ch5 大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理
的方差存在，且有共同的上界，即
Var( Xi ) c,i 1,2,
则 {Xn} 服从大数定律，即对任意的 0
lim
n
P
1
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E( Xi )
1
成立.
定理3 （辛软大数定律）设 X1, X 2,X n , 为一列相互独立且相同分布的随机变量，若
Xi (i 1,2,) 的数学期望存在，则 {X n} 服从大数
例5.2.2 某工厂有 200 台同类型的机器，每台
机器工作时需要 50 kW 的电力。由于功率的原 因，每台机器的开工率为 0.75 ，各台机器是否 工作是相互独立的.问
（1）在任一时刻，恰有 144 至 160 台机器正在 工作的概率为多少？
（2）在任一时刻，需要至少供应多少电力才能 保证“因电力不足而使一些机器停工”的概率小于 0.01？
概率论与数理统计
二、中心极限定理
定理5.2.1 (独立同分布的中心极限定理) 设随机
变量序列 X1, X 2,X n , ，相互独立且服从同一 分布，它们具有相同的数学期望和方差
E Xi Var( X i ) 2 0
n
其中 i = 1,2,3,…, 则前 n 个随机变量之和 Xi 的标 i 1
准化变量
lim P Yn np x Φ(x) n np(1 p)
其中 (x) 为标准正态分布的分布函数.
例3 一个加法器可同时收到 20 个噪声电压 Vk
k 1,2,,20，设它们是相互独立的随机变量，
且都在 0,10 上服从均匀分布，记
20
V Vk k 1
求 P{V 105} 的近似值。
练习 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪
第五章 大数定律与中心极限定理 《概率论》PPT课件
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
2）中 心极限 定理表明，若 随 机 变 量 序 列
X 1 , X 2 , , X n 独立同分布，且它们的数学期
望及方差存在，则当n充分大时，其和的分布,
n
即 X k 都近似服从正态分布. (注意:不一定是 k 1
标准正态分布）
3）中心定理还表明：无论每一个随机变量 X k ,
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
定理1（Chebyshev切比雪夫大数定律）
假设{ Xn}是两两不相关的随机
变量序列，EXn , DXn , n 1,2, 存在，
其方差一致有界，即 D(Xi) ≤L，
i=1,2, …， 则对任意的ε>0，
lim P{|
n
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E(Xi ) | } 1.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题.
在概率论中，习惯于把和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理.
下面给出的独立同分布随机变量序 列的中心极限定理, 也称列维——林德 伯格（Levy－Lindberg）定理.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
大量的随机现象平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
一、大数定律
阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系
列定理统称为大数定律。
定义1 如果对于任意 0, 当n趋向无穷时，事件
" Xn X " 的概率收敛到1，即
大数定律与中心极限定理总结
大数定律与中心极限定理总结大数定律与中心极限定理是概率论与数理统计中的两个重要定理，用于描述随机变量序列的性质。
下面我将分别对这两个定理进行总结，并给出相关的参考内容。
一、大数定律大数定律是概率论中的一个基本定理，描述了随机变量序列的极限性质。
大数定律可以分为弱大数定律和强大数定律两种。
1. 弱大数定律弱大数定律是指对于一个随机变量序列，如果序列的均值存在，并且均值收敛于某个常数，那么这个序列就满足弱大数定律。
弱大数定律的代表是辛钦大数定律。
具体来说，如果一个随机变量序列X1, X2, ..., Xn，其中Xi是相互独立、同样分布的随机变量序列，它们的均值为μ，方差为σ^2。
那么对于任意给定的正数ε，有：lim(n→∞)P( |X1+X2+...+Xn)/n - μ| ≤ ε ) = 1这意味着当样本数量趋向于无穷大时，样本均值的概率逼近于1，即样本均值趋近于总体均值μ。
2. 强大数定律强大数定律是指对于一个随机变量序列，如果序列的均值存在，并且均值以概率1收敛于某个常数，那么这个序列就满足强大数定律。
强大数定律的代表是伯努利大数定律和切比雪夫大数定律。
伯努利大数定律是对于一个独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，其中每个随机变量取值为0或1，概率为p或1-p，那么对于任意给定的正数ε，有：lim(n→∞)P( |X1+X2+...+Xn)/n - p| ≤ ε ) = 1切比雪夫大数定律是对于一个独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，其具有相同的均值μ和方差σ^2，那么对于任意给定的正数ε，有：lim(n→∞)P( |X1+X2+...+Xn)/n - μ| ≤ ε ) = 1以上的大数定律说明了随机变量序列的均值具有稳定的性质，当样本数量足够大时，样本均值可以准确地反映总体均值。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论与数理统计中的一个基本定理，描述了独立随机变量和的分布的极限性质。
大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是统计学中两个重要的概念，它们被广泛应用于概率论、数理统计以及各种实际问题的分析与推导中。
本文将详细介绍大数定律与中心极限定理的概念、原理及应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两个定律。
一、大数定律大数定律是指在随机试验中，当试验次数趋于无穷时，样本均值趋近于总体均值的概率趋于1的现象。
简言之，大数定律说明了在重复独立试验的过程中，随着试验次数增加，样本均值与总体均值之间的差距将会逐渐减小。
大数定律有多种形式，其中最为著名的是弱大数定律和强大数定律。
弱大数定律也称为大数定律的辛钦特例，它是在满足一定条件下，样本均值趋近于总体均值的概率收敛于1。
而强大数定律则对样本均值的收敛速度和稳定性做出了更严格的要求。
在实际应用中，大数定律可以用来解释和预测各种现象。
例如，当进行大规模的舆情调查时，可以通过随机抽样的方式来获取一部分样本，然后利用大数定律来推断出总体的舆情倾向。
此外，在生产过程中对产品质量的控制和检验中，也可以使用大数定律来判断产品的批量质量是否合格。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它说明了在某些条件下，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似服从于正态分布。
也就是说，无论总体分布是否服从正态分布，在大样本条件下，样本均值的分布都将趋于正态分布。
中心极限定理的重要性在于它提供了许多统计推断和参数估计的基础。
例如，在对总体均值进行估计时，可以利用样本均值的分布接近于正态分布来构建置信区间，从而对总体均值进行区间估计。
此外，中心极限定理还为假设检验提供了支持。
假设检验是统计推断的一种常用方法，通过对样本数据进行假设检验，可以判断总体参数是否与假设相符。
而中心极限定理则为假设检验提供了理论基础，使得假设检验的结果更加可靠和准确。
综上所述，大数定律和中心极限定理是统计学中两个重要的理论基础。
大数定律说明了随机试验中样本均值与总体均值的关系，而中心极限定理则揭示了样本均值的分布特征。
第五大数定律和中心极限定理-精品
DiX C, i1,2,
则对任意的ε＞0，有
ln i m P 1 ni n1Xi 1 ni n1EiX 1
即，1 ni n1Xi1 ni n1EiX P 0(n ).
（5-3）
证明 因{ X n }为独立随机变量序列，故
D1 ni n1Xin12 i n1DiXC n
比推论1条件更宽的一个大数定律是辛钦（Khintchine）大
数定律,它不需要推论1条件中“方差DX i 存在”的限制，而在
其它条件不变的情况下，仍有（5-4）式的结论。
推论2（贝努利大数定律）设事件A发生的概率为p，在n重
贝努利试验中A发生的频率为 f n ，则对任意的ε＞0，有
ln i m P{f|np|}1
将
1 n
n i1便得（5-5）式.
这是历史上最早的大数定律，是贝努利在1713年建立的。
概率论的研究到现在约有300多年的历史，最终以事件的频率
稳定值来定义其概率。作为概率这门学科的基础，其“定义”
的合理性这一悬而未决的带根本性的问题,由贝努利于1713年发
.
根据切比雪夫不等式可得
P 1 n i n 1X i 1 n i n 1Ei X P 1 n i n 1X i E 1 n i n 1X i
,
所以
D1 n
1 n i1
ln i m P{XnX}1
则称X n依概率收敛于X,记为Xn 或 PX XnX P0，n . 下面是一个带普遍性结果的大数定律。
定理5.1 （切比雪夫大数定律）设{X n }是相互独立的随机变
量序列，并且 EX
和
Ch5 大数定律和中心极限定理.
1.切比雪夫大数定律
设{Xn }为独立随机变量序列，若E(Xk ) < ，
D(Xk )C，C为正数, k=1, 2, …, (称{Xn }为方差一
致有界), 则{Xn }服从大数定律。即
1
n Yn
1n n k1 X k
P
1 n
E(Yn )
1n n k1 E( X k ).
= <，D(Xk )= 2<，k=1, 2, …, 则{Xn }满足中心 极限定理。
2.李雅普诺夫中心极限定理(Liapunov)
设{Xn}为独立随机变量序列，若EXk=k<，
n
DX k
2 k
,
k 1, 2,...,记Bn2
2 k
.
k 1
若 存 在
0,
使得
1 Bn2
n
E | X k k |2 0,
k 1
则{ X n }满 足 中 心 极 限 定 理.
(n ),
3. 德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 (De Moivre-Laplace)
设随机变量Yn(n=1, 2, ...)服从参数为n, p(0< p <1)的二项分布，则
Yn L ~ N (0, 1).
1 n
E(Yn
)
1 n
n
E(
k 1
k 1
Xk ),
即 对 任 意 的 0,
1
1
lim P{|
n
n Yn
n
E(Yn ) |
}
1.
即
1n
lim P{|
大数定律及中心极限定理通用教学课件
VS
不同点
大数定律主要研究随机变量的算术平均值 在样本容量趋于无穷大时的性质，而中心 极限定理则研究随机变量的算术平均值在 样本容量趋于无穷大时的散布情况。
大数定律与中心极限定理的联系与区分
联系
大数定律和中心极限定理都是研究随机变量的性质和散布，它们都是概率论中的重要理论。
区分
大数定律主要研究随机变量的算术平均值在样本容量趋于无穷大时的性质，而中心极限定理则研究随机变量的算 术平均值在样本容量趋于无穷大时的散布情况。
总结词
金融风险管理中中心极限定理的应用
详细描述
中心极限定理在金融风险管理中有着广泛的 应用。通过将多个独立同散布的随机变量相 加，中心极限定理可以近似描述这些随机变 量的散布特征。在金融风险管理领域，可以 利用中心极限定理对投资组合进行优化，降
低投资组合的风险。
案例三
总结词
大数据分析中的大数定律与中心极限定理应用
社会科学等。
对未来学习的展望和建议
深入学习概率论和统计学
大数定律和中心极限定理是概率论和统计学中的基础知识，但它们的 应用范围非常广泛，需要进一步深入学习。
学习其他相关课程
除了概率论和统计学，还可以学习其他相关课程，如回归分析、时间 序列分析、多元统计分析等，以更全面地掌握数据分析的方法。
关注实际应用
详细描述
在大数据分析中，大数定律和中心极限定理可以共同发挥作用。通过收集大量数据，利 用大数定律计算出数据的统计特征，然后利用中心极限定理对数据进行近似描述。这种
方法可以应用于数据发掘、机器学习等领域，帮助我们更好地理解和分析大数据。
06
CATALOGUE
总结与展望
本课程的主要内容总结
概率论05大数定律及中心极限定理
如取
则 随机变量 X取值偏离E(X)超过 3 的概率小于 0.111 .
P{| X E ( X ) | 3 } 0.111 2 9 可见，对任给的分布，只要期望和方差 2存在，
概率论
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们 不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随 n 机变量. 即考虑随机变量X k ( k 1,n)的和 X k
k 1
Yn
X
k 1
n
k
E ( X k )
k 1 n
n
D ( X k )
k 1
讨论Yn的极限分布是否为标准 正态分布
n
定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值时（或 者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 n 的分布 近似正态分布 N(np,np(1-p)).
即
n ~ N ( np, np(1 p))
近似地
概率论
下面演示不难看到中心极限定理的客观背景
f g 0
1
h
2 3 x
例:20个0-1分布的和的分布
在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分 布这一类定理都叫做中心极限定理.
概率论
一、中心极限定理
定理1（独立同分布下的中心极限定理）
设随机变量X 1 , X 2 , X n , 相互独立，服从同一分 布，且具有数学期望和方差 : E ( X k ) , D( X k ) 2 ( k 1,2,)，则随机变量之和 X k的标准化变量
这种稳定性的含义说明算术平均值是依概率 收敛的意义下逼近某一常数 .
中心极限定理与大数定律的关系
中心极限定理与大数定律的关系中心极限定理与大数定律是统计学中非常重要且相关的两个概念。
它们都涉及到随机过程和概率分布，但是侧重点不同。
在这篇文章中，我将深入探讨中心极限定理与大数定律之间的关系，并分享我对它们的观点和理解。
一、中心极限定理中心极限定理是概率论和统计学的核心概念之一，它描述了大样本数量下随机变量和的分布趋近于正态分布的现象。
中心极限定理的核心思想是，当我们抽取足够大的样本量时，样本均值的分布将接近于正态分布。
中心极限定理的数学表达可以用公式来表示：_ = (_1 + ?_2 + … + ?_?) /?其中，?_? 表示样本均值；?_1, ?_2, …, ?_? 表示从总体中独立同分布的随机变量；? 表示样本容量。
中心极限定理告诉我们，无论总体分布是什么，当样本数量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布。
这一理论提供了一种对总体分布进行近似和推断的方法。
它在统计学的各个领域广泛应用，例如假设检验、置信区间估计等。
二、大数定律大数定律是概率论和数理统计中的另一个重要概念，它描述了随着样本数量的增加，样本均值趋于总体均值的现象。
大数定律的核心思想是，当我们抽取足够多的样本时，样本均值将逐渐接近于总体均值。
大数定律的数学表达可以用公式来表示：lim (?→∞) ?_? = ?其中，?_? 表示样本均值，? 表示总体均值。
大数定律告诉我们，当样本数量趋于无穷大时，样本均值将收敛于总体均值。
这一理论提供了一种在实践中进行估计和推断的依据。
在统计学中，大数定律的应用非常广泛，例如推断统计、抽样调查等。
三、中心极限定理与大数定律的关系中心极限定理和大数定律都描述了随机变量的分布性质。
它们之间存在紧密的关联，可以说中心极限定理是大数定律的基础。
中心极限定理告诉我们，大样本的样本均值分布近似于正态分布；而大数定律告诉我们，大样本的样本均值趋近于总体均值。
具体而言，中心极限定理为大数定律提供了理论基础。
ch5大数定律及中心极限定理[24页]
E(X ) 6 k 1 7 ， k1 6 2
D(X ) E
X2
E(X
)2
6 k 1
k2
1 6
7 2
2
35 12
，
当
2
时， 1
D( X 2
)
1
35 12 4
13 48
，而
P
X
7 2
P
X
7 2
2
5 k 2
PX
k
4 6
Байду номын сангаас
13 48
1
D(X ) 2
，
可见，当 2 时，切比雪夫不等式成立.
lim
n
P{|
Xn
X
|≥ }
0
(5.1.2)
则称随机变量序列 X1, X2, , Xn, 依概率收敛于 X . 记为 X n P X .
2/24
定义 5.1.2 设随机变量序列 X1, X2, , Xn, ，X 为一随机变量，Fn (x) 和 F(x) 分别为 X n 和 X 的分布函数，如果在 F(x) 的连续点 x 处，有
E(X ) np 100000.8 8000 ，
D(X ) np(1 p) 10000 0.8 0.2 1600，
由于 7800≤ X ≤8200 ，即 200 ≤ X E(X ) ≤ 200 ，故由切比雪夫不等式有
P{
X
E(X )
200}≥1
D(X ) 2002
1
1600 40000
0.96
X 2 ,…,
X
…
n
为相互独立的随机变量序列，其前
n
项和 Yn
Xi ，如果
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，则称 服从中心极限定理．
定理四(独立同分布的中心极限定理)设随机变量序列 独立同分布，存在期望与方差：
， ， ．令 ，分布函数 ．则 ，成立 ．
定理四表明，对于标准化随机变量 ，当n充分大时，渐近地有
解：将100支灯管编号．以 表示第i支灯管的功率，则 ， ， 独立同分布． ， ．
记总功率 ， ．由于 很大，据定理四， ．
所求概率为
．
例2.某城市有三万人参加一家保险公司的人寿保险，每人每年付保险费十元．若投保人一年内死亡，则保险公司向其家属理赔一千元．假设该城市人口的年死亡率为6.4‰．试求：
(1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司一年的利润不少于十万元的概率．
可以认为 ， ．于是，包装的合格率
．
一般地．对于随机变量X，记 ， ．由切比雪夫不等式知：
， ．
取 时，有 ；
取 时，有 ．
5.2大数定律
大数定律研究
依概率收敛：设 是一个随机变量序列，简记为 ，a为实常数．若 ，有 ，则称 依概率P收敛于a，记作
．
．(．．．．．．．)．
0 1 Xn aXn Xnx
第5章 大数定律与中心极限定理
大数定律、中心极限定理主要讨论随机变量序列的极限稳定性和极限分布，内容很丰富．本章介绍几个最简单的结果．这些结果在数理统计中常用到．
5.1切比雪夫不等式
切比雪夫(Chebyshev)不等式：
设随机变量X的数学期望 与方差 都存在，
则 ，有 ，
或 ．
证：只对连续随机变量简证之． o x
证：令 ．则 ，且 相互独立，服从同一个 分布． ， ， ．由推论得 ， ．
定理二的意义在于，随着试验次数n的增加，随机事件A发生的频率 必然会稳定于概率 ，从而以严格的数学形式描述了频率的稳定性．在实际应用中，当试验次数很多时，就可用频率来估计概率．
定理三(辛钦大数定律)设随机变量序列 独立同分布，存在数学期望 ， ．则 , ．
解：设X表示参保的三万人中一年内死亡的人数．那么 ．利用定理五进行计算．这里 ， ， ， ，有 ．
(1)所求概率为
．
(2)所求概率为
．
（近似地服从），
或 ．
(利用特征函数法即 的Fourier变换可证明定理)．
得到近似计算公式： ，这里 ．
定理五(棣莫弗－拉普拉斯(De ivre－Laplace)中心极限定理)设随机变量序列
， ，常数 ．记 ，则成立 ， ．
01
P
p
证：这是定理四的特殊情况． ，
独立同分布， ， ， ，
．由定理四得 ， ．
推论设 相互独立，服从同一分布，简称为独立同分布．存在期望与方差：
， ， ．则 ， ．
含义：在进行精密测量时，为了减少随机误差，通常要重复测量多次，测得实测值 ，然后取平均值 来替代真值 ．当n很大时， 的值接近于测量真值 的概率愈来愈大．它描述了测量时大量测量值的算术平均值的稳定性．
定理二(伯努利大数定律)设在n重伯努利试验中事件A发生了 次，记 为事件A发生的频率，概率 ，则 ， ，即 ，有 ．
设X的概率密度为 ，则
；
．
此不等式将被用于大数定律和中心极限定理的论证中．
例1．一家饮料厂生产某种规格的饮料，使用机器包装，额定标准为每瓶净含量550 ．凡净含量在543～557 之间被认为包装合格．以往的统计结果表明，净含量的标准差为2 ．试估计此种饮料包装的合格率．
解：用X表示每瓶饮料的净含量．X的分布情况未明，利用切比雪夫不等式作估计．
定理五表明，若 ，则当n充分大(一般要求 )时有近似计算公式：
，(*)这里 ．
关于式(*)的说明：因为二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布，经验表明，对于正整数 ，若采用连续性修正公式
进行近似计算，可提高精度．
例1.一家电子管厂生产36W规格的日光灯管，由于生产过程中随机因素的影响，每支灯管的功率在区间[34W, 38W]上均匀分布．在一路电线上并联着此种灯管100支，它们的功率相互独立．试问它们的总功率在3575W～3625W之间的概率是多少？
(在独立同分布的条件下，只要期望存在，而方差可以不存在，与定理一有区别．)
例1.设 独立同分布， ， ．试问 依概率收敛于什么值？
解： 满足定理三的条件， ．故 ， ，即 ，有 ．
5.3中心极限定理
中心极限定理讨论相互独立的随机变量序列的极限分布，即依分布收敛．下面定理表明，一个随机变量是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成，其中每一个因素在总的影响中所起的作用都很微小，且相对均匀，则它近似地服从正态分布．这种现象就是中心极限定理的客观背景．
依概率收敛的意义是， ，当n充分大时，几乎可以肯定 取值于区间 ．
定理一(切比雪夫大数定律)设随机变量序列 相互独立，即任意有限多个随机变量 相互独立，存在期望与方差，且方差有界C：
．记 ，则 ，有 ．
证： ， ．
利用切比雪夫不等式得 ， ．
从而 ．
俄国数学家切比雪夫于1866年证明了此定理，它是大数定律中相当普遍的结论．