拟合优的卡方检验
卡方检验拟合优度检验
卡方检验拟合优度检验卡方检验是一种用于检验样本数据是否符合特定概率分布的统计方法。
拟合优度检验是卡方检验的一种应用，它用于检验样本数据是否符合某个理论分布。
在实际应用中，我们经常需要判断样本数据是否符合某个理论分布，以便进行进一步的统计分析。
这时就可以使用拟合优度检验来判断样本数据是否符合所假设的理论分布。
拟合优度检验的基本原理是比较观测值与理论值之间的差异，如果差异很小，则说明观测值与理论值相符；如果差异很大，则说明观测值与理论值不相符。
拟合优度检验使用卡方统计量来衡量观测值与理论值之间的差异程度。
卡方统计量的计算公式为：χ² = Σ (Oi - Ei)² / Ei其中，Oi表示观测频数，Ei表示期望频数。
期望频数是指在假设下，每个类别中出现次数的预期值。
在进行拟合优度检验时，我们需要先确定所假设的概率分布，并根据该分布计算期望频数。
然后将观测频数和期望频数代入卡方统计量的公式中计算出卡方值。
最后，根据显著性水平和自由度查找卡方分布表，确定拒绝域和接受域。
拟合优度检验的步骤如下：1. 假设所观测的数据符合某个特定的概率分布。
2. 根据所假设的概率分布计算期望频数。
3. 计算卡方统计量。
4. 查找卡方分布表，根据显著性水平和自由度确定拒绝域和接受域。
5. 判断样本数据是否符合所假设的概率分布。
在进行拟合优度检验时，需要注意以下几点：1. 样本数据必须是随机抽取的，并且每个观测值必须是独立的。
2. 样本数据必须是分类变量。
如果样本数据是连续变量，则需要将其离散化为类别变量才能进行拟合优度检验。
3. 当样本容量很大时，即使微小的差异也可能导致显著性差异。
因此，在进行拟合优度检验时，需要注意样本容量的大小以及显著性水平的选择。
总之，拟合优度检验是一种用于检验样本数据是否符合特定概率分布的统计方法。
它使用卡方统计量来衡量观测值与理论值之间的差异程度，并根据显著性水平和自由度查找卡方分布表，确定拒绝域和接受域。
生物统计学 拟合优度检验与列联表卡方检验
点击Analyze——Nonparametric Tests非参数 检验——Chi-Square检验（卡方检验）
正态分布、二项式分布
学习小组任务
自学例7.1（p129），讲解该例题。
自学例7.3（p134），讲解该例题。
自学例7.5和例7.6（p136），讲解该例
生物统计学
Biostatistics
第七章 拟合优度检验与列 联表卡方检验
Goodness of Fit Test & Contingency Table χ2 Test
2013.4
§7.1 一般原理
拟合优度检验（goodness of fit test） 一致性 实际观测数 理论数
判断事件之间 的独立性
自学例7.3（p134），讲解该例题。
自学例7.5和例7.6（p1பைடு நூலகம்6），讲解该例
题。
作业
P139
7.11，7.12， 7.16
请翻译以下术语/Try
to translate these terms
please： 拟合优度检验，Contingency Table χ2 Test， 2×2列联表
学习小组任务
自学例7.1（p129），讲解该例题。
自学例7.3（p134），讲解该例题。
自学例7.5和例7.6（p136），讲解该例
题。
没有理论数可言
独立事件
非独立事件
1、理论数是否小于5？
2、自由度是否为1？
P>0.05
P<0.05
学习小组任务
自学例7.1（p129），讲解该例题。
题。
二项分布的拟合优度检验
卡方检验基本公式中的t
卡方检验基本公式中的t
摘要：
一、卡方检验基本概念
1.卡方检验简介
2.卡方检验的基本假设
二、卡方检验公式中的t 值
1.卡方检验的基本公式
2.t 值在卡方检验中的作用
3.t 值与卡方值的关系
三、t 值的计算方法
1.总体均值的计算
2.样本均值的计算
3.t 值的计算公式
四、卡方检验中t 值的实际应用
1.独立性检验
2.拟合优度检验
正文：
一、卡方检验基本概念
卡方检验是一种用于检验观测频数与期望频数之间是否有显著差异的统计方法，适用于分类变量之间的检验。
卡方检验的基本假设是：观测频数等于期望频数。
二、卡方检验公式中的t 值
1.卡方检验的基本公式：卡方值= Σ[(观测频数- 期望频数)^2/期望频数]
2.t 值在卡方检验中的作用：t 值是卡方检验中的一个组成部分，用于计算卡方值。
3.t 值与卡方值的关系：卡方值等于各自由度的t 值之和。
三、t 值的计算方法
1.总体均值的计算：总体均值（μ）等于所有观测值的和除以观测值的数量。
2.样本均值的计算：样本均值（x）等于所有样本观测值的和除以样本观测值的数量。
3.t 值的计算公式：t 值= (样本均值- 总体均值) / (样本标准差/ √n)
四、卡方检验中t 值的实际应用
1.独立性检验：在研究两个分类变量之间是否独立时，卡方检验可用于计算t 值，从而进行独立性检验。
2.拟合优度检验：在比较观测频数与期望频数之间的差异时，卡方检验可以计算t 值，从而进行拟合优度检验。
以上内容详细介绍了卡方检验基本公式中的t 值，包括t 值在卡方检验中的作用、计算方法和实际应用。
拟合的卡方检验
拟合的卡⽅检验实验中⼀个常见的任务是，⼿头有⼀组数据，要拟合⼀条曲线。
然后要检验拟合的优度。
在使⽤卡⽅(χ2)或者约化卡⽅(reduced chi-squares,χ2red )检验时，会遇到⾃由度到底等于⼏的问题。
本⽂先参考[1-2]介绍了测量数据为何服从正态分布，再参考[3]介绍了线性回归的概念和⽅法，最后参考[4]解释了⾃由度的问题。
整篇⽂章不涉及⾼深的数学知识，也没有数学意义上的严格证明，只有直观解释和物理上的推导，是为理⼯科实验数据处理⽽总结的。
测量的物理量的均值设x 1,x 2,⋯,x n 是⼀组独⽴同分布的随机变量且x i ∼N (µ,σ2)。
记¯x =1n ∑i x i以及S 2=1n −1∑i (x i−¯x )2令X =√n (¯x −µ)/S 则有X ∼t n −1，其中t n −1是⾃由度为n −1的t 分布[1]，密度函数t n(x )如下，f n (x )=Γn +12Γn 2√n π1+x 2n −n +12当n →∞，有f n (x )→1√2πe −12x 2即当n →∞时，有X ∼N (0,1)，或记为¯x∼N (µ,S 2/n ),n →∞如果我们每次测得的物理量的值服从某正态分布，则对这样的⼀组测量结果取均值，视该均值为⼀随机变量，则期望是µ，⽅差是S 2/n ，其中S 2是该组测量结果的样本⽅差。
当测量的物理量的值并不服从正态分布时，我们⼀样可以在n →∞时得到该结果，推导如下：符号同前，但取消x i ∼N (µ,σ2)的约束，⽽仅仅限定独⽴同分布，总体的均值为µ，⽅差为σ2。
记z =∑n i =1x i −nµ√n σ这时中⼼极限定理给出[2]lim其中\Phi(z_0)为标准正态分布N(0,1)的累积分布函数。
换⾔之，当n 很⼤时，随机变量z 趋于标准正态分布N(0,1)，即\bar{x}\equiv\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\sim N(\mu,\sigma^2/n), n\to\infin如果在上式中⽤样本⽅差S^2代替总体⽅差\sigma^2，则(8)式回到了(5)式，同时取消了x_i\sim N(0,1)的限制。
5第五章 拟合优度检验
体色 F2观测尾数
鲤鱼遗传试验F2观测结果
青灰色 1503 红色 99 总数 1602
⒈ 提出无效假设与备择假设
H 0 : 鲤鱼体色F2 代分离符合3： 1 比率 H A : 鲤鱼体色F2 代分离不符合3： 1 比率
⒉计算理论次数 青灰色的理论数为： E1=1602 ×3/4=1201.5 红色的理论数： E2=1602×1/4=400.5 2 3.计算 c 因为该资料只有k=2组，所以此例的 自由度为2-1=1 ( O，需进行连续性矫正。 E 0.5) 2
9 9 p(0) , 9 3 3 1 16 3 p(1) p(2) , 16 1 p(3) 16
9 T0 179 100.6875 , 16 3 T1 T2 179 33.5625 16
1 T3 179 11.1875 16
按公式
行总数 列总数 Ei 总数
计算各格理论值，填于各格 括号中。再计算统计量：
2
( 254 236.5 0.5)
2
236.5 2 ( 246 263.5 0.5)
( 219 236.5 0.5)
2
236.5 2 ( 281 263.5 0.5)
263.5 263.5 1.222 1.222 1.097 1.097 4.638
尾区概率 P=P1+P0=0.122+0.010=0.132。 由于不知什么性别对药物反 应强烈；∴应进行双侧检验， 即与 =0.025 比较。 2 ， ∴接受H0，男女对该药反应 无显著不同。
2 P
0.025
作业26/11
p102
拟合优度的卡方检验
(1) =3.841 2 由于统计量 的实测值
2 0.05
=0.4158<3.841，
2
未落入否定域. 故认为试验结果符合孟德尔的3:1理论.
皮尔逊定理是在n无限增大时推导出来 的，因而在使用时要注意n要足够大，以及 npi 不太小这两个条件. 根据计算实践，要求n不小于50，以及 npi 都不小于 5. 否则应适当合并区间，使 npi满足这个要求 .
例 自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中, 全世界记录到里氏震级4级和4级以上地震共162次, ( 0.05) 统计如下: (X 表示相继两次地震间隔天数, Y 表示出现的频数)
2
1. 将总体X的取值范围分成k个互不重迭的小 区间,记作A1, A2, …, Ak .
2.把落入第i个小区间Ai的样本值的个数记 作fi ， 称为实测频数. 所有实测频数之和 f1+ f2+ …+ fk等于样本容量n.
3.根据所假设的理论分布,可以算出总体X的 值落入每个Ai的概率pi,于是npi就是落入Ai的 样本值的理论频数.
奥地利生物学家孟德尔进行了长达八年之久的豌豆杂交试验并根据在此我们以遗传学上的一项伟大发现为例说明统计方法在研究自然界和人类社会的规律性时是起着积极的主动的作用在此我们以遗传学上的一项伟大发现为例说明统计方法在研究自然界和人类社会的规律性时是起着积极的主动的作用
卡方分布拟合检验
在前面的课程中，我们已经了解了假 设检验的基本思想，并讨论了当总体分布 为正态时，关于其中未知参数的假设检验 问题 . 然而可能遇到这样的情形，总体服从何 种理论分布并不知道，要求我们直接对总体 分布提出一个假设 .
实测频数
fi npi
卡方检验与拟合优度检验
卡方检验与拟合优度检验卡方检验是一种统计学方法，用于确定两个或多个分类变量之间是否存在显著的关联或差异。
它的原理是通过比较实际观察到的频数与期望的频数之间的差异来判断两个变量是否相关。
拟合优度检验则是卡方检验的一种特殊形式，用于评估一个已知理论分布与实际观察到的分布之间的拟合程度。
1. 卡方检验卡方检验可分为独立性检验和拟合度检验两种类型。
独立性检验用于确定两个分类变量之间是否相互独立，拟合度检验用于评估一个已知理论分布与实际观察到的分布之间的差异。
在进行卡方检验时，首先需要建立一个原假设（H0）和一个备择假设（Ha）。
原假设通常是假设两个变量之间没有关联或差异，备择假设则是假设两个变量之间存在关联或差异。
然后，计算实际观察到的频数和期望的频数。
实际观察到的频数是指在样本中观察到的不同类别的频数，而期望的频数是指根据原假设计算得出的在理论上预期的频数。
接下来，使用计算公式计算卡方值：χ² = Σ((O-E)²/E)其中，Σ表示求和，O表示实际观察到的频数，E表示期望的频数。
最后，根据计算出的卡方值，查找对应的卡方分布表，找到相应自由度下的临界值。
比较计算出的卡方值和临界值，如果计算出的卡方值大于临界值，则拒绝原假设，认为两个变量之间存在关联或差异；如果计算出的卡方值小于临界值，则无法拒绝原假设，认为两个变量之间不存在关联或差异。
2. 拟合优度检验拟合优度检验用于评估一个已知理论分布与实际观察到的分布之间的拟合程度。
在进行拟合优度检验时，需要根据已知的理论分布计算期望的频数，然后计算卡方值并进行比较，以确定理论分布与实际观察到的分布之间是否存在显著的差异。
拟合优度检验的步骤与卡方检验类似，需要建立原假设和备择假设，并计算实际观察到的频数和期望的频数。
然后根据计算出的卡方值比较原假设和备择假设，判断理论分布与实际观察到的分布之间的拟合程度。
总结：卡方检验和拟合优度检验是两种常用的统计方法，用于确定分类变量之间的关联或差异以及评估已知理论分布与实际观察到的分布之间的拟合程度。
拟合优度检验
拟合优度检验拟合优度检验是统计学中常用的一种方法，用于评估一个统计模型对观测数据的拟合程度。
在实际应用中，拟合优度检验可以帮助我们确定一个模型是否能够较好地解释数据，并且用于比较不同模型之间的优劣。
本文将介绍拟合优度检验的基本原理和常用方法，并结合实例解释其应用。
首先，让我们来了解一下什么是拟合优度。
拟合优度是指统计模型中的参数估计值与实际观测值之间的差异程度。
如果模型能够很好地解释观测数据，那么拟合优度就会很高；反之，如果模型不能很好地解释数据，拟合优度就会较低。
通过拟合优度检验，我们可以用一些统计指标来度量模型的拟合程度，以便进行模型选择和优化。
常见的拟合优度检验方法包括卡方检验、残差平方和检验和相关系数检验等。
其中，卡方检验是指比较观测值与理论值之间的差异程度，从而判断模型的适配性。
残差平方和检验则是比较统计模型中预测值与实际观测值之间的平方差异，通过计算残差平方和的大小来评估模型的拟合程度。
相关系数检验则是通过计算模型预测值与实际观测值之间的相关系数，来评估模型解释数据的能力。
在实际应用中，拟合优度检验通常需要结合统计图形一起进行分析。
常见的统计图形包括散点图、回归曲线图和残差图等。
通过观察统计图形，我们可以直观地了解模型的拟合情况，并根据所得结果进行模型的选择和验证。
举个例子来说明拟合优度检验的应用。
假设我们想要建立一个线性回归模型来预测房价。
首先，我们收集了一些房屋的特征数据，如房间数量、卧室数量和房屋面积等，并且对这些数据进行了建模。
然后，通过拟合优度检验，我们可以评估模型的拟合程度。
如果拟合优度很高，说明我们的模型能够很好地解释房价的变动；如果拟合优度较低，说明模型可能存在问题，需要进行修正或选择其他模型。
在进行拟合优度检验时，我们还需要注意一些统计假设和条件。
首先，拟合优度检验通常基于一定的统计分布假设，如正态分布假设。
如果观测数据不满足这些假设，可能会影响拟合优度检验的结果。
《拟合优度检验》课件
柯克伦科夫勒检验
总结词
柯克伦科夫勒检验是一种基于概率的拟合优度检验方法，用于检验观测频数与期望频数之间的差异是否显著。
详细描述
柯克伦科夫勒检验基于二项分布，通过计算观测频数与期望频数的离差平方和，得到柯克伦科夫勒统计量。在样 本量足够大的情况下，柯克伦科夫勒统计量近似服从正态分布。通过比较柯克伦科夫勒统计量与临界值，可以判 断观测频数与期望频数是否存在显著差异。
03
拟合优度检验的步骤
Chapter
确定检验假设
零假设（H0）
样本数据与理论分布无显著差异。
对立假设（H1）
样本数据与理论分布存在显著差异。
计算检验统计量
统计量计算
根据样本数据和理论分布的性质，计 算相应的统计量，如卡方统计量、熵 值统计量等。
统计量性质
了解统计量的分布特性，以便后续的 临界值判断。
斯皮尔曼秩检验
总结词
斯皮尔曼秩检验是一种非参数拟合优度检验方法，用于检验观测频数与期望频数之间的差异是否显著 。
详细描述
斯皮尔曼秩检验基于秩次，通过将观测频数与期望频数按照大小排序，并计算秩次之差得到秩次统计 量。在自由度等于分类数减一的情况下，秩次统计量服从F分布。通过比较秩次统计量与临界值，可 以判断观测频数与期望频数是否存在显著差异。
Chapter
皮尔逊卡方检验
总结词
皮尔逊卡方检验是最常用的拟合优度检验方法之一 ，用于检验观测频数与期望频数之间的差异是否显 著。
详细描述
皮尔逊卡方检验基于卡方分布，通过计算观测频数 与期望频数的离差平方和，得到卡方统计量。在自 由度等于分类数减一的情况下，卡方统计量服从卡 方分布。通过比较卡方统计量与临界值，可以判断 观测频数与期望频数是否存在显著差异。
拟合优度检验方法分析
03
拟合优度检验的应用场景
拟合优度检验的应用场景
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04
拟合优度检验的局限性
数据分布假设
拟合优度检验通常基于一定的数据分 布假设，如正态分布、卡方分布等。 如果数据不符合这些假设，检验结果 的可靠性将受到影响。
为了确保检验结果的准确性，需要对 数据进行适当的分布检验或变换，以 使其满足检验方法的假设。
详细描述
卡方检验通过计算观测频数与期望频数的平方差的加和，得到卡方统计量。该统 计量用于衡量实际观测频数与期望频数之间的不一致程度。如果卡方统计量较小 ，说明实际观测频数与期望频数较为接近，模型的拟合优度较高。
斯皮尔曼秩检验
总结词
斯皮尔曼秩检验是一种非参数拟合优度检验方法，基于观测数据的秩次进行比 较。
拟合优度检验是评估模型质量的指标之一，建议研究者综 合使用其他评估指标，如预测误差、解释性等，以全面评 估模型性能。
考虑数据特点
在进行拟合优度检验时，应充分考虑数据的特点和分布情 况，选择合适的检验方法和参数设置，以保证检验结果的 准确性和可靠性。
06
参考文献
参考文献
参考文献1
该文献对拟合优度检验的基本原理进行了阐述，详细介绍了各种检验方法的数学推导和适用场景，为后续的实证 分析提供了理论指导。
多重比较问题
拟合优度检验在进行多个样本或参数的比较时，可能会出现 多重比较问题，导致第一类错误（假阳性）的概率增加。
为解决多重比较问题，可以采用适当的统计方法进行校正， 如Bonferroni校正或FDR校正，以控制第一类错误的概率。
模型复杂度
拟合优度检验在处理复杂模型时可能 会遇到困难，特别是当模型包含多个 交互项、非线性关系或高阶项时。
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例 自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中,
全世界记录到里氏震级4级和4级以上地震共162次,
统计如下:
( 0.05)
(X 表示相继两次地震间隔天数, Y 表示出现的频数)
2.把落入第i个小区间Ai的样本值的个数记 作fi ， 称为实测频数. 所有实测频数之和 f1+ f2+ …+ fk等于样本容量n.
3.根据所假设的理论分布,可以算出总体X的 值落入每个Ai的概率pi,于是npi就是落入Ai的 样本值的理论频数.
实测频数
理论频数
fi npi
标志着经验分布与理论分布之间的差异的大小.
皮尔逊引进如下统计量表示经验分布
与理论分布之间的差异:
2 k ( fi npi )2
i1
npi
在理论分布 已知的条件下,
npi是常量
统计量 2 的分布是什么?
皮尔逊证明了如下定理:
若原假设中的理论分布F(x)已经完全给
定，那么当n 时，统计量
2 k ( fi npi )2
i1
npi
由于在 H0 中参数 未具体给出, 故先估计 .
由最大似然估计法得 ˆ x 2231 13.77,
162
X 为连续型随机变量,
将 X 可能取值区间[0, ) 分为 k 9 个互不重叠 的子区间[ai , ai1), i 1, 2, ,9. (见下页表)
例3的 2 拟合检验计算表
Ai
ni
X
的分布函数的估计为
Fˆ ( x)
1
x
e 13.77
,
0,
x0 x 0.
概率 pi P( Ai )有估计
pˆ i Pˆ ( Ai ) Pˆ {ai X ai1} Fˆ (ai1) Fˆ (ai ),
如 pˆ 2 Pˆ ( A2 ) Pˆ{4.5 X 0.5}
Fˆ (9.5) Fˆ (4.5) 0.2196,
A1 : 0 x 4.5
50
A2 : 4.5 x 9.5
31
A3 : 9.5 x 14.5 A4 :14.5 x 19.5 A5 :19.5 x 24.5
26 17 10 8
A6 : 24.5 x 29.5 6
A7 : 29.5 x 34.5 6
A8 : 34.5 x 39.5 8 A9 : 39.5 x
的分布渐近(k-1)个自由度的
2分布.
如果理论分布F(x)中有r个未知参数需用
相应的估计量来代替，那么当 n 时，统
计量 2的分布渐近 (k-r-1)个自由度的 2分
布.
为了便于理解，我们对定理作一 点直观的说明.
根据这个定理，对给定的显著性水平 ，
查 2分布表可得临界值
2
，使得
P( 2 2 )
K.皮尔逊在1900年发表的一篇文章中引进
的所谓 2检验法.
这是一项很重要的工作，不少人 把它视为近代统计学的开端.
K.皮尔逊
2检验法是在总体X 的分布未知时，
根据来自总体的样本，检验关于总体分 布的假设的一种检验方法.
使用 2检验法对总体分布进行检验时，
我们先提出原假设: H0：总体X的分布函数为F(x)
得拒绝域: 2 2 (k 1) (不需估计参数)
2 2 (k r 1) (估计r 个参数)
如果根据所给的样本值 X1,X2, …,Xn算得
统计量 2的实测值落入拒绝域，则拒绝原假
设，否则就认为差异不显著而接受原假设.
皮尔逊定理是在n无限增大时推导出来 的，因而在使用时要注意n要足够大，以及 npi 不太小这两个条件.
卡方分布拟合检验
在前面的课程中，我们已经了解了假 设检验的基本思想，并讨论了当总体分布 为正态时，关于其中未知参数的假设检验 问题 .
然而可能遇到这样的情形，总体服从何 种理论分布并不知道，要求我们直接对总体 分布提出一个假设 .
如，某钟表厂对生产的钟进行精确性检查， 抽取100个钟作试验，拨准后隔24小时以后 进行检查，将每个钟的误差（快或慢）按 秒记录下来.
奥地利生物学家孟德尔进行了长 达八年之久的豌豆杂交试验, 并根据 试验结果,运用他的数理知识, 发现了 遗传的基本规律.
pˆ i
0.2788 0.2196 0.1527 0.1062 0.0739 0.0514 0.0358 0.0248 0.0568
npˆ i
45.1656 35.5752 24.7374 17.2044 11.9718
8.3268 5.7996 4.0176 9.2016
在 H0 为真的前提下,
8
pˆ9 Fˆ ( A9 ) 1 Fˆ ( Ai ) 0.0568,
i 1
2 1.5633, k 9,r 1,
2
(k
r
1)
2
0.05
(7)
14.067
1.5633,
故在水平0.05下接受H0,
认为样本服从指数分布.
在此，我们以遗传学上的一项伟大发现为 例，说明统计方法在研究自然界和人类社会的 规律性时，是起着积极的、主动的作用.
然后根据样本的经验分布和所假设的理论分 布之间的吻合程度来决定是否接受原假设.
这种检验通常称作拟合优度检验，它是一 种非参数检验.
在用 2检验法检验假设H0时，若在H0下
分布类型已知，但其参数未知，这时需要先 用极大似然估计法估计参数，然后作检验.
分布拟合的 2检验法 的基本原理和步
骤如下:
1. 将总体X的取值范围分成k个互不重迭的小 区间,记作A1, A2, …, Ak .
X 0 4 5 9 10 14 15 19 20 24 25 20 31 26
17
10
8
6
6
8
试检验相继两次地震间隔天数 X 服从指数分布.
解 所求问题为: 在水平 0.05下检验假设
H0 : X 的概率密度
f
(
x)
1
x
e
,
0,
x 0, x 0.
问该厂生产的钟的误差是否服从正态分布？
再如，某工厂制造一批骰子， 声称它是均匀的.
也就是说，在投掷中，出 现1点，2点，…，6点的概 率都应是1/6.
为检验骰子是否均匀，要把骰子实地投掷 若干次，统计各点出现的频率与1/6的差距.
问题是：得到的数据能否说明“骰子均匀” 的假设是可信的？
解决这类问题的工具是英国统计学家