高三数学 一轮复习 复数

复数复习复数的概念．复数的加法和减法．复数的乘法和除法．数系的扩充． 要求：1了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．2掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．3了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．知识要点1、 ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.⑵复数及其相关概念：① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）；②实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ； ③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ；④纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i. ⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示. ⑶两个复数相等的定义：0==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若21,z z 为复数，则Ⅰ若021 z z +，则21z z - .（×）[21,z z 为复数，而不是实数] Ⅱ若21z z ，则021 z z -.（√） ②若Cc b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是cb a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）2、 ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离. 由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00 r r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式：①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程. ②21z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程. ③212121202ZZ z z a a a z z z z ，）表示以且（ =-+-为焦点，长半轴长为a 的椭圆的方程（若212z z a=，此方程表示线段21Z Z ，）. ④），（2121202z z a a z z z z =---表示以21ZZ ，为焦点，实半轴长为a 的双曲线方程（若212z z a=，此方程表示两条射线）. ⑶绝对值不等式：设21z z ，是不等于零的复数，则 ①212121z z z z z z +≤+≤-.左边取等号的条件是），且（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=. ②212121z z z z z z +≤-≤-.左边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=. 注：nn n A A A A A A A A A A 11433221=++++- .3. 共轭复数的性质：zz = 2121z z z z +=+a z z 2=+，i 2b z z =-（=z a + b i ） 22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=- 2121z z z z ⋅=⋅2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（02≠z ） n n z z )(=注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]4. ⑴①复数的乘方：)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z nn②对任何z ，21,z z C∈及+∈N n m ,有③n n n n m n m n m n m z z z z z z z z z 2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142=-=i i 若由11)(212142===i i 就会得到11=-的错误结论.②在实数集成立的2||x x =. 当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平方法. ⑵常用的结论：1,,1,,143424142=-=-==-=+++nn n n ii i ii ii )(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++iii i ii i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2若ω是1的立方虚数根，即i 2321±-=ω，则.5. ⑴复数z 是实数及纯虚数的充要条件： ①z z R z =⇔∈.②若0≠z ，z 是纯虚数0=+⇔z z .⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零. 注：||||z z =.6. ⑴复数的三角形式：)sin (cos θθi r z +=. 辐角主值：θ适合于0≤θ＜π2的值，记作zarg .注：①z 为零时，zarg可取)2,0[π内任意值.②辐角是多值的，都相差2π的整数倍. ③设,+∈R a 则πππ23)arg(,2arg ,)arg(,0arg=-==-=ai ai a a .⑵复数的代数形式与三角形式的互化：)(0,01,1,,121223Z n n n n∈=++=++===++ωωωωωωωωωω)sin (cos θθi r bi a +=+，22bar +=，rb ra ==θθsin ,cos .⑶几类三角式的标准形式：)]sin()[cos()sin (cos θθθϑ-+-=-i r i r )]sin()[cos()sin (cos θπθπθθ+++=+-i r i r )]sin()[cos()sin cos (θπθπθθ-+-=+-i r i r )]2sin()2[cos()cos (sin θπθπθθ-+-=+i r i r7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 时，应注意下述问题： ①当R c b a ∈,,时，若∆＞0，则有二不等实数根ab x 22,1∆±-=；若∆=0，则有二相等实数根ab x 22,1-=；若∆＜0，则有二相等复数根a ib x 2||2,1∆±-=（2,1x 为共轭复数）.②当c b a ,,不全为实数时，不能用∆方程根的情况.③不论c b a ,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立. 8. 复数的三角形式运算：)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ+++=+⋅+i r r i r i r)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r棣莫弗定理：)sin (cos )]sin (cos [θθθθn i n r i r n n +=+.练习题1.复数()221i i +=_____. 2.复数 32(1)i i +=______. 3.复数31()i i-____. 4.复数(2)12i i i+-等于___. 5.复数1+22i=_____.6._______________)23()1(22的值是是纯虚数，则实数若x i x x x +++-.7.若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = ．8.已知2()2a i i -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = .9.11i i+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b += ．10.复数10)11(ii +-的值________.11.________________,43,22121的值为为纯虚数，则实数且a z z i z i a z -=+=.22(34)(56)___.m m m m i m --+--12、若复数表示的点在虚轴上，则实数的值是13.设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =_______.147.已知复数1z i =-，则21zz =-________.154.设z 的共轭复数是z ，或z +z =4,z ·z ＝8，则zz 等于________.16.已知a 是实数，ii a +-1是纯虚数，则a =_______.17.复数11212ii+-+-的虚部是_______.18.若复数z 满足z(1+2z)=5, 则复数z 的实部与虚部之差等于________. 19.若复数z 满足10,____________.12z z z i-=-则等于2035cos sin )(sin cos )44________i ππθθθθθ∈++-若（，），则复数（在复平面内所对应的点在第象限.高考真题1.（安徽卷文2）已知21i =-，则i(1-)=(A)ii(C)i(D)i2.（北京卷文2）在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（A ）4+8i (B)8+2i （C ）2+4i (D)4+i3.（福建卷理9）对于复数a b c d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当a=1,b 2=1,c 2=b 时，b c d ++等于A ．1B ．-1C ．0D ．i4.（福建卷文4）i 是虚数单位，41i ()1-i+等于A.iB.-iC.1D.-15.（广东卷理2）若复数z1=1+i ，z2=3-i ，则z1·z2= A ．4+2 i B. 2+ i C. 2+2 i D.3+ i6.（湖北卷理1）若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z ，则表示复数1zi +的点是 A ．E B.F C.G D.H7.（湖南卷文1）复数21i-等于A. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i 8.（江西卷理1）已知()(1)x i i y +-=，则实数x ，y 分别为A ．1x =-，1y =B ．1x =-，2y =C ．1x =，1y =D ．1x =，2y =9.（全国Ⅰ卷理1）复数3223ii+=-(A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i10.（全国Ⅰ新卷理2）已知复数z =，z 是z 的共轭复数，则z z ∙=A. 14 B.12 C.1 D.211.（全国Ⅰ新卷文3）已知复数z =，则1z=(A)14 （B ）12 （C ）1 （D ）212.（全国Ⅱ卷理1）复数231i i -⎛⎫=⎪+⎝⎭（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i +13.（山东卷理2文2）已知2a ii+=b i +（.a b R ∈）,其中i 为虚数单位，则a b +=（A ）1- （B ）1 （C ）2 （D ）3 14.（陕西卷理2文2）复数1i z i=+在复平面上对应的点位于 【 】A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 15.（四川卷理1）i 是虚数单位，计算23i i i ++=（A ）－1 （B ）1 （C ）i - （D ）i16.（天津卷理1）i 是虚数单位，复数1312ii-+=+(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i17.（天津卷文1）)i 是虚数单位，复数31ii+-=(A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i 18.（浙江卷理5）对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（A ）2z z y-= （B ）222z x y=+（C ）2z z x-≥ （D ）z x y≤+19.（浙江卷文5）设i 为虚数单位，则51ii -=+(A)-2-3i(B)-2+3i (C)2-3i(D)2+3i1.（北京卷理9）在复平面内，复数21ii -对应的点的坐标为 _______ 。