五年级奥数-容斥原理最新解读
容斥原理奥数题解题技巧
容斥原理奥数题解题技巧
1. 哎呀呀，对于容斥原理奥数题，一定要搞清楚集合的概念呀！比如说，咱班同学喜欢数学的有一些，喜欢语文的有一些，那既喜欢数学又喜欢语文的不就是交集嘛！就像分糖果，有些糖果是红色的，有些是蓝色的，那红色和蓝色都有的糖果不就是那个交集嘛！
2. 嘿，解题的时候可别马虎！要仔细数清楚包含和不包含的部分哟！好比去果园摘果子，这棵树上摘了几个，那棵树上摘了几个，别把重复摘的也算进去啦！
3. 哇塞，要善于利用画图来帮忙呀！画个图就像给题目穿上了一件清楚的衣服。
比如说统计班级里戴眼镜和不戴眼镜的同学，画个图一目了然，是不是一下子就清楚啦！
4. 注意啦注意啦，千万别漏算呀！就像数星星，一颗一颗都不能少呀！比如算参加比赛的人数，这个项目的，那个项目的，可不能把谁落下啦！
5. 哈哈，遇到复杂的题目别慌张呀！把它拆分成小部分，就像拆礼物一样。
比如说算几个兴趣小组的人数关系，一点点分析，不就容易多啦！
6. 哎哟喂，要记住容斥原理的公式呀，那可是解题的宝贝！就好像钥匙开锁一样，公式就是那把钥匙，能打开难题的锁哟！
7. 咦，有时候可以换个角度思考呀！别死脑筋。
好比找宝藏，这条路不通，咱换条路试试嘛！比如从反面去考虑问题，说不定有惊喜呢！
8. 哇哦，多做几道练习题来巩固呀！就像练功一样，越练越厉害。
比如反复做一些不同的容斥原理题目，那以后遇到啥题都不怕啦！
9. 嘿嘿，和小伙伴一起讨论也很棒呀！说不定他就有好点子呢！就像一起玩游戏，互相帮助才能赢嘛！
10. 记住咯，容斥原理奥数题其实没那么难呀！只要用心，肯定能搞定！就像爬山，一步一步往上爬，总能到达山顶呀！
我的观点结论：容斥原理奥数题只要掌握了这些技巧，多练习多思考，大家都能轻松应对！。
容斥原理讲解
容斥原理讲解嘿，朋友们！今天咱来唠唠容斥原理。
你说这容斥原理啊，就像是一场奇妙的拼图游戏。
咱就打个比方吧，比如说你有一堆各种各样的糖果，有巧克力糖、水果糖、奶糖。
然后呢，你想知道总共有多少颗糖，但是这里面有些糖果它既是巧克力味又是水果味的呀，还有些可能既是奶糖又是巧克力糖。
这时候容斥原理就派上用场啦！它能帮你理清这些重复的部分，准确算出糖果的总数。
你想想看，在生活中不也经常会遇到这样类似的情况嘛。
比如说你参加了好几个兴趣小组，篮球小组、绘画小组、音乐小组。
那在统计参与人数的时候，可不能简单地把各个小组的人数一加就完事儿了，因为有些人可能同时参加了好几个小组呀，这就需要用容斥原理来好好算一算啦！再比如说班级里评选优秀学生，有的同学学习好，有的同学品德好，还有的同学文体好。
但也有同学是好几方面都好呀，那在统计优秀学生人数的时候，不就得考虑到这些重叠的部分嘛，不然可就不准确啦。
容斥原理不就是这样嘛，它让我们能更清楚、更准确地去理解和处理那些有重叠、有交叉的情况。
就像我们在生活中处理各种关系一样，朋友之间可能有共同的爱好，工作中可能有交叉的任务，都需要我们用智慧去分辨和处理呀。
它不是那种死板的理论，而是非常实用的工具呢！它能让我们在面对复杂的情况时不慌乱，能有条理地去分析和解决问题。
你说这容斥原理是不是很神奇呢？它就像是一把钥匙，能打开我们理解复杂世界的大门。
让我们能更清晰地看到各种事物之间的关系，避免重复计算或者遗漏重要信息。
所以啊，大家可别小瞧了这容斥原理，它在很多地方都能派上大用场呢！无论是在数学领域，还是在我们的日常生活中，它都能给我们带来很多帮助和启示。
我们要好好去理解它、运用它，让它为我们的生活增添更多的精彩和便利呀！这容斥原理，真的是很有意思的东西呢，大家难道不这么觉得吗？。
小学奥数容斥原理
小学奥数容斥原理
小学奥数中的容斥原理是一种经典的数学方法，它常常用于解决有关组合计数的问题。
容斥原理可以帮助我们计算两个集合的交集、并集以及差集的元素个数。
具体来说，容斥原理告诉我们，要计算两个集合的并集的元素个数，我们可以先计算每个集合的元素个数，然后减去这两个集合的交集的元素个数。
这样可以避免重复计算。
例如，假设我们有两个集合A和B，集合A中有3个元素，集合B中有4个元素。
如果我们想计算这两个集合的并集的元素个数，根据容斥原理，我们应该先计算集合A的元素个数，再计算集合B的元素个数，然后减去集合A和集合B的交集的元素个数。
另外，容斥原理也可以用于计算三个集合的并集、四个集合的并集，以及更多集合的并集，只需要依次计算每个集合的元素个数，并根据公式依次加减交集的元素个数。
需要注意的是，在应用容斥原理时，我们需要确保计算交集和并集时没有重复计算的情况发生。
这需要我们对问题进行仔细分析和思考，以保证计算结果的正确性。
总之，容斥原理是一种解决组合计数问题的有力工具，在小学奥数中有着重要的应用，通过灵活运用容斥原理，我们可以更快、更准确地解决各类问题。
小学容斥原理的解释
小学容斥原理的解释小学容斥原理，又称为容斥原理、包容原理，是组合数学中的一种重要原理。
它是解决计数问题的一种方法，通过将问题划分为不相交的子集，然后逐个计算每个子集的元素个数，并利用集合的容量大小来计算最终的结果。
容斥原理在解决小学数学题目中的应用相当广泛，如排列组合、概率论等等。
小学生在学习容斥原理之前，首先需要了解集合的概念。
集合就是由一些个体组成的整体，比如我们可以用集合{1, 2, 3}来表示三个小朋友的编号。
在容斥原理中，我们主要使用交集和并集这两个概念。
交集就是把两个或多个集合里共有的个体选出来组成一个新的集合。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的交集是{2, 3}。
并集就是把两个或多个集合里所有的个体选出来组成一个新的集合。
例如，集合A和集合B的并集是{1, 2, 3, 4}。
容斥原理的核心思想是通过计算交集和并集的关系来求解问题。
首先，我们考虑简单的情况，假设有两个集合A和B，我们要求这两个集合的元素个数之和。
根据容斥原理，我们可以通过计算A和B的并集来获得结果。
但是由于并集中包含了A和B的交集，为了避免重复计算，我们需要减去A和B 的交集的元素个数，也就是用并集的元素个数减去交集的元素个数。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，它们的并集为{1, 2, 3, 4}，交集为{2, 3}。
根据容斥原理，集合A和集合B的元素个数之和等于并集的元素个数减去交集的元素个数，即4-2=2+2=4。
这个结果表示集合A和集合B中一共有4个元素。
在解决实际问题时，容斥原理的应用更为复杂，涉及到多个集合的情况。
我们可以通过逐个考虑不同的情况，然后用加减的方式求得最终的结果。
例如，假设有三个集合A、B和C，我们要求这三个集合的元素个数之和。
根据容斥原理，我们可以先计算每两个集合的交集的元素个数之和，然后再减去所有三个集合的交集的元素个数，最后加上三个集合的并集的元素个数。
五年级奥数专题 容斥原理(学生版)
容斥原理学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位容斥原理中的知识点比较简单,是计数问题中比较浅的一支。
这个知识点经常和数论知识结合出综合型题目。
这个原理本身并不是很难理解,不过经常和数论知识结合出题,所以对学生的理解层次要求较高,学生必须充分理解、吃透。
1.充分理解和掌握容斥原理的基本概念2.利用图形分析解决容斥原理问题知识梳理授课批注：本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透,这个原理本身并不是很难理解,不过经常和数论知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。
一. 容斥原理的概念定义在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A 的元素个数。
求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|,我们称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理。
图示如右:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为：A∩B,即阴影面积。
用法：包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数,可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数,然后加起来,即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来,加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）二.竞赛考点1. 容斥原理的基本概念2. 与数论相结合的综合型题目例题精讲【试题来源】【题目】在一个炎热的夏日,10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。
其中6人买了汽水,6人买了可乐,4人买了果汁,有 3人既买了汽水又买了可乐,1人既买了汽水又买了果汁,2人既买了可乐又买了果汁。
问：(1)三样都买的有几人？(2)只买一样的有几人？【试题来源】【题目】某班有学生46人,在调查他们家中是否有电子琴和小提琴时发现,有电子琴的22人,两种琴都没有的14人,只有小提琴的与两种琴都有的人数之比是5∶3。
五年级奥数五年级奥数培训资料(容斥原理)
五年级奥数培训资料—容斥原理班级：姓名：策略思想：在生活中我们经常会碰到有些数量会出现重复、包含的情况，那么在解题时就要考虑排除由于重复、相互包含而引起的多加的情况，这就是包含与排除问题，也称容斥原理。
解题要点：解答重叠问题时首先要确定采用哪种分类标准，然后根据题意画出图示，找出哪些是重复的，重复了几次，仔细审题，明确求的哪部分，再根据包含与排除原理进行解题。
例题1：五（3）班每个人都订阅了学习报（数学报、语文报），订阅《小学生数学报》的有30人，订阅《小学生语文报》的有26人。
两种都订阅的有14人，这个班有学生多少人？练习1：五（3）班每人都参加了课外兴趣小组（舞蹈、合唱），参加舞蹈队的有21人，参加合唱团的有32人，既参加舞蹈队的又参加合唱团的有9人，全班共有多少人？练习2：一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有多少人？例题2：47名学生参加数学和语文考试，其中语文得100分的有12人，数学得100分的有17人，两门都没得100分的26人，两门都得100分的有多少人？练习1：六（1）班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有多少人？练习2：音乐班有40名学生，25名学生会作曲，20人会指挥，有10人作曲和指挥都不会，既会作曲、又会指挥的学生有多少人？例题3：在一个炎热的夏日，有一群小朋友去冷饮店每人都买了冷饮。
其中6人买了汽水，6人买了可乐，4人买了果汁，有3人既买了汽水又买了可乐，1人既买了汽水又买了果汁，2人既买了可乐又买了果汁，三种冷饮都买了的有1人，一共有几个小朋友？练习1：一批教师，每人至少都会一门外语，会英语的有65人，会俄语的有58人，会日语的有51人，既会英语又会俄语的有21人，既会英语又会日语的有19人，既会俄语又会日语的有17人，三种都会的有5人。
容斥原理的三个公式
容斥原理的三个公式容斥原理是数学中一个挺有意思的概念，它有三个重要的公式，今天咱们就来好好聊聊这三个公式。
我先跟您说啊，这容斥原理在解决集合相关的问题时，那可真是大显身手。
就拿咱们生活中的例子来说吧，比如说学校组织活动，有参加书法比赛的同学，有参加绘画比赛的同学，还有既参加书法又参加绘画比赛的同学。
那怎么算总共有多少同学参加了这两类比赛呢？这时候容斥原理就派上用场啦！咱们先来说说容斥原理的第一个公式。
这个公式可以表述为：两个集合 A 和 B 的并集的元素个数，等于 A 的元素个数加上 B 的元素个数，再减去 A 和 B 的交集的元素个数。
简单来说就是：|A∪B| = |A| + |B| -|A∩B| 。
举个例子哈，一个班级里，喜欢语文的有 20 个同学，喜欢数学的有 30 个同学，既喜欢语文又喜欢数学的有 10 个同学。
那喜欢语文或者喜欢数学的同学一共有多少个呢？咱们就可以用这个公式来算。
|A|就是喜欢语文的 20 个同学，|B|就是喜欢数学的 30 个同学，|A∩B|就是既喜欢语文又喜欢数学的 10 个同学。
把数字带进去，那就是 |A∪B| = 20 + 30 - 10 = 40 个同学。
您瞧，是不是很清楚明了？再来说说第二个公式。
如果是三个集合 A、B、C ，那它们的并集的元素个数就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| +|A∩B∩C| 。
咱们还是拿例子来说事儿。
比如说在一个班级里，喜欢体育的有 25 个同学，喜欢音乐的有 15 个同学，喜欢美术的有 20 个同学，既喜欢体育又喜欢音乐的有8 个同学，既喜欢音乐又喜欢美术的有6 个同学，既喜欢体育又喜欢美术的有 9 个同学，三个都喜欢的有 3 个同学。
那喜欢体育或者音乐或者美术的同学一共有多少个呢？咱们就把数字往公式里带：|A|是 25 ，|B|是 15 ，|C|是 20 ，|A∩B|是 8 ，|B∩C|是 6 ，|C∩A|是 9 ，|A∩B∩C|是 3 。
专题22容斥原理(解析)2
20222023学年小学五年级思维拓展举一反三精编讲义专题22 容斥原理专题简析：集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。
如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。
组成集合的每个事物称为这个集合的元素。
如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。
两个集合中可以做加法运算，把两个集合A 、B 合并在一起，就组成了一个新的集合C 。
计算集合C 的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A 、B 的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A 、B 两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A ＋B －AB 。
在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。
有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。
【典例分析01】五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。
两种报纸都订的有多少人？【思路引导】用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。
显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64＋48=112人，知识精讲典例分析比总人数多112－96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。
【典例分析02】某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。
已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。
这个学校共有多少名教师？【思路引导】把懂英语和懂日语的人数加起来得35＋34=69人，但是，两种语言都懂的21人被统计过两次，应该从69里去掉一个21才能得出这个地区外语教师的总人数：69－21=48人。
【典例分析03】学校开展课外活动，共有250人参加。
其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。
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（1）A∪B = A+B - A∩B ； 原理1：A或B的数量=A的数量+B的数量-既是A又是B的数量。 （2）A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C 。 原理2：A或B或C的数量=A的数量+B的数量+C的数量-既是A又 是B的数量-既是B又是C的数量-既是C又是A的数量+既是A又是 B又是C的数量。 2.运用容斥原理公式解决计数问题。
例1. A班共有40人，同学们都喜欢打篮球或者打羽毛球。 喜欢打篮球的有26人，喜欢打羽毛球的有24人，问两 种球都喜欢的同学有多少人？ 解：
原理1：既是A又是B的数量=A的数量+B的数量-A或B的数量。
A或B的数量=A的数量+B的数量-既是A又是B的数量
练1.C班的同学都至少喜欢一项运动，有37人喜欢 乒乓球，26人喜欢篮球，21人两种球都喜欢， 问C班有多少人？ 解：37+26-21=42（人） 练2.自然数1，2，3…，99，100当中，能被3整除或能被4整除的 数共有几个？
解：40-（18+20+22-9-8-5）=2（人）
• 练3、在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每 人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了 汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要 冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样 都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？
分析与解：单要冰棍、汽水、雪碧的；要其中两样的冰棍加汽水、汽水加雪碧、 冰棍加雪碧； 要三样的。
解：
容斥原理2：
例2.某校六⑴班每人在暑假里都参加体育训练队，参加 足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳 队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、 游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人， 三项都参加的有3人，问，这个班有多少人？
解：25+22+24-12-9-8+3=45（人）
例如：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有的同学有多少人？ 分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类， “数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分” 称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A 类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学” 称为“A类和B类元素个数”的总和。为15+12-4=23。
容斥原理1：
例1. A班共有40人，同学们都喜欢打篮球或者打羽毛球。 喜欢打篮球的有26人，喜欢打羽毛球的有24人，问两 种球都喜欢的同学有多少人？ 解：26+24-40=10（人）
原理1：既是A又是B的数量=A的数量+B的数量-A或B的数量。
A或B的数量=A的数量+B的数量-既是A又是B的数量
容斥原理1：
冰棍加雪碧； 要三样的。
6+6+4-（3+1）-（0+1）-（1+1）+1=10人
原理2：A或B或C的数量=A的数量+B的数量+C的 数量-既是A又是B的数量-既是B又是C的数量-既是A 又是C的数量+既是A又是B又是C的数量。
练1.四年级1班的期末考试每个人至少有一科满分，已知 语文满分的有25人，数学满分的有21人，英语满分的 有30人，语文数学都满分的有15人，语文英语都满分 的有6人，数学英语都满分的有8人，三科都满分的有4 人，问班里至少有一科满分的有多少人？
问题4.一次数学测试，全班36人中，做 对第一道聪明题的有21人，做对第二道 聪明题的有18人，每人至少做对一道。 问两道聪明题都做对的有几人？ 问题5.三（1）班订《数学报》的有32人， 订《阅读报》的有30人，两份报纸都订 的有10人，全班每人至少订一种报纸。 三（1）班有学生多少人？
课堂目标
• 练3、在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每 人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要 了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人， 只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人； 三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店 ？ 分析与解：单要冰棍、汽水、雪碧的；要其中两样的冰棍加汽水、汽水加雪碧、
练1.C班的同学都至少喜欢一项运动，有37人喜欢 乒乓球，26人喜欢篮球，21人两种球都喜欢， 问C班有多少人？ 解： 练2.自然数1，2，3…，99，100当中，能被3整除或能被4整除的 数共有几个？
解： 练3.某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，语文竞赛的有 120女生，80男生，总共参赛人数有260名，其中75名男生两科都 参加了，问，只参加数学没参加语文的女生有多少？
问题1.十月国庆节，学校门口挂了一行彩 旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数 起，红旗是第10面。这行彩旗共多少面？
问题2.同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位 置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是 第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？ 问题3.把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成 了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米， 中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？
练1.四年级1班的期末考试每个人至少有一科满分，已知 语文满分的有25人，数学满分的有21人，英语满分的 有30人，语文数学都满分的有15人，语文英语都满分 的有6人，数学英语都满分的有8人，三科都满分的有4 人，问班里至少有一科满分的有多少人？
解：25+21+30-15-6-8+4=51（人）
练2.乐器班一共40人，每个人都至少会玩一样乐器，擅长吉他的 有18人，擅长钢琴的有20人，擅长小提琴的有22人，吉他和钢琴 都会的有9人，吉他和小提琴都会的有8人，钢琴和小提琴都会的 有5人。问三样乐器都会的人有多少？
解：100÷3≈33，100÷4=25,100÷12≈8，33+25-8=50（个） 练3.某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，语文竞赛的有 120女生，80男生，总共参赛人数有260名，其中75名男生两科都 参加了，问，只参加数学没参加语文的女生有多少？
解：两科都参加的人：（120+80）+（120+80）-260=140， 两科都参加的女生：140-75=65，只参加数学的女生：80-65=15（人）
解：25+21+30-15-6-8+4=51（人）
练2.乐器班一共40人，每个人都至少会玩一样乐器，擅长吉他的 有18人，擅长钢琴的有20人，擅长小提琴的有22人，吉他和钢琴 都会的有9人，吉他和小提琴都会的有8人，钢琴和小提琴都会的 有5人。问三样乐器都会的人有多少？
解：40-（18+20+22-9-8-5）=2（人）
在计数时，必须注意没有重复，没有遗 漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们 研究出一种新的计数方法，这种方法的基 本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含 于某内容中的所有对象的数目先计算出来， 然后再把计数时重复计算的数目排斥出去， 使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种 计数的方法称为容斥原理。
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B 类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C 类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又 是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是 A类又是B类而且是C类的元素个数。 （A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）