第4讲 不等式的解法

4
课外练习：
一、选择题 1、若 0<a<1，则不等式（a-x）(x- )>0 的解集为 （
a 1 a 1 a 1 a 1
）
1 a
A 、{x∣a<x< }；B、{x∣ <x<a}；C、{x∣x> 或 x<a}；D、{x∣x< 或 x>a}. 2、不等式∣x+1∣(2x-1)≥0 的解集为
1 2
（
1 2
第4讲
其步骤如下：
不等式的解法
一、简单一元高次不等式解法（解一元高次不等式，一般采取数轴标根法）
（1）将 f(x)的最高次项的系数化为正数； （2）将 f(x)分解为若干个一次因式的积； （3）将每一个根顺次表在数轴上，再从右到左依次标出区间； （4）f(x)>0 时取奇数区间；f(x)<0 时取偶数区间. 例 1、解不等式 （1）2x 3 − x 2 − 15x>0； （2） （x+4） x + 5
A、 （1,2）∪（3，+∞） ；B、 （ 10，+∞） ；C、 （1,2）∪（ 10，+∞） ；D、 （1,2）. 二、填空题 7、不等式x 2 -∣x∣<0 的解集是 8、不等式2x
2 +2x −4
. .
sgn x
≤ 的解集是
2
1
1 x>0 9、定义符号函数 sgn x= 0 x = 0 ，当 x∈R 时，则不等式 x+2> 2x − 1 −1 (x < 0) 解集为 三、解答题 10、解不等式（∣3x-1∣-1） （sin x − 2) > 0. .
≥2 的解集是 x −1 2 1 1 A、[-3， ]； B、[- ,3]； 2 2 5、已知∣a-c∣<∣b∣，则
1 C、[ ,1）∪（1,3]； 2
D、[-
1 2
,1）∪（1,3].
（
）
A、a<b+c； B、a>c-b； C、∣a∣>∣b∣-∣c∣； D、∣a∣<∣b∣+∣c∣. 6、设 f(x)= 2ex −1 ，x < 2 log 3 x 2 − 1 ，x ≥ 2 则不等式 f(x)>2 的解集为 （ ）
2
<0.
f(x) ≥ 0 ； g(x) < 0
1
f x ≥0 （2） f(x) <g(x) ⇔ g x > 0 ； 2 f(x) < f(x) （3） f(x) > g(x)⇔f(x)>g(x)≥0.
������ ������
例 3、若不等式 x > ������������+ 的解集为（4，b） ，求 a、b 的值. 解析：设 x=u，则原不等式为 u>au2 + ，即 au2 -u+ <0，
1 2 2
x −2x < 2 + 1 ，无解. −2 < x < −1
x 2 +1 cos θ− cos θ−5 x+3 x 2 −x+1
3 4
>sin θ -1 对一切实数 x 恒成立的
+ >0，故
原不等式变为 （cos θ − sin θ + 1）x 2 − cos θ − sin θ − 4 x + cos θ − sin θ + 4>0， 令cos θ − sin θ=t，则 t∈[- 2， 2]， 不等式变为（t+1）x 2 -(t-4)x+t+4>0 对 x∈R 恒成立， 由二次函数可知 t+1>0 ∆= t − 4
2
2 − x 3 <0.
解析： （1）原式=x（2x 2 -x-15）>0⟹x（x-3） （2x+5）>0，得
四
-5/2
三
0
二
3
一
不等式的解集为奇数区间，即{x∣- <x<0 或 x>3}.
2
5
（2）学gt;2}. 二、分式不等式的解法 例 2、解不等式： > . 3 x −1 2−3x
）
1 2 1 2
A、{x∣x=-1 或 x≥ }；B、{x∣x≤-1 或 x≥ }；C、{x∣x≥ }；D、{x∣-1≤x≤ }. 3、若 a>1 且 0<b<1，则不等式alog b (x −3) > 1的解集为 （ A、x>3； 4、不等式 B、x<4；
x+5
）
C、3<x<4； （ ）
D、x>4.
O 1 2 3 x y
（2） x 2 − 3x + 2>x+3， 解析:用①②③④种方法由学生完成.答案： （-∞，- 9）.
2
7
四、指数、对数不等式的解法 例 4、解关于 x 的不等式 lg(2ax)-lg(a+x)<1. 解析： ax > 0 ⟹a>0，x>0⟹ lg(2ax)<lg(10a+10x) ⟹2ax<10a+10x， a+x>0
（2）mx>k-nx （m、n、k∈R） （2） （m+n）x>k m+n>0，x>m+n ； m+n<0，x<m+n ； m+n=0， k < 0，x ∈ R . k ≥ 0，x ∈ ∅
k k
时，x>
；
a=-
1 2
时，x∈∅.
a(x −1) 2、解不等式 >1. x −2 a x −1 −(x −2) 解析：原不等式变为 >0⟹[(a-1)x-(a-2)]（x-2）>0， x −2 a −2 ⟹（a-1）[x](x-2)>0， a −1 a −2 a −2 当 a>1 时，[x](x-2)>0⟹（-∞， ）∪（2，+∞） ； a −1 a −1 a −2 a −2 a 当 a<1 时，[x](x-2)<0，∵2= ， a −1 a −1 a −1 a −2 ①当 0<a<1 时，解是（2， ） a −1 a −2 ②当 a=0 时，解为空集，即 x∈∅；③a<0 时，解为（ ，2）. a −1
2
， − 4 t + 1 (t + 4) < 0
3
∴t>0 或 t<− 即 2kπ 3π
28 3
(舍)，故 0<cos θ − sin θ≤ 2，
π <θ <2kπ+ （k∈Z）. 4 4
练习：1、解不等式 （1）2ax>5-x(a∈R)； 解析： （1） （2a+1）x>5， a>1 2 2a+1 1 5 a<- 时，x< ； 2 2a+1 5
的
5
11、已知函数 f(x)=
ax −1 x 2 −a
，当 a>0 时，解关于 x 的不等式 f(x)<0.
12、设有关于 x 的不等式 lg（∣x+3∣+∣x-7∣）>a. （1）当 a=1 时，解此不等式； （2）求当 a 为何值时，此不等式的解集为 R.
6
������ ������ ������ ������
∵不等式的解集为（4，b） ，∴方程 au2 -u+ =0 的两个根分别为 2， b，
������
������
由韦达定理得
2+ b= 2∙ b=
1 a 3
解得
a=
1 8
2a
b = 36
.
练习：解不等式 （1） 3 − x<x-1； 解析： （1） 3 − x<x-1， x≤3 3−x≥0 ①等价转化法： x − 1 ≥ 0 ⟹ x≥1 ⟹x∈(2，3]； 2 3−x< x−1 x > 2 或 < −1 ②换元法：设 t= 3 − x （t≥0） x=3-t 2 ， （2） x 2 − 3x + 2>x+3.
.
x≥1 x ①当 x≥1 时，原不等式可以变形为 2x< +1， 2x < x + 1，无解； 2 2 ② 当 -1≤x<1 时 ，∣∣ x+1 ∣ + ∣ x-1 ∣∣ =2 ，则原不等式可变形为
x 2<2+1 无解； −1 ≤ x < 1
③当-2<x<-1 时，原不等式可以变形为 综合①②③可知，原不等式无解. 六、含参不等式的解法 例 4、试求不等式 θ 取值范围. 解析：∵x 2 − x + 1 = x −
即（a-5）x<5a. 当 0<a<5 时，a-5<0，x>0 当 a=5 时，不等式 0∙x<25，得 x>0； 当 a>5 时，a-5>0，解得 0<x< 五、含绝对值不等式的解法
x 例 5、解不等式：∣∣x+1∣+∣x-1∣∣< +1. 2 x 解析： +1>0 恒成立，x>-2. 2 5a a −5
即 t<3-t 2 -1，t 2 + t − 2 < 0⟹（t-1）(t+2)<0， -2<t<1，故 0≤t<1,0≤ 3 − x<1⟹2<x≤3. 3−x≥ 0 3−x≥ 0 ③求补集法： 3 − x≥x-1⟹ x − 1 ≥ 0 或 ⟹x≤2 或 x>3， x−1<0 3−x≥ x−1 2 故原不等式解集为(2，3]. ④图像法：令y1 = 3 − x，y2 =x-1，如图， y1 <y2 即 x∈（2，3].