习有所帮助，鼓励大家在实际问题中灵活运用这些解题技巧。
利用简单的变量代换求解微分方程
利用简单的变量代换求解微分方程通过变量代换将给定的微分方程转换为我们熟悉的微分方程再求解，是解微分方程的一种重要方法.例如我们前面学习的齐次方程、贝努利方程等的求解过程中都用到了变量代换的方法.2(41.1)dy x y dx=++求微分方程的通解例41x y u ++=解令 化简并两边积分41,y u x =--即代入方程得24.du u dx-=21+4du dx u =⎰⎰，1arctan 22u x C =+即，141arctan().22x y x C ++=+故通解 ().dy f ax by c u ax by c dx=++=++形如的方程，都可以尝试令注21tan .222dy y y dx x y x=+求微分方程的通解例2y u x=令分离变量并两边积分2,y xu =即代入方程得tan du u x u u dx +=+，1cot udu dx x=⎰⎰，lnsin ln ln u x C =+即，2sin .y Cx x =故通解 222tan dy y y y dx x x=+解 原方程可化为，tan du u dx x =整理得，c 3os (0)x t t π=<<利用变量代换化例简微分方程x 等式两边再对求导得1()sin dy dy dt dy dx dt dx dt t=⋅=⋅-解 ，2(1)0x y xy y '''--+=(0)1,(0)2.y y '==并求其满足的特解22d y dx =代入方程222231cos 1(1cos )[()]cos ()0.sin sin sin d y dy t dy t t y dt t dt t dt t -⋅-⋅-⋅⋅-+=2221cos [()+()]sin sin d y dy t dt t dt t ⋅-⋅1().sin t ⋅-210r +=特征方程，12(*)cos sin .y C t C t =+故方程通解 化简为220(*)d y y dt+=，r i =±解得特征根，212cos 1x t y C x C x ==+-将代入得 y(0)1,(0)2y '==将代入通解12=2=1.C C ，2(*)21y x x =+-故原方程特解 ()二阶常系数齐次线性方程总结本讲主要介绍了变量代换方法在微分方程求解问题中的重要应用.。
微积分中的变量替换法和积分换元法
微积分中的变量替换法和积分换元法微积分是数学的一个重要分支，它主要研究函数的极限、导数和积分等基本概念。
变量替换法和积分换元法是微积分中常用的重要方法。
在研究微积分时，掌握这两种方法的应用是非常重要的。
一、变量替换法在微积分中，变量替换法是通过伸缩坐标轴，将具有特殊形式的函数转化为一般形式，以便对其进行更简单的积分。
具体而言，变量替换法是通过将自变量替换为一满足条件的新变量，从而改变原函数的形式，最终得到更容易进行积分的形式。
例如，将自变量替换为 t=sin x，就可以将积分∫cos x dx 转换为∫(-sin t) dt。
这个新的积分问题很容易解决，即为 sin t + C。
接下来，将 t=sin x 带回到原函数中，可得出原来的积分结果为 -cos x + C。
变量替换法的灵活运用可以使得原本难以处理的积分问题迎刃而解。
但是，应该注意到选择合适的新变量是比较关键的，不合适的替换可能会使原本容易求解的积分问题变得更加复杂。
因此，在选择新变量时，需要有一定的经验和灵感，才能达到最佳替换的效果。
二、积分换元法积分换元法是微积分中另一种非常基础的方法。
在一般情况下，如果需要进行某一函数的积分，但是该函数本身的形式很不利于求解，那么我们就可以通过选择一个新的自变量，从而将原函数转化为一个更为简单的函数，方便我们进行运算。
具体而言，积分换元法是将原积分问题中的自变量通过替换为一个新的变量 x=g(t)，并利用导数的链式法则，将原积分问题转化为以新自变量 t 为自变量的新积分问题。
在求取新积分后，通过逆向替换，即 x=g(t)，得到最终的原积分结果。
例如，对于积分∫x/(x^2+1) dx ，我们可以通过选择 t=x^2+1 来进行变量替换。
进行变量替换后，原积分问题转化为积分∫1/2 dt，即可简单求解。
通过逆向替换，我们得到原积分结果为ln|x^2+1|+C。
积分换元法比较适用于具有某些特殊格式的积分问题，这些积分问题包括如下几类：1、具有有理函数形式的积分。
变量代换的应用
1 变量代换的类型变量代换法是指用另一些新的变量来代换某些变量的解析表达式,从而使原有的问题转化为较简单的,易解决的问题的方法,这种方法也称为换元法.在学习数学的过程中,变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法.恰当地运用变量代换的观点方法,常常能起到化难为易、化繁为简的作用．变量代换有多种类型,它在解决数学问题中发挥着不可或缺的作用.我们只有掌握了变量代换的不同类型,才能在解决问题时更加得心应手. 本节先给出积分运算中几种常见的变量代换,然后给出公式变形和函数解析式中的变量代换.1.1 算式代换算式代换是指积分表达式中含有()ax b +的代换.例1 求定积分1321(115)dx x -+⎰. 解 令115x t +=,则115t x -=. 当1=x 时,16=t ;当2-=x 时,1=t .所以有1321(115)dx x -+⎰1631115t t d --=⎰ 2161110t -=- 51512=.1.2 根式代换 根式变换是指积分表达式中含有无理根式的代换.例2 求定积分⎰-++0341dx x x . 解 令t x =+4,则当3-=x 时,1=t ;当0=x 时,2=t .则⎰-++0341dx x x ⎰-+-=2122)4(14t d t t ⎰-=212)3(2dt t 34-=.1.3 倒代换倒代换是指积分表达式中分母的两个自变量的幂之差大于1的代换. 例3 求不定积分⎰+dt t t )2(17. 解 令x t=1,则 ⎰+dt t t )2(17dx x x ⎰+-=7621 c x ++-=721ln 141 711ln 2ln 142t t c =-+++. 1.4 三角代换 三角代换是指积分表达式中含有22x a -,22a x -等形式的代换.例4 求)0(022>-⎰a dx x a a.解 令t a x sin =,则当0=x 时,0=t ;当a x =时,2π=t .所以22200cos a tdt π=⎰⎰24a π=. 1.5 指数代换 指数代换是指积分表达式中含有x x a e ,的代换.例5 求不定积分⎰+dx ee x x21. 解 令t e x =,则有⎰+dx e e x x 21211dt t =+⎰arctan t c =+arctan x e c =+.1.6 公式变形中的变量代换在解题时,我们常对一些形式的式子感到很难理解,但只要仔细分析,我们会发现它可能就是一些公式的变形形式.因此,我们在认识公式时,可适当利用变量代换法来认识其变形形式．例如 sin 22sin cos ααα=设2αθ=,则2θα=,于是有 sin 2sin cos 22θθα=． 同样,利用变量代换方法也可来理解其他的三角函数的公式.又例如 0sin lim 1x x x→=. 设()x at a R =∈,当0x →时,0t →,于是有0sin lim 1x at at →=, 即 0sin lim x at a t→=. 如果设sin x t =,则arcsin x t =. 同理10lim(1)xx x e →+=,则10lim(1)at t at e →+=, 即10lim(1)a tt at e →+=. 通过对公式进行变量代换,我们不仅可以加深对公式的理解,还可以看到一些我们解题时有用的式子．例如 sin 2()2sin ()cos ()F x F x F x =.1.7 函数解析式中的变量代换例6 已知()ln n f x x =,求()f e .解 由于题中函数表达式不是我们习惯的形式,可先把函数表达式化为我们习惯的形式,根据题意,不妨设n x e =,则1n x e =.从而有11()()ln n n f x f e e n===. 例7 已知22(,)f x y x y x y +-=-,求(,)f x y 表达式.解 令 u x y v x y =+⎧⎨=-⎩, 则有22u v x u vy +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩. 因此有22(,)()()22u v u v f u v uv +-=-=, 得(,)f x y 的表达式(,)f x y xy =.2 变量代换在数学中的应用2.1变量代换在条件极值中的应用条件极值是高等数学中的一项重要内容,而变量代换法是求极值和最值的方法之一,他可以是问题简化.下面我们来对变量代换在极值和最值方面的应用加以探讨.设定 ()y f u =为实函数, 12(,,,)m m u u u u D E =⋅⋅⋅∈⊆,m S E ⊆且S ≠∅, 12{(,,,)(),1,2,,;}m i i D u u u u x i m x S ϕ=⋅⋅⋅==⋅⋅⋅∈. ［文献3］引论1 对于设定,若函数组()()1,2,,i i u x i m ϕ==⋅⋅⋅均在S 上连续,则由函数组()()1,2,,i i u x i m ϕ==⋅⋅⋅确定的S →D 的映射F 在S 上也连续．引论2 设X ,Y 是度量空间,映射:f X Y →,那么f 在X 上连续的充要条件是像空间Y 中的任一开集U 的原像1()f U -是X 中的开集．引论3 设X 是度量空间,A B X ⊆⊆,B 为开集,则A 为X 的开集的充要条件是A 是相对于B 的开集．结论1 设S,D 均为开集,函数组()()1,2,,i i u x i m ϕ==⋅⋅⋅在S 上均连续,010((),u x ϕ=200(),,())m x x ϕϕ⋅⋅⋅,若0u 是()f u 的极大(小)值点,则0x 为12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅的极大(小)值点．证 设由函数组()i x ϕ确定的S →D 的映射为 F,因为()i x ϕ均在S 上连续,所以F 也在S 上连续(引论1)．因为0u 为D 中极大值点,所以总存在0u 点的某一邻域0()N u D ⊆,使0()u N u ∀∈时,0()()f u f u ≤．因为D 为开集,所以0()N u 是相对于D 的开集(引论3),又因为F 连续,所以10(())F N u -是相对于S 的开集(引论2),而S 为开集,所以10(())F N u -也为n E 的开集(引论3)．又因为100(())x F N u -∈,则10(())F N u -为点0x 的一个邻域．对于10(())x F N u -∀∈,则有120((),(),())()m x x x N u ϕϕϕ⋅⋅⋅≤∈,所以有12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅10200((),(),,())m f x x x ϕϕϕ≤⋅⋅⋅.同理可证极小值的情况.结论2 在结论1中,若由函数组()()1,2,,i i u x i m ϕ=-⋅⋅⋅确定的S →D 的映射F 为一一对应,且F 的逆映射1F -连续(即 F 是S →D 的同胚映射),则0u 是()f u 的极大(小)值点的充要条件是0x 为12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅的极大(小)值点.证 必要性可由结论1得证,充分性仅对极大值点的情形予以证明.设0x 是12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅的极大值点,则存在0x 的一个邻域0()N x S ⊆,使0()x N x ∀∈,12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅10200((),(),,())m f x x x ϕϕϕ≤⋅⋅⋅.由F 是S →D 的同胚映射及引论3可知,0(())F N x 的0u 一个邻域．设0(())u F N x ∀∈,存在x S ∈,使得12((),(),,())m u x x x ϕϕϕ=⋅⋅⋅,对给定的u ,x 是唯一存在的,则当0()x N ∈时,12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅10200((),(),,())m f x x x ϕϕϕ≤⋅⋅⋅,因此有0()()f u f u ≤.在结论2中,把“极大(小)值点”都改为“严格极大(小)值点”,结论仍成立． 结论3 设010200((),(),,())m u x x x ϕϕϕ=⋅⋅⋅,则0u 是()f u 的最大(小)值点的充要条件是0x 是12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅的最大(小)值点.(证明略)结论4 设010200((),(),,())m u x x x ϕϕϕ=⋅⋅⋅,则0u 为()f u 在约束条件()(1,2,;)j j L u R j k u D =⋅⋅⋅∈下的最大(小)值点的充要条件是0x 为12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅在约束条件12((),(),,())(1,2,;)j m j L x x x R j k x s ϕϕϕ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈下的最大(小)值点(),1,2,j R R j k ∈=⋅⋅⋅.(证明略)例1 讨论函数222y x z x y=+在 D 上的极值与最值,{}(,)0,0D x y x y =>> 约束条件为221x y +<.解 设cos (21)sin (22)x r y r θθ=-⎧⎨=-⎩ (,)0,02S r r πθθ⎧⎫=<<>⎨⎬⎩⎭． 由(2-1),(2-2)确定的映射F ：S →D 是同胚映射,所以原问题可化为函数212tan tan z θθ=+在S 上满足约束条件1r <下的极值与最值问题,即化为函数212tan tan z θθ=+在区间(0,)2π内的无条件极值与最值问题. 设1(0,)2s π=,令 1tan ,(0,)t t D θ=∈=+∞. (2-3)显然由(2-3)确定的映射111:F S D →是同胚映射．这时212z t t=+在(0,)+∞内有唯一驻点1t =,且1t =是极小值点,从而也是最小值点．又因为驻点唯一,所以函数没有极大值与最大值．当t = 1时,得4πθ=；再由4πθ=及0 < r <1得x y a ==(02a <<. (2-4)由以上结论可知(2-4)为函数的极小值点与最小值点,函数无极大值与最大值．例 2 设(,)x y 为圆223x y +=上的任意一点,求函数()f x =的极大值.这是一个在约束条件223x y +=下求()f x 的极值问题,数学分析中传统求法是拉格朗日乘数法本节将利用变量代换方法来解决.解 由(,)x y 是223x y +=上的点,得y =将()f x以y 替代得到()f x =.可以看做圆223x y +=上任一点与(3)--连线的斜率,本题的条件极值就转化为这种连线斜率的最大值问题.显然这连线斜率应为从点(3)--到圆223x y +=所做切线的斜率.不难看出,该切线的方程为:3y +=,斜率K=因此()f x的极大值为 例3 设223x xy y ++=,求22(,)f x y x y =+的最值.解 设cos ,sin x r y r θθ==,则221sin 232r r θ+=, 所以2311sin 22r θ=+. 因此当4πθ=时,2r 取最小值32112=+;当34πθ=时,2r 的最大值36112=-. 即满足223x xy y ++=的22(,)f x y x y =+的最大值、最小值分别为6和2. 很显然,例3可以改写为例3' 设223x xy y ++=,求证: 2226x y ≤+≤.此时问题就变成不等式的证明问题,因此变量代换也可以作为不等式证明的一个非常有效的方法.2.2 变量代换在不等式中的应用变量代换法是一种非常有效的解题方法,尤其是处理一些复杂的不等式问题,效果明显．合理代换往往能简化题目的信息,凸显隐含条件,沟通量与量之间的关系,对发现解题思想,优化解题过程有着重要的作用．例1[6] 设a 、b 、c 均为正数,求348223a c b c w a b c a b c a b c+=+-++++++的最小值．解 本题涉及的三个变量a 、b 、c 不具有对称性,且三个分式的分母都是多项式,如果通分,则运算量较大．因此,我们可考虑把各分母用其他变量代换,看看结果如何．令2,2,3(,,0)x a b c y a b c z a b c x y z =++=++=++>,则有32,4484,888a c y x b x y z c z y +=-=-+=-,所以有248488y x x y z z y w x y z--+-+-= 244817y x z y x y y z =+++-17≥=17.当且仅当24y x x y=且48z y y z =,即y =时,上式取等号．所以当(1,(4b a c a =+=+时,min 17w =-.例2 设a 、b 、c 是三个互不相等的正数．证明:1a b b c c a a b b c c a +++++>---. 解 设,,a b b c c a x y z a b b c c a+++===---, 则有1xy yz zx ++=-. 因为2()3()3x y z xy yz zx ++≥++=,所以1x y z ++≥>,即1a b b c c a a b b c c a+++++>---. 说明: 本题通过局部代换,发现了隐含条件1xy yz zx ++=-,从而应用重要不等式2()3()x y z xy yz zx ++≥++使问题得到解决．例3 设1x y ≥≥,求证:13112x y y x x y ++≥+++． 解 令 ,(2,1)x y a xy b a b +==≥≥,则有13112x y y x x y ++≥+++ 221312a ab a b a +-⇔+≥++ 3222(72)a a a b a ⇔--+≥-. (2-5)因为22720,()44a a x y xy b ->=+≥=,所以3224(22)(72)a a a a a --+≥-322480a a a ⇔--+≥2(2)(2)0a a ⇔-+≥. 上面最后一个不等式显然成立,从而不等式(2-5)成立,故原不等式成立．2.3 变量代换在极限运算中的应用(1) 利用变量代换得到第一个重要极限0sin lim 1x xx→=的其它变形例如 令()x f t =,且0lim ()0t t t f t →→∞=,则有0sin ()lim1()t t t f t f t →→∞=．(2) 利用变量代换得到第二重要极限1lim(1)x x e x→∞+=的变形1()lim(1())f x f x e +=,其中0lim ()0x x x f x →→∞=．(3) 无理根式形式的极限问题 例如求43lim4x x →--.3t =(也可利用有理化法求得极限)． (4) 幂指函数求极限 例如 0lim ln ln 000lim lim 1x x xxx xx x x e ee +→++→→====．(5) 二元及多元函数求极限可作变量代换,转化为一元函数求出极限 例如 求22221lim()sinx y x y x y →→++. 可令22u x y =+,则原式= 01lim sin0u u u→= (利用无穷小量的运算法则). (6) 其他类型有些函数求极限不能直接运用求极限的运算法则,可依题意作适当变换,转化为熟悉的形式求出极限．例4 求11110limxx x xxe e e e-→-+-.解 作变量代换,令1xe t =,则有11110limxx x xxe e e e-→-+-=221lim 11t t t →+∞+=-. 2.4 变量代换在导数运算中的应用 (1) 一元或多元复合函数求导例1 设22(,sin )z f x y x y =+,且具有连续偏导,求z x∂∂. 解 令 22,sin u x y v x y =+=, 则有(,)z f u v =.由复合函数的链式求导法则得2sin 2sin u v u v z z u z v f x f y xf yf x u x v x ∂∂∂∂∂''''=+=+=+∂∂∂∂∂. (2) 隐函数求导例2 设由方程1z e xyz -=确定了一个(,)z f x y =函数,求zx∂∂. 解 将z 看作关于,x y 的函数. 方程两边同时对x 求导得()0zz ze yz xy x x∂∂-+=∂∂, 整理得z z yz x e xy∂=∂-. (3) 变限函数求导 例3 设()()()u x ax f t dt φ=⎰,求d dxφ. 解 令 ()u u x =,则函数变量之间的关系为u x φ→→,由一元函数的求导法则可得[()]()d d du f u x u x dx du dxφφ'==． (4) 利用函数导数求单调性、极值．例4 已知函数22()xxf x e -=,求函数单调区间．解 函数看作由()u f x e =,22u x x =-两个函数复合而成的．而函数()u f x e =是一个单调上升函数,将问题转化为求函数22u x x =-单调区间．2.5 变量代换在解微分方程中的应用在常微分方程中,许多类型的常微分方程求解是依靠变量代换这一重要方法来完成的,下面我们就针对变量代换在几类微分方程中的应用进行探究. 2.5.1 变量代换在解一阶显式微分方程中的应用一阶显不微分方程如果能化成可分离变量方程求解,问题就解决了,很多类型的一阶微分方程通过适当的变量代换化为可分离变量方程.(1) 齐次方程()dy ydx x ϕ=.通过变量代换yu x =化为以u 为未知函数的可分离变量方程.(2) 准齐次方程111()dy ax by c f dx a x b y c ++=++. 其中111,,,,,a b c a b c 为常数. (i) 11ab a b ≠1110,0ax by c a x b y c ++=++=构成的方程组的解为,x y αβ==,则同时作函数y 与自变量x 的代换,y x ηβξα=+=+,将其化为以η为函数,以ξ为自变量的齐次方程,然后再将齐次方程化为可分离变量方程,达到求解齐次方程的目的. (ii) 11ab a b = 不妨设11a ba b λ==, 此时方程的形状为11111()()a x b y c dyf dx a x b y c λ++=++. 作变换11u a x b y =+,则可得分离变量方程111()dy u ca b f dx u c λ+=++.从而可以求其通解.(3) 形如 1()a a dy yf x dx x -= 的方程(其中a 是已知实数).作变量代换ayu x =, 将方程化为分离变量方程,将a yu x =代入方程,整理后可得 ()1()a a du x f u au x dx-=-. 这已是分离变量方程.(4) 一阶线性方程()()dyp x y q x dx +=,其中(),()p x q x 为已知函数.该方程所对应的齐次方程的通解为()p x dxy ce -⎰=. 作代换()()p x dxy c x e -⎰=,以此作为原方程的解,代人原方程中得()()()p x dx dc x q x e dx -⎰=. 从而解出()c x ,进而完成原方程求解. (5) 伯努力方程()()()n dc x q x y q x y dx=+,其中0,1n ≠. 作代换 1n z y -=,将方程化为以z 为未知函数的线性微分方程(1)()(1)()dzn p x z n q x dx =-+-. 然后再按线性微分方程作代换求解.(6) 黎卡提方程2()()()dzp x y q x y f x dx +=+.若已知它的一个解为1()y y x =.则作代换1y u y =+,代入原方程化为以u 为未知函数的伯努力方程.对黎卡提方程2m dyay bx x +=,其中a ,b 都是常数,且0a ≠,则当440,2,,(1,2,)2121k km k k k --=-=⋅⋅⋅+-时,可经过适当的变量代换化为可分离变量方程.(7) 其它形式的一阶方程对其它形式的某些一阶微分方程,可以根据方程自身的特点,选取灵活的代换方法,将其化为可分离变量方程.例如对方程()dyf ax by c dx =++,令 z ax by c =++; 对方程21()dy f xy dx x=,令 z xy =; 对方程2()dy yxf dx x =,令 2y z x =. 2.5.2 变量代换在解某些类型高阶微分方程中的应用在求解某些类型高阶微分方程时,可以通过变量代换化为较低阶微分方程,进而达到求解的目的.(1) 形如(1)()(,)0n n F y y -=的高阶方程 能从中解出()(1)()n n y f y -=.令 (1)n y z -=, 则有()z f z '=.分离变量积分,可解出1(,)z x c φ=,则有(1)1(,)n y x c φ-=,再积分1n -次可求得方程通解.如不能解出n y ,可通过代换引进参数 t ,将)1(,-n n y y 都写成 t 的函数,即将原方程写成参数方程(1)()()()n n yg t y t φ-⎧=⎪⎨=⎪⎩, 然后由关系式(1)()()()n n dy g t dtdx y t φ-'==, 求出方程的参数形式通解.(2) 形如0),,,()()1()(=⋅⋅⋅+n k k y y y x F 的高阶方程 作代换)()(x p y k =,方程化为新未知函数)(x p 的k n -阶方程()(,,,,)0n k F x p p p -'⋅⋅⋅=.如能求得该方程的通解),()(21k n c c c x Q x p -=,再积分k 次便可得到原方程的通解. (3) 形如()(,,,)0n F x y y y '⋅⋅⋅=的高阶方程作代换()y p y '=,视y 为自变量,则可将方程化为关于新未知函数)(x p 的k n -阶方程,从而可能求出原方程的解,特别是二阶方程(,,)0F y y y '''=,通过上述代换可化为一阶方程,再利用某些一阶方程求解的方法来求解. 2.5.3 变量代换在解某些变系数齐次方程中的应用我们知道线性方程有完整的解的构造理论,对于常系数线性程有有效的求解方法.而对于变系数线性方程没有普遍的求解方法.一般可以根据线性齐次方程0)()(11)(=+⋅⋅⋅++-x t a x t a x n n a ,在自变量变换)(z t ϕ=和未知函数的线性齐次变换y t p x )(=下,方程的线性和齐次性保持不变的特性,对某些系数齐次方程作适当的变量代换,化为常系数线性齐次方程,从而通过常系数线性齐次方程求解. (1) 对尤拉方程01)1(1)(=++⋅⋅⋅++--y a a x a y x n n n n n ,其中n a a a ,,,21⋅⋅⋅为常数.我们通过自变量代换t e x =或x t ln =(这里x >0,当x <0时,取t e x -=),可将方程化为常系数线性齐次方程()(1)110n n n n y b y b y b y --'++⋅⋅⋅++=,其中n b b b ,,,21⋅⋅⋅都是已知常数,求出该方程的通解,再代回原变量就可得到尤拉方程的通解.(2) 对二阶变系数线性齐次方程12()()0y p x y p x y '''++=. 当该方程的不变式221111()()()()42I x p x p x p x '=-- 为常数时,我们可以经过未知函数的线性齐次变换11()2p x dx y e -⎰=,化为关于新未知函数的不含一阶导数项的常系数二阶线性齐次方程,从而达到求解的目的.通过对以上几类常微分方程的分析,不难看出,分离变量和变量代换的结合使用是求解微分方程的重要方法之一,而恰当的变量代换又可以使方程化简.掌握上述微分方程的类型,就能够适当的选取变量代换来求其通解.下面我们来列举一些用变量方程求解常微分方程的例子. 例1[9] 解方程0)324()12(=++-++dy x y dx x y . 解 将方程整理后可得3)2(21)2(++++=x y x y dx dy . 故令x y u +=2,代入后可得3254++=u u dx du . 分离变量后,两边积分可得C x u u +=++8454ln .再代回原变量,得原方程通解为C y x x y +-=++84548ln ．例2 解方程yx y x dx dy 2332++=.解 令xyu =可得ux y =, 代入方程得32)1(22+-=u u dx du x , 分离变量,再积分,化简整理可得)1()1(4+=-u c x u ,再代回原变量,得原方程的通解)()(5x y c x y +=-.例3 解方程823732-+-+=y x y x dx dy . 解 作平移变换⎩⎨⎧+=+=τY y kX x , 从而有 dY dy dX dx ==,, 原方程化为)823(23)732(32-+++-+++=ττk Y X k Y X dx dy . 为了消去方程右边分子、分母的常数项,令⎩⎨⎧=-+=-+08230732ττk k , 从而求得1,2==τk .故令 ⎩⎨⎧+=+=12Y y X x ,原方程化为YX YX dX dY 2332++=. 由此可知通解为)()(5X Y C X Y +=-.带回原变量得原方程的通解())3(15-+=+-x y C x y .例4 解方程564432++++=y x y x dx dy . 解 令y x u 32+=,则方程可变形为52432+++=u u dx du , 整理后可得分离变量方程52227++=u u dx du . 分量变量,再积分,整理后得)27(14)722ln(9C x u u +-=+, 再代回y x u 3+=,可得原方程的通解)233(14)72232ln(9C x y y x +-=++. 通过对以上几类常微分方程的分析,我们不难看出,将分离变量和变量代换的结合使用,是求解微分方程的重要方法之一,而恰当的变量代换又可以使方程化简.掌握上述微分方程的类型,我们就能够适当地选取变量代换来求其通解．3 变量代换中常见的问题变量代换法是解高等数学题时常用的一种解题方法,在数学中扮演着非常重要的角色,它是通过变换未知量来解题的一种方法,在一般情况下就是要通过变量代换使形式复杂的问题转化为形式简单的问题,生疏的问题转化为熟悉的问题正确恰当地运用变量代换会使问题简化,易解,起到事半功倍的作用.但是,如果所用的变量代换不恰当甚至不正确,就可能导致问题变得更复杂、难解,甚至得到错误的结果．还有些题目从形式上看似可以用变量代换法,但在实际操作的时候可能会出现一些问题,从而使转化以后的问题与原问题相背离,导致最终得到错误的答案．所以,在用变量代换法解题时一定要谨慎．本节将分别从极限运算、导数运算、积分运算等几个方面举例说明用变量代换解题时出现错误的地方． 3.1 极限运算方面的问题例1[11] 求极限11lim(1)sin1x x x→--. 解 令11t x=-,则 原式=11sin1lim 11x x x→--1sin lim x tt→=1=.上述解法的错误在于:作变量代换后,新的变量的趋势应为t →∞,与第一个重要极限要求的自变量趋于0不符,所以不能直接利用第一个重要极限来作．该题的正确做法为:由于1x -是当1x →时的无穷小量,1sin 1x -是有界函数,利用：无穷小量与有界函数的乘积仍是无穷小量的结论即可得该题的答案为0．通过上例我们可以看出:对于形如0sin ()lim()x x f x f x →的极限,能否用变量代换()u f x =把原式转化成第一个重要极限的形式来做,要看当0x x →时,是否有()0u f x =→,若是,才可按上步骤来做．例2 求极限1lim sin([])x x x π→+∞+.解 令1[]t x x=+, 则当x →+∞时, t →+∞,故1lim sin([])x x xπ→+∞+lim sin t t π→+∞=. 因为lim sin t t π→+∞不存在,所以原式的极限也不存在．上述解法的错误在于:在求复合函数的极限0lim [()]x x f x ϕ→时,若00lim ()x x x u ϕ→=,且当0x x ≠时,0()x u ϕ≠,作变量代换()u x ϕ=,则当0lim ()u u f u →不存在且不是无穷大量时lim [()]x x f x ϕ→可能存在．该题的正确做法为:当1n x n ≤<+时[]x n =,故1sin([])sin()(1)sin 0n x n x x xππππ+=+=-→. (x →+∞)3.2 导数运算方面的问题 例 1 设0()f x '存在,求000()()limh f x ah f x bh h→+--,其中,a b 为不等于零的常数．解 令10x x bh =-,则原式=110(())()lim()()h f x a b h f x a b a b h→++-++1()()a b f x '=+.上述解法的错误在于:在导数的定义0000()()()limh f x h f x f x h→+-'=中,0x 是定点．而在上面的解法中,作代换10x x bh =-以后,1x 是随变量h 的变化而变化的,不再是定点,与导数的定义不符．该题的正确做法为原式00000()()()()lim[]h f x ah f x f x bh f x a b ah bh→+---=+-00()()af x bf x ''=+.例2 求函数 y =.解 令 u x v x =+=则原函数可以看作是由y u x v x ==+=复合而成的,由复合函数求导的链式法则得y x ''=+=.上述解法的错误在于:把复合关系搞错了．上面的做法实际上求的是由y u x v x ==+=+复合而成的函数的导数．该题的正确做法为]y x ''=++=++.3.3 积分运算方面的问题例1求4⎰.解t =,则2x t =,故原式4021tdtt =+⎰4012(1)1dt t=-+⎰42(ln(1)t t =-+83ln5=-上述解法的错误在于:作过变量代换以后,积分的上下限没有作相应的改变．该题的正确做法为:t =,则2x t = ,当x 从0变到4,相应的t 从0变到2,故原式2021tdtt =+⎰2012(1)1dt t=-+⎰22(ln(1)t t =-+=42ln3-.例2 求2204cos sin dxx xπ+⎰.解 先求不定积分,令tan t t =,故2222sec 4cos sin 4tan dx xdxx x x =++⎰⎰2tan 4tan d xx =+ 2t 4t d =+⎰211221()2td t =+⎰=1arctan 22tC +1tan arctan 22x C =+. 所以,由牛顿—莱布尼茨公式可得2204cos sin dxx xπ+⎰=1tan arctan22x π0=.上述解法的错误在于:由于所作的变量代换tan t x =在[0,]π上不连续,所以函数1tan ()arctan 22x F x =不是函数2214cos sin x x+在[0,]π上的原函数．故不能利用牛顿—莱布尼茨公式.该题的正确做法为:首先,令2u x =,则2204cos sin dx x x π+⎰2022124cos sin 22duu uπ=+⎰ 0224cos sin22duu u π=+⎰2222224cos sin 4cos sin2222du du u u u u πππ=+++⎰⎰对第二个积分作代换 v u π=-, 则上式220022224cos sin 4sin cos 2222du duu u u uππ=+++⎰⎰ 再作代换 tan 2ut =, 则2arctan u t =,故上式11220022441dt dtt t =+++⎰⎰10(arctanarctan 2)2tt =+2π=.即此题的解为224cos sin 2dx x x ππ=+⎰.4 结束语本文从多个角度介绍了变量代换法在数学学习中的广泛应用,充分显示了变量代换法是众多数学方法中易于掌握而且行之有效的方法．它不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法．正确恰当地运用变量代换会使问题简化、易解,起到事半功倍的作用．当然,尽管变量代换法是一个应用很广的数学方法,但并不是所有的问题都可以用该方法来解决,在做题的时候一定要谨慎．总之,我们应当不断总结经验,提高根据不同问题正确恰当地使用变量代换法解决问题的能力,不能盲目地、草率地使用该方法,避免出现错误．本文仅就变量代换在数学领域的应用作了探讨.在今后的研究中,我们还可以进一步探讨变量代换在物理、化学和经济等方面的应用,使变量代换法能够更好地为我们的学习和生活服务.。
以变量代换为基础的高中数学解题探讨
以变量代换为基础的高中数学解题探讨发布时间：2022-08-15T02:06:40.350Z 来源：《中小学教育》2022年7期4月作者：王坤蓉[导读] 对于高中生来说，一直以来数学都是难度较大的一门学科，尤其是其中的函数部分学习内容，王坤蓉浙江省普陀中学 316100摘要：对于高中生来说，一直以来数学都是难度较大的一门学科，尤其是其中的函数部分学习内容，经常导致他们无法掌握更好的解题方法。
为此，就需要高中数学教师开展有针对性的教学，经常教授学生们利用较为简便的教学方法完成解题，比如常见的变量代换法。
根据以往的教学经验来看，这种解题方法在数学教学过程中占据着十分关键的地位，既能够让学生们灵活的解答自己不懂的题目，也能够在解题的同时锻炼学生们的发散性思维。
为此，本文将结合变量代换解题法的基本概念，着重分析高中数学解题教学过程中应用变量代换方法的重要意义与具体策略，希望能够借此促进高中生数学解题能力的提升。
关键词：变量代换；高中数学；解题策略；重要意义现阶段，在高中数学教学过程中，高中函数、导数等部分的学习内容相较来说十分抽象，并且其中的数学表达式也十分复杂，教师往往无法进行更加全面的讲解，从而致使部分学生不能够理解其中的相关学习内容。
伴随着这种现象越来越普遍，在教学过程中部分教师在满足基本教学目标的前提下，制定了越来越多完善的教学方案，创新优化当前的教学方法与教学模式，其中变量代换法的应用，便能够有效提升高中生数学学习过程中的解题能力。
为此，需要着重采取以下几点具体应用策略：应用三角变量代换解题方法、应用函数变量代换解题方法、应用导数变量代换解题方法。
一、变量代换解题法概念在高中时期的数学教学过程中，经常会有一些高难度的数学问题，这部分数学问题的结构组成十分复杂，严重阻碍了高中生在数学学习过程中问题解答能力的提升，所以为促进高中生更好的学习数学知识，教师在日常的数学教学过程中便开始尝试各种新颖教学方法的引进与利用，其中最为常见的一种就是变量代换方法。
高数微积分公式大全3篇
高数微积分公式大全第一篇：高数微积分公式大全（上）微积分是数学中的重要分支，也是物理、工程、经济等领域中不可或缺的工具。
下面将介绍一些高等数学中常用的微积分公式，包括极限、导数、微分等，供读者参考。
1. 极限极限是微积分中的基本概念，它描述的是函数在某一点附近的取值趋近于某个常数的情况。
极限公式如下：（1）左极限$$\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=A$$（2）右极限$$\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=A$$（3）无穷远处的极限$$\lim_{x\to \infty}f(x)=A$$（4）无穷小量$$\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$2. 导数导数是微积分中的重要概念，它描述的是函数在某一点处的变化率。
导数公式如下：（1）切线的斜率$$k=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} $$（2）函数的导数$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$3. 微分微分是微积分中的基本运算，它可以帮助我们研究函数的变化趋势。
微分公式如下：$$df=f'(x)dx$$其中，$dx$表示自变量$x$的微小变化量，$df$表示因变量$y$的微小变化量。
4. 泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要定理，它可以帮助我们将一个函数表示为一系列多项式的和，从而简化函数的计算。
泰勒公式如下：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} $$其中，$f^{(n)}(x)$表示函数$f(x)$的$n$阶导数。
5. 柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是复分析中的重要定理，它描述了复函数的导数和复共轭函数的关系。
柯西-黎曼方程如下：$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partialv}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$其中，$u(x,y)$和$v(x,y)$分别表示复函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$的实部和虚部。
在微积分教学中的两点思考
浅谈在微积分教学中的两点思考【摘要】本文从教学实际出发，讨论了在微积分课程的学习过程中的两点思考：一是关于周期函数的原函数的周期性问题，二是在运用洛必达法则时注意结合变量代换法。
【关键词】周期函数；原函数；洛必达法则；变量代换（一）在许多教材或课外辅导文献（比如[1，2]）中都有关于周期函数与其原函数的周期性的讨论，但笔者在教学中发现，由于没有系统地说明这个问题，所以学生碰到这个问题：“已知周期函数f（x）的周期为t，若存在原函数f（x），则f（x）的周期性如何？”时，常常会给出这样一种错误的解法：由原函数与不定积分的关系可知，f（x）+c=∫f（x）dx，于是f（x+t）+c=∫f（x+t）d（x+t）=∫f（x）dx=f（x）+c从而得到f（x+t）=f（x），故f（x）也是一个以t周期的周期函数。
首先，这个结论是错误的，很容易给出反例，比如说，我们取f （x）=1，其原函数f（x）=x，显然f（x）不是周期函数，但f（x）是一个可以将任意实数作为其周期的函数。
那么上面的推导是什么地方出了问题呢？问题出在最后一步推导上，由f（x+t）+c=f（x）+c我们是不能得到f（x+t）=f（x）的！第一个等式表示两个函数集合相等，这里的c代表任意的常数，左边的c可能不同于右边的c，所以一般情况下不能直接将c从等式两边约去而得到第二个等式。
那么这是不是说明周期函数的原函数总是不具备周期性呢？当然不是，这样的例子也很容易给出，比如我们取f（x）=cosx，其原函数f（x）=sin x+1，显然无论是f（x）还是f（x）都是以2π为周期的周期函数。
那么，自然地，我们就会想这样的问题：到底哪些周期函数的原函数仍然具备周期性呢？经过认真思考后，我们发现：对于在一个周期内定积分结果为0的周期函数，它的原函数仍然是周期函数，并且周期不变，即命题1 已知周期函数f（x）的周期为t，若存在原函数f（x），且有∫0tf（t）dt=0，则f（x）也是以t为周期的周期函数。
变量代换在高等数学中的应用
毕业论文（设计）论文（设计）题目：变量代换在高等数学中的应用姓名王中山学号 ***********院系数学与信息科学学院专业数学与应用数学年级 12级应数一班指导教师翟鹏翔2016年04月20日新乡学院本科毕业论文（设计）目录1摘要变量代换法是研究和解决数学问题的方法之一，属于数学方法的一种，变量代换就是把困难的问题先进行变量代换，使它转化成容易的问题。
变量代换在高等数学里是一项十分重要的实用方法，它不仅仅是一种解题技巧，也是一种非常重要的数学思维方法，这种方法几乎贯穿了高等数学的全部内容，它具有灵活性和多样性的特点。
本文通过对变量代换法在高等数学里面函数、极限、微分、积分以及级数运算中的应用进行了总结，对变量代换法的应用进行深入探讨与研究，分析了它的特点和技巧，以便科学地、准确地来解决在学习过程中遇到的一些数学问题，同时也能够让学生在学习高等数学的过程中充分地把握并能够熟练、灵活运用好变量代换这种方法，提高学生的解题能力以及应变能力。
关键词：变量代换法；函数；极限；微分；积分；级数AbstractVariable substitution method is one way to study and solve math problems, a mathematical transformation method belongs, that is going to solve the problem is not easy to be the first variable substitution to make the conversion. It's in the process of learning mathematics is a very important practical methods, not only is an important problem-solving skills, mathematical thinking is an important approach that has permeated the entire contents of the higher mathematics, with flexible Features and diversity. Based on the method of calculation of variable substitution in various sections of higher mathematics are summarized in the application of variable substitution method in the application of certain aspects of higher mathematics in-depth discussion, analysis of the characteristics and skills, in order to science, accurately apply this method to solve math problems, while allowing students to fully grasp in learning mathematics and proficient, flexible use of this method is good to improve students' problem-solving abilitiesKey words：Variable substitution method;function;limitation；differential；integral；series引言目前在高等数学中所提到变量替代法,实质就是将所得到的某些高数当中的式子看作是一个完整的有机整体,然后再使用一个其它的变量来进行代换,从而使将遇到的复杂问题变成简单的问题,换言之,就是用其去变量代换一串比较复杂的式子从而使将代数式的运算变得简单一些,其实这也就是我们在初高中学习的过程中经常使用曾经使用的一种方法----换元法。
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变量代换在微积分中的体现
简单的东西总是容易使人理解和信服，科学的主要任务就是寻找复杂现象背后的基本规律，因此牛顿第二定律只是F=Ma 一个表达式这么简单，但其丰富内涵不言而喻。
对于数学简单与准确更是不变的追求。
可是在处理一些数学问题时常因表达式的繁琐、怪异而找不到突破口，联想到“曹冲称象”的故事，转变研究对象，问题就会变得简便易操作。
具体到数学上就是变量代换的运用。
把某个式子（多项式或函数）用另一个新的变量代替，从而使问题简化，这叫变量代换，也叫换元法。
其实质是转化，关键是设定变量，依据是等量代换，目的就是变换研究对象使复杂问题简单化，非标准问题标准化。
在众多的数学方法中，变量代换因其直观性，可操作性以及非凡的化简能力受到重视。
微积分是高等数学的核心内容，变量代换在微积分中得到了充分体现，其形式灵活多样不拘一格。
具体的技巧有比值代换，三角代换，倒代换，极坐标变换，等价无穷小等等。
形式多样拓宽了解题思路但也会因其灵活而不好把握。
不过只要明白了本质，明确解题目的则有利于解题能力提升和数学思维的培养。
极限理论是微积分的基础，学习极限往往需要求解一些极限，极限的解法很多。
运用两个重要极限以及等价无穷小可以很好体现变量代换的作用。
下面先给出两个重要极限：
lim
X→0SinX
X
=1 lim x→∞
(1+1x )x
=e
怎样利用其求极限，举例分析，例如求 lim X→0
tan3X X
的极限。
可令U=3X 则X=U/3
经适当变形lim
X→0
tan3X X
=lim
U→0
sinU U
3
cosU
=3不难发现主要是把X →0时tan3X X
这样的0
0型化成3X →0时
sinU U
3
cosU
这样的可计算的极限，再通过极限运算法则求解。
由此不难推广到X 为任意形式，
即令U=U(X)当X →0时U →0便可得到lim
u→0sinU
U
=1即
lim x→0sinU(x)
U(x)
=1
同样对lim x→∞
(1+1x
)x
=e 令U=U(X)当X →X 0或X →∞U →∞则
lim U→∞
(1+1
U(x))
U(x)
=e
例如计算 lim x→∞
(1−1x
)kx
( k 为整数) 的极限
令 t=-x x →∞时 t →∞ lim x→∞
(1−1
x
)kx = lim t→∞
(1+1
t
)t(−k)=
1e k
另外等价无穷小的代换可有效简化表达式如求极限lim
x→0
1−cos2x
x
注意到当x →0
1-cos2x ~2x 2
直接代入表达式可化简得lim x→0
zx 2
xcosx =lim x→0
2x
sinx =2 等价无穷小虽简单有效但需要记
忆一些公式，否则很容易出错。
在运用等价变换的过程中要注意其等价条件是否成立，这也是变量代换的基本原则之一，
即要等价性，另一方面还考虑是否简化了运算即简便行原则。
在这两个前提下可适当选取变量来达到化简的目的。
变量代换的另一特点在于其桥梁和纽带的作用，运用其作为中间变量来思考问题而不必真的设出变量，当然设出变量并不影响结果但主要是辅助性手段。
可以说复合函数本身就体现了变量代换的方法，对于复合函数求导直接利用公式即可，有时候写出中间变量反而增加书写量，例如求y=ln(1+X 2)的导数，可设U=1+X 2 则y ′=(ln U )’U ’=
2x 1+x 2
也可以直接把1+X 2
作为一整体，运用复合函数求导法则得到y ′=2x
1+x 2 。
当然变量代换作用不容忽视。
例如： 设f(x)=x(x-1)(x-2)⋯(x-100) 求f ′(0)。
直接求解比较麻烦可以 设g(x)= (x-1)(x-2)⋯(x-100)
则 f(x)=xg(x)这时对f ′ (x )求导得 f ′ (x)=g(x)+x g ′(x) f ′(0)=g(0)+0∙g ′(0)=g(0)=100! 这里的变量代换实际上是构造函数，好像已经超出变量代换的范围，不过要说的是变量代换的思想已经渗透到数学的每一部分中，比如说复合函数极大的丰富了初等函数的类型，但其运用到的技巧中包含变量代换，因此单纯的谈论某一方法并没有多大意义，具体来说只是更好的理解其本质。
积分学极大的拓宽了数学的应用，多重积分的计算最终都是化为定积分。
定积分与不定积分的计算中换元法又起着重要作用，可以说没有了变量代换定积分将变得举步维艰，其形式的多变灵活充分展现了定积分的解题艺术。
我们先看一道题目 例如求I=∫
1+ln X (X ln X)2
dx 其中（x ln x)’=1+ln x
设 U= X ln X 则∫u ′
u 2dx=∫u −2du=- 1
u
+c
这里用到的是第一类换元法，即凑微分法。
主要是设中间变量U=φ(X)且φ(X)可微，便可得
到∫g (x )dx=∫[φ(x )]φ′(x)dx=[∫f (u )du ]u=φ(x )
把函数g(x)积分转化为f(u)的积分。
如果是选择变量代换x=φ(t )可将∫f (x )dx 化为∫φ(t )φ′(t)dt 例如求I =∫x+√a 2−x 2
为正常数)
可令x =asint xϵ(0,a ) t ϵ(0,π2⁄) 则I=∫COSt
sint+cost
π2
⁄0
dt=∫sinudu
cosu+sinu π2
⁄0
令u=2⁄-t=∫dt π
2⁄
0=π4
这两类换元法的应用并没有严格的界限，可以适当的选择。
再比如求I=∫X 3(1+X 2)2
dX
可以令
U=1+x 2 I= 1
2∫
U−1
U 2
du=12ln |u |+ 121u +c= 12ln(1+x 2)+12（1+x 2）
+c
也可以令
x=tant 则dx=set 2tdt I=∫sin 3t
cost dt =−∫
1−cos 2t sint
dcost =−ln |cost|+12cos 2t +c =12ln(1+x 2)+
12（1+x 2）
+c
由此可以看出换元不拘一格，可以随意选取变量来尽可能减少运算，对于两类换元法一般应先考虑凑微分法，在考虑第二类换元法。
在二重积分的计算中我们经常用到极坐标即 x=ρcosθ y=ρsinθ 极坐标是变量代换的一种特殊形式，其效果显而易见。
例如求I=∫dy ∫(x 2+y 2)√a 2−y 2
a
0dx
如果直接利用X 型，Y 型区域计算，因为牵扯到根式化简显得比较麻烦且极易出错，联想到积分区域是圆，考虑用极坐标，
其中0≤θ≤π2 0≤r ≤a ⁄则
I=∫dθ∫r 2a 0π2⁄
∙rdr =
π2[r 44]0a =π8
a 4 可是有时候积分区域很特殊。
即使借助极坐标也无法完成，这时就需要寻求一种更有效的方法，也就是二重积分换元法更一般的形式。
如果要计算I=∬x 2y 2dxdy 其中积分区域D 由曲线xy=1和xy=2直线y=x 和y=4x 所围成的 第一象限区域这样一个问题。
我们画出积分区域以后发现既非X 型也非Y 型。
极坐标也派不上用场，怎么办？
这时可设 xy=u x 2=v 积分区域D ′就变成了Y 型。
又J ϑ(x,y)ϑ(u,v)=−1
2v ≠0
D ′={(u,v)|1≤u ≤4,u ≥4v,u ≤v} 则I=-∬U 2D ′
∙12V dudv =−12∫du ∬dv =7
3u u 4
21ln 2 由此可见选择适当的坐标可以有效的简化运算。
三重积分的思想方法与二重积分一样，只是增加了一个变量以后可以选择不同的坐标来计算，我们知道不同的坐标只是变量代换的形式不同而已，但要特别注意在选择时要理解被积函数与积分区域的关系，以及积分上下限的等效变换。
对于积分概念的推广即曲线积分和曲面积分，其中主要用到的变量代换就是运用参数方程来 求解，其实质是第二类换元法，可以说参数方程简便，准确解决了曲线积分和曲面积分的计算问题，虽然不称其为变量代换但应明白它的内涵和本质。
以上通过实例粗略分析了变量代换方法在极限理论，微分学，不定积分和定积分、二重积分、三重积分以及曲线积分和曲面积分中的基本应用。
可以看出变量代换方法贯穿微积分的始终，几乎渗透到每一种方法中去。
理解其本质转化思想，对于变量代换的应用会更加得心应手，不过这一切的获得都依赖于大量的练习。