常见的几个函数不等式及其应用
几个著名的不等式公式
⼏个著名的不等式公式在数学领域⾥，不等式知识占有⼴阔的天地，⽽⼀个个的重要不等式⼜把这⽚天地装点得更加丰富多彩．下⾯择要介绍⼀些著名的不等式。
三⾓形内⾓的嵌⼊不等式三⾓形内⾓的嵌⼊不等式，在不⾄于引起歧义的情况下简称嵌⼊不等式。
该不等式指出，若A、B、C是⼀个三⾓形的三个内⾓，则对任意实数 x、y、z，有：算术-⼏何平均值不等式在数学中，算术-⼏何平均值不等式是⼀个常见⽽基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和⼏何平均数之间恒定的不等关系。
设为 n 个正实数，它们的算术平均数是，它们的⼏何平均数是。
算术-⼏何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成⽴当且仅当。
算术-⼏何平均值不等式仅适⽤于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、⾃然科学、⼯程科学以及经济学等其它学科都有应⽤。
算术-⼏何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是⼀组包括它的不等式的合称。
例⼦在 n = 4 的情况，设: ，那么可见。
历史上，算术-⼏何平均值不等式拥有众多证明。
n = 2的情况很早就为⼈所知，但对于⼀般的 n，不等式并不容易证明。
1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了⼀般情况的证明，⽤的是调整法，然⽽这个证明并不严谨，是错误的。
柯西的证明1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了⼀个使⽤逆向归纳法的证明：命题P n：对任意的 n 个正实数，1. 当 n=2 时，P2显然成⽴。
2. 假设Pn成⽴，那么P2n成⽴。
证明：对于2n 个正实数，3. 假设P n成⽴，那么P n-1成⽴。
证明：对于n - 1 个正实数，设，，那么由于Pn成⽴，。
但是，，因此上式正好变成综合以上三点，就可以得到结论：对任意的⾃然数，命题P n都成⽴。
这是因为由前两条可以得到：对任意的⾃然数 k，命题都成⽴。
因此对任意的，可以先找 k 使得，再结合第三条就可以得到命题P n成⽴了。
归纳法的证明使⽤常规数学归纳法的证明则有乔治·克⾥斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第⼆卷中给出的：由对称性不妨设xn+1是中最⼤的，由于，设，则，并且有。
高一数学函数不等式知识点
高一数学函数不等式知识点在高一数学课程中，函数不等式是一个重要的知识点。
函数不等式主要涉及到函数的不等关系及其在数轴上的图像表示。
以下是关于高一数学函数不等式的一些基本知识点：一、函数的不等关系函数的不等关系是指函数值之间的大小关系。
在数学中，有几种常见的不等关系，包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）等。
二、一次函数不等式一次函数不等式是指函数中只包含一次项的不等式。
对于一个一次函数f(x) = ax + b，可以利用其函数图像以及不等式的性质来求解不等式。
三、二次函数不等式二次函数不等式是指函数中含有二次项（x²）的不等式。
对于一个二次函数f(x) = ax² + bx + c，可以通过求解二次方程来确定函数的零点，并利用零点将函数的图像分为不同的区间进行讨论。
四、绝对值不等式绝对值不等式是指函数中含有绝对值符号（|x|）的不等式。
对于一个绝对值不等式|f(x)| < a（或> a），可以通过拆分成两个不等式进行求解，包括当f(x) > 0或f(x) < 0时的情况。
五、函数不等式的解集表示当求解函数不等式时，我们通常需要表示其解集。
解集可以通过数轴上的图像表示，或使用区间表示。
在数轴上，解集可以用开区间、闭区间、半开半闭区间等形式表示。
六、函数不等式的解法对于不同类型的函数不等式，我们可以采用不同的解法。
常用的解法包括代入法、分析法、图像法等。
通过选择合适的解法，能够更快速地求解函数不等式问题。
总结：高一数学函数不等式是数学课程中的一个重要知识点，涉及到函数的不等关系、一次函数不等式、二次函数不等式、绝对值不等式等内容。
通过掌握函数不等式的基本知识，我们能够更好地理解和解决相关的数学问题。
在实际应用中，函数不等式也经常被用于解决各种实际问题，对培养学生的逻辑思维和问题解决能力有着重要的作用。
重要不等式使用条件
重要不等式使用条件一、引言在数学中，不等式是一种比较两个数或者变量关系的数学表达式。
不等式的研究对于解决各种实际问题具有重要意义。
在数学中，有许多重要的不等式被广泛应用于各个领域，如数论、代数、几何和概率论等。
本文将介绍一些常见的重要不等式及其使用条件。
二、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是解析几何中的一个基本定理，它描述了内积的性质。
该不等式可以用来证明其他重要定理，如三角形不等式和均值不等式。
不等式表述对于实数集合上的内积空间V中的向量a和b，柯西-施瓦茨不等式可以表示为：|⟨a,b⟩|≤∥a∥∥b∥其中⟨a,b⟩表示向量a和b的内积，∥a∥表示向量a的模。
使用条件柯西-施瓦茨不等式成立的条件是向量空间V上定义了内积，并且满足以下性质：1.正定性：对于任意非零向量a，有⟨a,a⟩>0。
2.齐次性：对于任意标量k和向量a，有⟨k⋅a,b⟩=k⋅⟨a,b⟩。
3.加法性：对于任意向量a、b和c，有⟨a+b,c⟩=⟨a,c⟩+⟨b,c⟩。
满足以上条件的内积空间可以是实数集合上的内积空间或复数集合上的内积空间。
三、三角形不等式三角形不等式是几何学中一个基本的定理，它描述了三角形中边长之间的关系。
该不等式在计算几何学、概率论和信息论等领域得到广泛应用。
不等式表述对于任意三角形的边长a、b和c，三角形不等式可以表示为：|a−b|<c<a+b使用条件三角形不等式成立的条件是边长a、b和c满足以下条件：1.非负性：边长必须大于等于零，即a,b,c≥0。
2.两边之和大于第三边：任意两边之和必须大于第三条边，即a+b>c,a+c>b,b+c>a。
满足以上条件的三个边长可以构成一个有效的三角形。
四、均值不等式均值不等式是数论中的一个重要定理，它描述了一组数的平均值与其他函数之间的关系。
该不等式在概率论、统计学和经济学中得到广泛应用。
不等式表述对于一组实数x1,x2,…,x n，其中n≥2，均值不等式可以表示为：x1+x2+⋯+x nn ≥√x1⋅x2⋅…⋅x n n使用条件均值不等式成立的条件是实数x1,x2,…,x n满足以下条件：1.非负性：所有实数必须大于等于零，即x i≥0。
常用函数不等式
常用函数不等式在数学中，函数不等式是我们经常会用到的概念。
它们可以帮助我们更加深入地理解数学中的关系，进而推导问题的答案。
本文将就常用函数不等式进行讨论。
一、AM-GM不等式AM-GM不等式，即算术平均数不小于几何平均数，可以表示为：$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$其中 $n$ 个数 $a_1, a_2, ..., a_n$ 的算术平均值不小于它们的几何平均值。
这个不等式的应用非常广泛，可以用来解决各种实际问题。
例如，当我们需要在给定的一组数中寻找它们的平均值时，我们就可以使用这个不等式。
另外，当我们需要证明某些不等式时，也可以用这个不等式作为基础。
二、Cauchy-Schwarz不等式Cauchy-Schwarz不等式是一个用于线性代数的不等式，可以表示为：$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2$其中 $a_1, a_2, ..., a_n$ 和 $b_1, b_2, ..., b_n$ 是实数。
Cauchy-Schwarz不等式在Linbox等线性代数库中有着广泛的应用。
在实际问题中，它可以帮助我们更好地理解矩阵和向量的关系。
例如，在机器学习中，数据点可以表示为向量，而许多算法都是基于矩阵运算的。
因此，这个不等式也应用得非常广泛。
三、Chebyshev不等式Chebyshev不等式是一个由俄罗斯数学家Pafnuty Chebyshev发现的不等式，可以表示为：$\frac{1}{n}(a_1 + a_2 + ... + a_n)\cdot (b_1 + b_2 + ... + b_n) \geq\frac{1}{n}(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)$其中 $a_1 \geq a_2 \geq ... \geq a_n$，$b_1 \geq b_2 \geq ... \geq b_n$。
常用函数不等式
常用函数不等式一、引言函数不等式是数学中重要的研究对象之一，它研究函数之间的大小关系。
在实际问题中，函数不等式有着广泛的应用，可以用于证明数学命题、解决最优化问题等。
本文将介绍一些常用函数不等式，帮助读者更好地理解和应用于实际问题中。
二、Cauchy不等式Cauchy不等式是函数不等式中的经典之作，它描述了两个实数序列的内积与其模的关系。
设有两个n维实数向量x=(x1,x2,⋯,x n)和y=(y1,y2,⋯,y n)，则Cauchy 不等式可以表示为：∑x i ni=1y i≤√(∑x i2ni=1)(∑y i2ni=1)其中，等号成立的条件是x和y线性相关。
三、均值不等式均值不等式是函数不等式中的另一类重要不等式，它描述了函数的平均值与其极值之间的关系。
常见的均值不等式有算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）、几何平均-调和平均不等式（GM-HM不等式）等。
1. AM-GM不等式AM-GM不等式是一种简单而常用的函数不等式，它描述了非负实数的算术平均值不小于它们的几何平均值。
对于n个非负实数x1,x2,⋯,x n，AM-GM不等式可以表示为：x1+x2+⋯+x nn ≥√x1x2⋯x n n等号成立的条件是x1=x2=⋯=x n。
2. GM-HM 不等式GM-HM 不等式是描述非负实数的几何平均值不小于它们的调和平均值的函数不等式。
对于n 个非负实数x 1,x 2,⋯,x n ，GM-HM 不等式可以表示为：√x 1x 2⋯x n n ≥n 1x 1+1x 2+⋯+1x n等号成立的条件是x 1=x 2=⋯=x n 。
四、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是函数不等式中的一类重要不等式，它描述了内积与范数之间的关系。
设有两个n 维实数向量x =(x 1,x 2,⋯,x n )和y =(y 1,y 2,⋯,y n )，则柯西-施瓦茨不等式可以表示为：(∑x i n i=1y i )2≤(∑x i 2n i=1)(∑y i 2ni=1)其中，等号成立的条件是x 和y 线性相关。
不等式的解法(复习课)(1)
1、一元一次不等式的法 ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式 ｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式
＞0
=0 ＜0
一元二次方程 ax2+bx+c=0的 根
6、解不等式： ｜x+3｜-｜x-5｜＞7
7、已知关于x的不等式 ax+b＞0的解 集为 (1，+∞ ) ，解不等式
ax b x2 5x 6 ＞0
1、含参数不等式要注意参数的范围、参数引起 的讨论
2、含两个绝对值不等式的解法 ——零值点法
二、应用举例：
1、解关于x的不等式： ax+1＜a2+x
2、已知a≠b，解关于的不等式： a2x+b2(1-x) ≥[ax+b(1-x)]2
3、解关于x的不等式 x2-(a+a2)x+a3 ＞0
4、解关于x的不等式
a xxb 0
b
( ＞a＞b＞0 )
ax b
a
5、解关于x的不等式： ax2-2(a+1)x+4＞0 (其中a≠0)
注意：
1、以后解不等式最后的结果都要写成集合或区间。
2、解不等式时一定要注意“是否有=”。
3、对绝对值不等式一定要分清是 “或”还是“且”， 是求并集还是要求交集。
4、对一元二次不等式，要注意二次项系数a是否大于0
5、数轴标根法—分式不等式—高次整式不等式
6、有关计算的要求------移项、去括号、通分、两边同 乘一个数是正还是负。
常用的积分不等式
常用的积分不等式积分不等式是数学中常用的工具之一，它可以帮助我们对函数的性质进行研究和估计。
在本文中，我们将介绍几个常用的积分不等式，并说明它们的应用。
1. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式是概率论中的重要工具，也可以应用到积分中。
它表明在一个区间上的函数值的平均值与函数值超过平均值的部分之间存在一种关系。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a, b]上可积且有界，则对于任意实数M，有以下不等式成立：∫[a,b] |f(x)|dx ≤ M(b-a)这个不等式告诉我们，如果一个函数在一个区间上的绝对值的积分有界，那么函数在这个区间上的平均值也是有界的。
2. 马尔可夫不等式马尔可夫不等式是用来估计一个非负随机变量的期望值的上界的不等式。
同样地，它也可以应用到积分中。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a, b]上可积且非负，则对于任意实数M，有以下不等式成立：∫[a,b] f(x)dx ≤ M∫[a,b] f(x) dx这个不等式告诉我们，如果一个函数在一个区间上的积分有界，那么函数在这个区间上的值也是有界的。
3. 柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是线性代数中的重要不等式，也可以应用到积分中。
具体来说，如果函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，则有以下不等式成立：∫[a,b] f(x)g(x)dx ≤ (∫[a,b] f(x)^2dx)^0.5 (∫[a,b] g(x)^2dx)^0.5这个不等式告诉我们，如果两个函数在一个区间上的积分有界，那么两个函数的乘积在这个区间上的积分也是有界的。
4. 杨辉不等式杨辉不等式是数论中的一种不等式，它也可以应用到积分中。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，则有以下不等式成立：(∫[a,b] f(x)dx)^2 ≤ (∫[a,b] 1dx)(∫[a,b] f(x)^2dx)这个不等式告诉我们，如果一个函数在一个区间上的积分有界，那么函数的平方在这个区间上的积分也是有界的。
拉格朗日恒等式与几个常用不等式
拉格朗日恒等式与几个常用不等式引言：拉格朗日恒等式与几个常用不等式是数学中重要的概念，其解决问题的思路和应用范围十分广泛。
本文旨在详细阐述拉格朗日恒等式与几个常用不等式的基本概念，以及它们在具体问题中的应用实例。
一、拉格朗日恒等式1.1念拉格朗日恒等式，也称作拉格朗日方程，是一种数学模型，也是数学最常用的优化方法之一。
它的发现者为18世纪的法国数学家安东尼拉格朗日，他用它来证明了泰勒公式。
拉格朗日恒等式的基本形式为：$$f(x_1,x_2,ldots,x_n)=0$$其中，$f(x_1,x_2,ldots,x_n)$一个函数，$x_1,x_2,ldots,x_n$是$n$个变量，它们可以为实数或复数，也可以为其他变量。
1.2义拉格朗日恒等式的本质是优化问题，它的意义是寻找函数最大值或最小值，使函数达到最优状态。
这是一种约束优化问题，约束条件就是拉格朗日恒等式，而优化问题就是最大值或最小值。
1.3用拉格朗日恒等式可以用于解决多元函数的极值问题。
它可以帮助我们找到函数在某个点上的极大值或极小值。
比如，可以用它来求解最小积分问题，最小二乘问题等等。
二、几个常用不等式2.1 不等式的定义不等式是数学中的一种关系，它表达的是两个数量或表达式的关系大小。
不等式分为两个部分，左边是一个不等式符号，右边是另一个数量或表达式。
常见的不等式符号有大于（$>$）、小于（$<$）、大于等于（$geq$）和小于等于（$leq$）。
2.2个常用不等式（1）平方根不等式：$$x ge 0,quad x^2 ge a$$（2）调和数不等式：$$a+b ge 2sqrt{ab},quad a,b ge 0$$（3）同乘数不等式：$$frac{a+b}{2} ge sqrt{ab},quad a,b ge 0$$（4）锐角不等式：$$a ge b+c,quad a,b,c ge 0$$2.3用不等式可以用于最优化问题的求解。
下取整函数满足的不等式
下取整函数满足的不等式取整函数是数学中常见的一种函数，它将一个实数映射到最接近它的整数。
这种函数在计算机科学、物理学、经济学等领域都有广泛的应用。
不等式是数学中常见的表示关系的方式，通过不等式可以描述两个数之间的大小关系。
本文将介绍取整函数满足的一些常见不等式，并探讨它们在实际问题中的应用。
我们来看一下最常见的取整函数——向下取整函数。
对于任意实数x，向下取整函数将x映射到不大于x的最大整数。
即，如果x是一个整数，则向下取整函数的值等于x；如果x是一个小数，则向下取整函数的值等于小于x的最大整数。
向下取整函数可以表示为f(x) = ⌊x⌋，其中⌊x⌋表示不大于x的最大整数。
根据向下取整函数的定义，我们可以得到以下不等式：1. ⌊x⌋ ≤ x，即向下取整函数的值不大于x。
2. ⌊x⌋ ≤ ⌊y⌋，当x ≤ y时，向下取整函数的值满足这一不等式。
除了向下取整函数，还有一种常见的取整函数是向上取整函数。
对于任意实数x，向上取整函数将x映射到不小于x的最小整数。
即，如果x是一个整数，则向上取整函数的值等于x；如果x是一个小数，则向上取整函数的值等于大于x的最小整数。
向上取整函数可以表示为g(x) = ⌈x⌉，其中⌈x⌉表示不小于x的最小整数。
根据向上取整函数的定义，我们可以得到以下不等式：1. x ≤ ⌈x⌉，即向上取整函数的值不小于x。
2. ⌈x⌉ ≤ ⌈y⌉，当x ≤ y时，向上取整函数的值满足这一不等式。
除了向下取整函数和向上取整函数，还有一种常见的取整函数是四舍五入函数。
对于任意实数x，四舍五入函数将x映射到最接近x 的整数。
即，如果x的小数部分小于0.5，则四舍五入函数的值等于不大于x的最大整数；如果x的小数部分大于等于0.5，则四舍五入函数的值等于不小于x的最小整数。
四舍五入函数可以表示为h(x) = round(x)。
根据四舍五入函数的定义，我们可以得到以下不等式：1. |x - round(x)| ≤ 0.5，即四舍五入函数的值与x之间的差的绝对值不大于0.5。
几个重要不等式及其应用
几个重要不等式及其应用一、几个重要不等式以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。
1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式设12,,,n a a a 是非负实数，则12nn a a a n+++≥2、柯西（Cauchy ）不等式设,(1,2,)i i a b R i n ∈=，则222111.n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅰ）：设+∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===⎪⎭⎫⎝⎛≥ni in i i ni ii b a b a 12112；等号成立当且仅当存在R λ∈， 使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i ii n i i ni ii b a a b a 1211。
等号成立当且仅当nb b b === 213．排序不等式设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121⋯≤⋯≤≤≤⋯≤≤是n ,,2,1⋯的一个排列，则n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21。
（用调整法证明）.4．琴生（Jensen ）不等式若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈ *()n N ∈有()()()12121().nn x x x f f x f x f x nn +++≤+++⎡⎤⎣⎦等号当且仅当n x x x === 21时取得。
（用归纳法证明）二、进一步的结论运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到的效果。
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常见的几个函数不等式及其应用武汉市教育科学研究院 孔峰在近几年的高考中，无论是国家考试中心的数学命题，还是一些独立命题省市的数学命题，有一些函数不等式在命题中出现的频率很高，它们在函数的性质的应用中和函数不等式的证明中发挥着很重要的作用，下面分别介绍这些函数不等式.一、函数不等式的介绍（1）)1()1ln(1->≤+≤+x x x xx①证明：令x x x f -+=)1ln()(，则xxx x f +-=-+='1111)(. 当01<<-x 时，0)(>'x f ；当0>x 时，0)(<'x f . 所以)(x f 在0=x 时取得极大值，故0)0()(=≤f x f ， 所以)1()1ln(->≤+x x x .令x xx x g +-+=1)1ln()(，则22)1()1()1(11)(x x x x x x x g +=+-+-+='. 当01<<-x 时，0)(<'x f ；当0>x 时，0)(>'x f . 所以)(x f 在0=x 时取得极小值，故0)0()(=≥g x g ，)1)(1ln(1->+≤+∴x x xx . 综上可知，)1()1ln(1->≤+≤+x x x xx.变式：)0(1ln >-≤x x x ， ②)0(11ln >≥+x x x . ③（2）)1)(1(21ln ≥-≤x x x x ④)10)(1(21ln ≤<-≥x xx x ⑤证明：令)1(21ln )(x x x x f --=，则02)1()11(211)(22≤--=+-='x x xx x f .所以函数)(x f 在),0(+∞单调递减.所以，当1≥x 时，0)1()(=≤f x f ；当10≤<x 时，0)1()(=≥f x f . 所以，不等式④，⑤成立.变式：)0(1)1ln(≥+≤+x x xx ⑥（3）)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x ⑦)10(1)1(2ln ≤<+-≤x x x x ⑧证明：令1)1(2ln )(+--=x x x x f ，则0)1()1()(22≥+-='x x x x f . 所以函数)(x f 在),0(+∞单调递增.当1≥x 时，0)1()(=≥f x f ；当10≤<x 时，0)1()(=≤f x f . 所以，不等式⑦，⑧成立.（4）)10(211)1ln(112ln 1≤<<-+≤-x x x ⑨证明：令x x x f 1)1ln(1)(-+=，则221)1(ln )1(1)(x x x x f +++-='， 而)1(ln ]1)1][ln(1)1[ln()1(ln 1)1(ln )(222222x x x x x x x x x x x x x x f ++-++++=++-+='， 由⑥式)0(1)1ln(≥+≤+x x xx 知，0)(<'x f ，所以)(x f 在10≤<x 上为减函数，12ln 1)1()(-=≥f x f .由⑦式)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x 知211)1ln(1<-+x x . 综上可知，不等式⑨成立.（5）)0(1)211()1ln(≥++≤+x x x x x ⑩ 证明：令1)211()1ln()(++-+=x x x x x f ，则0)1(2)(22≤+-='x x x f . 故0)0()(=≤f x f . 所以，不等式⑩成立.变式：)0)(111(21)11ln(>++≤+x x x x ?利用上述类似构造函数方法，还可以得到以下一些重要不等式： （6）贝努尼不等式：当1->x 时，)0,1(1)1(<≥+≥+αααα或x x ， ? )10(1)1(<<+≤+αααx x ?（7）)0(21)1ln(2≥-≥+x x x x ? 二、常见的函数不等的作用利用上述介绍的函数不等式，无论是去研究函数性质，还是去证明函数不等式或证明数列不等式都会带来许多便利.下面分别联系近几年高考的命题进行说明。
（1）求函数的单调区间或研究函数的单调性，求函数的极值或最值例1 （2008年湖南卷，理21）已知函数xx x x f +-+=1)1(ln )(22.（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若不等式e )11(≤++αn n对任意的*∈N n 都成立，求α的最大值.解：（Ⅰ）对)(x f 求导数，得22)1()1(211)1ln(2)(x x x x x x x f +-+-+⋅+=')]111(21)1[ln(12xx x x +-+-++=.由不等式④)1)(1(21ln ≥-≤x x x x ，⑤)10)(1(21ln ≤<-≥x xx x 可知：当0≥x 时，11≥+x ，有)111(21)1ln(xx x +-+≤+，0)(≤'x f ；当01≤<-x 时，110≤+<x ，有)111(21)1ln(xx x +-+≥+，0)(≥'x f .因此，当0≥x 时，)(x f 为减函数；当01≤<-x 时，)(x f 为增函数.（Ⅱ）由e )11(≤++αn n 可知，1)11ln()(≤+⋅+n n α，所以n n-+≤)11ln(1α. 记]1,0(1∈=t n，则t t 1)1ln(1-+≤α，]1,0(∈t .由不等式⑨)10(211)1ln(112ln 1≤<<-+≤-x x x ，可知12ln 11)1ln(1-≥-+t t ，12ln 1-≤∴α.所以，α的最大值为12ln 1-.（2）利用常用不等式求参数的取值范围例2 （2010年全国卷，理22）设x x f --=e 1)(.（Ⅰ）证明：1->x 时，1)(+≥x xx f ；（Ⅱ）设0≥x 时，1)(+≤ax xx f ，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）利用分析法，结合①式)1()1ln(1->≤+≤+x x x xx可以证明.（Ⅱ）因为1e110+≤-<ax xx 在0≥x 时恒成立，所以01>+ax 在0≥x 时恒成立，则0≥a .另一方面，由1e110+≤-<ax xx ，得x a x x 11e e --≤.令t x =e ，由0≥x 知1≥t .)1(ln 11≥--≤∴t tt t a .由不等式⑦)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x 可知)1(1)1(2ln ≥+-≥t t t t ，所以1>t 时，21)1(211ln 11=-+-->--t t t t t t t .又由导数定义可知11ln lim 1=-→t tt ，所以21ln )1(lim 1=-+→t t t t ，故21ln 11≥--t t t .综上，所求a 的取值范围为]21,0[.例3 （2014年湖南卷，理22）已知常数0>a ，22)1ln()(+-+=x xax x f .（Ⅰ）讨论)(x f 在区间),0(+∞上单调性；（Ⅱ）若)(x f 存在两个极值点21,x x ，且0)()(21>+x f x f ，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）222)2)(1()1(4)2(41)(++--=+-+='x ax a ax x ax a x f . 因为0)2)(1(2>++x ax ，所以当01≤-a ，即1≥a 时，0)(≥'x f 恒成立，则函数)(x f 在区间),0(+∞上单调递增.当10<<a 时，由0)(='x f ，得a a a x )1(2-±=.则函数)(x f 在区间))1(2,0(aa a -单调递减，在),)1(2(+∞-aa a 单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，10<<a 时才可能出现两个极值点21,x x ，且021=+x x ，aa x x )1(421-=. 而22)1ln(22)1ln()()(22211121+-+++-+=+x x ax x x ax x f x f 44)(2)4(4])(1ln[21212121221-+++++++++=x x x x x x x x a x x a2122)12ln(2--+-=a a)1121|12|(ln 2--+-=a a ，此时1121<-<-a .由不等式③)0(11ln >≥+x xx 可知：要使0)()(21>+x f x f 恒成立，必需1120<-<a ，从而121<<a .所以，所求a 的取值范围为)1,21(.（3）利用常见不等式比较大小例4 （2013年陕西卷，理21）已知函数x x f e )(=，R ∈x .(Ⅰ) 若直线1+=kx y 与)(x f 的反函数的图像相切，求实数k 的值； (Ⅱ) 设0>x ，讨论曲线)(x f y =与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数；(Ⅲ) 设b a <，比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小，并说明理由.解：(Ⅰ) )(x f 的反函数x x g ln )(=.设直线1+=kx y 与x x g ln )(=相切与点)ln ,(00x x ， 则⎪⎩⎪⎨⎧='=+=,1)(,1ln 0000x x g k kx x 解之得2e -=k . (Ⅱ) 由2e mx x= ，得2e xm x=.令2e )(x x g x =，则3)2(e )(x x x g x -='.当20<<x 时，0)(<'x g ；当2>x 时，0)(>'x g . 所以2=x 是极小值点.从而可知，在4e 2<m 时无交点；在4e 2=m 时有一个交点；在4e 2>m 时有两个交点.(Ⅲ) 记ab a b a f b f b f a f M ab b a ---+=---+=e e 2e e )()(2)()(，令0>=-t a b ， 则ta b M at a t a a a b b a e e 2e e e e 2e e --+=---+=++ )]2()2(e [2e )1e 2e 1(e ++-=--+=t t tt t a t ta .再令0),2()2(e )(>++-=t t t t h t ， 在2≥t 时，可知0)(>t h .在20<<t 时，可证明ttt -+<22e .事实上，令t t t -+='22，则1>'t ，且112+'-'=t t t .只需证)1(ln 1)1(2>''<+'-'t t t t .而由常见不等式⑦)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x 可知上式恒成立.从而0)2()2(e )(>++-=t t t h t 在0>t 时恒成立.所以0>M ，即ab a f b f b f a f -->+)()(2)()(. （4）利用常用不等式研究存在性问题例5（2011年湖南卷，文22）设函数)(ln 1)(R ∈--=a x a xx x f .（Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若)(x f 有两个极值点1x 和2x ，记过点))(,(11x f x A ，))(,(22x f x B 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得a k -=2？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞.22211'()1a x ax f x x x x -+=+-=令1)(2+-=ax x x g ，其判别式42-=∆a .当22≤≤-a 时，0≤∆，0)(≥'x f ，故)(x f 在),0(+∞上单调递增． 当2-<a 时，而0>x ，有0)(≥'x f ，故)(x f 在),0(+∞上单调递增．当2>a 时，0>∆，012=+-ax x 的两根为2421--=a a x ，2422-+=a a x .故)(x f 在),0(1x 上单调递增，在),(21x x 上单调递减，在),(2+∞x 上单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2>a ，且a x x =+21，121=x x ．因为1212121212()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+--，所以21212121212121ln ln 2ln ln 11)()(x x x x a x x x x a x x x x x f x f k --⋅-=--⋅-+=--= 若存在a ，使得a k -=2，则1ln ln 2121=--x x x x .而121=x x ，所以2221ln 2x x x -=.由不等式④)1)(1(21ln >-≤x xx x 可知上式不可能成立，故不存在a ，使得a k -=2.（5）利用常用不等式证明不等式例6 （2013年全国大纲卷，理22）已知函数xx x x x f ++-+=1)1()1ln()(λ.（Ⅰ）若0≥x 时，0)(≤x f ，求λ的最小值；（Ⅱ）设数列}{n a 的通项n a n 131211++++=Λ，证明：2ln 412>+-na a n n .解：（Ⅰ）由已知0)0(=f ，22)1()21()(x x x x f +--='λλ，0)0(='f . 若21<λ，则当)21(20λ-<<x 时，0)(>'x f ，所以0)(>x f .若21≥λ，则当0>x 时，0)(<'x f ，所以0)(<x f .综上，λ的最小值是21.（Ⅱ）由不等式⑩)0(1)211()1ln(≥++≤+x x x x x ，令nx 1=，有 )111(21)11ln(++<+n n n .于是)111(21ln )1ln(++<-+n n n n ，)2111(21)1ln()2ln(+++<+-+n n n n ，……)21121(21)12ln()2ln(nn n n +-<--，以上各式相加，得n n n n n n 41)21211(ln 2ln +++++<-Λn a a n n 412+-=. 所以2ln 412>+-na a n n .例7（2016全国卷Ⅰ，理21）已知函数2)1(e )2()(-+-=x a x x f x 有两个零点.（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x 1，x 2是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x . 解：（Ⅰ）令t x =-1，则1+=t x .因为函数2)1(e )2()(-+-=x a x x f x 有两个零点， 所以21e )1()(at t t g t +-=+有两个零点，而0≠t ， 所以tt t t t t a e )(e e )1(1221--+-=-=.记t t tt m e )(e )(12---=，则1321223e 2]e )(e )2(e[)(+----+-=-++-=t tt tt t tt tt m .列表如下：所以，当0>a 时，)(t g 有两个零点，其中一个零点01>t ，另一个零点02<t .综上，a 的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知0>a 时，)(t g 有两个零点1t 和2t ，其中0111>-=x t ，0122<-=x t ，即存在01>t ，02<t 使得)(e )1()(e )1(222121211121t m t t t m t t a t t =-==-=++.下面证明021<+t t .记21e )1()(t t t m t +-=，则21e )1()(t t t m t +-+=-，先证明不等式)()(t m t m >-在0>t 时恒成立.（ⅰ）当1≥t 时，0)(>-t m ，0)(<t m ，所以)()(t m t m >-. （ⅱ）当10<<t 时，要证2121e )1(e )1(t t t t t t ++-->+， 只需证t t t -+<11e 2，即ttt -+<11ln 2. 记111>=-+u t t ，只需证)1(1)1(2ln >+->u u u u 恒成立. 令1)1(2ln )(+--=u u u u F ，则0)1()1()(22≥+-='u u u u F ， 所以0)1()(=>F u F ，从而)()(t m t m >-在)1,0(∈t 时恒成立. 所以，)()(t m t m >-在0>t 时恒成立.因为)()(21t m t m a ==，02<t ，02>-t ，所以)()(22t m t m <-. 所以)()()(221t m t m t m ->=.又)(t m 在),0(+∞上单调递减，所以21t t -<，从而021<+t t ， 所以0)1()1(21<-+-x x ，故221<+x x .总之，从2006年开始，在近十年的高考数学命题中，这些常见的函数不等式在全国卷中出现的频率是最高的，其次在湖南省、湖北省、陕西省的独立命题中出现也很频繁，在山东省、天津市、辽宁省、广东省等省市的独立命题也时常出现.这些不等式是一种很好的桥梁，能够有效地将一些条件和结论联系起来，无论处理选择题与填空题，还是解决解恨答题，恰当的使用的确能起到事半功倍的效果，要引起广大教师和考生的高度重视，对导数和函数这一部分的复习起到画龙点睛的作用.。