人教版数学九年级上册 第二十二章《二次函数》章节知识点归纳复习总结

人教版数学九年级上学期《二次函数》

章节知识点归纳总结

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：

（1）一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。 （2）这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b c ，可以为零．二

次函数的定义域(x)是全体实数．

2. 二次函数 2y ax bx c =++ 的结构特征：

（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． （2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．

3. 二次函数解析式的几种形式

（1）一般式：y=ax 2

+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0） （2）顶点式：y=a(x-h)2

+k [抛物线的顶点P （ h ，k ）]

（3）交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)

[仅限于与x 轴有交点A （x 1，0）和 B （x 2，0）的抛物线]

其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax 2

+bx+c ＝0的两个根，a ≠0. x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-)/2a

在三种形式的互相转化中，有如下关系:

h= -b / 2a ； k=(4ac-b 2) / 4a ； x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-) / 2a

说明：

(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)；

(2) 当h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；

当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；

当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点；

(3) 如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax2；

如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax2+k

4.抛物线的性质

（1）.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线 x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

（2）.抛物线有一个顶点P:

顶点坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b2)/4a ].

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上。

（3）.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；

当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。|a|越小开口就越大.

（4）.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。（概括说就是“左同右异”）当a与b同号时（即ab＞0），对称轴x = -b/2a在y轴左侧；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴x = -b/2a在y轴右侧。

（5）.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）

（6）.抛物线与x轴交点个数

Δ= b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

（7）.二次函数与一元二次方程

二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方

程（以下称方程），即ax2+bx+c=0 .

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点横坐标即为方程的根。

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2

=的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

y ax

2. 2

=+的性质：上加下减。

y ax c

3. ()2

y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2

y a x h k =-+的性质：

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式．．．．．．．．．．．．．()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

2. 平移规律:

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字:“左加右减，上加下减”．

四、二次函数

()2

y a x h k

=-+与

2

y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，

后者通过配方可以得到前者，即 2

y ax bx c =++变为：2

2424b ac b y a x a a -?

?=++ ???

，其中

五、二次函数

2

y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??

-- ???

，． 当2b

x a

<-时，y 随x 的增大而减小； 当2b

x a

>-

时，y 随x 的增大而增大； 当2b

x a

=-时，y 有最小值244ac b a -．

2

424b ac b h k a a

-=-=

，

2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??

-- ???

，．

当2b

x a

<-时，y 随x 的增大而增大； 当2b

x a

>-

时，y 随x 的增大而减小； 当2b

x a

=-时，y 有最大值244ac b a -．

六、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写

成交点式，

只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二

次函数解析式的这三种形式可以互化.

七、二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．（利用对称轴）

【 理解：如果a+b+c=0，则函数过点（1，0）； 如果a-b+c=0，则函数过点（-1，0）】