必修二空间点、直线、平面之间的位置关系讲义
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一、平面的基本知识1、平面的概念：具有无限延展性，它是理想的、绝对的平且无大小，无厚薄，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．不可度量。
．．．．．2、平面的表示：平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线。
点与平面平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A 在平面α内，记作：A ∈α 点B 在平面α外，记作：B ∉α二、平面的基本性质1、公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
三、平行公理：平行于同一直线的两条直线平行。
四、等角定理定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
推论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
五、异面直线1、空间直线位置关系（1）在同一平面内⎩⎨⎧平行直线相交直线 （2）不同在任何一平面内：异面直线2、异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
3、两条异面直线所成的角：已知异面直线a 、b ，经过空间中任一点O 作直线 a ˊ∥a 、b ˊ∥b ，我们把a ˊ与b ˊ所成的锐角．．（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）。
注意：① a ˊ与b ˊ所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈⎥⎦⎤⎝⎛2,0π ； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．a ．⊥．b ．； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
求异面直线所成的角的步骤：（1）选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；[这里的点通常是特殊点，比如中点或端点]（2）将这个角度放入某一个三角形中；（3）在这个三角形中，计算这个角的大小。
[勾股定理、三角函数、正弦定理、余弦定理]六、空间直线与平面之间的位置关系1、直线和平面的位置关系，按公共点的个数可分为三类：（1）直线和平面有无数个公共点，则直线在平面内．．．．．．；（2）直线和平面有且只有一个公共点，则直线与平面相交．．．．．．．；（3）直线和平面没有公共点，则直线与平面平行．．．．．．．。
a ⊂α a ∩α＝A a ∥α2、平面与平面之间的位置关系：（1）两个平面平行—没有公共点；（2）两个平面相交—有一条公共直线。
例1：判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1）如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a ，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a 。
( )（2）两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线。
( ) （3）两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于A 点，并记作α∩β＝A 。
( ) （4）两个平面ABC 与DBC 相交于线段BC 。
( ) （5）经过两条相交直线，有且只有一个平面。
( ) （6）没有公共点的两条直线是异面直线。
( ) 【解析】：1. √2. ×3. ×4. ×5. √6. × 变式练习1：下列命题正确的个数为( )①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】 C ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．变式练习2：已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b ( )A ：一定是异面直线B ：一定是相交直线C ：不可能是平行直线D ：不可能是相交直线【解析】 C 由已知得直线c 与b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b ∥c ，则a ∥b ，与已知a 、b 为异面直线相矛盾．变式练习3：两两平行的三条直线可确定______个平面。
【解析】1或3 三直线共面确定1个，三直线不共面，每两条确定1个，可确定3个．变式练习4：已知异面直线a ，b 分别是平面α，β内，且α∩β＝c ，那么直线c 一定（ ）A ：与a ，b 都相交B ：只能与a ，b 中的一条相交C ：至少与a ，b 中的一条相交D ：与a ，b 都平行【解析】：C 例2：在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1B 1、A 1D 1的中点，则A 1B 与EF 所成的角大小为____________。
αβαβLA 1【解析】：60度例3：如图所示的正方体中，E 是A 1D 1的中点。
（1）求直线BA 1和CC 1所成的角的大小； （2）求直线AE 和CC 1所成的角的正切值； （3）求直线AE 和BA 1所成的角的余弦值。
变式练习1：如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AD ，AA 1的中点。
（1）求直线AB 1和直线CC 1所成的角的大小。
（2）求直线AB 1和直线EF 所成的角的大小。
变式练习2：在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小。
【解析】：60度变式练习3：如图所示几何体A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA ＝90°，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点若BC ＝CA ＝CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值。
FA 1B1A 1F 1AB CD 1C 1A 1B 1变式练习4：在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑。
如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ） A ：21 B ：－21 C ：23 D ：－23 【解析】：A课 后 综 合 练 习1、下列命题正确的个数为( )． ①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合。
A ：0 B ：1 C ：2 D ：3 【解析】 ①④错误，②③正确。
C2、若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是 ( )． A ：平行 B ：异面 C ：相交 D ：平行、异面或相交 【解析】D.3、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分为( ) A ：5部分 B ：6部分 C ：7部分 D ：8部分 【解析】 C4、一个正方体的展开图如图所示，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )。
A ：AB ∥CD B ：AB 与CD 相交C ：AB ⊥CD D ：AB 与CD 所成的角为60° 【解析】 如图，把展开图中的各正方形按图(a)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图(b)所示的直观图，可见选项A 、B 、C 不正确．∴正确选项为D.图(b)中，DE ∥AB ，∠CDE 为AB 与CD 所成的角，△CDE 为等边三角形，∴∠CDE ＝60°.答案 D 5、如图，四棱锥SABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )．A ：AC ⊥SBB ：AB ∥平面SCDC ：SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ：AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角 【解析】 D6、如图，正四棱柱ABCD —A1B 1C 1D 1(底面为正方形，侧棱与底面垂直)中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( ) A ：51 B ：52 C ：53 D ：54 【解析】：连接BC 1，A 1C 1，则A 1B 与BC 1所成角即为所求。
在△A 1BC 1中，设AB ＝a ，则A 1B ＝BC 1＝5a ，A 1C 1＝2a ，∴cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋C 1B 2－A 1C 212A 1B ·C 1B＝45。
【答案】：D7、已知互相垂直的平面α、β交于直线l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则（ ） A ：m ∥l B ：m ∥nC ：n ⊥lD ：m ⊥n【答案】C8、下列命题中正确的个数是( )①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点。
A ：0 B ：1 C ：2 D ：3【答案】 B9、已知a ，b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a ，b 在α上的射影有可能是： ①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点． 在上面结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)． 【解析】 ①②④10、四面体SABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，求异面直线EF 与SA 所成的角。
【解析】：45度FAB CE S11、如图，三棱锥A —BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M 、N 分别是AD 、BC 的中点，求异面直线AN 和CM 所成的角的余弦值。
【解析1】（几何法）如图，连接DN ，取DN 中点P ，连接PM 、PC ，则PMC 即为AN 和CM 所成角（或其补角），易得AN CM DN ===PM PN =，PC ∴2227cos8PCM ∠==.∴异面直线AN 和CM 所成的角的余弦值是78.。
高中数学必修二8.4《空间点、直线、平面位置关系》课件
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
解析：D [如图，连接体对角线 AC1，显然 AC1 与棱 AB，AD， AA1 所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体 对角线，如连接 BD1，则 BD1 与棱 BC，BA，BB1 所成的角都相等， ∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线 BD1 与棱 AB，AD，AA1 所成的 角都相等，同理，体对角线 A1C，DB1 也与棱 AB，AD，AA1 所成的 角都相等，过 A 点分别作 BD1，A1C，DB1 的平行线都满足题意，故 这样的直线 l 可以作 4 条．]
的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为( )
A.
2 2
B.
3 2
5 C. 2
7 D. 2
解析：C [如图，因为 AB∥CD，所以 AE 与 CD 所成的角为∠ EAB.在 Rt△ABE 中，设 AB＝2，
则 BE＝ 5，则 tan∠EAB＝BAEB＝ 25，所以异面直线 AE 与 CD 所 成角的正切值为 25，故选 C.]
[典例] (1)若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面 α 内，l2 在平面
β 内，l 是平面 α 与平面 β 的交线，则下列命题正确的是(
)
A．l 与 l1，l2 都不相交 B．l 与 l1，l2 都相交 C．l 至多与 l1，l2 中的一条相交 D．l 至少与 l1，l2 中的一条相交
解析：B [本题为立体几何中的问题，考查垂直关系，线面、线 线位置关系．∵△BDE 中，N 为 BD 中点，M 为 DE 中点，∴BM， EN 共面相交，选项 C，D 为错．作 EO⊥CD 于 O，连接 ON，过 M 作 MF⊥OD 于 F.
高中数学人教版必修2精品PPT课件-空间点直线平面之间的位置关系三课时-【完整版】
问题1 同一平面上直线与直线有几种位置关系?
直线与直线相交或平行两种位置关系
问题2 观察一下教室里,日光灯,窗台边缘线，
黑板边缘线，横梁等，说说空间中直
线与直线有几种位置关系?
D
两路相交
A
B
两直线既不平
C
行也不相交
立交桥
六角螺母
C A
异面
D B
异面直线：不同在任 何一个平面内的两条 直线
空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与 平面之间的位置关系
高中数学人教版必修2课件：空间点直 线平面 之间的 位置关 系三课 时-精 品课件p pt(实 用版)
问题1
请找 一下一支铅笔所在直线与桌面所在平 面有哪些位置关系？
问题2
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探索 (1)有.(2)垂直.(3)不一定
题型2 异面直线定义的应用
例3
题型3 异面直线定义的判定
方法 (1)反证法 (2)判定定理:过平面外一点与平面内一点
例3 的直线和平面内不过该点的直线异面.
题型4 异面直线所成的角
例4
例5
课内练习
课本P48练习1、2
作业
训练P27 全部习题
第三课时
“平面”是指什么？
几何里的“平面”是： 从桌面、海面、黑板 面这些物体中抽象出来的，是无限延展的。
问题3 请你从适当的角度和距离观察桌面、黑板面、
门的表面，说说它们成什么形状？ 平行四边形
问题4 通常用什么样的平行四边形来表示平面呢？
平面的画法
平面的表示 方法
问题5 两个相交平面怎样画呢？
高中数学新课标人教A版必修2：空间点、直线、平面之间的位置关系 课件
2．(必修 2 第 45 页例 2 改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂
直，顺次连接四边中点的四边形一定是
()
A．梯形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
解析：如图所示，易证四边形 EFGH 为平行四
边形，因为 E，F 分别为 AB，BC 的中点，所以
EF∥AC，又 FG∥BD，所以∠EFG 或其补角为
AC 与 BD 所成的角，而 AC 与 BD 所成的角为
[提醒] 直线 l 和平面 α 相交、直线 l 和平面 α 平行统称为直线 l 在平面 α 外，记作 l⊄α.
[逐点清]
5．(易错题)若 a∥α，b∥β，α∥β，则 a，b 的位置关系是( )
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行或异面或相交
解析：如图①②③所示，a，b 的关系分别是平行、异面、相交．
答案：D
B1C 与 EF 所成角的大小为
A．30°
B．45°
()
பைடு நூலகம்C．60°
D．90°
解析：连接 B1D1，D1C(图略)，则 B1D1∥EF，故∠D1B1C 为所 求的角．又 B1D1＝B1C＝D1C， ∴∠D1B1C＝60°. 答案：C
4.如图，在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中，M，N
分别为棱 C1D1，C1C 的中点，有以下四个结论：
EF 相交的是
()
A．直线 AA1 C．直线 A1D1
B．直线 A1B1 D．直线 B1C1
解析：只有 B1C1 与 EF 在同一平面内，是相交的，选项 A，B， C 中直线与 EF 都是异面直线，故选 D.
答案：D
2．若直线上有两个点在平面外，则
()
8.4空间点、直线、平面之间的位置关系-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册同步讲义
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系1、平面的概念（1）平面的定义几何里所说的“平面”是从课桌面、黑板面、海洋这样一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的．平面的两个特点：①平；②无限延展性．点评：平面和点、直线的概念类似，是一个不加定义的原始概念，只能通过描述加以理解．正像点的特征是没有形状、大小、质量一样，直线也没有粗细、长短，可以无限延伸；平面也是无边界、无厚度、不可度量的．（2）平面的画法．①水平放置的平面通常画成一个平行四边形；②它的锐角通常画成45°；③横边长等于其邻边长的2倍．如果一个平面被另一个平面遮住，为增强立体感，把挡住的部分用虚线画出来(如图所示)．（3）平面的表示．下图所示的平面可表示为：①平面ABCD；②平面AC；③平面α.2、空间点、直线、平面的位置关系及三种语言的转化文字语言表达数学符号语言图形表示点A在直线l上A∈l知识梳理点A在直线l外A∉l点A在平面α内A∈α点A在平面α外A∉α直线l在平面α内l⊂α直线l在平面α外l⊄α直线l，m相交于点A l∩m＝A平面α，β相交于直线l α∩β＝l3、平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α，使A，B，C∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α且P∈β⇒α∩β＝l且P∈l4、空间两条直线的位置关系：①从是否有公共点的角度来分：②从是否共面的角度来分：5、异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．（2）画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托)．6、平行公理(公理4)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行的传递性．符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a∥bb∥c⇒a∥c.7、等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．如图，AB∥A1B1，BC∥B1C1，对于∠ABC与∠A1B1C1两个角的方向相同，这两个角相等；对于∠ABC与∠E1B1C1两个角的方向不同，这两个角互补，即∠ABC＋∠E1B1C1＝180°.8、直线和平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点无公共点符号表示a⊂αa∩αa∥α图形表示9、两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β有无数个(在一条直线上)题型一平面例1如图，四棱锥P ABCD-，AC BD O=，M是PC的中点，直线AM交平面PBD于点N，则下列结论正确的是（）A．,,,O N P M四点不共面B．,,,O N M D四点共面知识典例C ． ,,O N M 三点共线D ． ,,P N O 三点共线【答案】D 【分析】根据公理一、二、三逐一排除即可． 【详解】直线AC 与直线PO 交于点O ，所以平面PCA 与平面PBD 交于点O ，所以必相交于直线PO ，直线AM 在平面PAC 内，点N AM ∈故N ∈面PAC ，故O N P M ，，，四点共面，所以A 错． 点D 若与M,N 共面，则直线BD 在平面PAC 内，与题目矛盾，故B 错．O,M 为中点，所以OM //PA ，ON PA P ⋂=，故ON OM O ⋂=，故C 错．故选D ．下列说法正确的是______. ①平面的厚度是5cm ；②经过一条直线和一个点确定一个平面； ③两两相交且不共点的三条直线确定一个平面； ④经过三点确定一个平面. 【答案】③ 【分析】根据欧式几何四个公理，对四个说法逐一判断是否正确. 【详解】对于①，由于平面是可以无限延伸的，故①说法错误.对于②，这个必须在直线外，故②判断错误.对于③，由于三个交点各不相同，根据公理2可知，③说法正确.对于④，这三个点必须不在同一条直线上，故④判断错误.故本小题答案为：③.题型二 异面直线例 2 若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 的位置关系为( )巩固练习A．相交、平行或异面B．相交或平行C．异面D．平行或异面【答案】A【分析】根据异面直线的定义可得直线a，c的位置关系可能相交，可能平行，可能是异面直线．【详解】因为a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系可能相交，可能平行，也可能是异面直线．如下图所示，满足题意的条件，图①中a，c相交，图②中a，c平行，图③中a，c是异面直线. 故选：A．在正方体1111ABCD A B C D中，1BD与1B C是（）A．相交直线B．平行直线C．异面直线D．相交且垂直的直线【答案】C【分析】根据异面直线的概念可判断出1BD与1B C是异面直线.【详解】巩固练习由图形可知，1BD与1B C不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线.故选：C.题型三三点共线例3如下图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B，D，O三点共线．证明：要证三点共线，只需确定一点在另两点确定的直线上即可．∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD，∴EH⊂平面ABD，∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.同理O∈平面BCD，即O∈平面ABD∩平面BCD.又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD，即B，D，O三点共线．在四面体ABCD中，E，H分别是线段AB，AD的中点，F，G分别是线段CB，CD上的点，且12CF CGBF DG==．求证：（1）四边形EFGH是梯形；巩固练习（2）AC ，EF ，GH 三条直线相交于同一点． 【答案】（1）见证明；（2）见证明 【分析】（1）连结BD ，推导出∥EH FG 且EH FG ≠，由此能证明四边形EFGH 是梯形． （2）设EFHG K =，则K ∈平面ABC ，K ∈平面ACD ，由平面ABC 平面ACD AC =，得K AC ∈，由此能证明AC ，EF ，GH 三条直线相交于同一点． 【详解】证明：（1）连结BD ，∵E ，H 分别是边AB ，AD 的中点， ∴∥EH BD ，且12EH BD =，又∵13CF CG CB CD ==， ∴∥FG BD ，且13FG BD =，因此∥EH FG 且EH FG ≠， 故四边形EFGH 是梯形．（2）由（1）知EF ，HG 相交，设EFHG K =，∵K EF ∈，EF ⊂平面ABC ，∴K ∈平面ABC ， 同理K ∈平面ACD ，又平面ABC 平面ACD AC =，∴K AC ∈，故EF 和GH 的交点在直线AC 上．所以AC ，EF ，GH 三条直线相交于同一点．题型四点线面位置关系例4已知直线l，m与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是（）A．若l∥m，则必有α∥βB．若l⊥m，则必有α⊥βC．若l⊥β，则必有α⊥βD．若α⊥β，则必有m⊥α【答案】C【分析】对各选项举出反例或者根据判定定理进行判断即可【详解】解：对于选项A，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A错误；对于选项B，平面α和平面β还有可能相交或平行，所以选项B错误；对于选项C，因为l⊂α，l⊥β，符合面面垂直的判定定理，所以α⊥β，所以选项C正确；对于选项D，直线m可能和平面α不垂直，所以选项D错误．故选：C．下列四个命题中正确的是（）① 如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行；② 过直线外一点有无数个平面与这条直线平行；③ 过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；④ 过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行．A．①④B．②③C．①②③D．①②③④【答案】B【分析】①可由空间中直线与平面的位置关系判断；② ③可由直线与平面平行的性质判断；④可用排查法判断．【详解】空间中直线与平面的位置关系有相交，平行与直线在平面内①错误，直线还可能与平面相交②正确③正确因为过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线都在与这个平面平行的平面内．④不一定正确 ,当点在其中一条直线上时，不存在平面与两条异面直线都平行.巩固练习故选B.巩固提升1、已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直【答案】B【分析】当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线；由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线；β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内；β内有无数条直线与l垂直，则β与α不一定垂直. 【详解】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D中，β内有无数条直线与l垂直，则β与α不一定垂直，故D错误．故选：B．2、下列说法中正确的是( )A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行D．过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行【答案】D【分析】根据空间点、线、面间的位置关系进行判断，即可得出结论.【详解】解：对于A ，当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故A 错；对于B ，由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故B 错；对于C ，过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，如过正方体的上底面的中心任意作一条直线（此直线在上底面内），此直线均与下底面平行，故C 错；对于D ，过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故D 对.故选：D.3、若直线a 不平行于平面α且a α⊄，则下列结论成立的是( )A ．平面α内的所有直线与a 异面B ．平面α内不存在与a 平行的直线C ．平面α内存在唯一的直线与a 平行D ．平面α内的直线与a 都相交 【答案】B【分析】由题意知直线a 与平面α相交，依次判断选项即可.【详解】解:由条件知直线a 与平面α相交，则平面α内的直线与a 可能相交，也可能异面.不可能平行故选:B.4、如图在三棱柱111ABC A B C -中，下列直线与1AA 成异面直线的是（ ）A ．1BBB ．1CC C ．11B CD ．AB【答案】C【分析】 根据空间中直线与直线的位置关系判断出各选项中的直线与直线1AA 的位置关系，可得出结论.【详解】由在三棱柱111ABC A B C -中，11//BB AA ，11//CC AA ，11B C 与1AA 异面，1AA AB A =.5、经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )A ．1个B ．2个C ．无数个D ．1个或无数个【答案】D【分析】讨论平面α外一点和平面α内一点连线，与平面α垂直和不垂直两种情况.【详解】（1）设平面ABCD 为平面α，点1A 为平面α外一点，点A 为平面α内一点，此时，直线1AA 垂直底面，过直线1AA 的平面有无数多个与底面垂直；（2）设平面ABCD 为平面α，点1B 为平面α外一点，点A 为平面α内一点，此时，直线1AB 与底面不垂直，过直线1AB 的平面，只有平面11ABB A 垂直底面.综上，过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有1个或无数个，故选D.6、若平面α和直线a ，b 满足aA α=，b α⊂，则a 与b 的位置关系一定是（ ） A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或异面【答案】D【分析】当A b ∈时a 与b 相交，当A b ∉时a 与b 异面.【详解】当A b ∈时a 与b 相交，当A b ∉时a 与b 异面.故答案为D7、下列说法正确的是（ ）A ．不共面的四点中，其中任意三点不共线B ．若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则A ，B ，C ，D ，E 共面C ．若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面D ．依次首尾相接的四条线段必共面【答案】A利用反证法可知A 正确；直线DE 与直线AC 异面时，,,,,A B C D E 不共面，排除B ；C 中,b c 可为异面直线，排除C ；D 中四条线段可构成空间四边形，排除D .【详解】A 选项：若任意三点共线，则由该直线与第四个点可构成一个平面，则与四点不共面矛盾，则任意三点不共线，A 正确；B 选项：若,,A BC 三点共线，直线DE 与直线AC 异面，此时,,,,A B CDE 不共面，B 错误；C 选项：,a b 共面，,a c 共面，此时,b c 可为异面直线，C 错误；D 选项：依次首尾相接的四条线段可构成空间四边形，D 错误.本题正确选项：A8、已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．若α∥β,m ⊂α,n ⊂β，则m ∥nB ．若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βC ．若α⊥β,m ⊂α,n ⊂β,则m ⊥nD ．若α∥β，m ⊂α，则m ∥β【答案】D【分析】在A 中，m 与n 平行或异面；在B 中，m 与β相交、平行或m β⊂；在C 中，m 与n 相交、平行或异面；在D 中，由线面平行的性质定理得//m β．【详解】由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A 中，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行或异面，故A 错误；在B 中，若αβ⊥，m α⊂，则m 与β相交、平行或m β⊂，故B 错误；在C 中，若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m 与n 相交、平行或异面，故C 错误；在D 中，若//αβ，m α⊂，则由线面平行的性质定理得//m β，故D 正确．故选D ．9、设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果//a α，//b α，那么//a b ；②如果//αβ，a α⊂，b β⊂，那么//a b ；③如果a α⊥，a β⊥，那么//αβ；④如果αβ⊥，a α⊂，那么a β⊥．其中正确命题的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④ 【答案】C【分析】根据空间线面位置关系的定义、性质进行判断.【详解】①如果//a α，//b α，则,a b 可以相交、平行或异面，故错误；②如果//αβ，a α⊂，b β⊂，则,a b 没有公共点，所以,a b 可以平行或异面，故错误；③如果a α⊥，a β⊥，则//αβ，故正确；④如果αβ⊥，不妨设l αβ=，又a α⊂，则当a l ⊥时，a β⊥，则当a 不垂直于l 时，a 与β不垂直，故错误，故选：C .10、若点M 是两条异面直线,a b 外的一点，则过点M 且与,a b 都平行的平面有______个.【答案】0或1【分析】利用线面平行的判断定理，可得结论.【详解】解：点M 在过a 且与b 平行的平面或过b 且与a 平行的平面内时，没有满足条件的平面；当点M 不在上述两个平面内时，满足条件的平面只有1个.故答案为：0或1.11、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是棱11,,AA AB CC 的中点.试判断以下各对线段所在的直线的位置关系：（1）AB 与1DD ：____________.（2）1D E 与BC ：____________.（3）1D E 与BG ：____________.（4）1D E 与CF ：____________.【答案】异面 异面 平行 相交【分析】根据平行直线、异面直线、相交直线的判定方法，即得解.【详解】（1）因为1D ∉平面ABCD ，D ∈平面ABCD ，AB平面ABCD ，D AB ∉，所以AB 所在直线与1DD 所在直线是异面直线.（2）1D E 的延长线与DA 的延长线相交，交点不在BC 所在直线上，所以1D E 与BC 异面.（3）取1D D 的中点M ，连接,MA MG ，可证四边形MABG 为平行四边形，所以MA GB ∥.又因为1D E MA ∥，所以由基本事实4知，1D E BG ∥.（4）延长1,D E CF ，与DA 的延长线交于同一点，所以1D E 与CF 相交.坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。
人教版必修二：2.1--空间点-直线-平面之间的位置关系(共114张PPT)
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
第二章 小结
2.1
空间点、直线、平面 之间的位置关系
2.1.1 平面 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 空间中平面与平面之间的位置关系
每经过两条都能确定一个平面,
所以能确定 3 个平面.
l1
即经过共点的三条直线可以
确定 1 个或 3 个平面.
l2 b a g
l3
3. 判断下列命题是否正确, 正确的在括号内划
“√”, 错误的划 “×”.
(1) 平面 a 与平面 b 相交, 它们只有有限个公共
点.
()
(2) 经过一条直线和直线外一点, 有且只有一个
直线 l 在平面 a 内, 记作
l
l a.
a
也可叙述为: 平面 a 经过直线 l.
l
直线 l 与平面 a 相交于点 P,
记作
l ∩a = P.
aP
直线 l 与平面 a 只有一个公共点,
l
或无公共点, 称为直线 l 在平面 a 外,
a
记作
l a.
例 1. 如图, 用符号表示下列图形中点、直线、
平面之间的位置关系.
解: 图 (1) Aa, Ba,
Aa, Bb,
a
b
a AB
l
(1)
a
l
a
b
P
b
(2)
即 a∩a = A, a∩b = B;
a∩b = l.
图 (2)
aa, bb, a∩b = l,
人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系课件
C D
B A
C1 D1
B1 A1
知识小结
实例引 入平面
平面的画 法和表示
点和平面的 位置关系
平面三 个公理
空间图形
文字叙述
符号表示
2.1.2空间中两直线的位置 关系
平面有知识（复习 ）
判断下列命题对错： 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上
的所有点都在这个平面内。（ ）
2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平
直线。（既不相交也不平行的两条直线） 判断：
(1)
m
β
m
l
α
l
直线m和l是异面直线吗?
(2)
,则 与 是异面直线
(3)a,b不同在平面 内,则a与b异面
异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托,异面直线
不同在任何一个平面的特点
a
b
b
a
b
a
2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交
m P
l
2、平行
m l
b′
平
a′ θ O
移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ的取值范围：
例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所
成的角：
D1
C1
1）AB与CC1； 2）A1 B1与AC； A1
B1
3）A1B与D1B1。
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
4、平面的基本性质
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
符号表示为:
P l, Pl.
人教A版数学必修第二册8_4_2空间点、直线、平面之间的位置关系课件
3．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是( B )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
α与β相交于过 点M的一条直线
4．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是___平__行____． β
α a
考点精讲
1．异面直线
(1)定义：不同在___任__何__一__个__平__面__内____的两条直线． (2)异面直线的画法：
空间点、直线、平面之间的位置关系
本节目标
学习目标
核心素养
1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解
两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直 1.通过空间中两条直线的位置关
线．(重点、难点)
系的学习，培养直观想象的核
2．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图 心素养．
形语言和符号语言表示．(重点、易错点)
本课小结
判断直线与平面及平面与平面位置关系的常用方法
(1)定义法：借助线面、面面位置关系的定义判断； (2)模型法：借助长方体等熟悉的几何图形进行判断，有时起到事半功倍的效果； (3)反证法：反设结论进行推导，得出矛盾，到达准确的判断位置关系的目的．
[提示] 因为一个平面内任意一条直线都与另一个 平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根 据两平面平行的定义知，这两个平面平行．
2．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么 α∥β是否正确？
[提示] 不正确．如图，平面α内与平面β平行的 直线有无数条a1，a2，…，an，但此时α不平行于 β，而α∩β＝l.
2．圆柱的两个底面的位置关系是( B )
A．相交
B．平行
C．平行或异面
D．相交或异面
3．下列命题：
人教A版高中数学必修第二册教学课件8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
目标检测设计
2．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED 平行；②CN与BE是异面直线；③DM与BN是异面直线．以 上几个结论中，正确结论的序号是( )．
3．已知：α∥β，a⊂α．求证：a∥β．
再见
空间点、直线、平面的 位置关系
一、探究、归纳空间中直线与直线的位置关系
空间中的基本要素有点、直线、平面， 它们之 间有些位置关系非常简单，比如点与直线之间有点 在直线上，点不在直线上；点与平面之间有点在面 内，点不在面内等.我们也知道在同一平面中，直线 与直线之间的位置关系有平行与相交两种位置关系.
二、探究、归纳空间中直线与平面之间的关系
直线AB与平面ABBA，ABCD 有无数个交点，此时， 直线在平面内．
直线AB与平面ADDA，BCCB分别有唯一交点， 此时，直线与平面相交．
直线AB与平面 ABCD ， CDDC 没有任何交点，此时， 直线与平面平行．
直线与平面相交，直线与平 面平行，统称为直线在平面外．
a b P
四、直线、平面位置关系的应用 例2 如图，AB B，A，a ，Ba，
直线AB与α具有怎样的位置关系？为什么？
正难则反 反证法 不异面则共面， AB在面内，矛盾．
五、反思总结，提炼收获
（1）本节课你学到哪些知识？又是用怎样的方法学 到这些知识的？
（2）空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面 有哪些位置关系？
三、探究归纳空间中平面与平面的位置关系
平面ABCD与平面ABBA，BCCB，CDDC，DAAD 有无数个交点，此时平面与平面相交．
平面ABCD与平面ABCD 没有交点，此时平面与 平面平行．
三、探究归纳空间中平面与平面的位置关系
如何用图形和符号分别表示平面与平面相交， 平面与平面平行？
人教版高中数学必修二辅导讲义：2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
第二章、点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面【课本整理】Array 1．平面(1)平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是的．(2)平面的画法①水平放置的平面通常画成一个，它的锐角通常画成，且横边长等于其邻边长的，如图①.②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用画出来．如图②.2．点、线、面之间的位置关系直线、平面都可以看成的集合．点P在直线l上，记作；点P在直线l外，记作；点A在平面α内，记作；点A在平面α外，记作；直线l在平面β内，记作；直线l在平面α外，记作 .平面都是点构成的集合，几何中的很多符号规定都是源于将图形视为点集．故点与直线之间的关系，点与平面之间的关系用符号∈，∉表示，直线与平面之间的关系用⊂，⊄表示. 【知识梳理】要点一平面的概念及点、线、面的位置关系1.生活中的平面是比较平整、有限的，而立体几何中所说的平面是从生活中常见平面中抽象、概括出来的，是理想的、绝对平整的、无限延展的．立体几何中的平面无大小、厚薄之分，是不可度量的．2．平面通常用希腊字母α，β，γ等表示(常把这些字母写在代表平面的平行四边形的一个角上)，如平面α，平面β，平面γ等．也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．典型例题1、根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.反馈训练1、在下列命题中，正确命题的个数为( )①书桌面是平面②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚③有一个平面的长是50 m，宽是20 m④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念A．1 B．2 C．3 D．4要点二共面问题1.证明点线共面的主要依据(1)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内(公理1)；(2)经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(公理2及其推论)．2．证明点线共面的具体操作(1)证明几点共面可先取不共线的三点确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内；(2)证明空间几条直线共面可先取两条相交(或平行)直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内．典型例题2、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：D 1，E ，F ，B 共面．反馈训练2、求证：两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．要点三 点共线或线共点问题1.证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就是说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上．对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．2．证明线共点主要利用公理1、公理3作为推理的依据．典型例题3、如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且直线EH 与直线FG 交于点O .求证：B 、D 、O 三点共线．反馈训练3、如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．求证：CE 、D 1F 、DA 三线交于一点．2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系【课本整理】1．空间两条直线的位置关系(1)异面直线我们把 的两条直线叫做异面直线．(2)空间两条直线的位置关系有且只有三种．⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ ：同一平面内，有且只有一个公共点 ：同一平面内，没有公共点 ：不同在任何一个平面内，没有公共点2．平行公理公理4 平行于同一条直线的两条直线 ．3．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ．4．异面直线所成的角(1)a ，b 是两条异面直线，过空间中 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的 叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)如果两条异面直线a 、b 所成的角是 ，那么我们就说这两条直线互相垂直，记作 .特别提醒：两条直线的位置关系有三种：相交，平行，异面．在判断两直线的位置关系时，这三种情况都要考虑到．两条直线异面，是指找不到平面，使这两条直线同在这一平面内；并不是说，这两条直线不同在某一平面内，它们就是异面直线．【知识梳理】要点一空间两条直线位置关系的判断空间两直线的位置关系有且只有三种：相交、平行、异面，其中相交直线和平行直线也称共面直线．两直线位置关系的判定，除运用定义进行外，还要注意通过感觉和空间想象来进行．画出图形可以使抽象的问题具体化，这在解决立体几何的问题中，是经常用到的一种方法，在构图时，要注意想到各种可能．典型例题1、如图，已知正方体ABCD－A 1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．．反馈训练1、已知三条直线a，b，c，a与b异面，b与c异面，则a与c的位置关系是________．要点二平行公理、等角定理的应用1.平行公理为我们提供了一种证明两直线平行的方法，即证明直线a∥b，只需找到直线c，使得c∥a，同时c∥b.2．“等角定理”为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性，即过空间任一点，作两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，而与所取点的位置无关．典型例题2、已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．求证：四边形MNA1C1为梯形(典例2）（反馈2）（典例3）（反馈3)反馈训练2、如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．要点三异面直线所成的角求异面直线所成的角，关键是通过平移法求解．过某一点作平行线．将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角形求解．主要以“作，证，算”来求异面直线所成的角，同时，要注意异面直线所成角的范围是(0°，90°]．典型例题3、如图，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2a，E、F分别是AB、CD的中点，EF=3 a，求AD、BC所成的角．反馈训练3、如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，求异面直线A1E与GF所成的角．2．1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2．1.4 平面与平面之间的位置关系课本知识：问题6：一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种位置关系？问题7：如图，线段A′B所在直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系？问题8：如何用图形语言表示直线与平面的三种位置关系?问题9如何用符号语言表示直线与平面的三种位置关系？知识梳理：类型一直线与平面、平面与平面位置关系的画法【例1】指出图中的图形画法是否正确，若不正确，请你画出正确图形．【反馈训练1】作出下列各小题的图形．(1)画直线a、b，使a∩α＝A，b∥α；(2)画平面α、β、γ，使α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n；(3)画平面α、β，直线a、b，使α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，且a∥β，b∩α＝B.类型二直线与平面位置关系的判断【例2】如图在正方体ABCD A1B1C1D1中判断下列位置关系：(1)AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是________；(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．【反馈训练2】简述下列问题的结论，并画图说明．(1)直线a⊂α，直线b∩a＝A，则b与α的位置关系如何？(2)直线a⊂α，直线b∥a，则b与α的位置关系如何？类型三平面与平面的位置关系的判断【例3】给出的下列四个命题中，其中正确命题的个数是( )．①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行；④若两个平面有无数个公共点，则这两个平面的位置关系是相交或重合．A．0 B．1 C．3 D．4(2)反证法也用于相关问题的证明．【反馈训练3】 (1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么方法技巧反证法在线面位置关系证明中的应用在立体几何有关线线、线面、面面位置关系的证明中，对于一些明显成立，但直接证明又缺少推理依据的问题，常利用反证法来证明，即从否定结论出发，进行推理，直到推出与已知条件或与学过的定理(公理)及其它事实相矛盾，从而说明原结论成立．【示例】证明：如果一条直线l经过平面α内一点A，又经过平面α外一点B，则此直线l必与平面α相交．考点巩固71．如果空间四点A、B、C、D不共面，那么下列判断正确的是( )A．A、B、C、D四点中必有三点共线B．A、B、C、D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行2．下列说法中正确的个数为( )①三角形一定是平面图形②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形③圆心和圆上两点可确定一个平面④三条平行线最多可确定三个平面A．1 B．2 C．3 D．43．如图，平面α∩平面β=l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l=D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过( )A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D4．两两相交的三条直线最多可确定__ ______个平面．5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1C与平面BDC1的交线是_____ ___．6．如图，在四面体ABCD 中，E 、G 分别为BC 、AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ：FC =DH ：HA =2：3，求证：EF 、GH 、BD 交于一点．(6题） （7题） （8题）7．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设线段A 1C 与平面ABC 1D 1交于Q ，求证：B ，Q ，D 1三点共线．8．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CC 1的中点，作出过E 、F 、G 的截面．考点巩固 81．若a 、b 是异面直线，和a 、b 同时相交的两直线c 、d 一定是( )A ．异面直线B ．相交直线C ．平行直线D ．异面或相交直线2．已知在三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD ) D ．MN <12(AC ＋BD ) 3．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是( )A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④（3题） （5题）4．若∠AOB ＝45°，直线a ∥OA ，直线a 与OB 异面，则a 与OB 所成的角是________．5．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各组直线：①AA 1与BC ；②A 1C 1与BD ；③AC 与BD 1；④BD 与B 1C ，其中异面角为90°的有______．6．如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，E 1，F 1分别为棱AD ，AB ，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：∠EA 1F =∠E 1CF 1.（6题） （7题） （8题）7．如图，在四面体ABCD 中，E 、F 、M 分别是棱AD ，BC ，AC 上的点，且AE ED =BF FC =AM MC =23，已知AB =CD =5，EF =13，求异面直线AB 和CD 所成的角．8．在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的面A ′C ′上有一点P ，如图所示，其中P 点不在对角线B ′D ′上．(1)过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图，并说明理由．(2)过P点在平面A′C′内作一直线l′，使l′与直线BD成α角，这样的直线有几条？考点巩固91．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )．A．一条直线不相交 B．两条直线不相交C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交2．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为( )． A．平行 B．相交C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内3. 下列命题中,正确命题的个数是（B）①平行于同一条直线的两个平面平行.②平行于同一个平面的两个平面平行.③一个平面内有一条直线与另一平面平行,则这两个平面平行.④两个平面平行,则分别在这两个平面内的两条直线平行.A. 0B. 1C. 2D. 34．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面( )．A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个 D．只有两个5．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．6．下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________．7．求证：两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与该平面相交．已知：直线a∥b，a∩平面α＝P.求证：直线b与平面α相交．8．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．求证：BC⊥AD；。
高中人教版必修2数学课件第二章2.1.2精选ppt课件
() A．2 对
B．3 对
C．6 对
D．12 对
解析：选 C.如图所示，在长方体 AC1 中，与对角线 AC1 成异面 直线位置关系的是：A1D1、BC、BB1、DD1、A1B1、DC，所以 组成 6 对异面直线．
3．如图，点 G、H、M、N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中 点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形是________．
(1)判断两直线平行仍是立体几何中的一个重要组成部分，除了 平面几何中常用的判断方法以外，公理 4 也是判断两直线平行的 重要依据． (2)证明角相等，利用空间等角定理是常用的思考方法；另外也 可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等．在应用等 角定理时，应注意说明这两个角同为锐角、直角或钝角．
(2)异面直线所成的角 两条异面直线所成的角是由两条相交直线所成的角扩充而成的， 由平移原理可知，当两条异面直线在空间的位置确定后，它们所 成的角的大小也就随之确定了．
1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上均有可能
答案：D
2．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有
章 点、直线、面之间的位置关系
2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1.会判断空间两直线的位置关系． 2.理解两异面直线的 定义，会求两异面直线所成的角． 3．能用公理 4 解决一些简单的相关问题．
1．空间直线的位置关系 (1)异面直线 ①定义：把不同在_任__何__一__个__平面内的两条直线叫做异面直线． ②画法：(通常用平面衬托)
A．6 C．5 答案：B
B．4 D．8
3．若正方体 ABCD-A1B1C1D1 中∠BAE＝25°.