参数方程化为普通方程1
参数方程和普通方程的互化
参数方程和普通方程的互化首先，我们来了解一下参数方程的定义。
参数方程是指使用单一变量来表示曲线上的点的坐标，其中变量通常表示为 t。
对于平面上的曲线，参数方程可以表示为 x=f(t)，y=g(t)，其中 f(t) 和 g(t) 是 t 的函数。
参数方程通常用来表示曲线上每一个点的坐标，在数学中有着广泛的应用。
例如，圆的参数方程可以表示为 x=rcos(t)，y=rsin(t)，其中 r 表示圆的半径，t 表示角度。
与之相对应的，普通方程是用一个或多个变量的代数方程来表示曲线的方程。
对于平面上的曲线，普通方程可以表示为F(x,y)=0，其中F(x,y)是二元函数。
普通方程常常用来表达曲线的性质和方程，例如直线的普通方程可以表示为Ax+By+C=0，其中A、B和C是常数。
1.由参数方程到普通方程：要将参数方程转换为普通方程，可以将参数方程中的参数表示为普通方程中的变量，并解出其他变量的表达式。
具体步骤如下：a.将x=f(t)，y=g(t)中的t表示为普通方程中的变量，如令t=x。
b.将t的表达式代入f(t)和g(t)中，得到x=f(x)，y=g(x)。
c.将得到的方程进行整理，化为普通方程的形式。
2.由普通方程到参数方程：要将普通方程转换为参数方程，可以选取一个合适的参数来表示曲线上每一点的坐标，并构造对应的参数方程。
具体步骤如下：a.选择一个变量作为参数，通常可以选择x或y。
b.将选取的参数代入普通方程中，得到一条关于参数的方程。
c.将方程整理，化为参数方程的形式。
值得注意的是，参数方程和普通方程在表示曲线时的优势和劣势不同。
参数方程可以方便地描绘复杂的曲线，如椭圆、双曲线等，而普通方程可以方便地计算曲线的性质和方程。
因此，在不同的问题和计算需求中，我们可以选择合适的方程形式。
除了上述的基本转换方法，还有一些特殊的曲线可以通过参数方程和普通方程的互化来简化求解。
例如，对于一些特殊的曲线，我们可以通过参数方程的方法来求解它的曲率和切线方程，然后转换为普通方程表示的形式。
参数方程与普通方程互化
参数方程与普通方程互化一、引言在数学中，方程是研究数学问题的基础。
方程可以描述物理规律、经济模型、自然现象等各种问题，是数学建模的重要工具。
在代数学中，我们常常用普通方程来表示问题，例如一元一次方程、二次方程等。
然而，在某些情况下，使用普通方程描述问题可能会比较复杂，此时参数方程就能够提供更加简洁的表示方法。
参数方程是一种用参数化变量表示的方程系统，通过引入参数，可以将复杂的方程化简为一系列简单的参数方程。
参数方程与普通方程之间具有相互转换的关系，本文将介绍参数方程与普通方程的互化方法。
二、参数方程的基本概念参数方程是一种常见的数学表达形式，它由一个或多个参数化变量组成。
在参数方程中，每个变量都是独立的，并且可以通过参数的变化来表示方程中的不同解。
例如，我们可以用参数方程来描述一个点在直线上的运动轨迹。
设直线的方程为y = mx + b，参数方程可以表示为：x = t y = mt + b在这个参数方程中，t是一个独立的参数，它的变化可以表达直线上所有的点。
三、参数方程与普通方程的转换参数方程与普通方程之间可以通过参数的消除和引入来进行转换。
下面将介绍几种常见的转换方法。
1. 从普通方程到参数方程的转换如果我们已知一个普通方程，想要将其转换为参数方程，可以通过参数的引入来实现。
具体步骤如下：（1）选取一个或多个参数，用它们表示方程中的变量。
（2）将参数代入普通方程中，得到参数方程。
例如，我们有一个圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，我们希望将其转换为参数方程。
我们可以选取参数θ表示角度，并引入参数方程：x = r * cos(θ) y = r * sin(θ)在这个参数方程中，当θ取遍所有的值时，圆上的所有点都可以覆盖到。
2. 从参数方程到普通方程的转换如果我们已知一个参数方程，想要将其转换为普通方程，可以通过参数的消除来实现。
具体步骤如下：（1）从一个参数方程中解出一个参数。
（2）将解出的参数代入另一个参数方程中，得到普通方程。
参数方程化成普通方程
参数方程化成普通方程参数方程可以表示为一组含有参数的方程组，而普通方程是不含有参数的方程。
将参数方程转化为普通方程的方法有以下几种：1.消参法消参法是将参数方程中的参数用非参数变量表示出来，从而得到普通方程。
具体步骤如下：（1）根据参数方程的定义，将参数用非参数表示，假设参数为t，则可以将参数表示为x=f(t)和y=g(t)；（2）将上述表达式代入参数方程中的方程组中，得到非参数变量的方程组，即F(x,y)=0；（3）通过解F(x,y)=0，得到x和y之间的关系，从而得到普通方程。
2.去参数化法去参数化法是通过消去参数，将参数方程对应的曲线变为非参数方程的方法。
具体步骤如下：（1）将参数方程中的参数表示为t=x/y或y/x；（2）将上述表达式代入参数方程中的方程组，得到去参数化的方程组；（3）通过解去参数化的方程组，得到x和y之间的关系，从而得到普通方程。
3.参数消去法参数消去法是通过消去参数，得到仅含有非参数变量的方程。
具体步骤如下：（1）将参数方程中的参数表示为非参数变量t的函数，即t=f(x,y)；（2）将t代入参数方程的方程组中，得到含有非参数变量x和y的方程组；（3）通过解上述方程组，得到x和y之间的关系，从而得到普通方程。
4.直接法直接法是对特定的参数方程直接求导或代入一些特定的数值来消去参数，从而得到普通方程。
（1）将参数方程中的参数表示为非参数变量t的函数，即t=f(x,y)；（2）对 t 求导，得到 dt/dx 和 dt/dy；（3）代入 dt/dx 和 dt/dy，消去参数 t，从而得到 x 和 y 之间的关系，从而得到普通方程。
以上是将参数方程化为普通方程的几种方法，具体的选用方法取决于具体的参数方程形式和求解的要求。
不同的方法在不同的场合下有着不同的适用性，需要根据具体情况进行选择。
数学学案：参数方程化成普通方程
§3参数方程化成普通方程1．掌握将参数方程化成普通方程的两种常用的消去参数的方法：代数法和三角恒等式法．2．选取适当的参数，能将普通方程化为参数方程．一、代数法消去参数1．代入法从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数,得到曲线的______．我们通常把这种方法称为代入法．2．代数运算法通过代数方法,如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行______，消去参数．【做一做1】将参数方程错误!(t为参数）化为普通方程为__________．二、利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x，y都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用______消去参数．常用的三角恒等式有：sin2θ＋c O s2θ＝1,错误!－tan2θ＝1，(sin θ＋c O s θ)2－2sin θc O s θ＝1等．将参数方程化为普通方程时，要注意两个方面：(1）根据参数满足的条件，明确x，y的取值范围；（2）消去参数后,普通方程和参数方程中的变量x和y的取值范围要保持一致．【做一做2－1】将参数方程错误!（θ为参数)化为普通方程为__________．【做一做2－2】将参数方程错误!化为普通方程为__________．1．曲线参数方程与普通方程互化的意义剖析：在数学中有时需要把曲线的参数方程转化为普通方程，而有时又需要将普通方程转化为参数方程，这都是基于对曲线的更好的研究．有时要直接建立曲线的普通方程很困难；有时要直接建立曲线的参数方程又不容易，故在数学中常常把问题进行相互转化从而把问题更好地解决．曲线的参数方程与相应的普通方程是同一曲线方程的两种不同表现形式，在具体问题中采用哪种方程形式能更好地研究相应的曲线的性质就可以灵活地选用相应曲线的对应方程形式．2．将参数方程化为普通方程时,消去参数的常用方法剖析：①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示），再代入另一个方程．②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程错误!如果t是常数,θ是参数，那么可以利用公式sin2θ＋c O s2θ＝1消参;如果θ是常数,t是参数,那么适当变形后可以利用(m＋n)2－（m－n)2＝4mn消参．答案：一、1．普通方程2．代数运算【做一做1】2x－y－4＝0(x≥0)将x＝t代入y＝2错误!－4得y ＝2x－4。
第2章 §3 参数方程化成普通方程
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普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特别注意参数的取值范围， 它将决定参数方程是否与普通方程等价.②参数的选取不同，得到的参数方程是 不同的.如本例(2)，若令 x＝tan θ(θ 为参数)，则参数方程为xy＝ ＝ttaann2θθ，＋tan θ－1 (θ 为参数).
即(y－1)2＝－14x(y≥1).
方程表示的曲线是顶点为(0,1)，对称轴平行于 x 轴，开口向左的抛物线的一
部分.
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(2)由已知可得
ax＝11－ ＋tt22，
①
by＝1＋2tt2， ②
①2＋②2 得ax22＋by22＝1(a＞b＞0，x≠－a)，这就是所求的普通方程，方程表 示的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆(去掉左顶点).
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【解析】 (1)把 t＝x 代入②得 y＝2x 即普通方程为 y＝2x. (2)由 sin2 θ＋cos2 θ＝1 得 x2＋y2＝1. (3)由②得 t＝y－1，代入①得 x＝2(y－1)2.
【答案】 (1)y＝2x (2)x2＋y2＝1 (3)x＝2(y－1)2
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(t 为参数)
x＝tan t， D.y＝1－tan2t
(t 为参数)
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【解析】 A 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈[－1,1]，y∈[0,1]. B 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈[－1,1]，y∈[0,1]. C 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈[0，＋∞)，y∈(－∞，1]. D 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈R，y∈(－t 为参数)；
参数方程化为普通方程
参数方程化为普通方程
1 参数方程介绍
参数方程是一类具有特殊形式的普通方程，它以一个变量构成，而不是两个或多个变量，这类方程是参数方法求解复杂数学模型的重要工具之一。
参数方程在微积分、三角函数、定位语言特别是经济学中被广泛应用，也有应用于物理和数学模型的研究中。
2 参数方程化为普通方程
参数方程可以化为普通方程,但是要根据每一种情况的不同采取不同的算法来实现。
一般来说，参数方程化为普通方程主要有两种技术：(1)将参数方程转化为恒等方程，然后将其化为普通方程。
(2)直接将参数方程的变量全部改写成一般变量，然后进行把换，得到一般普通方程。
以一元参数方程x=asint+bcost为例，a,b为常数，转化为恒等方程：asint+bcost-x=0，令y=asint+bcost 可得：-dy/dx=sin(t)，将式子整理可得：dy=-sin(t)dx，两边积分得：y=bcos(t)+acost+c，令c=x得：y=bcos(t)+acost+x，可将参数方程转化为普通方程：
bcos(t)+acost-y+x=0。
3 结论
参数方程是普通方程的特殊形式，可以通过转化恒等方程或者参
数替换来将参数方程转化为普通方程。
参数方程通过转换为普通方程，可以使用普通算法来求解，从而方便计算机求解复杂数学模型。
参数方程与普通方程的互化
（2）把 x sin cos 平方后减去 y 1 sin2
得到 x2 y x sin cos
2 sin
因为 x 2, 2
4
所以
因此，与参x2 数 方y 程x等 价2, 的2普通方程是
练习、1.将下列参数方程化为普通方程：
x 2 3cos
(1)
y
3sin
x=t+1/t
(3)
将曲线的参数方程化为普通方程，有利 于识别曲线的类型。
曲线的参数方程和普通方程是曲线
方程的不同形式。一般地，可以通过消
去参数而从参数方程得到普通方程。如
果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，
例如 x f t ，把它代入普通方程，求
出另一个变数与参数的关系 y gt
那么
x f t
y
gt
就是曲线的参数方程。
x t
且以
y
t
2
代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值
范围保持一致。否则，互化就是不等价的.
小结
普通方程
引入参数 消去参数
参数方程
如：①参数方程
x a r cos , y b r sin.
消去参数
可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
②参数方程
x
t,
（t为参数）
y 2 t 4.
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程：y=2x-4 （x≥0）
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保 持一致。
例4 求椭圆 x2 y2 1的参数方程。 94
参数方程和普通方程的互化
吗？
提示：同一个普通方程，选取的参数不同，所得到的参数
方程也不同，所以在写参数方程时，必须注明参数是哪一
个．
陕西省周至中学
淳朴 团结 勤奋 向上
我的疑惑 ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________
[考题印证]
(2013·湖北高考)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π与曲线 4
x＝t＋1， y＝ t－1 2，
(t 为参数)相交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点的
直角坐标为________．
陕西省周至中学
，(其中 t 是参数，a∈
R)，点 M(3,1)在该曲线上．(1)求常数 a；(2)求曲线 C 的普通 方程．
陕西省周至中学
淳朴 团结 勤奋 向上
解：(1)由题意可知有
1＋2t＝3 at2＝1
，
故ta＝＝11，， ∴a＝1.
(2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋. 2t，
(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y的取值 范围 保持一致．
陕西省周至中学
淳朴 团结 勤奋 向上
[小问题·大思维]
1．将参数方程化为普通方程的实质是什么？
提示：将参数方程化为普通方程的实质是消参法的应用．
2．将普通方程化为参数方程时，所得到的参数方程是唯一的
参数方程与普通方程的互化 课件
1、通过什么样的途径，能从参数方程
得到普通方程？ 消去参数
2、在参数方程与普通方程互化中，要 注意哪些方面？
必须使x,y的取值范围保持一致.
一、参数方程化为普通方程
例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明各 表示什么曲线？
（1） x t 1 (t为参数) y 12 t
1 t 2 (t为参数)y Nhomakorabea 2ty 2t
1.如果没有明确x、y与参数的关系，则参数方程是有
限个还是无限个？
无限个
2.为什么例4（1）的正负取一个，而（2）却要取两
个？如何区分？
两个解的范围一样只取一个； 不一样时，两个都要取.
（2）
x sin cos (为参数) y 1 sin 2
解：（1）由x t 1 1有 t x 1
代入y 1 2 t , 得到y 2x 3(x 1) 这是以(1,1)为端点的一条射线(包括端点)
y
(1,-1)
o
x
代入消元法
(2)x sin cos 2 sin( ),
4 所以x [ 2, 2],
把x sin cos平方后减去y 1 sin 2
得到x2 y, x [ 2, 2].
这是抛物线的一部分。
y
三角变换 消元法
2 o
2
参数方程化为普通方程的步骤
1、写出定义域（x的范围） 2、消去参数(代入消元，三角变换消元)
注意： 在参数方程与普通方程的互化中， 必须使x,y前后的取值范围保持一致。
1、若曲线{x
y
1 s
cos2 in2
(为参数),则点(
x,
y)的
轨迹是( D )
参数方程与普通方程互化
参数方程与普通方程互化传统的数学学科中，方程是一种非常重要的概念。
一般而言，我们所看到的方程都属于普通方程，比如抛物线的方程或是直线的方程等等。
然而，除了普通方程之外，还有一种非常重要的方程，那就是参数方程。
参数方程是一种用参数的形式来表示曲线的方程，其主要特点是可以直观地描述出曲线的走向和形状，因此在实际计算和理论研究中具有非常重要的价值。
对于普通方程和参数方程的互化，我们可以通过以下几个步骤来实现。
一、将普通方程转化为参数方程对于普通方程 y = f(x)，我们可以将其转化为参数方程 x = t，y = f(t)。
这里的 t 是一个参数，我们可以将其看作是一个自变量，它的变化将会影响到函数图像的形态和走向。
以直线 y = 2x + 1 为例，我们可以将其转化为参数方程 x = t，y = 2t + 1。
在这个参数方程中，当 t 取 0 时，我们可以得到直线的一个点 (0,1)，而当 t 取 1 时，我们可以得到直线的另一个点(1,3)，以此类推。
通过这样的转化，我们不仅可以更加直观地描述出曲线的走向和形态，还能够对曲线进行更加细致的研究和计算。
二、将参数方程转化为普通方程对于参数方程 x = f(t)，y = g(t)，我们可以通过消除参数 t 来得到普通方程 y = g(x)。
这个过程需要用到高中阶段学习的基本代数技能，具体步骤如下：1. 由第一个参数方程得到 x = f(t)，即 t = f^{-1}(x)。
2. 将第二个参数方程中的 t 用上一步得到的代数式代替，得到y = g(f^{-1}(x))。
3. 对上一步得到的式子进行合并和化简，即可得到普通方程形式的表达式 y = g(x)。
以圆为例，我们可以将其参数方程 x = rcos(t)，y = rsin(t) 转化为普通方程：1. t = arccos(\frac{x}{r}) 或 t = arcsin(\frac{x}{r})。
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§参数方程化为普通方程
姓名 日期
学习目标：了解参数方程与普通方程之间的联系与区别，掌握它们之间的互化法则． 重点：参数方程与普通方程的互化法则，常见问题的消参方法．
难点：整体元消参的方法，参数方程与普通方程的等价性(即x 、y 的范围)．
【预习案】
1．消去参数的一般方法：
⑴利用解方程的技巧求出参数的表示方法，然后代入消去参数；
⑵利用三角恒等式消去参数；
⑶根据参数方程本身的结构，选用灵活的方法从整体上消去参数。
2．常见的消参关系式
⑴ t·1t = 1； ⑵ sin 2θ +cos 2 θ = 1；
⑶ (t +1t )2 −(t −1t )2 = 4； ⑷( 2t 1 +t 2)2 +( 1 −t 21 +t 2)2 = 1.
3．要注意运用已有的知识，选择适当的参数建立曲线的参数方程。
参数的选取要使它和x ，y 之间具有明显的函数关系，且以容易列出相应的解析式为宜。
4．将参数化为普通方程时，要注意防止变量 x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的实际意义所确定的取值范围，来确定函数f(t)和g(t)的值域，即x 和y 的范围。
5．不是所有的参数方程都能化成普通方程。
【探究案】
例1：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线
（1）⎩⎨⎧--=-=t y t x 4123（t 为参数）； (2) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2211t
y t x （t 为参数） (3) ⎩⎨
⎧==θθsin 3cos 2y x （θ为参数） （4）⎩⎨⎧+=+=θθθ2sin 1cos sin y x （θ为参数）
例2：求椭圆1492
2=+y
x
的参数方程：
（1）设ϕcos 3=x ，ϕ为参数； （2）设t y 2=，t 为参数.
【训练案】
1．参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==t
y t
x 1（t 为参数）的普通方程是__________.
2．参数方程⎩⎨⎧==θθ
2cos sin y x （θ为参数）的普通方程是__________.
3．下列参数方程（t 为参数）中，与02=-y x 表示同一曲线的是（
） A ．⎩⎨⎧==t y t x 2
B ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
==t
y t
x 11
C ．⎩⎨⎧==t y t x 2sin sin
D ．⎪⎩⎪
⎨⎧+==t
t y t
x 2cos 1sin 2tan 2
4．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：
（1） ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=t y t x 211（t 为参数）（2）
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧
-=+=t
t y t
t x 11
（t 为参数）；
（3）()2()t t t t x e e
t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数 (4)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2
2
2
1316k k
x k k y (k 为参数)。