五年级奥数容斥问题讲座及练习答案

五年级奥数集训专题讲座（七）——包含与排除

包含与排除问题其实也叫容斥问题。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从他们的和中排除重复部分。如：集合A加集合B组成一个新的集合C，再计算C的元素时为：C=A+B-AB

A A

B B （韦恩图）

例1：一个班有 48 人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有 37 人举手。又问：‘谁做完数学作业？请举手！”有 42 人举手。最后问：“谁语文、数学作业没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。

【思路导航】如图所示，完成语文作业的有 37 人，完成数学作业的有 42 人，一共有 37 + 42 = 79 （人），多于全班人数，这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数学作业都完成的有： 79－48 = 31（人）

37 + 42－48=31（人）

答：语文、数学作业都完成的有 31 人。

想一想：下面算式有何道理？

( l ) 37－（48 －42 ) = 31 （人）

( 2 ) 42 －（ 48 － 37 ）= 31 （人）

【疯狂操练】：(1）五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人。语文、数学都优秀的有多少人？

解：语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人，那么总人数是：65+87=152（人）其中有一部分是语文数都优秀的，所以语文数学都优秀的有：152－122=30（人）答：语文数学都优秀的有30人。

( 2）四年级一班有 54 人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有 13 人，订《小学生优秀作文》的有 45 人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？

解：根据两种读物的有 13 人，订《小学生优秀作文》的有 45 人，每人至少订一种读物，可知只订了《数学大世界》的有：54-45=9（人），而两种读物都订了的有13人，所以订了《数学大世界》的有：13+9=22（人）

答：订《数学大世界》的有22人。

( 3）学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24 人，会弹电子琴的有 17

人，其中两种乐器都会演奏的有 8 人。这个文艺组一共有多少人？

解：24+17-8=33（人）

答：这个文艺组一共有33人。

例2：某班有 36 个同学在一项测试中，答对第一题的有 25 人，答对第二题的人有 23 人，两题都答对的有 15 人。问多少个同学两题都答得不对？

【思路导航】如图所示，已知答对第一题的有 25 人，两题都答对的有 15 人，可以求出只答对第一题的有 25－15＝ 10 （人）。又已知答对第二题的有 23 人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数10 + 23 = 33（人）。所以，两题都答得不对的有 36－33 = 3 （人）。

36－［( 25 －15 ) + 23］=3（人）

想一想：下面算式有何道理。

(l) 36－［( 23－15 ) + 25］ = 3 （人）

(2) 36 －［( 25－ 15 ) + ( 23 － 15 ) + 15 ］＝ 3 （人）

【疯狂操练】：( l）五（ 1 ）班有 40 个学生，其中有 25 人参加数学小组， 23 人参加科技小组，有 19 人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？

解：19人两个小组都参加

则只参加数学小组为25－19=6人，只参加航模小组为23－19=4人

所以参加小组活动的为4+6+19=29人，两个小组都没参加的为40－29=11人

( 2）一个班有 55 名学生，订阅《小学生数学报》的有 32 人，订阅《中国少年报》的有 29 人，两种报纸都订阅的有 25 人。两种报纸都没有订阅的有多少人？

解：订《小学生数学报》的 32 人，订《中国少年报》的 29 人，两种报纸都订的有25人，实际上订阅的总人数是：29+32－25=36人，

那么两种报纸都没订的有55－36=19人。

答：两种报纸都没订的有19人。

( 3 ）某校选出 50 名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果 3 人两项比赛都获奖了，有 27 人两项比赛都没有获奖，已知作文比赛获奖的有 14 人，问数学比赛获奖的有多少人？

解：只获作文比赛奖的14-3=11人，只获数学比赛奖的12-3=9人。

获奖人数一共有11+9+3=23人，没获奖的就有50-23=27人。

例3：某班有 56 人，参加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有 25 人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？

【思路导航】：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数56－25 =31（人），再求两科竞赛同时参加的人数：28 + 27 －31 = 24 （人）。

28 + 27－（ 56－ 25 ) = 24 （人）答：同时参加语文、数学两科竞赛的有 24 人。

想一想：下面算式有何道理

( l ) 28－（56 －25－27 ）= 24（人） ( 2 ) 27 －（56－25－28 ）= 24 （人）【疯狂操练】： ( 1）一个旅行社有 36 人，其中会英语的有 24 人，会法语的有 18 人，两样都不会的有 4 人，两样都会的有多少人？

解：因为除了两样都不会的4人，有36－4=32人，这32人分为会英语的，会法语的，两样都会的，而会英语和会法语中包括两样都会的所以就是：24+18=42（人）比32人多的人数就是两样都会的人数，即42－32=10（人）。

综合列式：24＋18－﹙36－4﹚＝10（人）

答：两样都会的有10人.

( 2）一个俱乐部有 103 人，其中会下中国象棋的有 69 人，会下国际象棋的 52 人，这两种棋都不会下的有 12 人。问这两种棋都会下的有多少人？

解：解法同上题：即：69+52－﹙103－12﹚=30（人）

答：这两种棋都会下的有30人.

( 3）三年级一班参加合唱队的有 40 人，参加舞蹈队的有 20 人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有 14 人。这两队都没有参加的有 10 人。请算一算，这个班共有多少人？

解：参加合唱队的有 40 人，参加舞蹈队的有 20 人，那么共40+20=60人，其中14个两个队都参加了，所以只有：60－14=46人，再加上两个队都没参加的，一共有46+10=56人。

即：40+20－14+10=56（人）

答：这个班共有56人

例4：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有

24 幅不是五年级的，有 22 幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 10 幅，

其他年级参展的书法共有多少幅？

【思路导航】由题意知， 24 幅作品是一、二、三、四、五、六年级参展作品的总数； 22 幅作品是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24 + 22 =46〔幅），这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六年级的共参展的 10 幅即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数．再除以2，即可求出其它年级参展的作品。

(24+22－10)÷2=18（幅）

答：其他年级参展的作品共有 18 幅。

练一练

( l ）科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有 110 件不