《用函数观点看一元二次方程》教案

《用函数观点看一元二次方程》教案

普定县补郎中学马永胜

教材依据：人教版九年级数学下册第26章第2节

教材分析：我们已经学过“一次函数”，了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）、二元一次方程组的联系。这一节内容，通过探讨二次函数与一元二次方程的关系，再次展示函数与方程的联系。这样安排可以深化我们对一元二次方程的认识，又可以运用一元二次方程解决二次函数的有关问题。“用函数观点看一元二次方程”从一个斜抛物体的飞行高度问题入手，以给出二次函数的函数值反过来求自变量的值的形式，用函数观点讨论一元二次方程的根的几种不同情况，最后结合二次函数的图象（抛物线）归纳出一般性结论，并介绍了利用图象解一元二次方程的方法。这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。

教学目标

知识与技能

1、总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根；

2、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

过程与方法：

1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；

2、通过对生活中实际问题的研究，体会建立数学建模的思想。

情感态度与价值观：

1、通过对二次函数与一元二次方程关系的探索，培养学生严谨的科学态度及勇于探索的精神；

2、通过从函数的角度看问题，让学生体会数学的价值；

3、在探索函数与方程的关系中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神。

教学重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题的能力。

教学难点:

1、探索方程与函数之间关系的过程。

2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。教具准备：多媒体课件

教学准备：

1、三角尺

2、复习旧知识，预习本节课内容。

教学过程：

一、复习提问：二次函数y=ax2+bx+c的开口方向如何？对称轴是什么？顶点坐标是什么？

二、讲授新课：

问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系

h＝20t—5t2。

考虑以下问题

（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？

（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？

（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？

（4）球从飞出到落地要用多少时间？

分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数

h=20t－5t2。

所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。

解：（1）解方程15＝20t—5t2，

t2—4t＋3=0，

t1＝1,t2＝3。

当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。

教师提问：你能结合图形指出为什么在两个时间球的高度为15m？

学生回答后教师归纳：小球在某一时间达到15 m，然后继续上升，达到最大高度后开始下落，经过一段时间，小球高度又回落到15 m，所以在两个时间球的高度为15 m。

（2）解方程20＝20t－5t2，

t2－4t＋4＝0，

t1＝t2＝2。

当球飞行2s时，它的高度为20m。

教师：为什么只在一个时间内球的高度为20m呢?

学生回答后教师归纳：小球在某一时间内达到最大高度，所以只在一个时间球的高度为20 m。

（3）解方程20.5＝20t－5t2，

t2－4t＋4.1＝0。

因为（－4）2－4×4.1<0。所以方程无解。球的飞行高度达不到20.5m。

（4）解方程0＝20t－5t2，

t2－4t＝0，

t1＝0,t2＝4。

当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出。4s时球落回地面。

一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程

ax2+bx+c=0

问题：观察:下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?由此,你得出相应的一元二次方程的解吗?

(1)y=x2+x-2；

(2)y=x2-6x+9；

(3)y=x2-x+1。

教师引导学生画出函数的图象，然后归纳总结：

（1）抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它的横坐标是-2，1。当x取公共点的横坐标时，函数的值是0，由此得出方程x2+x-2=0的根是x1=-2，x2=1。（2）抛物线)y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3，当x=3时，函数的值是0，由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3。

（3）抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2-x+1=0没有实数根。

讲解例题：利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1)。

解：作y= x2-2x-2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7, 2.7。

所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7，x2≈2.7

三、练习：已知二次函数y=-x2+2x+k+2与x轴的公共点有两个，

（1）求k的取值范围；

（2）当k=1时，求抛物线与x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标；

（3）观察图象，当x取何值时，y=0, y>0, y<0?

四、小结：

1、若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c都是常数， a≠0）,当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）。那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此，二次函数图象与x轴交点情况决定一元二次方程根的情况；

2、二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，

有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等

的实数根，有两个不等的实数根。

五、布置作业p23页习题26.2第1题、第2题

六、板书设计：

§26．2用函数观点看一元二次方程

一、复习二、问题

三、观察四、例题