西南名校联盟·2020届高三3+3+3高考备考诊断性联考卷(一)政治试题 PDF版含答案
西南名校联盟“3+3+3”2020届高三备考诊断性联考(一)数学(理)试题 含答案
西南名校联盟“3＋3＋3” 2020届高考备考诊断性联考卷（一）数学（理）试题一、单选题1．2019年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位，看过《中国机长》的学生共有60位，看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位，则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为( ) A ．1150 B ．1380C ．1610D ．1860【答案】C【解析】根据样本中看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例等于总体看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例，即可计算出全校中看过该影片的人数. 【详解】依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有23000.7=1610人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C ． 【点睛】本题考查根据样本的频率分布与总体的频率分布的关系求值，难度较易.注意样本的频率和总体的频率分布一致. 2．若复数z 满足2iz+＝i ，则|z |=( )A ．5B C ．D 【答案】D【解析】由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解，也可以运用复数模的运算性质，等式两侧直接求模． 【详解】方法1：由2ii z+=，得|2i||i|||||z z +==，方法2：由2i i z+=，可得2i1-2i z i +==，z ==D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m 的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n 和m 的值不可以是下列四个选项中的哪组( ) A ．n =360，m =14 B ．n =420，m =15 C ．n =540，m =18 D ．n =660，m =19【答案】C【解析】个体有明显差异的几个部分组成时往往采用分层抽样，分层抽样中每个个体被抽到的可能性和个体在每个部分中被抽到的可能性相等，总人数等于各层抽取人数的和，列出等式即可进行求解． 【详解】某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，样本中的中年人为6人，则老年人为61202360⨯=， 青年人为636060n n =， 2686060n n m m ++=⇒+=，代入选项计算，C 不符合，故选C ． 【点睛】本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，这种题目经常出现在高考卷中，属于基础题． 4．()221(1)+-ax ax 的展开式中4x 项的系数为-8，则a 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．D ．-【答案】B【解析】利用二项展开式，得到4x 项，即可得到a 的值. 【详解】解：22(1)(1)ax ax +-的展开式中，4x 项为34a x ，382a a =-=-∴，， 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理，考查计算能力，属于基础题.5．已知n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若24836149a a a a a ++=+，则149=S S ( ) A ．149B ．73C ．32D ．2【答案】B【解析】先通过24836149a a a a a ++=+，设首项和公差分别为1a 和d ，代入即可找出二者之间的关系，再由()112n n n S na d -=+，计算可得149S S 的值. 【详解】设{}n a 的公差为d ，由24836149a a a a a ++=+，10a d =≠，1141419914()1415729()91032a a S d a a S d +⨯===+⨯，故选B ． 【点睛】本题考查等差数列的基本量以及前n 项和公式，关键是求出1a 和d 的值，考查了计算能力，是中档题.6．已知函数sin a x y x =在点M (π，0)处的切线方程为xb y π-+=，则( ) A ．a ＝－1，b =1 B ．a =－1，b =－1C ．a ＝1，b =1D ．a =1，b =－1【答案】C【解析】先对函数求导，求得()af ππ'=-，(0)0f =，再由点斜式求得切线方程.【详解】 由题意可知2cos sin ax x a xy x -'=，故在点(π0)M ，处的切线方程为 1(π)ππa y x x -=-=-b +，11a b =⎧⎨=⎩，则，故选C ．【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线的方程即函数()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-.7．函数2cos2()1x xf x x =+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数的奇偶性排除C ，D ，再根据函数值的正负即可判断． 【详解】由()f x 为奇函数，得()f x 的图象关于原点对称，排除C ，D ；又当π04x <<时，()0f x >，故选B ．【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且AB ＝1，BC ＝2， ∠ABC =60°，PA ⊥平面ABCD ，AE ⊥PC 于E ，下列四个结论：①AB ⊥AC ；②AB ⊥平面PAC ；③PC ⊥平面ABE ；④BE ⊥PC ．正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】在ABC ∆中，由余弦定理可求出90o BAC ∠=，再由P A ⊥平面ABCD ，可证出AB ⊥平面P AC ，再由AE ⊥PC 于E ，线面垂直的判定定理，可证明PC ⊥平面ABE ，根据线面垂直的判定,可证出BE ⊥PC ，因此可知正确命题的个数. 【详解】已知1260AB BC ABC ==∠=︒，，，由余弦定理可得2222cos60AC AB BC AB BC =+-⋅︒3=，所以22AC AB +2BC =，即AB AC ⊥，①正确；由PA ⊥平面ABCD ，得AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAC ，②正确；AB ⊥平面PAC ，得AB ⊥PC ，又AE PC ⊥，所以PC ⊥平面ABE ，③正确；由PC ⊥平面ABE ，得PC BE ⊥，④正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理,考查了逻辑推理能力，属于中档题. 9．已知i 为虚数单位，执行如图所示的程序框图，则输出的z 为( )A ．－iB ．iC ．0D ．1+i【答案】C【解析】由程序框图，先确定n 的值，再判定其和20之间的关系，逐次运行，即可求出结果. 【详解】由程序框图得0z =，第一次运行011101011a z n =+==+==+=，，； 第二次运行0i i 1i 112b z n =+==+=+=，，；第三次运行，…， 故(1111)(i i i)z =-++-+-+-L L 0=，故选C ． 【点睛】本题考查的是算法与流程图，对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，分清是求和还是求项.10．双曲线E ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y =2x ，过右焦点F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，若△OAF 的面积是5O 为原点)，则双曲线E 的实轴长是( ) A ．4 B ．2C ．1D ．2【答案】D【解析】先由近线方程为2y x =,可求出,,a b c 之间的关系，再结合△OAF 的面积是5，找到等量关系，进而求出双曲线的实轴长． 【详解】因为双曲线E 的一条渐近线方程为2y x =，所以2b a =， c e a ===，由OAF △的面积是221422b c b b a⨯===得所以，，所以1a =，双曲线的实轴长为2，故选D ． 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．11．已知函数()xxg x e e -=-，()()f x xg x =,若53,,(3)22⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a fb fc f ，则a ,b ,c 的大小关系为（ ） A ．a <b <c B ．c <b <a C ．b <a <c D ．b <c <a【答案】C【解析】由题意可得()e exxg x -=-为奇函数，且在R 上单调递增，进而判断出()f x 为偶函数，且在(0)+∞，上递增，即可比较大小. 【详解】解：依题意，有()()g x g x -=-，则()e e xxg x -=-为奇函数，且在R 上单调递增，所以()f x 为偶函数． 当0x >时，有()(0)g x g >，任取120x x >>，则()()120g x g x >>，由不等式的性质可得()()11220x g x x g x >>， 即()()120f x f x >>，所以，函数()f x 在(0)+∞，上递增， 因此，355(3)222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-=<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选：C ． 【点睛】本题考查函数值大小的比较，考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理与转化能力，属于中档题.12．已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题： ①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ③当k 和b 都是变数时，sin (α＋β)是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】首先设出11()E x y ，，22()F x y ，，进而可得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，再将直线和圆联立方程组，运用韦达定理即可进行判断. 【详解】设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，将直线EF 的方程与的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得2221(1)204k x kbx b +++-=， 由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以2112sin()sin cos cos sin 44x y x y αβαβαβ+=+=+=222112121222188244()4()84()11k b kb k x kx b x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B (特值法可秒杀) 【点睛】本题考查了三角函数的定义和韦达定理，运算求解是关键，考查了转化和化归思想，属于中档题.二、填空题13．已知|a r |=1，|b r |=8，·()3a b a ⋅-=r r r，则向量a r 与b r 向量的夹角是________.【答案】π3【解析】由()3a b a ⋅-=r r r，运算可求得4a b ⋅=r r ，再由平面向量的数量积即可求出向量a r 与b r 向量的夹角. 【详解】由()3a b a ⋅-=r r r ，得3a b a a ⋅-⋅=r r r r ，即4a b ⋅=r r ，故1cos 2||||a b a b a b ⋅〈〉==⋅r rr r r r ，，则向量a r 与b r 的夹角为π3．【点睛】本题考查平面向量的数量积，由公式cos ||||a ba b a b ⋅〈〉=⋅r rr r r r ，即可求出夹角,属于基础题. 14．数列{n a }的前n 项和2n S An Bn =+(A ≠0)，若1=1a ，125,,a a a 成等比数列，则3=a ________.【答案】5【解析】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，由125,,a a a 成等比数列，求得0d =或2d =，进而求得3a . 【详解】由n S 的表达式知，{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1114d d ++，，成等比数列，故2(1)14d d +=+，即220d d -=，解得0d =或2d =，若01n n d a S n ===，，，与0A ≠矛盾，故32125d a d ==+=，． 【点睛】本题主要考查了等比数列和等差数列的前n 项和公式的应用，其中根据等差数列的前n 项和公式求出通项，再由等比数列列出方程，求解公差是解题的关键，着重考查了推理与运算能力. 15．如图，正八面体的棱长为2，则此正八面体的体积为____.【答案】823【解析】上下是两个相同的正四棱锥，由棱长由勾股定理求得斜高，再由棱锥的体积公式即可求解. 【详解】由边长为22213-312-=222822⨯⨯ 【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，考察了运算求解能力，属于基础题.16．已知点F 1，F 2，是椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的左、右焦点，以F 1为圆心，F 1F 2为半径的圆与椭圆在第一象限的交点为P ．若椭圆C 的离心率为23，1215PF F S =△则椭圆C 的方程为________. 【答案】22195x y +=【解析】首先由椭圆的定义可得2||22PF a c =-，再求得21sin PF F ∠，结合三角形12PF F 的面积，即可求得椭圆的方程. 【详解】依题意，112||||2PF F F c ==，由椭圆的定义可得2||22PF a c =-，所以21cos PF F ∠=212||2||PF F F=1111224a c c e -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而2115sin PF F ∠=，因为离心率23c a =，所以12PF F S =△12g 212||||PF F F ⋅21sin PF F ∠=21515()c a c c -=，又1215PF F S =△，解得24c =，所以2295a b ==，故椭圆C 的方程为22195x y +=．【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，合理转化和求解是解题的关键，属于中档题.三、解答题17．根据阅兵领导小组办公室介绍，2019年国庆70周年阅兵有59个方(梯)队和联合军乐团，总规模约1．5万人，是近几次阅兵中规模最大的一次．其中，徒步方队15个．为了保证阅兵式时队列保持整齐，各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制，太高或太矮都不行．徒步方队队员，男性身高普遍在175cm 至185cm 之间；女性身高普遍在163cm 至175cm 之间，这是常规标准．要求最为严格的三军仪仗队，其队员的身高一般都在184cm 至190cm 之间．经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人，得到她们身高的直方图，如图，记C 为事件：“某一阅兵女子身高不低于169cm ”，根据直方图得到P (C )的估计值为0．5．(1)求直方图中a ，b 的值；(2)估计这个阵营女子身高的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表) 【答案】(1)a=0.125 0.075b = (2)169.12cm【解析】（1）根据频率分布直方图可得频率，结合P (C )的估计值为0.5从而可计算,a b . （2）利用组中值可计算这个阵营女子身高的平均值. 【详解】解：（1）由已知得(0.110.065)20.5b ++⨯=， 故0.075b =法一：212(0.110.0750.0750.0650.05)a =-⨯++++， 0.125a =∴．法二：1()10.50.5P C -=-=，2(0.050.075)0.50.125a a ⨯++==∴，∴． （2）2(0.0520.07540.12560.1180.075100.06512)⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 2(0.10.30.750.880.750.78)=⨯+++++ 2 3.567.12=⨯=，估计女子的平均身高为163(7.121)169.12+-=(cm )． 【点睛】本题考查频率的计算及频率分布直方图的应用，属于基础题.18．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，bcosC +(c -2a )cosB ＝0． (1)求角B ；(2)若a ＝1，求b +c 的取值范围．【答案】(1) π3B =．(2) 2⎫⎪⎪⎝⎭【解析】（1）先根据正弦定理可求得1cos 2B =，再由特殊角的三角函数求得B ； （2）根据正弦定理求b ＋c 的表达式，再由23B A π=-,结合A 的范围即得b ＋c 的取值范围． 【详解】解：（1）cos (2)cos 0b C c a B +-=∵，cos cos 2cos b C c B a B ∴+=，由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=， sin()sin(π)sin 0B C A A +=-=≠，12cos 1cos 2B B ==∴， 又B 是ABC V 的内角，π3B ∴=． （2）ABC QV 为锐角三角形，π13B a ==，，2πππ362A C A +=<<∴，，由正弦定理得1sin sin sin b cA B C==， 2πsin πsinsin sin 33sin sin sin sin A B C b c A A A A⎛⎫- ⎪⎝⎭+=+=+∴ 31cos sin 333cos 13(1cos )122sin sin 22A AA A A A ++=+=+⨯+=+， ππ62A b c <<+∵，∴关于A 为减函数 ππ31cos 31cos 1126ππ222sin 2sin 26b c ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+<+<+∴， 3132b c +<+<+∴，即b c +的取值范围是3132⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查正弦定理，考查了三角函数的单调性，求出A 的范围是解题的关键，考查了运算求解能力，属于中档题.19．如图，在三棱锥P -ABC 中，已知22====，AC AB BC PA ，顶点P 在平面ABC 上的射影为ABC V 的外接圆圆心.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱PA 上，||||=λAM AP ，且二面角P -BC -M 的余弦值为533，试求λ的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）12λ=【解析】（1）设AC 的中点为O ，连接PO ，易知点O 为ABC V 的外接圆圆心，从而PO ⊥平面ABC ，即可证明平面PAC ⊥平面ABC ；（2）以OC ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 求出平面MBC 与平面PBC 的法向量，代入公式即可建立λ的方程，解之即可. 【详解】（1）证明：如图，设AC 的中点为O ，连接PO ，由题意，得222BC AB AC +=，则ABC V 为直角三角形， 点O 为ABC V 的外接圆圆心．又点P 在平面ABC 上的射影为ABC V 的外接圆圆心， 所以PO ⊥平面ABC ，又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ． （2）解：由（1）可知PO ⊥平面ABC ， 所以PO OB ⊥，PO OC ⊥，OB AC ⊥，于是以OC ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)O ，，，(100)C ，，，(010)B ，，，(100)A -，，，(001)P ，，， 设[01](101)(10)AM AP AP M λλλλ=∈=-u u u u v u u u v u u u v ，，，，，，，，， (110)BC =-u u u v ，，，(101)PC =-u u u v ，，，(20).MC λλ=--u u u u v ，，设平面MBC 的法向量为111()m x y z =u r，，，则·0·0m BC m MC ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u u v v ，，得11110(2)0x y x z λλ-=⎧⎨--=⎩，， 令11x =，得11y =，12z λλ-=，即211m λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭v，，． 设平面PBC 的法向量为222()n x y z =r，，，由·0·0n BC n PC ⎧=⎨=⎩u u u v r u u u v r ，，得222200x y x z -=⎧⎨-=⎩，， 令1x =，得1y =，1z =，即(111)n =r，，，22·cos ||?||33n m n m n m λ-+〈〉===r vr vr v ， 解得1110222⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，，λM 即M 为P A 的中点． 【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 20．已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R ． (1)当k =－1时，求函数()f x 的单调区间；(2)当k ∈[1，2]时，求函数()f x 在[0，k ]上的最大值．【答案】(1) ()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞， (2)2max ()(1)e k f x k k k =-- 【解析】(1) 首先求出()'f x ，再由()'0f x >求得单调递增区间，由()'0f x <，解不等式即可求出单调减区间；(2) 首先求得()0f x '=，结合k 的范围，可求得函数在20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln k k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，再比较(0)()f f k ，的大小，即可求得最大值. 【详解】解：（1）21()(1)e x k f x x x =-=---，， 令()e 2(e 2)00x x f x x x x x '=--=-+=⇒=， 故(0)()0(0)()0x f x x f x ''∈-∞>∈+∞<，，；，，， ()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞，（2）()e 2(e 2)x x f x kx x x k '=-=-，令2()0ln [0ln 2]f x x k'=⇒=∈，，其中[12]k ∈，． 令2()ln [12]g k k k k=-∈，，， 211()21102k g k k k⎛⎫'=⨯--=--< ⎪⎝⎭，故()g k 在[12]，上单调递减， 故2()(1)ln 210lng k g k k=-<⇒<≤， 故220ln ()0ln ()0x f x x k f x k k ⎛⎫⎛⎫∈<∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，，；，，， 从而()f x 在20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln k k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增， 故在[0]k ，上，函数2max ()max{(0)()}max{(1)e }[12].k f x f f k k k k k k ==---∈，，，， 由于2()(0)(1)e [(1)e 1]kkf k f k k k k k k k -=--+=--+， 令()(1)e 1[12]k h k k k k =--+∈，，， ()e 10k h k k '=->，对于[12]k ∀∈，恒成立， 从而()(1)0h k h =≥，即()(0)f k f ≥，当1k =时等号成立， 故2max ()()(1)e k f x f k k k k ==--． 【点睛】本题考查函数的单调性和函数的最值，(1)一般来说，判断函数的单调区间，就要考察函数的导函数在此区间上的符号，若函数中含有参数，这就可能引起分类讨论；(2)求函数在某区间上的最值，一般仍是先考察函数在此区间上的单调性，再求其最值，本题中的参数是引起分类讨论的原因，难度较大，分类时要层次清晰.21．已知抛物线E ：2y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 的斜率为k ，与抛物线E 交于A ，B 两点，抛物线在点A ，B 处的切线分别为1l ，2l ，两条切线的交点为D . （1）证明：90ADB ∠=︒；（2）若ABD ∆的外接圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2) k >k <【解析】（1）写出两直线1l ，2l 斜率，利用直线l 与抛物线方程联立后根与系数的关系可得121k k =-，即可证明（2）根据（1）得到圆的方程，与抛物线联立消元得关于x 的四次方程，分解因式得两个二次方程，只需判别式同时大于0即可求解. 【详解】（1）证明：依题意有10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l ：14y kx =+， 设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与抛物线E 相交，联立方程214y x y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去y ，化简得2104x kx --=，所以，12x x k +=，1214x x =-． 又因为2y x '=，所以直线1l 的斜率112k x =. 同理，直线2l 的斜率222=k x ， 所以，121241==-k k x x ，所以，直线12l l ⊥，即90ADB ∠=︒． （2）由（1）可知，圆Γ是以AB 为直径的圆，设(),P x y 是圆Γ上的一点，则0PA PB ⋅=u u u r u u u r，所以，圆Γ的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=， 又因为12x x k +=，1214x x =-，21212111442kx kx k y y =+++=+，221212116==y y x x ， 所以，圆Γ的方程可化简为222130216⎛⎫+--+-= ⎪⎝⎭x y kx k y ， 联立圆Γ与抛物线E 得2222130216x y kx k y y x ⎧⎛⎫+--+-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩， 消去y ，得422130216⎛⎫----= ⎪⎝⎭x k x kx ， 即22211042x kx ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2213044⎛⎫⎛⎫--++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x kx x kx ，若方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=有相同的实数根0x ， 则20020020010114032404x kx kx x x kx ⎧--=⎪⎪⇒=-⇒+=⎨⎪++=⎪⎩矛盾， 所以，方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=没有相同的实数根， 所以，圆Γ与抛物线E有四个不同的交点等价于221030k k k k ⎧+>⇔><⎨->⎩综上所述，k >k <【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，圆的方程，圆与抛物线相交，属于中档题.22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝6sinθ，建立以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系．直线l 的参数方程是cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|ABk ．【答案】(1) 22(3)9x y +-=． (2) 1k =±．【解析】（1）运用x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，即可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）方法1:化直线的参数方程为普通方程，再由条件，即可得到直线方程，再求出圆心到直线的距离，结合|AB2:直接把直线的参数方程代入圆，运用韦达定理，计算12t t -，结合|AB【详解】解：（1）由曲线C 的极坐标方程是6sin ρθ=，得直角坐标方程为226x y y +=，即22(3)9x y +-=．（2）把直线l 的参数方程cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，，（t 为参数），代入圆C 的方程得22(cos )(sin 1)9t t θθ+-=， 化简得22sin 80t t θ--=．设A B ，两点对应的参数分别是12t t ，，则122sin t t θ+=，128t t =-故12||||AB t t =-=得sin θ=， 得1k =±． 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线与圆相交的弦长问题，运用点到直线的距离公式，结合弦长运用勾股定理即可求得斜率，考查运算能力，属于中档题． 23．已知a ，b ，c ∈R +，且a +b +c ＝2． 求证：(1)1346a b c++≥+； (2)2222c a b a b c++≥．【答案】(1) 证明见解析 (2)证明见解析【解析】（1）运用柯西不等式，求1134()2a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值，即可证明；（2）运用柯西不等式，计算2221()2c a b a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，即可证明. 【详解】证明：（1）由柯西不等式，得213411341()622a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++=+ ⎪⎝⎭≥所以1346a b c++≥+． （2）由柯西不等式，得222222211()()222c a b c a b a b c c a b ab c a b c ⎛⎫⎛⎫++=++++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥， 所以2222c a b a b c++≥．【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，考查了推理论证能力.。
西南名校联盟“3+3+3”2019-2020学年高三备考诊断性联考卷(一)文科数学
绝密★启用前西南名校联盟“3＋3＋3”2019-2020学年高三备考诊断性联考卷（一)文科数学试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．2019年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位，看过《中国机长》的学生共有60位，看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位，则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为( ) A ．1150 B ．1380C ．1610D ．18602．若复数z 满足2iz+＝i ，则|z |=( ) A B C ．D 3．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m 的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n 和m 的值不可以是下列四个选项中的哪组( ) A ．n =360，m =14B ．n =420，m =15C ．n =540，m =18D ．n =660，m =194．22sin cos 0x x -≥的解集为( ) A ．[2,2],2k k k Z πππ+∈ B ．[,2k k k Z πππ+∈, C ．[,],44k k k Z ππππ-+∈ D ．3[,],44k k k Z ππππ++∈…………装……………………订…………○……※请※※不※※要※※在※※装※※线※※内※※答※※题※※…………装……………………订…………○……5．已知n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若24836149a a a a a ++=+，则149=SS ( )A ．149B ．73 C ．32D ．26．已知函数sin a x y x =在点M (π，0)处的切线方程为xb y π-+=，则( ) A ．a ＝－1，b =1 B ．a =－1，b =－1C ．a ＝1，b =1D ．a =1，b =－17．函数2cos2()1x xf x x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且AB ＝1，BC ＝2， ∠ABC =60°，P A ⊥平面ABCD ，AE ⊥PC 于E ，下列四个结论：①AB ⊥AC ；②AB ⊥平面P AC ；③PC ⊥平面ABE ；④BE ⊥PC ．正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．已知i 为虚数单位，执行如图所示的程序框图，则输出的z 为( )……○…………线…………○……_______……○…………线…………○……A ．－iB ．iC ．0D ．1+i10．双曲线E ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y =2x ，过右焦点F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，若△OAF 的面积是O 为原点)，则双曲线E 的实轴长是( ) A ．4B ．C ．1D ．211．对于不等式22x y m +≤的解(x ,y )，x ，y ∈R ，都能使得不等式组24x y x y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩立，则m 的取值范围是( ) A ． B ．16[0,]5C ．72[0,9+ D ．(0,2]12．已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题： ①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ③当k 和b 都是变数时，sin (α＋β)是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明订…………○………内※※答※※题※※订…………○………二、填空题13．已知|a|=1，|b|=8，·()3a b a⋅-=，则向量a与b向量的夹角是________.14．数列{n a}的前n项和2nS An Bn=+(A≠0)，若1=1a，125,,a a a成等比数列，则3=a________.15．如图，正八面体的棱长为2，则此正八面体的体积为____.16．已知点F1，F2，是椭圆C：22221x ya b+=(a>b>0)的左、右焦点，以F1为圆心，F1F2为半径的圆与椭圆在第一象限的交点为P．若椭圆C的离心率为23，12PF FS=△则椭圆C的方程为________.三、解答题17．根据阅兵领导小组办公室介绍，2019年国庆70周年阅兵有59个方(梯)队和联合军乐团，总规模约1．5万人，是近几次阅兵中规模最大的一次．其中，徒步方队15个．为了保证阅兵式时队列保持整齐，各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制，太高或太矮都不行．徒步方队队员，男性身高普遍在175cm至185cm之间；女性身高普遍在163cm至175cm之间，这是常规标准．要求最为严格的三军仪仗队，其队员的身高一般都在184cm至190cm之间．经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人，得到她们身高的直方图，如图，记C为事件：“某一阅兵女子身高不低于169cm”，根据直方图得到P(C)的估计值为0．5．装…………○………………线…………○……姓名：___________班级：_装…………○………………线…………○……(1)求直方图中a ，b 的值；(2)估计这个阵营女子身高的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表) 18．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，bcosC +(c -2a )cosB ＝0． (1)求角B ；(2)若a ＝1，求b +c 的取值范围．19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ＝2.(1)求该四棱锥P -ABCD 的表面积和体积； (2)求该四棱锥P -ABCD 内切球的表面积.20．已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R ． (1)当k =－1时，求函数()f x 的单调区间；(2)当k ∈[1，2]时，求函数()f x 在[0，k ]上的最大值．21．已知抛物线E ：2y x =，的焦点为F ，过点F 的直线l 的斜率为k ，与抛物线E 交于A ，B 两点，抛物线在点A ，B 处的切线分别为l 1，l 2，两条切线的交点为D . (1)证明：∠ADB ＝90°；(2)若△ABD 的外接圆Γ与抛物线C 有四个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围． 22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝6sinθ，建立以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴cos x t θ=⎧(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB k ．23．已知a ，b ，c ∈R +，且a +b +c ＝2．求证：(1)1346a b c++≥+； (2)2222c a b a b c++≥．参考答案1．C 【解析】 【分析】根据样本中看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例等于总体看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例，即可计算出全校中看过该影片的人数. 【详解】依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有2300*0.7=1610人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C ．【点睛】本题考查根据样本的频率分布与总体的频率分布的关系求值，难度较易.注意样本的频率和总体的频率分布一致. 2．D 【解析】 【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解，也可以运用复数模的运算性质，等式两侧直接求模． 【详解】方法1：由2ii z+=，得|2i||i|||||z z +==，方法2：由2i i z+=，可得2i1-2i z i +==，z D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 3．C 【解析】 【分析】个体有明显差异的几个部分组成时往往采用分层抽样，分层抽样中每个个体被抽到的可能性和个体在每个部分中被抽到的可能性相等，总人数等于各层抽取人数的和，列出等式即可进行求解． 【详解】某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，样本中的中年人为6人，则老年人为61202360⨯=， 青年人为636060n n =， 2686060n n m m ++=⇒+=，代入选项计算，C 不符合，故选C ． 【点睛】本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，这种题目经常出现在高考卷中，属于基础题． 4．D 【解析】 【分析】利用三角函数线解不等式得解. 【详解】原不等式等价于|sin ||cos |x x ≥，即正弦线长度大于或等于余弦线长度，故选D ． 【点睛】本题主要考查三角函数线的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5．B 【解析】 【分析】 先通过24836149a a a a a ++=+，设首项和公差分别为1a 和d ，代入即可找出二者之间的关系，再由()112n n n S na d -=+，计算可得149S S 的值. 【详解】设{}n a 的公差为d ，由24836149a a a a a ++=+，10a d =≠，1141419914()1415729()91032a a S d a a S d +⨯===+⨯，故选B ． 【点睛】本题考查等差数列的基本量以及前n 项和公式，关键是求出1a 和d 的值，考查了计算能力，是中档题. 6．C 【解析】 【分析】先对函数求导，求得()af ππ'=-，(0)0f =，再由点斜式求得切线方程.【详解】 由题意可知2cos sin ax x a xy x -'=，故在点(π0)M ，处的切线方程为 1(π)ππa y x x -=-=-b +，11a b =⎧⎨=⎩，则，故选C ．【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线的方程即函数()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-.7．B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除C ，D ，再根据函数值的正负即可判断． 【详解】由()f x 为奇函数，得()f x 的图象关于原点对称，排除C ，D ；又当π04x <<时，()0f x >，故选B ． 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题． 8．D 【解析】 【分析】在ABC ∆中，由余弦定理可求出90o BAC ∠=，再由P A ⊥平面ABCD ，可证出AB ⊥平面P AC ，再由AE ⊥PC 于E ，线面垂直的判定定理，可证明PC ⊥平面ABE ，根据线面垂直的判定,可证出BE ⊥PC ，因此可知正确命题的个数. 【详解】已知1260AB BC ABC ==∠=︒，，，由余弦定理可得2222cos60AC AB BC AB BC =+-⋅︒3=，所以22AC AB +2BC =，即AB AC ⊥，①正确；由PA ⊥平面ABCD ，得AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAC ，②正确；AB ⊥平面PAC ，得AB ⊥PC ，又AE PC ⊥，所以PC ⊥平面ABE ，③正确；由PC ⊥平面ABE ，得PC BE ⊥，④正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理,考查了逻辑推理能力，属于中档题. 9．C 【解析】 【分析】由程序框图，先确定n 的值，再判定其和20之间的关系，逐次运行，即可求出结果. 【详解】由程序框图得0z =，第一次运行011101011a z n =+==+==+=，，； 第二次运行0i i 1i 112b z n =+==+=+=，，；第三次运行，…， 故(1111)(i i i)z =-++-+-+-0=，故选C ．【点睛】本题考查的是算法与流程图，对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，分清是求和还是求项. 10．D 【解析】 【分析】先由近线方程为2y x =,可求出,,a b c 之间的关系，再结合△OAF 的面积是找到等量关系，进而求出双曲线的实轴长． 【详解】因为双曲线E 的一条渐近线方程为2y x =，所以2b a =，c e a ===由O A F △的面积是221422b c b b a⨯===得所以，，所以1a =，双曲线的实轴长为2，故选D ． 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 11．B 【解析】 【分析】首先由()0,0在区域内，可求得此时m=0,即可排除AD,当0m >时，表示圆在不等式表示的可行域内，进而利用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出m 的取值范围. 【详解】当00x y ==，时，即220x y +≤符合题意，此时0m =，排除A ，D ，由题意可知，以(00)，为圆心的圆在不等式24x y x y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩所表示的区域内，半径最大的圆22x y m +=应与直线相切，圆心到240x y --=的距离为1d ===x y +=的距离为22d ==，由于12d d <，∴符合题意的最大的圆为222165x y +==，故选B ． 【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定参数的范围. 12．B 【解析】 【分析】首先设出11()E x y ，，22()F x y ，，进而可得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，再将直线和圆联立方程组，运用韦达定理即可进行判断. 【详解】设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，将直线EF 的方程与的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得2221(1)204k x kbx b +++-=， 由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以2112sin()sin cos cos sin 44x y x y αβαβαβ+=+=+=222112121222188244()4()84()11k b kb k x kx b x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B (特值法可秒杀) 【点睛】本题考查了三角函数的定义和韦达定理，运算求解是关键，考查了转化和化归思想，属于中档题. 13．π3【解析】 【分析】由()3a b a ⋅-=，运算可求得4a b ⋅=，再由平面向量的数量积即可求出向量a 与b 向量的夹角.【详解】由()3a b a ⋅-=，得3a b a a ⋅-⋅=，即4a b ⋅=，故1cos 2||||a b a b a b ⋅〈〉==⋅，，则向量a 与b 的夹角为π3． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，由公式cos ||||a ba b a b ⋅〈〉=⋅，即可求出夹角,属于基础题. 14．5 【解析】 【分析】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，由125,,a a a 成等比数列，求得0d =或2d =，进而求得3a . 【详解】由n S 的表达式知，{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1114d d ++，，成等比数列，故2(1)14d d +=+，即220d d -=，解得0d =或2d =，若01n n d a S n ===，，，与0A ≠矛盾，故32125d a d ==+=，． 【点睛】本题主要考查了等比数列和等差数列的前n 项和公式的应用，其中根据等差数列的前n 项和公式求出通项，再由等比数列列出方程，求解公差是解题的关键，着重考查了推理与运算能力.15．3【解析】 【分析】上下是两个相同的正四棱锥，由棱长由勾股定理求得斜高，再由棱锥的体积公式即可求解. 【详解】由边长为2==2=【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，考察了运算求解能力，属于基础题.16．22195x y +=【解析】 【分析】首先由椭圆的定义可得2||22PF a c =-，再求得21sin PF F ∠，结合三角形12PF F 的面积，即可求得椭圆的方程. 【详解】依题意，112||||2PF F F c ==，由椭圆的定义可得2||22PF a c =-，所以21cos PF F ∠=212||2||PF F F=1111224a c c e -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而21sin PF F ∠=因为离心率23c a =，所以12PF F S =△12212||||PF F F ⋅21sin PF F ∠=2()a c -=，又12PF F S =△24c =，所以2295a b ==，故椭圆C 的方程为22195x y +=．【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，合理转化和求解是解题的关键，属于中档题. 17．(1)a=0.125 0.075b = (2)169.12cm 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图可得频率，结合P (C )的估计值为0.5从而可计算,a b . （2）利用组中值可计算这个阵营女子身高的平均值. 【详解】解：（1）由已知得(0.110.065)20.5b ++⨯=， 故0.075b =法一：212(0.110.0750.0750.0650.05)a =-⨯++++， 0.125a =∴．法二：1()10.50.5P C -=-=，2(0.050.075)0.50.125a a ⨯++==∴，∴． （2）2(0.0520.07540.12560.1180.075100.06512)⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 2(0.10.30.750.880.750.78)=⨯+++++ 2 3.567.12=⨯=，估计女子的平均身高为163(7.121)169.12+-=(cm )． 【点睛】本题考查频率的计算及频率分布直方图的应用，属于基础题. 18．(1) π3B =．(2) 2⎫⎪⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理可求得1cos 2B =，再由特殊角的三角函数求得B ；（2）根据正弦定理求b ＋c 的表达式，再由23B A π=-,结合A 的范围即得b ＋c 的取值范围． 【详解】解：（1）cos (2)cos 0b C c a B +-=∵，cos cos 2cos b C c B a B ∴+=，由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=， sin()sin(π)sin 0B C A A +=-=≠， 12cos 1cos 2B B ==∴， 又B 是ABC 的内角，π3B ∴=． （2）ABC 为锐角三角形，π13B a ==，，2πππ362A C A +=<<∴，，由正弦定理得1sin sin sin b cA B C==， 2πsin πsinsin sin 33sin sin sin sin A B C b c A A A A⎛⎫- ⎪⎝⎭+=+=+∴1sin cos 1122sin sin 22A AA A A +=+=⨯+=+，ππ62A b c <<+∵，∴关于A 为减函数 ππ1cos 1cos 1126ππ222sin 2sin 26b c ⎫⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭+<+<+∴，2b c <+，即b c +的取值范围是2⎫⎪⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查正弦定理，考查了三角函数的单调性，求出A 的范围是解题的关键，考查了运算求解能力，属于中档题.19．(1) S ＝8＋，，V ＝83(2) (24－)π.【解析】 【分析】(1) 四个侧面都是直角三角形，进而求出边长，即可求得侧面积，底面是正方形，二者相加即可求出表面积，PD ⊥平面ABCD ，故四棱锥的高为PD ，再由棱锥的体积公式求出体积；(2) 设内切球的半径为r ，球心为O ，根据等体积法求出内切球的半径，则由P ABCD O PAB O PAD O PCB O PCD O ABCD V V V V V V ------=++++，即可求得半径,进而求出内切球的表面积.【详解】(1) 解：（1）由已知底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，得PD ⊥AD ，PD ⊥AB ，AD ⊥AB ．又PD AD D ⋂=，∴AB ⊥平面P AD ，∴P A ⊥AB ，∴PA =PB =∴PABS=2PAD S =△，同理PCBS=2PCD S =△，4ABCD S =，∴8S =四棱锥表面积， 1833P ABCD ABCD V S PD -=⋅=．S ＝8＋，，V ＝83（2）设内切球的半径为r ，球心为O ，则球心O 到平面P AB ，平面P AD ，平面PCB ，平面PCD ，平面ABCD 的距离均为r ， 由P ABCD O PAB O PAD O PCB O PCD O ABCD V V V V V V ------=++++，可得11111113333333ABCD PAB PAD PCB PCD ABCD S PD S r S r S r S r S r S r ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅△△△△正方形四棱锥表面积，∴2ABCD S PD r S ⋅==正方形四棱锥表面积∴24π(24πS r ==-内切球表面积.∴r ＝2，S ＝(24－)π. 【点睛】此题考查求锥体的表面积和内切球的表面积，考查通式通法，尤其是几何体内切球的大小通常用等体积法求其半径．20．(1) ()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞， (2)2max ()(1)e k f x k k k =-- 【解析】 【分析】 (1) 首先求出()'fx ，再由()'0f x >求得单调递增区间，由()'0f x <，解不等式即可求出单调减区间；(2) 首先求得()0f x '=，结合k 的范围，可求得函数在20ln k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln k k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，再比较(0)()f f k ，的大小，即可求得最大值. 【详解】解：（1）21()(1)e x k f x x x =-=---，， 令()e 2(e 2)00x x f x x x x x '=--=-+=⇒=， 故(0)()0(0)()0x f x x f x ''∈-∞>∈+∞<，，；，，， ()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞，（2）()e 2(e 2)x x f x kx x x k '=-=-，令2()0ln [0ln 2]f x x k'=⇒=∈，，其中[12]k ∈，． 令2()ln [12]g k k k k=-∈，，， 211()21102k g k k k⎛⎫'=⨯--=--< ⎪⎝⎭，故()g k 在[12]，上单调递减， 故2()(1)ln 210lng k g k k=-<⇒<≤， 故220ln ()0ln ()0x f x x k f x k k ⎛⎫⎛⎫∈<∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，，；，，， 从而()f x 在20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln k k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增， 故在[0]k ，上，函数2max ()max{(0)()}max{(1)e }[12].k f x f f k k k k k k ==---∈，，，， 由于2()(0)(1)e [(1)e 1]kkf k f k k k k k k k -=--+=--+， 令()(1)e 1[12]k h k k k k =--+∈，，， ()e 10k h k k '=->，对于[12]k ∀∈，恒成立， 从而()(1)0h k h =≥，即()(0)f k f ≥，当1k =时等号成立， 故2max ()()(1)e k f x f k k k k ==--． 【点睛】本题考查函数的单调性和函数的最值，(1)一般来说，判断函数的单调区间，就要考察函数的导函数在此区间上的符号，若函数中含有参数，这就可能引起分类讨论；(2)求函数在某区间上的最值，一般仍是先考察函数在此区间上的单调性，再求其最值，本题中的参数是引起分类讨论的原因，难度较大，分类时要层次清晰.21．(1)证明见解析 (2) k > k <【解析】 【分析】(1)首先设出直线l 的方程，再设1122()()A x y B x y ，，，，直线与抛物线联立方程组，进而求出1212x x x x +，的值，再对抛物线求导，结合导数的几何意义，即可证明；(2)外接圆的直径为AB,进而写出圆的方程，圆和抛物线联立方程组，消去y,等价于方程有两个不同的根，即可求出k 的范围. 【详解】（1）证明：依题意有104F ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线14l y kx =+：，设1122()()A x y B x y ，，，，直线l 与抛物线E 相交，联立方程214y x y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，消去y ，化简得2104x kx --=，所以，121214x x k x x +==-，． 又因为2y x '=，所以直线1l 的斜率112k x =. 同理，直线2l 的斜率222k x =， 所以，121241k k x x ==-，所以，直线12l l ⊥，即90ADB ∠=︒．（2）解：由（1）可知，圆Γ是以AB 为直径的圆， 设()P x y ，是圆Γ上的一点，则0PA PB ⋅=，所以，圆Γ的方程为1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，又因为22212121212121211111444216x x k x x y y kx kx k y y x x +==-+=+++=+==，，，，所以，圆Γ的方程可化简为222130216x y kx k y ⎛⎫+--+-= ⎪⎝⎭，联立圆Γ与抛物线E 得2222130216x y kx k y y x ⎧⎛⎫+--+-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，， 消去y ，得422130216x k x kx ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，即22211042x kx ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2213044x kx x kx ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=有相同的实数根0x ， 则20020020010114032404x kx kx x x kx ⎧--=⎪⎪⇒=-⇒+=⎨⎪++=⎪⎩，，矛盾， 所以，方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=没有相同的实数根， 所以，圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点等价于221030k k k k ⎧+>⇔><⎨->⎩，综上所述，k k >< 【点睛】本题考查了直线、圆和抛物线的交汇，联立方程组，运用韦达定理是解题的关键，考查了运算求解能力和化归思想，属于难题. 22．(1) 22(3)9x y +-=． (2) 1k =±． 【解析】 【分析】（1）运用x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，即可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）方法1:化直线的参数方程为普通方程，再由条件，即可得到直线方程，再求出圆心到直线的距离，结合|AB2:直接把直线的参数方程代入圆，运用韦达定理，计算12t t -，结合|AB【详解】解：（1）由曲线C 的极坐标方程是6sin ρθ=，得直角坐标方程为226x y y +=，即22(3)9x y +-=．（2）把直线l 的参数方程cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，，（t 为参数），本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
2024届贵州省“3+3+3”高三高考备考诊断性联考(一)政治试题及答案
2024届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷(一)思想政治注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分100分，考试用时75分钟。
一、选择题(本题共16个小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.“古老中国灿若星河，今天中国红红火火，这是我们的新时代。
大桥飞越飞越，绿水青山在歌唱，高铁飞驰飞驰，欢歌万里传四方，笑声飞扬飞扬，强国路上撒满希望，这是伟大的时代，这是复兴的时代，今天中国故事，讲述时代的辉煌……”透过歌曲《我们的时代》，可以感悟到①我国迎来了实现中华民族伟大复兴的光明前景②进入新时代是中国共产党历史上具有深远意义的伟大转折③中国特色社会主义不断发展，拓展了发展中国家走向现代化的途径④这个新时代是不断创造美好生活，逐步实现全体人民共同富裕的时代A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④2.竞技体育具有凝心聚力的强大感召力——为国争光的爱国情怀、敢于争先的精神风貌、振兴中华的使命担当，正是同心共筑中国梦的强国力量，让体育强国梦汇入实现民族复兴中国梦的时代洪流。
对此，下列理解正确的是①建设社会主义现代化强国是中国共产党的最终目标②中国梦把国家的追求、民族的向往、人民的期盼融为一体③实现中国梦成为中华民族团结奋斗的最大公约数和最大同心圆④必须发扬斗争精神，推进伟大工程、伟大事业以实现中国梦A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④思想政治·第1页(共8页)3.竹子作为速生、可降解的生物质材料，是塑料的重要替代品。
为了推动“以竹代塑”高质量发展，助力减少塑料污染，国家发展改革委等部门印发了《加快“以竹代塑”发展三年行动计划》。
在此背景下，竹子和塑料产品的需求会受到一定影响。
2020届西南名校联盟“3+3+3”高考备考诊断性联考卷(一)数学(理)试题
2020届西南名校联盟“3＋3＋3”高考备考诊断性联考卷（一）数学（理）一、单选题1．2019年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位，看过《中国机长》的学生共有60位，看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位，则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为( )A ．1150B ．1380C ．1610D ．1860 2．若复数z 满足2i z +＝i ，则|z |=( ) ABC．D3．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m 的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n 和m 的值不可以是下列四个选项中的哪组( )A ．n =360，m =14B ．n =420，m =15C ．n =540，m =18D ．n =660，m =19 4．()221(1)+-axax 的展开式中4x 项的系数为-8，则a 的值为（ ） A ．2 B ．-2 C．D．-5．已知n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若24836149a a a a a ++=+，则149=S S ( ) A ．149 B ．73 C ．32 D ．26．已知函数sin a x y x =在点M (π，0)处的切线方程为x b y π-+=，则( )A ．a ＝－1，b =1B ．a =－1，b =－1C ．a ＝1，b =1D ．a =1，b =－1 7．函数2cos2()1x x f x x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且AB ＝1，BC ＝2， ∠ABC =60°，PA ⊥平面ABCD ，AE ⊥PC 于E ，下列四个结论：①AB ⊥AC ；②AB ⊥平面PAC ；③PC ⊥平面ABE ；④BE ⊥PC ．正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．已知i 为虚数单位，执行如图所示的程序框图，则输出的z 为( )A ．－iB ．iC ．0D ．1+i10．双曲线E ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y =2x ，过右焦点F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，若△OAF 的面积是5O 为原点)，则双曲线E 的实轴长是( )A ．4B ．2C ．1D ．211．已知函数()x x g x e e -=-，()()f x xg x =,若53,,(3)22⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a fb fc f ，则a ,b ,c 的大小关系为（ ）A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a 12．已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题： ①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值；②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值；③当k 和b 都是变数时，sin (α＋β)是定值．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题 13．已知|a r |=1，|b r |=8，·()3a b a ⋅-=r r r ，则向量a r 与b r 向量的夹角是________.14．数列{n a }的前n 项和2n S An Bn =+(A ≠0)，若1=1a ，125,,a a a 成等比数列，则3=a ________.15．如图，正八面体的棱长为2，则此正八面体的体积为____.16．已知点F 1，F 2，是椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的左、右焦点，以F 1为圆心，F 1F 2为半径的圆与椭圆在第一象限的交点为P ．若椭圆C 的离心率为23，1215PF F S =△，则椭圆C 的方程为________.三、解答题17．根据阅兵领导小组办公室介绍，2019年国庆70周年阅兵有59个方(梯)队和联合军乐团，总规模约1．5万人，是近几次阅兵中规模最大的一次．其中，徒步方队15个．为了保证阅兵式时队列保持整齐，各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制，太高或太矮都不行．徒步方队队员，男性身高普遍在175cm 至185cm 之间；女性身高普遍在163cm 至175cm 之间，这是常规标准．要求最为严格的三军仪仗队，其队员的身高一般都在184cm至190cm之间．经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人，得到她们身高的直方图，如图，记C为事件：“某一阅兵女子身高不低于169cm”，根据直方图得到P(C)的估计值为0．5．(1)求直方图中a，b的值；(2)估计这个阵营女子身高的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)b (2)169.12cm【答案】(1)a=0.125 0.075【解析】（1）根据频率分布直方图可得频率，结合P(C)的估计值为0.5从而可计算,a b. （2）利用组中值可计算这个阵营女子身高的平均值.18．在锐角△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，bcosC+(c-2a)cosB＝0．(1)求角B；(2)若a＝1，求b+c的取值范围．19．如图，在三棱锥P -ABC 中，已知22====，AC AB BC PA ，顶点P 在平面ABC上的射影为ABC V 的外接圆圆心.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱PA 上，||||=λAM AP ，且二面角P -BC -M 的余弦值为53333，试求λ的值.20．已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R ．(1)当k =－1时，求函数()f x 的单调区间；(2)当k ∈[1，2]时，求函数()f x 在[0，k ]上的最大值．21．已知抛物线E ：2y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 的斜率为k ，与抛物线E 交于A ，B 两点，抛物线在点A ，B 处的切线分别为1l ，2l ，两条切线的交点为D .（1）证明：90ADB ∠=︒；（2）若ABD ∆的外接圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围.22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝6sin θ，建立以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系．直线l 的参数方程是cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，(t 为参数)． (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB k ．23．已知a ，b ，c ∈R +，且a +b +c ＝2．求证：(1)1346a b c++≥+； (2)2222c a b a b c++≥．2020届西南名校联盟“3＋3＋3”高考备考诊断性联考卷（一）数学（理）答案一、单选题1．2019年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位，看过《中国机长》的学生共有60位，看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位，则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为( )A．1150 B．1380 C．1610 D．1860【答案】C【解析】根据样本中看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例等于总体看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例，即可计算出全校中看过该影片的人数.【详解】依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有23000.7 1610人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C．【点睛】本题考查根据样本的频率分布与总体的频率分布的关系求值，难度较易.注意样本的频率和总体的频率分布一致.2．若复数z 满足2i z +＝i ，则|z |=( )A ．5BC ．D 【答案】D【解析】由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解，也可以运用复数模的运算性质，等式两侧直接求模．【详解】方法1：由2i i z +=，得|2i||i|||||z z +==，方法2：由2ii z+=，可得2i 1-2i z i +==，z D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m 的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n 和m 的值不可以是下列四个选项中的哪组( )A ．n =360，m =14B ．n =420，m =15C ．n =540，m =18D ．n =660，m =19【答案】C【解析】个体有明显差异的几个部分组成时往往采用分层抽样，分层抽样中每个个体被抽到的可能性和个体在每个部分中被抽到的可能性相等，总人数等于各层抽取人数的和，列出等式即可进行求解．【详解】某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，样本中的中年人为6人，则老年人为61202360⨯=， 青年人为636060n n =， 2686060n n m m ++=⇒+=，代入选项计算，C 不符合，故选C ．【点睛】本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，这种题目经常出现在高考卷中，属于基础题．4．()221(1)+-axax 的展开式中4x 项的系数为-8，则a 的值为（ ） A ．2B ．-2 C．D．-【答案】B【解析】利用二项展开式，得到4x 项，即可得到a 的值.【详解】解：22(1)(1)ax ax +-的展开式中，4x 项为34a x ， 382a a =-=-∴，，故选：B.【点睛】本题考查二项式定理，考查计算能力，属于基础题.5．已知n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若24836149a a a a a ++=+，则149=S S ( ) A ．149 B ．73 C ．32 D ．2【答案】B 【解析】先通过24836149a a a a a ++=+，设首项和公差分别为1a 和d ，代入即可找出二者之间的关系，再由()112n n n S na d -=+，计算可得149S S 的值. 【详解】设{}n a 的公差为d ，由24836149a a a a a ++=+，10a d =≠，1141419914()1415729()91032a a S d a a S d +⨯===+⨯，故选B ． 【点睛】本题考查等差数列的基本量以及前n 项和公式，关键是求出1a 和d 的值，考查了计算能力，是中档题. 6．已知函数sin a x y x =在点M (π，0)处的切线方程为xb y π-+=，则( ) A ．a ＝－1，b =1 B ．a =－1，b =－1 C ．a ＝1，b =1D ．a =1，b =－1【答案】C【解析】先对函数求导，求得()af ππ'=-，(0)0f =，再由点斜式求得切线方程.【详解】 由题意可知2cos sin ax x a xy x -'=，故在点(π0)M ，处的切线方程为 1(π)ππa y x x -=-=-b +，11a b =⎧⎨=⎩，则，故选C ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线的方程即函数()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-.7．函数2cos2()1x xf x x =+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数的奇偶性排除C ，D ，再根据函数值的正负即可判断． 【详解】由()f x 为奇函数，得()f x 的图象关于原点对称，排除C ，D ；又当π04x <<时，()0f x >，故选B ． 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且AB ＝1，BC ＝2， ∠ABC =60°，PA ⊥平面ABCD ，AE ⊥PC 于E ，下列四个结论：①AB ⊥AC ；②AB ⊥平面PAC ；③PC ⊥平面ABE ；④BE ⊥PC ．正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】在ABC ∆中，由余弦定理可求出90o BAC ∠=，再由PA ⊥平面ABCD ，可证出AB ⊥平面PAC ，再由AE ⊥PC 于E ，线面垂直的判定定理，可证明PC ⊥平面ABE ，根据线面垂直的判定,可证出BE ⊥PC ，因此可知正确命题的个数. 【详解】已知1260AB BC ABC ==∠=︒，，，由余弦定理可得2222cos60AC AB BC AB BC =+-⋅︒3=，所以22AC AB +2BC =，即AB AC ⊥，①正确； 由PA ⊥平面ABCD ，得AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAC ，②正确；AB ⊥平面PAC ，得AB ⊥PC ，又AE PC ⊥，所以PC ⊥平面ABE ，③正确；由PC ⊥平面ABE ，得PC BE ⊥，④正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理,考查了逻辑推理能力，属于中档题. 9．已知i 为虚数单位，执行如图所示的程序框图，则输出的z 为( )A ．－iB ．iC ．0D ．1+i【答案】C【解析】由程序框图，先确定n 的值，再判定其和20之间的关系，逐次运行，即可求出结果. 【详解】由程序框图得0z =，第一次运行011101011a z n =+==+==+=，，； 第二次运行0i i 1i 112b z n =+==+=+=，，；第三次运行，…， 故(1111)(i i i)z =-++-+-+-L L 0=，故选C ． 【点睛】本题考查的是算法与流程图，对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，分清是求和还是求项.10．双曲线E ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y =2x ，过右焦点F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，若△OAF 的面积是O 为原点)，则双曲线E 的实轴长是( )A ．4B ．C ．1D ．2【答案】D【解析】先由近线方程为2y x =,可求出,,a b c 之间的关系，再结合△OAF 的面积是找到等量关系，进而求出双曲线的实轴长． 【详解】因为双曲线E 的一条渐近线方程为2y x =，所以2b a =， c e a ===OAF △的面积是221422b c b b a⨯===得所以，，所以1a =，双曲线的实轴长为2，故选D ． 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．11．已知函数()x xg x e e -=-，()()f x xg x =,若53,,(3)22⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a fb fc f ，则a ,b ,c 的大小关系为（ ）A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a【答案】C【解析】由题意可得()e exxg x -=-为奇函数，且在R 上单调递增，进而判断出()f x 为偶函数，且在(0)+∞，上递增，即可比较大小. 【详解】解：依题意，有()()g x g x -=-，则()e exxg x -=-为奇函数，且在R 上单调递增，所以()f x 为偶函数．当0x >时，有()(0)g x g >，任取120x x >>，则()()120g x g x >>，由不等式的性质可得()()11220x g x x g x >>， 即()()120f x f x >>，所以，函数()f x 在(0)+∞，上递增， 因此，355(3)222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-=<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选：C ． 【点睛】本题考查函数值大小的比较，考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理与转化能力，属于中档题.12．已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题： ①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ③当k 和b 都是变数时，sin (α＋β)是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】首先设出11()E x y ，，22()F x y ，，进而可得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，再将直线和圆联立方程组，运用韦达定理即可进行判断. 【详解】设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，将直线EF 的方程与的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得2221(1)204k x kbx b +++-=， 由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以2112sin()sin cos cos sin 44x y x y αβαβαβ+=+=+=222112121222188244()4()84()11k b kb k x kx b x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B (特值法可秒杀) 【点睛】本题考查了三角函数的定义和韦达定理，运算求解是关键，考查了转化和化归思想，属于中档题.二、填空题13．已知|a r |=1，|b r |=8，·()3a b a ⋅-=r r r，则向量a r 与b r 向量的夹角是________.【答案】π3【解析】由()3a b a ⋅-=r r r，运算可求得4a b ⋅=r r ，再由平面向量的数量积即可求出向量a r 与b r向量的夹角.【详解】由()3a b a ⋅-=r r r ，得3a b a a ⋅-⋅=r r r r ，即4a b ⋅=r r ，故1cos 2||||a b a b a b ⋅〈〉==⋅r rr r r r ，，则向量a r 与b r 的夹角为π3． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，由公式cos ||||a ba b a b ⋅〈〉=⋅r rr r r r ，即可求出夹角,属于基础题. 14．数列{n a }的前n 项和2n S An Bn =+(A ≠0)，若1=1a ，125,,a a a 成等比数列，则3=a ________.【答案】5【解析】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，由125,,a a a 成等比数列，求得0d =或2d =，进而求得3a . 【详解】由n S 的表达式知，{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1114d d ++，，成等比数列，故2(1)14d d +=+，即220d d -=，解得0d =或2d =，若01n n d a S n ===，，，与0A ≠矛盾，故32125d a d ==+=，． 【点睛】本题主要考查了等比数列和等差数列的前n 项和公式的应用，其中根据等差数列的前n 项和公式求出通项，再由等比数列列出方程，求解公差是解题的关键，着重考查了推理与运算能力.15．如图，正八面体的棱长为2，则此正八面体的体积为____.【答案】823【解析】上下是两个相同的正四棱锥，由棱长由勾股定理求得斜高，再由棱锥的体积公式即可求解. 【详解】由边长为22213-=312-=222822⨯⨯= 【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，考察了运算求解能力，属于基础题.16．已知点F 1，F 2，是椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的左、右焦点，以F 1为圆心，F 1F 2为半径的圆与椭圆在第一象限的交点为P ．若椭圆C 的离心率为23，1215PF F S =△，则椭圆C 的方程为________.【答案】22195x y +=【解析】首先由椭圆的定义可得2||22PF a c =-，再求得21sin PF F ∠，结合三角形12PF F 的面积，即可求得椭圆的方程. 【详解】依题意，112||||2PF F F c ==，由椭圆的定义可得2||22PF a c =-，所以21cos PF F ∠=212||2||PF F F=1111224a c c e -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而21sin PF F ∠=因为离心率23c a =，所以12PF F S =△12g 212||||PF F F ⋅21sin PF F ∠=2()a c -=，又12PF F S =△24c =，所以2295a b ==，故椭圆C 的方程为22195x y +=．【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，合理转化和求解是解题的关键，属于中档题.三、解答题17．根据阅兵领导小组办公室介绍，2019年国庆70周年阅兵有59个方(梯)队和联合军乐团，总规模约1．5万人，是近几次阅兵中规模最大的一次．其中，徒步方队15个．为了保证阅兵式时队列保持整齐，各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制，太高或太矮都不行．徒步方队队员，男性身高普遍在175cm 至185cm 之间；女性身高普遍在163cm 至175cm 之间，这是常规标准．要求最为严格的三军仪仗队，其队员的身高一般都在184cm 至190cm 之间．经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人，得到她们身高的直方图，如图，记C 为事件：“某一阅兵女子身高不低于169cm ”，根据直方图得到P (C )的估计值为0．5．(1)求直方图中a ，b 的值；(2)估计这个阵营女子身高的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表) 【答案】(1)a=0.125 0.075b = (2)169.12cm【解析】（1）根据频率分布直方图可得频率，结合P (C )的估计值为0.5从而可计算,a b . （2）利用组中值可计算这个阵营女子身高的平均值. 【详解】解：（1）由已知得(0.110.065)20.5b ++⨯=， 故0.075b =法一：212(0.110.0750.0750.0650.05)a =-⨯++++， 0.125a =∴．法二：1()10.50.5P C -=-=，2(0.050.075)0.50.125a a ⨯++==∴，∴． （2）2(0.0520.07540.12560.1180.075100.06512)⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 2(0.10.30.750.880.750.78)=⨯+++++ 2 3.567.12=⨯=，估计女子的平均身高为163(7.121)169.12+-=(cm )． 【点睛】本题考查频率的计算及频率分布直方图的应用，属于基础题.18．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，bcosC +(c -2a )cosB ＝0． (1)求角B ；(2)若a ＝1，求b +c 的取值范围．【答案】(1) π3B =．(2)2⎫⎪⎪⎝⎭【解析】（1）先根据正弦定理可求得1cos 2B =，再由特殊角的三角函数求得B ； （2）根据正弦定理求b ＋c 的表达式，再由23B A π=-,结合A 的范围即得b ＋c 的取值范围． 【详解】解：（1）cos (2)cos 0b C c a B +-=∵，cos cos 2cos b C c B a B ∴+=，由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=， sin()sin(π)sin 0B C A A +=-=≠， 12cos 1cos 2B B ==∴， 又B 是ABC V 的内角，π3B ∴=． （2）ABC QV 为锐角三角形，π13B a ==，，2πππ362A C A +=<<∴，，由正弦定理得1sin sin sin b cA B C==， 2πsin πsin sin sin 33sin sin sin sin A B C b c A A A A⎛⎫- ⎪⎝⎭+=+=+∴1sin cos 1122sin sin 22A AA A A +=+=⨯+=+， ππ62A b c <<+∵，∴关于A 为减函数ππ31cos 31cos 1126ππ222sin 2sin 26b c ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+<+<+∴， 3132b c +<+<+∴，即b c +的取值范围是3132⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查正弦定理，考查了三角函数的单调性，求出A 的范围是解题的关键，考查了运算求解能力，属于中档题.19．如图，在三棱锥P -ABC 中，已知22====，AC AB BC PA ，顶点P 在平面ABC上的射影为ABC V 的外接圆圆心.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ； （2）若点M 在棱PA 上，||||=λAM AP ，且二面角P -BC -M 533，试求λ的值.【答案】（1）证明见解析 （2）12λ=【解析】（1）设AC 的中点为O ，连接PO ，易知点O 为ABC V 的外接圆圆心，从而PO ⊥平面ABC ，即可证明平面PAC ⊥平面ABC ；（2）以OC ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 求出平面MBC 与平面PBC 的法向量，代入公式即可建立λ的方程，解之即可. 【详解】（1）证明：如图，设AC 的中点为O ，连接PO ，由题意，得222BC AB AC +=，则ABC V 为直角三角形， 点O 为ABC V 的外接圆圆心．又点P 在平面ABC 上的射影为ABC V 的外接圆圆心， 所以PO ⊥平面ABC ，又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ． （2）解：由（1）可知PO ⊥平面ABC ， 所以PO OB ⊥，PO OC ⊥，OB AC ⊥，于是以OC ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)O ，，，(100)C ，，，(010)B ，，，(100)A -，，，(001)P ，，， 设[01](101)(10)AM AP AP M λλλλ=∈=-u u u u v u u u v u u u v，，，，，，，，， (110)BC =-u u u v ，，，(101)PC =-u u u v ，，，(20).MC λλ=--u u u u v，，设平面MBC 的法向量为111()m x y z =u r，，，则·0·0m BC m MC ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u u v v ，，得11110(2)0x y x z λλ-=⎧⎨--=⎩，，令11x =，得11y =，12z λλ-=，即211m λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭v，，． 设平面PBC 的法向量为222()n x y z =r，，，由·0·0n BC n PC ⎧=⎨=⎩u u u v r u u u v r ，，得222200x y x z -=⎧⎨-=⎩，，令1x =，得1y =，1z =，即(111)n =r，，，22·cos ||?||n m n m n m λ-+〈〉===r vr vr v ， 解得1110222⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，，λM 即M 为PA 的中点． 【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 20．已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R ． (1)当k =－1时，求函数()f x 的单调区间；(2)当k ∈[1，2]时，求函数()f x 在[0，k ]上的最大值．【答案】(1) ()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞， (2)2max ()(1)e k f x k k k =--【解析】(1) 首先求出()'f x ，再由()'0f x >求得单调递增区间，由()'0f x <，解不等式即可求出单调减区间；(2) 首先求得()0f x '=，结合k 的范围，可求得函数在20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln k k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，再比较(0)()f f k ，的大小，即可求得最大值. 【详解】解：（1）21()(1)e x k f x x x =-=---，，令()e 2(e 2)00x xf x x x x x '=--=-+=⇒=，故(0)()0(0)()0x f x x f x ''∈-∞>∈+∞<，，；，，， ()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞，（2）()e 2(e 2)x xf x kx x x k '=-=-，令2()0ln [0ln 2]f x x k'=⇒=∈，，其中[12]k ∈，． 令2()ln [12]g k k k k=-∈，，， 211()21102k g k k k⎛⎫'=⨯--=--< ⎪⎝⎭，故()g k 在[12]，上单调递减， 故2()(1)ln 210lng k g k k=-<⇒<≤， 故220ln ()0ln ()0x f x x k f x k k ⎛⎫⎛⎫∈<∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，，；，，， 从而()f x 在20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln k k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增， 故在[0]k ，上，函数2max ()max{(0)()}max{(1)e }[12].k f x f f k k k k k k ==---∈，，，， 由于2()(0)(1)e [(1)e 1]k kf k f k k k k k k k -=--+=--+，令()(1)e 1[12]kh k k k k =--+∈，，，()e 10k h k k '=->，对于[12]k ∀∈，恒成立， 从而()(1)0h k h =≥，即()(0)f k f ≥，当1k =时等号成立，故2max ()()(1)e k f x f k k k k ==--．【点睛】本题考查函数的单调性和函数的最值，(1)一般来说，判断函数的单调区间，就要考察函数的导函数在此区间上的符号，若函数中含有参数，这就可能引起分类讨论；(2)求函数在某区间上的最值，一般仍是先考察函数在此区间上的单调性，再求其最值，本题中的参数是引起分类讨论的原因，难度较大，分类时要层次清晰.21．已知抛物线E ：2y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 的斜率为k ，与抛物线E 交于A ，B 两点，抛物线在点A ，B 处的切线分别为1l ，2l ，两条切线的交点为D .（1）证明：90ADB ∠=︒；（2）若ABD ∆的外接圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2) k >k <【解析】（1）写出两直线1l ，2l 斜率，利用直线l 与抛物线方程联立后根与系数的关系可得121k k =-，即可证明（2）根据（1）得到圆的方程，与抛物线联立消元得关于x 的四次方程，分解因式得两个二次方程，只需判别式同时大于0即可求解. 【详解】（1）证明：依题意有10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l ：14y kx =+， 设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与抛物线E 相交，联立方程214y x y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去y ，化简得2104x kx --=， 所以，12x x k +=，1214x x =-． 又因为2y x '=，所以直线1l 的斜率112k x =. 同理，直线2l 的斜率222=k x ， 所以，121241==-k k x x ，所以，直线12l l ⊥，即90ADB ∠=︒．（2）由（1）可知，圆Γ是以AB 为直径的圆，设(),P x y 是圆Γ上的一点，则0PA PB ⋅=u u u r u u u r，所以，圆Γ的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=， 又因为12x x k +=，1214x x =-，21212111442kx kx k y y =+++=+，221212116==y y x x ， 所以，圆Γ的方程可化简为222130216⎛⎫+--+-= ⎪⎝⎭x y kx k y ，联立圆Γ与抛物线E 得2222130216x y kx k y y x ⎧⎛⎫+--+-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩， 消去y ，得422130216⎛⎫----= ⎪⎝⎭x k x kx ， 即22211042x kx ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2213044⎛⎫⎛⎫--++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x kx x kx ， 若方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=有相同的实数根0x ， 则20020020010114032404x kx kx x x kx ⎧--=⎪⎪⇒=-⇒+=⎨⎪++=⎪⎩矛盾， 所以，方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=没有相同的实数根， 所以，圆Γ与抛物线E有四个不同的交点等价于221030k k k k ⎧+>⇔><⎨->⎩综上所述，k >k <【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，圆的方程，圆与抛物线相交，属于中档题. 22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝6sin θ，建立以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系．直线l 的参数方程是cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|ABk ．【答案】(1) 22(3)9x y +-=． (2) 1k =±．【解析】（1）运用x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，即可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）方法1:化直线的参数方程为普通方程，再由条件，即可得到直线方程，再求出圆心到直线的距离，结合|AB2:直接把直线的参数方程代入圆，运用韦达定理，计算12t t -，结合|AB【详解】解：（1）由曲线C 的极坐标方程是6sin ρθ=，得直角坐标方程为226x y y +=，即22(3)9x y +-=．（2）把直线l 的参数方程cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，，（t 为参数），代入圆C 的方程得22(cos )(sin 1)9t t θθ+-=，化简得22sin 80t t θ--=．设A B ，两点对应的参数分别是12t t ，，则122sin t t θ+=，128t t =-故12||||AB t t =-得sin θ=， 得1k =±． 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线与圆相交的弦长问题，运用点到直线的距离公式，结合弦长运用勾股定理即可求得斜率，考查运算能力，属于中档题． 23．已知a ，b ，c ∈R +，且a +b +c ＝2． 求证：(1)1346a b c++≥+； (2)2222c a b a b c++≥．【答案】(1) 证明见解析 (2)证明见解析【解析】（1）运用柯西不等式，求1134()2a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值，即可证明；（2）运用柯西不等式，计算2221()2c a b a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，即可证明. 【详解】证明：（1）由柯西不等式，得213411341()622a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++=+ ⎪⎝⎭≥，所以1346a b c++≥+． （2）由柯西不等式，得222222211()()222c a b c a b a b c c a b ab c a b c ⎛⎫⎛⎫++=++++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥， 所以2222c a b a b c++≥．【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，考查了推理论证能力.。
西南名校联盟2020届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷(二)文数-答案
文科数学参考答案·第1页（共11页）2020届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（二）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．结合图象易知2y x =与y x =有两个交点，所以A B I 的元素个数为2，故选B ． 2．设i z a b =+，由题意知，cos30a =︒=，1sin302b =︒=，所以1i 2z =+，故选A ．3．因为D ．4．湖北最新确诊人数有增有减，A 错误；全国最新确诊人数呈先增加后减少的趋势，B 错误；2月4号全国新增确诊人数达到最多，并非患病人数最多，C 错误；非湖北地区1月20日至2月10日这几天内新增确诊人数相较于湖北地区新增确诊人数的波动性较小，变化比较平稳，方差更小，D 正确，故选D ．5．圆22220x y x y m +--+=化为标准方程为22(1)(1)2x y m -+-=-(2)m <，由题意(11)，到C ．6．因为()-⊥a b b C ．文科数学参考答案·第2页（共11页）7．双曲线22221x y a b -=中，令x c =，得2b y a =±，所以22||b AB a=，由题意222b c a =，化简得22c a ac -=，所以210e e --=，解得115e +，215e -=（舍去），所以15e +=，故选B ．8．1πcos ()ln πcos x f x x x +⎛= -⎝，0x ≠，1πcos ()ln ()πcos x f x f x x x +⎛⎫-==- ⎪--⎝⎭，所以()f x 为奇函数，排除C ，D ；当π02x ⎛∈ ⎝，时，πcos ln ln10πcos x x +⎛⎫>= ⎪-⎝⎭，10x >，所以()0f x >，故选A ． 9．()22cos f x x x =-，()22sin 2(1sin )0f x x x '=+=+≥，所以()f x 在R 上单调递增，0.211322a ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 1.11111222b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，221log 3log 22c =，所以c a b >>，所以()()()f c f a f b >>，故选C ．10．由程序框图可知1n =时，2πS r =，3r =；2n =时，223ππ4S r r =+，2334r r r ==⎝⎭；3n =时，222233πππ44S r r r ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，334r =；4n =时，222233πππ44S r r r ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭323π4r ⎛⎫ ⎪⎝⎭L ，，由以上规律可知2020n =时，232222333ππππ444S r r r r ⎛⎫⎛⎫=+++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L201922019202022233333ππ14π144444r r r ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L ，故选B ．11．如图1所示，线段GP 在平面ABCD 上的投影随着点P 的变化而变化，故①错；11||33C BPG P BCG BCG BCG V V S h S AB --===△△为定值，②正确；因为E ，F ，G 分别为棱AA '，AD ，CC '的中点，所以EF A D '∥，EG A C ''∥，EG EF E =I ，图1文科数学参考答案·第3页（共11页）所以平面EFG A DC ''∥平面，所以GP ∥平面A DC ''，③正确；因为BD '不垂直于DC ，所以一定不存在点P ，使得BD '⊥平面PDC ，④错误，故选B ．12．2()ln f x x a x a '=--，不妨设12x x >，则1212()()f x f x a x x ''->-等价于12()()f x f x ''->12()a x x -，即1122()()f x ax f x ax ''->-，设2()()ln h x f x ax x a x ax a '=-=---，则证明12()()h x h x >，即证明()20ah x x a x '=--≥在[12]，上恒成立，化简得221x a x +≤，[12]x ∈，，设1x t +=，则22(21)122t t a t t t -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭≤，[23]t ∈，，因为1()22m t t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在[23]，上单调递增，所以min 1()22212m t ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以min ()1a m t =≤，故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16答案 充分不必要147(043]，【解析】13．“0a b >>”可推出“a b π>π”，但是“a b π>π”推不出“0a b >>”，所以 “0a b >>”是“a b π>π”的充分不必要条件．14．画出不等式组满足的区域，如图2，(11)A -，，(11)B -，，(33)C ， 为顶点的三角形区域（包含边界），2yx +表示该区域内的 点与定点(20)D -，连线的斜率，结合图象，可知DA 所在直 线斜率最大，所以2yx +的最大值为1DA k =． 15．设11()A x y ，，22()B x y ，，联立方程2202y x y px -+=⎧⎨=⎩，，得2240y py p --=，显然0∆>，由韦图2文科数学参考答案·第4页（共11页）达定理得122y y p +=，124y y p =-，所以12|||AB y y =-=，M y p =，则2M x p =+，2N p x =，则||||22M N pMN x x =-=+，又因为M 为AB 的中点，且π2ANB ∠=，所以||2||AB MN =，4p +，解得47p =． 16．因为2sin()sin sin A B A B +=+，所以2sin sin sin C A B =+，所以2c a b =+，所以4c =．法一：4c =，8a b =-，且满足844848b b b b b b -+>⎧⎪+>-⎨⎪+->⎩，，， 解得26b <<，由余弦定理得cos A =222262b c a b bc b +--=，又因为1sin 2ABC S bc A =△，所以2222221sin 4(1cos )4ABCS b c A b A ==-△ 212(812)(26)b b b =-+-<<，所以2(048]ABCS ∈△，，则(0ABC S ∈△，． 法二：因为4c =，8a b +=，所以顶点C 的轨迹为以A 和B 为焦点的椭圆，由图形可知当4a b ==，即ABC △为等边三角形时面积最大，此时ABC S =△，又因为ABC S △可以趋近0，所以(0ABC S ∈△，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）{}n a 为等差数列，因为410S =，55a =， 所以14610a d +=，145a d +=，解得11a =，1d =，所以n a n =．………………………………………………………………………………（3分）因为4(41)3n n T =-，所以当2n ≥时，1144(41)(41)433n n n n n n b T T --=-=---=；……………………………………………………………………（5分）文科数学参考答案·第5页（共11页）当1n =时，114b T ==，综上，4n n b =，n *∈N ．…………………………………………………………………（6分） （2）2111log 42(1)1n n c n n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭，…………………………………………（8分）所以12n n C c c c =+++=L 2(123)n ++++L 11111112231n n ⎛⎫+-+-++- ⎪+⎝⎭L1(1)11n n n ⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭(1)1n n n n =+++，所以(1)1n nC n n n =+++，………………………………………………………………（10分） 因为(1)1001n n C n n n =++<+，当1n ≥时，1(1)11n C n n n =++-+为关于n 的递增数列， 8999010010C C <=+<，101011010011C =+>， 所以n 的最大值为9．…………………………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（1）应选择模型①，因为模型①每组数据对应的残差绝对值都比模型②的小，残差波动小，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明拟合精度高．（言之有理即可）………………………………………………………………………………………（4分） （2）由（1）知，需剔除第一组数据，得到下表51299.850.4297.8i ii x y==-⨯=∑，52135525330i i x ==-=∑，文科数学参考答案·第6页（共11页）所以5152215297.82803303205i ii ii x yx ybxx ==--===--∑∑$17.81.7810=，………………………………………………………………………………………（10分） ˆ7 1.7887.24ay bx =-=-⨯=-$，得模型①的回归方程为 1.787.24y x =-， 则11x =时， 1.78117.2412.34mm y =⨯-=，故光照时间为11h 时，该植物的平均增长高度为12.34mm ．………………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：如图3，连接DM ，因为2AB BC ==90ABC ADC ∠=∠=︒，M 为AC 的中点， 所以BM AC ⊥，…………………………………………………………………………（2分）2AC =，1DM BM ==，又因为2DB 222DM BM DB +=，所以BM DM ⊥，…………………………………………………………（4分） DM AC M =I ，所以BM ⊥平面ADC ，而DC ⊂平面ADC ，所以BM DC ⊥．………………………………………………………………………………………（6分） （2）解：由（1）得，BM ⊥平面ADC ，因为60DCA ∠=︒，2AC =， 所以3DA =，13132ADC S =⨯=△ 又因为2DB BA ==，所以151532ADB S ==△．………………………………………………………（8分） 设M 到平面ADB 的距离为h ，图3文科数学参考答案·第7页（共11页）则由M ADB B AMD V V --=，得1111332h =⨯，得h =． ………………………………………………………………………………………（10分） 设BM 与平面ADB 所成角为θ，则sin h BM θ=， 所以BM 与平面ADB………………………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）解：由0012x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，得到002x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，又因为00()P x y ，在圆224x y +=上，所以2204x y +=①，把0x =，02y y =带入①，得2212x y +=，所以曲线C 的标准方程为2212x y +=．…………………………………………………（4分）（2）证明：设直线AB 的方程为1x my =+，11()A x y ，，22()B x y，12(x x ≠，， 联立直线和椭圆方程22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，化简得22(2)210m y my ++-=，易知0∆>，由韦达定理12222m y y m -+=+，12212y y m -=+，…………………………………………（6分）由题意：直线NA l y x =：，所以2D ⎛ ⎝，所以D F k =，所以FE k =文科数学参考答案·第8页（共11页）所以1)FE l y x =-：，令2x =，得2E ⎛ ⎝，， ………………………………………………………………………………………（8分）因为(0)N ，(10)F ，，所以22()NB x y =+u u u r，2NE ⎛⎫=+- ⎝u u u r ，因为222(2((2y x y ⎡⎤+--=++⎢⎢⎣==222==0==，所以NB u u u r 与NE u u u r共线，所以N ，B ，E 三点共线．……………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）2()2e (sin cos )x f x x x kx =--，(0)2f =-，所以切线过点(02)-，，………………………………………………………………………………………（1分） ()4e sin 2x f x x kx '=-，(0)0f '=，所以切线的斜率为0，………………………………………………………………………………………（3分） 所以曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为2y =-．………………………………………………………………………………………（4分）文科数学参考答案·第9页（共11页）（2）因为()f x 在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为单调递增函数，()2(2e sin )x f x x kx '=-在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的任意子区间上不恒等于0，所以()0f x '≥在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立，………………………………………………………………………………………（5分） 设()2e sin x g x x kx =-，()2e (sin cos )x g x x x k '=+-， 设()2e (sin cos )x x x x ϕ=+，()4e cos x x x ϕ'=，所以π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()4e cos 0x x x ϕ'=≥，所以()x ϕ在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，所以π22e ()(0)2x ϕϕ=≥≥．………………………………………………………………………………………（6分） ①当2k ≤时，()0g x '≥，所以()g x 在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()(0)0g x g =≥，满足题意；………………………………………………………（7分） ②当π22e k ≥时，()0g x '≤，所以()g x 在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，所以()(0)0g x g =≤，不满足题意；……………………………………………………（8分） ③当π222e k <<时，(0)20g k '=-<，π2π2e 02g k ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以0π02x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，使得0()0g x '=，又因为()2e (sin cos )x g x x x k '=+-在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单增，所以0(0)x x ∈，时，()0g x '<，当0π2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0g x '>，所以0x 为()g x 在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上唯一的极小值点，所以0()()g x g x ≥，又因为(0)0g =，所以0()(0)0g x g <=，文科数学参考答案·第10页（共11页）所以0(0)x x ∈，时，()0g x <，不满足题意．……………………………………………………………………………………（11分） 综上所述，2k ≤．……………………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）联立22cos 0ρρθ-=和π6θ=，得到10ρ=（舍去），2ρ= 所以π6M ⎫⎪⎭，，则π2N ⎫⎪⎭，．………………………………………………………（4分）（2）由（1）知，OMN △则外接圆的直径2R ，得1R =，将π6M ⎫⎪⎭，，π2N ⎫⎪⎭，化为直角坐标为32M ⎛ ⎝⎭，(0N ，所以内接圆的圆心坐标为12C ⎛ ⎝⎭， 所以圆C的标准方程为22112x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，化为普通方程为220x y x +-=， 所以圆C的极坐标方程为2cos sin 0ρρθθ-=，化简得π2sin 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（1）解：因为0m >，所以22()|2||2|42222m m x m m f x x m x m x x m m x ⎧-⎪⎪⎪=--+=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，，，≥，所以max ()24f x m ==，所以2m =．……………………………………………………（5分） （2）证明：由（1）知，2abc =，且a ，b ，c 为正实数，故有333≥+++++=+++a b a c b c a b a c b c()()()3()()()≥，348⨯⨯⨯=所以333+++++≥．…………………………………………………（10分）a b a c b c()()()48文科数学参考答案·第11页（共11页）。
西南名校联盟·2020届高三3+3+3高考备考诊断性联考卷(一)英语试题 PDF版含答案
2020届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）英语参考答案第一部分听力（共两节，满分30分）1~5 CBACC 6~10 ACBCA 11~15 ABBAC 16~20 BCABB第二部分阅读理解（共两节，满分40分）第一节（共15小题；每小题2分，满分30分）21~25 DCBAD 26~30 BBADC 31~35 BCADC第二节（共5小题；每小题2分，满分10分）36~40 GFADB第三部分语言知识运用（共两节，满分45分）第一节（共20小题；每小题1.5分，满分30分）41~45 BDACA 46~50 CBDAD 51~55 ABDCA 56~60 CCBDB第二节（共10小题；每小题1.5分，满分15分）61．where 62．Located 63．filled 64．depth 65．feet66．an 67．to leave 68．to 69．features 70．easier第四部分写作（共两节，满分35分）第一节短文改错（共10小题；每小题1分，满分10分）DoorDash is an app that people order food without having to call a phone number or find correct①wherechanges to pay the driver．Many people complain that order food for delivery is a pain because the②change ③orderingphone is always busier．For the convenience of customers，DoorDash provide an easy-to-use menu④busy ⑤providesand an ordering system for each restaurant in it network. You pay right in your smart phone. What is⑥its ⑦on/withunusual about DoorDash is that you can track from where your driver is．However，you know how⑧⑨Therefore/Thuslong you have to wait．Best of all，you get∧same price as you order from the restaurant！⑩the第二节书面表达（满分25分）【参考范文】Dear Mr. Roger，I’m Li Hua. It is an honor for me to provide voluntary services and teach kids Chinese in your school next month，but I’m in need of more information. Therefore，I’d like to ask for some details．To begin with，I am eager to know the course arrangements，like how many class hours there are per week. What’s more，I wonder if you could tell me some basic information about the students，such as their Chinese ability，so as to know them better．Last，could you be so kind as to tell me about the accommodation and the food？Your attention to the e-mail would be highly appreciated. I’m looking forward to your early reply．Yours faithfully， Li Hua【解析】第二部分阅读理解第一节A【语篇导读】本文是一篇应用文，主要介绍了一些位于加拿大的旅游景点。
西南名校联盟2025届高考文综“3+3+3”备考诊断性联考卷三
西南名校联盟2025届高考文综“3+3+3”备考诊断性联考卷（三）留意事项:1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答卡上填写清晰。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分300分，考试用时150分钟。
一、选择题(本大题共35小题，每小题4分，共140分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)被称为“中国吉他制造之乡”的正安县(如图1)，地处黔北大山深处，曾是一个深度贫困县。
2013年，一批在外打拼的正安人返乡创业生产吉他，并主动引进福建、广东等地的吉他制造技术及其配套企业，实现了从以代工为主到形成多个自主品牌的蜕变，产品远销国际市场。
据此完成1~3题。
1.正安人返乡创业生产吉他，主要利用了当地A.历史文化传承B.技术人才优势C.自然环境美丽D. 劳动力的成本2. 从当地吉他产业的发展过程看，始终致力于A.打造自主品牌B.扩大生产规模C.产品款式多样D.优化产业结构3.正安吉他外销得益于A.市场需求B.政策实惠C.品牌质量D.物流优势波鸿市位于德国鲁尔区，市区内地势平坦，图2示意波鸿市儿童嬉戏场地按不同年龄段分级分布。
据此完成4-6题。
4.波鸿市儿童嬉戏场地中服务范围最小的是A.0~6岁B.6~12岁C. 0~12岁D.12-165.推想住宅区主要分布在该市的A.东北部 B东南部 C.西部 D.北部6.波鸿市儿童嬉戏场地主要集中分布于A.风景名胜区旁边地区B.交通干线两侧C.地租较低的城市郊区D.盛行风上风向图3为“澳大利亚某年某月某日海平面等压线(单位: hPa) 分布图”。
读图，完成7~8题。
7.关于①、②、③、④四地天气描述正确的是A.①地大雾充满B.②地云量较多C.③地风力较大D.④地降水较少8.澳大利亚大陆西部海洋上有反气旋中心滞留，其主要缘由是A海陆热力差异大 B.陆地上出现逆温C.沿岸有寒流流经D.南方冷空气影响北极熊主要生活在北冰洋及其沿岸、格陵兰岛及其四周。
西南名校联盟2020届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷(一)文科数学(含解析)
西南名校联盟高考诊断性联考卷2020届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷(一)文科数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．2019年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位，看过《中国机长》的学生共有60位，看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位，则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为A ．1150B ．1380C ．1610D ．18602．若复数z 满足2i z+＝i ，则|z|=BC． D3．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m 的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n 和m 的值不可以是下列四个选项中的哪组A ．n=360，m=14B ．n=420，m=15C ．n=540，m=18D ．n=660，m=194．22sin cos 0x x -≥的解集为 A.[2,2],2k k k Z πππ+∈ B.[,],2k k k Z πππ+∈, C.[,],44k k k Z ππππ-+∈ D.3[,],44k k k Z ππππ++∈ 5.已知n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若24836149a a a a a ++=+，则149=S S A.149 B.73 C.32D ．2 6．已知函数sin a x y x =在点M(π，0)处的切线方程为x b y π-+=，则 A ．a ＝－1，b =l B ．a =－1，b =－1 C ．a ＝1，b =l D ．a =1，b =－17．函数2cos2()1x x f x x =+的图象大致为图 2 图18．如图1，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且AB ＝1，BC ＝2， ∠ABC=60°，PA ⊥平面ABCD ，AE ⊥PC 于E ，下列四个结论：①AB ⊥AC ；②AB ⊥平面PAC ；③PC ⊥平面ABE ；④BE ⊥PC ．正确的个数是A.1B.2C.3D.49.已知i 为虚数单位，执行如图2所示的程序框图，则输出的z 为A.－iB.iC.0D.1+i 10．双曲线E ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y =2x ，过右焦点F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，若△OAF 的面积是为原点)，则双曲线E 的实轴长是A ．4B ．C ．1D ．211.对于不等式22x y m +≤的解(x ,y )，x ，y ∈R ，都能使得不等式组24x y x y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩m 的取值范围是A. B.16[0,]5C.72[0,9+D.(0,2]12．已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y=kx+b(k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题：①当k 为常数，b 为变数时，sin(α＋β)是定值；②当k 为变数，b 为变数时，sin(α＋β)是定值；③当k 和b 都是变数时，sin(α＋β)是定值．其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知|a |=1，|b |=8，；·()3a b a ⋅-=，则向量a 与b 向量的夹角是 .14．数列{n a }的前n 项和2n S An Bn =+(A ≠0)，若1=1a ，125,,a a a 成等比数列，则3=a .。
2020西南名校联盟“3+3+3”高三备考诊断性联考(一)数学(文)试题
2020西南名校联盟“3＋3＋3”高三备考诊断性联考（一）数学（文）试题一、单选题1．2019年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位，看过《中国机长》的学生共有60位，看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位，则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为( )A ．1150B ．1380C ．1610D ．18602．若复数z 满足2i z+＝i ，则|z |=( ) A．5BC．3．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m 的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n 和m 的值不可以是下列四个选项中的哪组( )A ．n =360，m =14B ．n =420，m =15C ．n =540，m =18D ．n =660，m =194．22sin cos 0x x -≥的解集为( )A ．[2,2],2k k k Z πππ+∈B ．[,],2k k k Z πππ+∈, C ．[,],44k k k Z ππππ-+∈ D ．3[,],44k k k Z ππππ++∈ 5．已知n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若24836149a a a a a ++=+，则149=S S ( ) A ．149 B ．73 C ．32D ．2 6．已知函数sin a x y x =在点M (π，0)处的切线方程为x b y π-+=，则( )A ．a ＝－1，b =1B ．a =－1，b =－1C ．a ＝1，b =1D ．a =1，b =－17．函数2cos2()1x x f x x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ． D ．8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且AB ＝1，BC ＝2， ∠ABC =60°，PA ⊥平面ABCD ，AE ⊥PC 于E ，下列四个结论：①AB ⊥AC ；②AB ⊥平面PAC ；③PC ⊥平面ABE ；④BE ⊥PC ．正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．已知i 为虚数单位，执行如图所示的程序框图，则输出的z 为( )A ．－iB ．iC ．0D ．1+i10．双曲线E ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y =2x ，过右焦点F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，若△OAF 的面积是O 为原点)，则双曲线E 的实轴长是( )A ．4B ．C ．1D ．211．对于不等式22x y m +≤的解(x ,y )，x ，y ∈R ，都能使得不等式组24x y x y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩m 的取值范围是( )A ．B ．16[0,]5C ．72[0,9+ D ．(0,2] 12．已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题：①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值；②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值；③当k 和b 都是变数时，sin (α＋β)是定值．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．已知|a r |=1，|b r |=8，·()3a b a ⋅-=r r r ，则向量a r 与b r 向量的夹角是________.14．数列{n a }的前n 项和2n S An Bn =+(A ≠0)，若1=1a ，125,,a a a 成等比数列，则3=a ________.15．如图，正八面体的棱长为2，则此正八面体的体积为____.16．已知点F1，F2，是椭圆C：22221x ya b+=(a>b>0)的左、右焦点，以F1为圆心，F1F2为半径的圆与椭圆在第一象限的交点为P．若椭圆C的离心率为23，12PF FS△，则椭圆C的方程为________.三、解答题17．根据阅兵领导小组办公室介绍，2019年国庆70周年阅兵有59个方(梯)队和联合军乐团，总规模约1．5万人，是近几次阅兵中规模最大的一次．其中，徒步方队15个．为了保证阅兵式时队列保持整齐，各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制，太高或太矮都不行．徒步方队队员，男性身高普遍在175cm至185cm之间；女性身高普遍在163cm至175cm之间，这是常规标准．要求最为严格的三军仪仗队，其队员的身高一般都在184cm至190cm之间．经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人，得到她们身高的直方图，如图，记C为事件：“某一阅兵女子身高不低于169cm”，根据直方图得到P(C)的估计值为0．5．(1)求直方图中a，b的值；(2)估计这个阵营女子身高的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)18．在锐角△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，bcosC+(c-2a)cosB＝0．(1)求角B；(2)若a＝1，求b+c的取值范围．19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2.(1)求该四棱锥P-ABCD的表面积和体积；(2)求该四棱锥P-ABCD内切球的表面积.20．已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R ．(1)当k =－1时，求函数()f x 的单调区间；(2)当k ∈[1，2]时，求函数()f x 在[0，k ]上的最大值．21．已知抛物线E ：2y x =，的焦点为F ，过点F 的直线l 的斜率为k ，与抛物线E 交于A ，B 两点，抛物线在点A ，B 处的切线分别为l 1，l 2，两条切线的交点为D .(1)证明：∠ADB ＝90°；(2)若△ABD 的外接圆Γ与抛物线C 有四个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝6sinθ，建立以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系．直线l 的参数方程是cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，(t 为参数)． (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB k ．23．已知a ，b ，c ∈R +，且a +b +c ＝2．求证：(1)1346a b c++≥+； (2)2222c a b a b c++≥．2020西南名校联盟“3＋3＋3”高三备考诊断性联考（一）数学（文）试题（解析）一、单选题1．2019年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位，看过《中国机长》的学生共有60位，看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位，则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为( )A．1150 B．1380 C．1610 D．1860【答案】C【解析】根据样本中看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例等于总体看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例，即可计算出全校中看过该影片的人数.【详解】依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有23000.7=1610人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C．【点睛】本题考查根据样本的频率分布与总体的频率分布的关系求值，难度较易.注意样本的频率和总体的频率分布一致.2．若复数z满足2iz+＝i，则|z|=( )A．5B．【答案】D【解析】由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解，也可以运用复数模的运算性质，等式两侧直接求模．【详解】方法1：由2i i z+=，得|2i||i|||||z z +==，方法2：由2i i z +=，可得2i 1-2i z i +==，z =D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m 的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n 和m 的值不可以是下列四个选项中的哪组( )A ．n =360，m =14B ．n =420，m =15C ．n =540，m =18D ．n =660，m =19【答案】C【解析】个体有明显差异的几个部分组成时往往采用分层抽样，分层抽样中每个个体被抽到的可能性和个体在每个部分中被抽到的可能性相等，总人数等于各层抽取人数的和，列出等式即可进行求解．【详解】某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，样本中的中年人为6人，则老年人为61202360⨯=， 青年人为636060n n =， 2686060n n m m ++=⇒+=，代入选项计算，C 不符合，故选C ． 【点睛】本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，这种题目经常出现在高考卷中，属于基础题．4．22sin cos 0x x -≥的解集为( )A ．[2,2],2k k k Z πππ+∈B ．[,],2k k k Z πππ+∈, C ．[,],44k k k Z ππππ-+∈ D ．3[,],44k k k Z ππππ++∈ 【答案】D【解析】利用三角函数线解不等式得解.【详解】原不等式等价于|sin ||cos |x x ≥，即正弦线长度大于或等于余弦线长度，故选D ．【点睛】本题主要考查三角函数线的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．已知n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若24836149a a a a a ++=+，则149=S S ( ) A ．149 B ．73 C ．32D ．2 【答案】B【解析】先通过24836149a a a a a ++=+，设首项和公差分别为1a 和d ，代入即可找出二者之间的关系，再由()112n n n S na d -=+，计算可得149S S 的值. 【详解】设{}n a 的公差为d ，由24836149a a a a a ++=+，10a d =≠，1141419914()1415729()91032a a S d a a S d +⨯===+⨯，故选B ． 【点睛】本题考查等差数列的基本量以及前n 项和公式，关键是求出1a 和d 的值，考查了计算能力，是中档题.6．已知函数sin a x y x =在点M (π，0)处的切线方程为x b y π-+=，则( ) A ．a ＝－1，b =1 B ．a =－1，b =－1 C ．a ＝1，b =1 D ．a =1，b =－1【答案】C【解析】先对函数求导，求得()af ππ'=-，(0)0f =，再由点斜式求得切线方程.【详解】 由题意可知2cos sin ax x a xy x-'=，故在点(π0)M ，处的切线方程为 1(π)ππa y x x -=-=-b +，11a b =⎧⎨=⎩，则，故选C ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线的方程即函数()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-.7．函数2cos2()1x xf x x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数的奇偶性排除C ，D ，再根据函数值的正负即可判断． 【详解】由()f x 为奇函数，得()f x 的图象关于原点对称，排除C ，D ；又当π04x <<时，()0f x >，故选B ． 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且AB ＝1，BC ＝2， ∠ABC =60°，PA ⊥平面ABCD ，AE ⊥PC 于E ，下列四个结论：①AB ⊥AC ；②AB ⊥平面PAC ；③PC ⊥平面ABE ；④BE ⊥PC ．正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D【解析】在ABC ∆中，由余弦定理可求出90o BAC ∠=，再由PA ⊥平面ABCD ，可证出AB ⊥平面PAC ，再由AE ⊥PC 于E ，线面垂直的判定定理，可证明PC ⊥平面ABE ，根据线面垂直的判定,可证出BE ⊥PC ，因此可知正确命题的个数. 【详解】已知1260AB BC ABC ==∠=︒，，，由余弦定理可得2222cos60AC AB BC AB BC =+-⋅︒3=，所以22AC AB +2BC =，即AB AC ⊥，①正确；由PA ⊥平面ABCD ，得AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAC ，②正确；AB ⊥平面PAC ，得AB ⊥PC ，又AE PC ⊥，所以PC ⊥平面ABE ，③正确；由PC ⊥平面ABE ，得PC BE ⊥，④正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理,考查了逻辑推理能力，属于中档题.9．已知i 为虚数单位，执行如图所示的程序框图，则输出的z 为( )A ．－iB ．iC ．0D ．1+i 【答案】C【解析】由程序框图，先确定n 的值，再判定其和20之间的关系，逐次运行，即可求出结果. 【详解】由程序框图得0z =，第一次运行011101011a z n =+==+==+=，，； 第二次运行0i i 1i 112b z n =+==+=+=，，；第三次运行，…， 故(1111)(i i i)z =-++-+-+-L L 0=，故选C ． 【点睛】本题考查的是算法与流程图，对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，分清是求和还是求项.10．双曲线E ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y =2x ，过右焦点F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，若△OAF 的面积是O 为原点)，则双曲线E 的实轴长是( )A ．4B ．C ．1D ．2 【答案】D【解析】先由近线方程为2y x =,可求出,,a b c 之间的关系，再结合△OAF 的面积是关系，进而求出双曲线的实轴长． 【详解】因为双曲线E 的一条渐近线方程为2y x =，所以2b a =，c e a ===OAF △的面积是221422b c b b a⨯===得所以，，所以1a =，双曲线的实轴长为2，故选D ．【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．11．对于不等式22x y m +≤的解(x ,y )，x ，y ∈R，都能使得不等式组24x y x y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩m 的取值范围是( )A． B ．16[0,]5 C． D ．(0,2]【答案】B【解析】首先由()0,0在区域内，可求得此时m=0,即可排除AD,当0m >时，表示圆在不等式表示的可行域内，进而利用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出m 的取值范围. 【详解】当00x y ==，时，即220x y +≤符合题意，此时0m =，排除A ，D ，由题意可知，以(00)， 为圆心的圆在不等式24x y x y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩所表示的区域内，半径最大的圆22x y m +=应与直线相切，圆心到240x y --=的距离为1d ===，圆心到x y +=22d ==，由于12d d <，∴符合题意的最大的圆为222165x y +==，故选B ．【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定参数的范围.12．已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题： ①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ③当k 和b 都是变数时，sin (α＋β)是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】首先设出11()E x y ，，22()F x y ，，进而可得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，再将直线和圆联立方程组，运用韦达定理即可进行判断. 【详解】设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，将直线EF 的方程与的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得2221(1)204k x kbx b +++-=，由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以2112sin()sin cos cos sin 44x y x y αβαβαβ+=+=+=222112121222188244()4()84()11k b kb k x kx b x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B (特值法可秒杀) 【点睛】本题考查了三角函数的定义和韦达定理，运算求解是关键，考查了转化和化归思想，属于中档题.二、填空题13．已知|a r |=1，|b r |=8，·()3a b a ⋅-=r r r，则向量a r 与b r 向量的夹角是________.【答案】π3【解析】由()3a b a ⋅-=r r r，运算可求得4a b ⋅=r r ，再由平面向量的数量积即可求出向量a r 与b r 向量的夹角. 【详解】由()3a b a ⋅-=r r r ，得3a b a a ⋅-⋅=r r r r ，即4a b ⋅=r r ，故1cos 2||||a b a b a b ⋅〈〉==⋅r rr r r r ，，则向量a r 与b r 的夹角为π3．【点睛】本题考查平面向量的数量积，由公式cos ||||a ba b a b ⋅〈〉=⋅r rr r r r ，即可求出夹角,属于基础题.14．数列{n a }的前n 项和2n S An Bn =+(A ≠0)，若1=1a ，125,,a a a 成等比数列，则3=a ________.【答案】5【解析】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，由125,,a a a 成等比数列，求得0d =或2d =，进而求得3a . 【详解】由n S 的表达式知，{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1114d d ++，，成等比数列，故2(1)14d d +=+，即220d d -=，解得0d =或2d =，若01n n d a S n ===，，，与0A ≠矛盾，故32125d a d ==+=，． 【点睛】本题主要考查了等比数列和等差数列的前n 项和公式的应用，其中根据等差数列的前n 项和公式求出通项，再由等比数列列出方程，求解公差是解题的关键，着重考查了推理与运算能力. 15．如图，正八面体的棱长为2，则此正八面体的体积为____.【答案】3【解析】上下是两个相同的正四棱锥，由棱长由勾股定理求得斜高，再由棱锥的体积公式即可求解.【详解】由边长为2==2=【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，考察了运算求解能力，属于基础题.16．已知点F 1，F 2，是椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的左、右焦点，以F 1为圆心，F 1F 2为半径的圆与椭圆在第一象限的交点为P ．若椭圆C 的离心率为23，12PF F S △，则椭圆C 的方程为________. 【答案】22195x y +=【解析】首先由椭圆的定义可得2||22PF a c =-，再求得21sin PF F ∠，结合三角形12PF F 的面积，即可求得椭圆的方程. 【详解】依题意，112||||2PF F F c ==，由椭圆的定义可得2||22PF a c =-，所以21cos PF F ∠=212||2||PF F F=1111224a c c e -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而21sin PF F ∠=因为离心率23c a =，所以12PF F S =△12g 212||||PF F F ⋅21sin PF F ∠=2()a c -=，又12PF F S =△24c =，所以2295a b ==，故椭圆C 的方程为22195x y +=．【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，合理转化和求解是解题的关键，属于中档题.三、解答题17．根据阅兵领导小组办公室介绍，2019年国庆70周年阅兵有59个方(梯)队和联合军乐团，总规模约1．5万人，是近几次阅兵中规模最大的一次．其中，徒步方队15个．为了保证阅兵式时队列保持整齐，各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制，太高或太矮都不行．徒步方队队员，男性身高普遍在175cm 至185cm 之间；女性身高普遍在163cm 至175cm 之间，这是常规标准．要求最为严格的三军仪仗队，其队员的身高一般都在184cm 至190cm 之间．经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人，得到她们身高的直方图，如图，记C 为事件：“某一阅兵女子身高不低于169cm ”，根据直方图得到P (C )的估计值为0．5．(1)求直方图中a ，b 的值；(2)估计这个阵营女子身高的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表) 【答案】(1)a=0.125 0.075b = (2)169.12cm【解析】（1）根据频率分布直方图可得频率，结合P (C )的估计值为0.5从而可计算,a b . （2）利用组中值可计算这个阵营女子身高的平均值. 【详解】解：（1）由已知得(0.110.065)20.5b ++⨯=， 故0.075b =法一：212(0.110.0750.0750.0650.05)a =-⨯++++，0.125a =∴．法二：1()10.50.5P C -=-=，2(0.050.075)0.50.125a a ⨯++==∴，∴．（2）2(0.0520.07540.12560.1180.075100.06512)⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2(0.10.30.750.880.750.78)=⨯+++++ 2 3.567.12=⨯=，估计女子的平均身高为163(7.121)169.12+-=(cm )． 【点睛】本题考查频率的计算及频率分布直方图的应用，属于基础题.18．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，bcosC +(c -2a )cosB ＝0． (1)求角B ；(2)若a ＝1，求b +c 的取值范围．【答案】(1) π3B =．(2) 2⎫⎪⎪⎝⎭【解析】（1）先根据正弦定理可求得1cos 2B =，再由特殊角的三角函数求得B ；（2）根据正弦定理求b ＋c 的表达式，再由23B A π=-,结合A 的范围即得b ＋c 的取值范围． 【详解】解：（1）cos (2)cos 0b C c a B +-=∵，cos cos 2cos b C c B a B ∴+=，由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=，sin()sin(π)sin 0B C A A +=-=≠，12cos 1cos 2B B ==∴， 又B 是ABC V 的内角，π3B ∴=．（2）ABC QV 为锐角三角形，π13B a ==，，2πππ362A C A +=<<∴，，由正弦定理得1sin sin sin b cA B C==， 2πsin πsinsin sin 33sin sin sin sin A B C b c A A A A⎛⎫- ⎪⎝⎭+=+=+∴1sin cos 1122sin sin 22A AA A A +=+=⨯+=， ππ62A b c <<+∵，∴关于A 为减函数 ππ1cos 1cos 1126ππ222sin 2sin 26b c ⎫⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭+<+<+∴，2b c <+<，即b c +的取值范围是2⎫⎪⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查正弦定理，考查了三角函数的单调性，求出A 的范围是解题的关键，考查了运算求解能力，属于中档题.19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ＝2.(1)求该四棱锥P -ABCD 的表面积和体积；(2)求该四棱锥P -ABCD 内切球的表面积.【答案】(1) S ＝8＋V ＝83(2) (24－)π.【解析】(1) 四个侧面都是直角三角形，进而求出边长，即可求得侧面积，底面是正方形，二者相加即可求出表面积，PD ⊥平面ABCD ，故四棱锥的高为PD ，再由棱锥的体积公式求出体积； (2) 设内切球的半径为r ，球心为O ，根据等体积法求出内切球的半径，则由P ABCD O PAB O PAD O PCB O PCD O ABCD V V V V V V ------=++++，即可求得半径,进而求出内切球的表面积.【详解】(1) 解：（1）由已知底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，得PD ⊥AD ，PD ⊥AB ，AD ⊥AB ．又PD AD D ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ，∴PA ⊥AB ，∴PA =PB =∴PAB S =V 2PAD S =△，同理PCB S =V 2PCD S =△，4ABCD S =，∴8S =四棱锥表面积，1833P ABCD ABCD V S PD -=⋅=．S ＝8＋V ＝83（2）设内切球的半径为r ，球心为O ，则球心O 到平面PAB ，平面PAD ，平面PCB ，平面PCD ，平面ABCD 的距离均为r ， 由P ABCD O PAB O PAD O PCB O PCD O ABCD V V V V V V ------=++++，可得11111113333333ABCD PAB PAD PCB PCD ABCD S PD S r S r S r S r S r S r ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅△△△△正方形四棱锥表面积，∴2ABCD S PD r S ⋅==正方形四棱锥表面积∴24π(24πS r ==-内切球表面积.∴r ＝2，S ＝(24－)π. 【点睛】此题考查求锥体的表面积和内切球的表面积，考查通式通法，尤其是几何体内切球的大小通常用等体积法求其半径．20．已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R ． (1)当k =－1时，求函数()f x 的单调区间；(2)当k ∈[1，2]时，求函数()f x 在[0，k ]上的最大值．【答案】(1) ()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞， (2)2max ()(1)e k f x k k k =--【解析】(1) 首先求出()'f x ，再由()'0f x >求得单调递增区间，由()'0f x <，解不等式即可求出单调减区间；(2) 首先求得()0f x '=，结合k 的范围，可求得函数在20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln k k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，再比较(0)()f f k ，的大小，即可求得最大值. 【详解】解：（1）21()(1)e x k f x x x =-=---，， 令()e 2(e 2)00x x f x x x x x '=--=-+=⇒=，故(0)()0(0)()0x f x x f x ''∈-∞>∈+∞<，，；，，， ()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞，（2）()e 2(e 2)x x f x kx x x k '=-=-，令2()0ln [0ln 2]f x x k'=⇒=∈，，其中[12]k ∈，． 令2()ln [12]g k k k k=-∈，，，211()21102k g k k k⎛⎫'=⨯--=--< ⎪⎝⎭，故()g k 在[12]，上单调递减， 故2()(1)ln 210lng k g k k=-<⇒<≤， 故220ln ()0ln ()0x f x x k f x k k ⎛⎫⎛⎫∈<∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，，；，，， 从而()f x 在20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln k k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增， 故在[0]k ，上，函数2max ()max{(0)()}max{(1)e }[12].k f x f f k k k k k k ==---∈，，，， 由于2()(0)(1)e [(1)e 1]k k f k f k k k k k k k -=--+=--+， 令()(1)e 1[12]k h k k k k =--+∈，，， ()e 10k h k k '=->，对于[12]k ∀∈，恒成立，从而()(1)0h k h =≥，即()(0)f k f ≥，当1k =时等号成立， 故2max ()()(1)e k f x f k k k k ==--． 【点睛】本题考查函数的单调性和函数的最值，(1)一般来说，判断函数的单调区间，就要考察函数的导函数在此区间上的符号，若函数中含有参数，这就可能引起分类讨论；(2)求函数在某区间上的最值，一般仍是先考察函数在此区间上的单调性，再求其最值，本题中的参数是引起分类讨论的原因，难度较大，分类时要层次清晰.21．已知抛物线E ：2y x =，的焦点为F ，过点F 的直线l 的斜率为k ，与抛物线E 交于A ，B 两点，抛物线在点A ，B 处的切线分别为l 1，l 2，两条切线的交点为D .(1)证明：∠ADB ＝90°；(2)若△ABD 的外接圆Γ与抛物线C 有四个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2) k >k <【解析】(1)首先设出直线l 的方程，再设1122()()A x y B x y ，，，，直线与抛物线联立方程组，进而求出1212x x x x +，的值，再对抛物线求导，结合导数的几何意义，即可证明；(2)外接圆的直径为AB,进而写出圆的方程，圆和抛物线联立方程组，消去y,等价于方程有两个不同的根，即可求出k 的范围. 【详解】（1）证明：依题意有104F ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线14l y kx =+：，设1122()()A x y B x y ，，，，直线l 与抛物线E 相交，联立方程214y x y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，消去y ，化简得2104x kx --=， 所以，121214x x k x x +==-，．又因为2y x '=，所以直线1l 的斜率112k x =. 同理，直线2l 的斜率222k x =， 所以，121241k k x x ==-，所以，直线12l l ⊥，即90ADB ∠=︒．（2）解：由（1）可知，圆Γ是以AB 为直径的圆， 设()P x y ，是圆Γ上的一点，则0PA PB ⋅=u u u r u u u r，所以，圆Γ的方程为1212()()()()0x x x x y y y y --+--=， 又因为22212121212121211111444216x x k x x y y kx kx k y y x x +==-+=+++=+==，，，，所以，圆Γ的方程可化简为222130216x y kx k y ⎛⎫+--+-= ⎪⎝⎭，联立圆Γ与抛物线E 得2222130216x y kx k y y x ⎧⎛⎫+--+-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，， 消去y ，得422130216x k x kx ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，即22211042x kx ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2213044x kx x kx ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=有相同的实数根0x ，则20020020010114032404x kx kx x x kx ⎧--=⎪⎪⇒=-⇒+=⎨⎪++=⎪⎩，，矛盾， 所以，方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=没有相同的实数根，所以，圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点等价于221030k k k k ⎧+>⇔><⎨->⎩，综上所述，k k <． 【点睛】本题考查了直线、圆和抛物线的交汇，联立方程组，运用韦达定理是解题的关键，考查了运算求解能力和化归思想，属于难题.22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝6sinθ，建立以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系．直线l 的参数方程是cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|ABk ． 【答案】(1) 22(3)9x y +-=． (2) 1k =±．【解析】（1）运用x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，即可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）方法1:化直线的参数方程为普通方程，再由条件，即可得到直线方程，再求出圆心到直线的距离，结合|AB2:直接把直线的参数方程代入圆，运用韦达定理，计算12t t -，结合|AB【详解】解：（1）由曲线C 的极坐标方程是6sin ρθ=，得直角坐标方程为226x y y +=，即22(3)9x y +-=．（2）把直线l 的参数方程cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，，（t 为参数），代入圆C 的方程得22(cos )(sin 1)9t t θθ+-=， 化简得22sin 80t t θ--=．设A B ，两点对应的参数分别是12t t ，，则122sin t t θ+=，128t t =-故12||||AB t t =-=得sin θ=，得1k =±． 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线与圆相交的弦长问题，运用点到直线的距离公式，结合弦长运用勾股定理即可求得斜率，考查运算能力，属于中档题． 23．已知a ，b ，c ∈R +，且a +b +c ＝2．求证：(1)1346a b c++≥+； (2)2222c a b a b c++≥．【答案】(1) 证明见解析 (2)证明见解析【解析】（1）运用柯西不等式，求1134()2a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值，即可证明；（2）运用柯西不等式，计算2221()2c a b a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，即可证明.【详解】证明：（1）由柯西不等式，得213411341()622a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++=+ ⎪⎝⎭≥，所以1346a b c++≥+． （2）由柯西不等式，得222222211()()222c a b c a b a b c c a b ab c a b c ⎛⎫⎛⎫++=++++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，所以2222c a b a b c++≥．【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，考查了推理论证能力.。
2020届西南名校联盟高三“3 3 3”高考备考诊断性联考卷(三)文科数学试题参考答案
11．已知 PF PH， 则点 P 位于以 F 为焦点、直线 l 为准线的抛物线上，以 KF 的中点 O 为原
点、直线 KF 为 x 轴建立直角坐标系（ F 在正半轴上），依据 |KF| 4 ，求得抛物线方程
为 y2 8x ，焦点 F (2，0) ，作 PM x 轴( M 是垂足)，由 PO PF，知 M 平分 OF ，求得
2019(a1 2019d )
a1 d 0， 则 {an} 的 前
n
项和
Sn
na1
1 2
n
(n
1)d
1 2
n(n
1)d
0，
S2019 S2020
1 2 1 2
2019 2020 2020 2021
2019 2021
．
15．设 M (x0，y0 )(x0
0，y0
0)
，已知 M
是 △MF1F2
的直角顶点，则 x02
y02
3与
x02 2
y02
1
联立，解得
x0
26 3
，y0
3 3
，所以
M
的坐标是
2
6 3
，
3 3
．
文科数学参考答案·第 3 页（共 12 页）
16．如图 4，设被挖去的正方体的棱长为 x cm ，由（半）轴截面中的
y 4 3(x 0)，取 x 0，解得切线 l 在 y 轴上的截距 b 4，取 y 0，解得切线 l 在 x 轴上
的截距
a
4 3
，则直线
l
与坐标轴围成的三角形面积
S△
1 2
|a||b|
8 3
，故选
D．
7．取 x 0，得 y 2 ，图形在 y 轴上的截距等于 2 ；取 y 0， 得 x 4 ，图形在 x 轴上的