D1_3条件概率及事件的独立性
13条件概率及事件的独立性-精品文档
事件的独立性 一般地 P(A|B)≠P(A), 即B的发生，会对A的发生产生影响，但 在某些情况下有Ｐ(A|B)＝P(A)，如： 设盒中3个白球，2个红球，从中取球两次，每次一个，就 a)不 放回取样; b)放回取样; 求下列事件的概率： (1) 第二次取得红球的概率； (2) 在第一次取得白球的条件下，第二次取得红球的概率 解 设A＝{第一次取得白球}，B＝{第二次取得红球}, a)不放回取样
b b c b 2 c 故 P ( A ) a b a b ca b 2 c
该摸球模型称为卜里耶（Poloya）模型．上述概率 显然满足不等式 P(A1)＜P(A2|A1)＜P(A3|A1A2) .
这说明当黑球越来越多时，黑球被抽到的可能性也 就越来越大，这犹如某种传染病在某地流行时，如不 及时控制，则波及范围必将越来越大；地震也是如此， 若某地频繁地发生地震，从而被认为再次爆发地震的 可能性就比较大．所以，卜里耶模型常常被用作描述 传染病传播或地震发生的数学模型．
一袋中装有a只白球，b只黑球，每次任取一球，取后放 回，并且再往袋中加进c只与取到的球同色的球，如此连续取三 次，试求三次均为黑球的概率． 设A={三次取出的均为黑球}，Ai={第i次取出的是黑球}， i=1,2,3，则有 A=A1A2A3．由题意得
例5
解
b b c b 2 c P ( A ) ,( P A | A ) ,( P A | A A ) , 1 21 31 2 a b a b c a b 2 c
2 2 /4 PA (B ) PAB ( | ) 3 3 /4 P ( B )
一、条件概率 定义1 设A，B为随机试验E 的两个事件，且P(B)＞0，则称
P( AB) P( A| B) P(B)
事件的独立性条件概率与全概率公式
事件的独立性条件概率与全概率公式事件的独立性是概率论中一个非常重要的概念。
当两个事件A和B的发生与否不会相互影响时，我们称这两个事件是独立的。
具体来说，事件A的发生与否不会对事件B的发生概率造成影响，同样，事件B的发生与否也不会对事件A的发生概率造成影响。
独立性是概率论中一种核心的概念，它可以帮助我们简化计算过程，提高计算的效率。
在实际问题中，我们通常会用到一些已知的概率，利用独立性可以快速计算出我们所关心的概率。
条件概率是指在另一个事件已经发生的条件下，一些事件发生的概率。
具体来说，设A和B是两个事件，已知事件B已经发生，那么事件A发生的概率记作P(A，B)，读作“A在B发生的条件下发生的概率”。
条件概率可以通过以下公式计算：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率在实际问题中非常常见，它可以帮助我们确定一些事件在给定条件下的概率。
例如，在进行疾病检测时，我们可以根据患者的年龄、性别、家族病史等条件，计算出患病的概率，为疾病的早期预防提供重要依据。
全概率公式是概率论中一个非常重要的公式，它可以帮助我们计算复杂事件的概率。
全概率公式的核心思想是将一个事件分解为不同的互斥事件，并将这些事件的概率加和起来。
具体来说，设B1、B2、…、Bn是一组互斥事件，且它们的并集构成了样本空间S，那么对于任意一个事件A，全概率公式可以表示为：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+…+P(A，Bn)P(Bn)全概率公式的应用场景非常广泛。
例如，在市场调查中，我们希望了解其中一特定群体的消费习惯，但由于无法直接获取到该群体的信息，我们可以通过对不同市场细分的消费者进行调查，然后利用全概率公式将这些细分市场的调查结果综合起来，推断出整个特定群体的消费习惯。
总结起来，事件的独立性、条件概率和全概率公式都是概率论中非常重要的概念和工具。
概率与统计中的事件独立性与条件概率
概率与统计中的事件独立性与条件概率概率与统计是数学中的一个重要分支，用于研究随机现象和不确定性问题。
在概率与统计的基础概念中，事件的独立性与条件概率是两个核心概念。
本文将对这两个概念进行详细解释，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、事件的独立性在概率与统计中，事件的独立性是指两个或多个事件之间的关联程度。
如果两个事件A和B相互独立，意味着事件A的发生与否不会对事件B的发生概率产生影响，反之亦然。
换句话说，事件A和B的发生概率是相互独立的，它们之间不存在任何关联。
为了判断两个事件A和B是否相互独立，可以通过下列公式进行计算：P(A∩B) = P(A) × P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和B发生的概率。
如果上式成立，则事件A和B相互独立；如果不成立，则事件A和B不相互独立。
事件的独立性在实际问题中具有广泛的应用。
例如，假设有一批产品，每个产品的质量合格的概率为0.9。
如果从该批产品中随机选取两个产品，事件A表示第一个产品质量合格，事件B表示第二个产品质量合格。
根据事件的独立性，我们可以通过计算概率来判断同时选中两个质量合格产品的概率。
二、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率通常用P(B|A)表示，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
条件概率的计算公式为：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
通过计算条件概率，我们可以得出在某种条件下发生某个事件的概率。
条件概率在实际问题中非常有用。
例如，假设有一个班级，其中40%的学生会参加音乐比赛，30%的学生参加体育比赛。
如果我们知道某个学生参加了音乐比赛，那么他参加体育比赛的概率是多少？根据条件概率的计算公式，我们可以得出这个概率。
三、事件独立性与条件概率的关系事件的独立性与条件概率密切相关。
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结在概率论中，条件概率和事件的独立性是两个非常重要的概念。
理解它们对于解决各种概率问题至关重要。
下面，我们将通过一些具体的例题来深入探讨这两个概念，并对相关知识点进行总结。
一、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
其定义为：设 A、B 是两个事件，且 P(A)＞0，在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率记为 P(B|A)，且 P(B|A) ＝ P(AB) ／P(A) 。
例 1：一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球。
从中随机取出一个球，已知取出的是红球，求它是第二个红球的概率。
解：设 A 表示“第一次取出红球”，B 表示“第二次取出红球”。
则P(A) ＝ 5/8 。
P(AB) 表示“第一次和第二次都取出红球”，其概率为 5/8 × 4/7 ＝ 5/14 。
所以 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ＝（5/14) ／（5/8) ＝4/7 。
例 2：某班级学生的数学成绩及格率为 80%，英语成绩及格率为70%，已知某学生数学成绩及格，求他英语成绩也及格的概率。
解：设 A 表示“数学成绩及格”，B 表示“英语成绩及格”。
P(A) ＝08 ，P(AB) 表示“数学和英语成绩都及格”，假设两者相互独立，则P(AB) ＝ 08 × 07 ＝ 056 。
所以 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ＝ 056 ／ 08 ＝07 。
二、事件的独立性如果事件 A 的发生不影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生也不影响事件 A 发生的概率，那么称事件 A 和事件 B 相互独立。
即 P(B|A) ＝ P(B) 且 P(A|B) ＝ P(A) ，等价于 P(AB) ＝ P(A)P(B) 。
例 3：抛掷两枚均匀的硬币，设事件 A 为“第一枚硬币正面朝上”，事件 B 为“第二枚硬币正面朝上”，判断 A、B 是否独立。
随机数据处理方法 第三版 课后答案(王清河 著) 中国石油大学出版社
（2） P( A3 | A) = 0.4 。 19．某专门化医院平均接待 K 型病患者 50%，L 型病患者 30%，M 型病患 者 20%，而治愈率分别为 7/10、8/10、9/10。今有一患者已治愈，问此患者是 K 型病的概率是多少？
提示与答案：依题意，这是一全概率公式及贝叶斯公式的应用问的事件是互逆的。
2．如果 x 表示一个沿着数轴随机运动的质点位置，试说明下列事件的包含、
互不相容等关系：
A = {x | x ≤ 20}
B = {x | x > 3}
C = {x | x < 9}
D = {x | x < −5} E = {x | x ≥ 9}
解：（1）包含关系： D ⊂ C ⊂ A 、 E ⊂ B 。
P( AB) = P( A ∩ B ) = P( A ∪ B) = 1 − P( A ∪ B)
=1 − 1 − P(B) + P( AB) 3
从而得 2 − P(B) = 0 ，即 3 P(B) = 2 3
7．一个袋中有 5 个红球 2 个白球，从中任取一球，看过颜色后就放回袋中， 然后再从袋中任取一球。求：（1）第一次和第二次都取到红球的概率；
球，也可能是黑球），并且也只有这两种可能。因此若把这两种可能看成两个事
件，这两个事件的和事件便构成了一个必然事件。
若设 A 表示：“由甲袋取出的球是白球”； B 表示：“由甲袋取出的球是黑 球”； C 表示：“从乙袋取出的球是白球”。则 P(C) = 5 /12 。
18．设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中 1 是第一家工厂生产的， 2
17．有两个口袋，甲袋中盛有 2 个白球 1 个黑球；乙袋中盛有 1 个白球 2 个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求取到白球的概率。
事件的独立性与条件概率
事件的独立性与条件概率事件的独立性与条件概率是概率论中非常重要的概念，它们的理解与应用在各个领域都具有广泛的意义。
在本文中，我将探讨事件的独立性和条件概率的概念及其关系。
一、事件的独立性事件的独立性是指两个或多个事件之间的发生与否互不影响。
换句话说，当两个或多个事件独立发生时，它们的概率乘积等于它们各自发生的概率之积。
以掷硬币为例，假设我们掷两枚硬币，事件A表示第一枚硬币为正面，事件B表示第二枚硬币为正面。
如果两个事件相互独立，那么P(A∩B) = P(A)×P(B)。
也就是说，第一枚硬币为正面的概率与第二枚硬币为正面的概率乘积等于两枚硬币都为正面的概率。
二、条件概率条件概率是在已知一个或多个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
通常表示为P(A|B)，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
仍以掷硬币为例，事件A表示第一枚硬币为正面，事件B表示两枚硬币都为正面。
如果已知第一枚硬币为正面，即事件A已经发生，那么事件B的概率会发生变化，变成了P(B|A)。
这时，我们可以用条件概率的公式计算出P(B|A)。
三、事件的独立性与条件概率的关系事件的独立性与条件概率有着密切的关系。
当两个事件A和B是相互独立的时候，P(A|B) = P(A)，也就是说，当事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率与事件B未发生时的概率相等。
反过来讲，如果已知事件B发生，且P(A|B) = P(A)，那么事件A 与事件B就是相互独立的。
因此，可以通过条件概率的计算来判断事件之间的独立性。
四、应用举例事件的独立性与条件概率在实际应用中有许多重要的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 疾病诊断：在医学领域，独立性与条件概率可以用于判断多个疾病的共同发生概率。
例如，根据患者的症状，通过条件概率可以计算出某种疾病的患病概率。
2. 金融风险评估：在金融领域，独立性与条件概率可以用于评估投资组合的风险。
通过将不同资产之间的独立性与条件概率应用到投资组合的构建中，可以更准确地评估风险和收益。
D1-3 条件概率及事件的独立性
P AB P A P B
A, B 是相互独立的
定理1: ① A, B 相互独立 P A B P A P B 0
P B A P B P A 0
② 若事件A与B独立， A与 B 、 与B 、A 与 B 也 则 A 相互独立. 证: P AB P A B P A P AB
P A P A P B P A 1 P B P A P B
P AB P A B 1 P A B
1 P A P B P AB 1 P A P B P A P B
两两独立
1 1 但 P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P A2 P( A3 ) 4 8
即三个事件不相互独立
一般地， A1 , A2 ,, An是n个事件， 设 若以下等式成立
P( Ai Aj ) P( Ai ) P( Aj )
1 i j n,
1 i j k n, P ( Ai Aj Ak ) P( Ai ) P( Aj ) P( Ak ) P( A1 A2 An ) P( AБайду номын сангаас )P( A2 ) P ( An )
500 0.03 0.001593 25000 ②由贝叶斯公式得： 500 0.03 P( A) P( E | A) 25000 P( A | E ) 0.001593 PE
全概率公式与贝叶斯公式说明： 令 Ai -“原因”， B-“结果”， 则
P Ai -第 i 种原因发生的概率.
概率1-3 条件概率
概率论
定理 1设试验 E 的样本空间为 S , B1 , B2 ,, Bn
为 S 的一个划分 ,且 PBi 0 i 1,2, ,n ,则对
样本空间中的任一事件 A ,恒有
n
PA PBi PA | Bi
i 1
P(A|B) 1 1 6 P( AB) 3 3 6 P(B)
问题 若C={1, 2}, 问P(C|B)=?
概率论
引例2 向线段[-1,1]上随机投掷一点，以X 表示随机 点落点的坐标，设 B={X>0}, A={-1<X<0.5},求P(A|B).
解 根据几何概率 P(B)= 1/2，P(AB)= 1/4.
C 1,4,则
PA PB PC 1 , 并且 ,
2
PAB 1 P A PB , 4
PAC 1 P A P C ,
4
PBC 1 PBPC .
4
即事件 A、B、C 两两独立 .
但是 PABC 1 PAPBPC .
解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球}
B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
概率论
即B BS B( A1 A2 A3 ) BA1 BA2 BA3
且 A1B、A2B、A3B 两两互斥
运用加法公式得到
对求和中的每 一项运用乘法 公式得
(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率
因此当 P( A), P(B) 0时
有P(AB)=P(BA)= P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A)
条件概率与独立事件
条件概率与独立事件条件概率和独立事件是概率论中的重要概念，它们在许多实际问题的建模和分析中发挥着重要的作用。
本文将详细介绍条件概率和独立事件，探讨它们的定义、性质和应用。
一、条件概率的定义和性质条件概率是指在一个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
设A、B为两个事件，且P(B)>0，则事件A在事件B发生的条件下发生的概率记作P(A|B)，其定义为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
针对条件概率，有以下两个重要性质：1. 乘法公式：对于两个事件A、B，有P(A∩B)=P(B)×P(A|B)。
这个公式可以从条件概率的定义中推导出来，对于事件A同时发生且B发生的概率，等于B先发生的概率乘以在B发生的条件下A发生的概率。
2. 全概率公式：对于一组互斥事件B1、B2、...、Bn，它们构成了一个样本空间的划分，即B1∪B2∪...∪Bn=Ω（Ω表示样本空间）。
则对于事件A，有P(A)=P(A|B1)×P(B1)+P(A|B2)×P(B2)+...+P(A|Bn)×P(Bn)。
全概率公式的作用在于利用条件概率进行事件概率的计算。
二、独立事件的定义和性质独立事件是指两个事件发生与否互不影响的事件。
设A、B为两个事件，如果P(A|B)=P(A)，则称事件A与事件B相互独立。
同理，如果P(B|A)=P(B)，也可以认为事件A与事件B相互独立。
独立事件有以下重要性质：1. 事件的独立性是一个对称的概念，即A与B独立等价于B与A独立。
2. 如果事件A与事件B相互独立，那么事件A与事件B的补集A'与B的补集B'也相互独立。
3. 如果事件A与事件B相互独立，那么事件A与B的并集A∪B的概率等于事件A的概率与事件B的概率之和减去事件A与B的交集的概率，即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
三、条件概率和独立事件的应用条件概率和独立事件在实际问题中有着广泛的应用，例如医学诊断、网络安全、金融风险评估等领域。
事件的独立性、条件概率和全概率公式(精讲)【2024一轮复习讲义】(新高考通用)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第53讲事件的独立性、条件概率和全概率公式（精讲）题型目录一览①事件的相互独立性②条件概率③全概率公式④贝叶斯公式一、条件概率1.定义：一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称()()()|P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．注：（1）条件概率|()P B A 中“|”后面就是条件；（2）若()0P A =，表示条件A 不可能发生，此时用条件概率公式计算|()P B A 就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0P A >的情况下进行．2.性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即1|0()P B A ≤≤．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．（3）如果B 与C 互斥，则(||()(|))P B C A P B A P C A =+ ．注：已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求|()P B A ，相当于把A 看作新的基本事件空间计算AB 发生的概率，即()()()()()()()()|()n AB n AB n P AB P B A n A n A P A n Ω===Ω．二、相互独立与条件概率的关系1.相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件A ，B ，如果)(|)(P B A P B =，则意味着事件A 的发生不影响事件B 发生的概率．设()0P A >，一、知识点梳理根据条件概率的计算公式，()()()()|P AB P B P B A P A ==，从而()()()P AB P A P B =．由此我们可得：设A ，B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()|)()(P AB P A P B A =．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件A ，B 互相独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到(2)n n n >∈*N ，个事件的相互独立性，即若事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率1212()()()()n n P A A A P A A P A = ．2.事件的独立性（1）事件A 与B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =⋅．（2）当()0P B >时，A 与B 独立的充要条件是()()|P A B P A =．（3）如果()0P A >，A 与B 独立，则()()()()()()()|P AB P A P B P B A P B P A P A ⋅===成立．三、全概率公式1.全概率公式（1）|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+；（2）定理1若样本空间Ω中的事件1A ，2A ，…，n A 满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()0i P A >，12i n = ，，，．则对Ω中的任意事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且11()()()()|nni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑．2.贝叶斯公式（1）一般地，当0()1P A <<且()0P B >时，有()()()()()()()()()()||||P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A ==+（2）定理2若样本空间Ω中的事件12n A A A ，，，满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()01i P A <<，12i n = ，，，．则对Ω中的任意概率非零的事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且1()()()()()()()()|||j j j j j niii P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑注：贝叶斯公式体现了|()P A B ，()P A ，()P B ，|()P B A ，|()P B A ，()P AB 之间的关系，即()()()|P AB P A B P B =，()()()()()||P AB P A B P B P B A P A ==，|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+.题型一事件的相互独立性1.判断事件是否相互独立的方法（1）定义法：事件（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．二、题型分类精讲A．332B．【答案】D【题型训练】一、单选题，从乙口袋内摸出一个白球的概率是6【分析】根据题意，求得事件甲、乙、丙、丁的概率，结合相互独立事件的概念及判定方法，逐项判定，不相互独立，所以本序号说法不正确；二、多选题不能同时发生，但能同时不发生，所以不是对立事件，所以三、填空题四、解答题．一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，题型二条件概率1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用条件概率的关键是求出【题型训练】一、单选题1．核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为d二、多选题、表示事件错误；三、填空题个红球，从中任意取出一球，已知它不是白题型三全概率公式全概率公式复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．【题型训练】一、单选题小时的学生中任意调查一名学生，则（二、多选题，所以表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，，对；三、填空题记任选一人去桂林旅游的事件为B ，则123()0.4,()()0.3P A P A P A ===，123(|)0.1,(|)0.2,(|)0.15P B A P B A P B A ===,由全概率公式得112233()(|)()(|)()(5|)30.15014P P A P B A P A P B A P A P B B A =⨯⨯++==++⨯.故答案为：0.145四、解答题附：()2P K k≥0.150.100.05k 2.072 2.706 3.841 (2)将甲乙生产的产品各自进行包装，每来自甲生产的概率为3，来自乙生产的概率为(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为①A获得季军的概率；②D成为亚军的概率；，其余三人实力旗鼓相当，求题型四贝叶斯公式1.利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算【题型训练】一、单选题。
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中任取一球放入乙袋， 搅匀后再从乙袋中任取一球， 问此球是 红球的概率？ 解： 1——从甲袋放入乙袋的是白球； 设A
A2——从甲袋放入乙袋的是红球； B——从乙袋中任取一球是红球； 1 2 3 1 7 P( B) P( B | A1 ) P( A1 ) P( B | A2 ) P( A2 ) 2 3 4 3 12
由全概率公式
2 p2 p4 P( A | A3 ) P{( A1 A2 )( A4 A5 )} P( A | A3 ) P( A1 A2 ) P( A4 A5 ) (2 p p 2 )2
P( A) P( A | A3 ) P( A3 ) P( A | A3 ) P( A3 )
P( A1 A2 A n ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( An A1 An 1 ).
每次从袋中任取一只， 例3 盒中有3个红球，2个白球， 观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同
的球， 若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、 4次取得红球的概率。 解：设Ai为第i次取球时取到白球，则
P{ A1 A2 ... An ) 1 P( A1 )....P( An )
2)、在可靠性理论上的应用
例7． 如图，1、2、3、4、5表示继电器
1
4 R
3 触点, 假设每个触点闭合的概率为p, 且各 L 2 5 继电器接点闭合与否相互独立， 求L至R 是通路的概率。 解: 设A---L至R为通路,Ai---第i个继电器通,i=1,2,…,5 1 4 P( A | A3 ) P( A1 A4 A2 A5 ) L R 2 1 L 2 5 5 4 R
P 定义1 设 A, B 是两事件， ( A) 0, 若 P( AB) P( A) P( B) 上式也等价于： 则称事件A与B相互独立。 P( B) P( B A).
以A表示 思考： 从一付52张的扑克牌中任意抽取一张， 以B表示抽出一张黑桃， 抽出一张A， 问A与B是否独立？
结论：以下四件事等价： (2) 事件 A, B 相互独立 (1) 事件 A, B 相互独立
则称n个事件 A1 , A2 ,, An 相互独立。
思考： 1、设事件 A, B, C, D 相互独立，则 A B 与CD 独立吗？ 2、一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷24次 至少得一个双六，这两件事，哪一个有更多的机会遇到？ 答:0.518, 0.496 3、事件独立性的应用 1)、加法公式的简化 若事件 A1 , A2 ,, An 相互独立,则
(3) 事件 A, B 相互独立
(4) 事件 A, B 相互独立
2、多个事件的独立
定义2、若三个事件 A, B, C 满足： P( AC ) P( A) P(C ) P( AB) P( A) P( B)
P( BC ) P( B) P(C ) 则称事件 A, B, C 两两相互独立。 若在此基础上还满足： P( ABC ) P( A) P( B) P(C ) 则称事件 A, B, C 相互独立。 一般地， A1 , A2 ,, An是n个事件， 设 如果对任意 k (1 1 n),任意的1 i1 i2 ik n, 具有等式 P( Ai1 Ai2 Aik ) P ( Ai1 ) P ( Ai2 ) P ( Aik )
C P( A | B1 ) C 由Bayes公式:
P( B1 | A)
4 19 4 20
4 5
4 C18 12 P( A | B2 ) 4 C20 19
P( B1 ) P( A | B1 )
P( B ) P( A | B )
i 0 i i
2
0.0848
三、事件的相互独立性 1、两事件独立
解：设 B :买到一件次品； Ai i 1,2,3 分别表示买到甲、乙、丙三厂的产品。
P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BA3 ) P( B | A1 ) P( A1 ) P( B | A2 ) P( A2 ) P( B | A3 ) P( A3 ) 1 1 1 0.02 0.01 0.03 0.0225 4 4 2 例5 有甲乙两个袋子， 甲袋中有两个白球， 乙袋中 1个红球， 今从甲袋 一个白球． 这六个球手感上不可区别． 有两个红球，
例6 商店论箱出售玻璃杯， 每箱20只， 其中每箱含0，1， 某顾客选中一箱， 2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1， 从中任 选4只检查， 结果都是好的， 便买下了这一箱. 问这一箱含有 一个次品的概率是多少？ 解: 设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的. B0 , B1 , B2 分别表示事件每箱含0，1，2只次品 已知: P( B0 ) 0.8, P( B1 ) 0.1, P( B2 ) 0.1, P( A | B0 ) 1
第一章
第三节 条件概率及事件 的相互独立性
一、条件概率及乘法公式 二、全概率公式及贝叶斯公式 三、事件的相互独立性
一、条件概率和乘法公式
1、条件概率 例1 设袋中有3个白球， 现从袋中任意抽取 2个红球， 每次取一个，取后不放回 两次， （1）已知第一次取到红球， 求第二次也取到红球的概率;
（2）求第二次取到红球的概率 （3）求两次均取到红球的概率 解、设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球
设 定理2、 A1 , A2 ,, An是Ω的一个划分， P( Ai ) 0 且
i 1,2,, 则对任何事件BΩ， 有 P( Aj ) P( B | Aj ) P( Aj | B) n ,( j 1,..., n) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
称为贝叶斯公式。
2 P( A1 ) 5
二、全概率公式和贝叶斯公式 定义 事件组A1，A2，…，An (n可为)，称为样 本空间Ω的一个划分，若满足：
(i ) Ai ;
i 1
n
(ii ) Ai A j , (i j ), i, j 1, 2,..., n.
… … B … … An A2
P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) P( A4 | A1 A2 A3 )
其中
3 3 P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) 6 7 4 故 P( A1 A2 A3 A4 ) 3 P( A4 | A1 A2 A3 ) 70 8
10
nA 60
nAB 40
nAB 2 P( B | A) nA 3
2、乘法公式 设A, B , P( A) 0, 则 P ( AB ) P ( A) P ( B A) 就称为 事件A, B 的概率乘法公式。
以上公式还可推广到三个事件的情形：
P ( ABC ) P( A) P( B A) P(C AB ). 一般地，有下列公式：
A1
…
设 定理1、 A1 , A2 ,, An是Ω的一个划分， P( Ai ) 0 且
有 i 1,2,, 则对任何事件BΩ，
P( B) P( Ai ) P( B | Ai ) ＝
称为全概率公式。
i 1
n
例4 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品， 已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2， 且三家 工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品牌 产品的次品率。
nAB nA
n n
P( AB) P( A)
一般地， A, B 是S中的两个事件， 设 则
P( AB) P( A B) P( B)
称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
各有红、白两色， 例2 一盒中混有100只新 、旧乒乓球， 分类如下表。 从盒中随机取出一球， 若取得的是一只红球， 试求该红球是新球的概率。 红 白 30 解： 设A--从盒中随机取到一只红球. 新 40 B--从盒中随机取到一只新球. 旧 20
4 2 1 1 (3) P( AB) 2 P5 10
(1) P( B | A) 1
2 1 3 2 2 (2) P( B) 2 P5 5
显然， 若事件 A, B 是古典概型的样本空间Ω中的两个 事件， 其中 A 含有 n A个样本点, AB含有 nAB 个样本点，则
nAB P ( B | A) nA
2 p 2 2 p3 5 p 4 念（随机试验、事件、概率、条件概率、
样本空间、独立性），四个公式（加法公式、乘法公式、
全概率公式、贝叶斯公式） 和一个概型（古典概型）组成。