环F_p_m_uF_p_m_vF_省略_长为2p_s的_u_1_常循环码_郑喜英

m 令 ξ 为 p － 1 次本原单位根， 所以有 pm － 2 pm － 1 F pm = ｛ 0 ， …， ， = 1｝ ． ξ， ξ ξ m 2 m m 很显然 ξ 2 = － 1 ， 所以若 4 整除 （ p － 1 ） ， 则（ ξ 4 ） = － 1， 若 4 不整除 （ p － 1 ） ， 则不存在 p 中的元素 γ 2 2 m m m x］ 使得 γ = － 1 ， 比如 x + 1 在 F p m［ 上不可约． 若 4 整除（ p － 1 ） ， 即 p ≡1 （ mod 4 ） ， 当且仅当 p ≡1 （ mod 4 ）
+ 1 ） + u ∑ a1j （ x ） （ x2 + 1 ） j ，
j =0
s s
j
a ij （ x） = a ij0 + a ij1 x ∈ F p m［ x］ ， i = 0， 1， 0 ≤ j ≤ p s － 1 ． 又因为在（ F p m + uF p m） ［ x］/〈x2p + 1 － λ u〉中， 其中， （ x2 + 1 ） λ
m m m m
1 郑喜英 ， 孔
2 波， 刘
1 1 洁 ， 马红娟
（ 1． 黄河科技学院 信息工程学院 河南 郑州 450063 ； 2． 河南教育学院 数学与统计学院 河南 郑州 450046 ）
s p ≡3 （ mod 摘要： 将环 F p m + uF p m + vF p m + uvF p m 上长为 2 p 的（ λu － 1 ） － 常循环码分为 4 种不同类型的理想， 其中，
i =0
= 0， （ x2 + 1 ）
b i （ x） ∑ i =0
（ x2 + 1 ）
2 2 = 1， 这意味着 x + 1 可逆， 与 x + 1 是幂零元
s
2 ． 用同样的方法可得 （ x2 + 1 ） 〈v〉 ， 〈v， x2 + 1 〉 x］/〈x2p + 矛盾， 所以 v 〈x + 1 〉 所以 不是主理想， 因此 Ｒ［ 1 － λ u〉不是有限链环． ［1 ］ 引理 2 对有限交换环 Ｒ ， 以下条件等价： （ 1 ） Ｒ 是一个局部环， 极大理想 M 为主理想环．
s s
1 － λ u〉中有 u = λ －1 （ x2 + 1 ） p ． 所以
2p s －1 2p s －1 i
f（ x） =
∑ b0 i （ x ） （ x2 + 1 ） i + v∑ b1 i （ x ） （ x2 + 1 ）
i =0 i =0 2p s －1 2p s －1
=
b00 （ x） + b ji （ x） = b ji0 + b ji1 x ∈ F p m［ x］ ． 其中，
b0i （ x ） ∑ i =1
s
（ x2 + 1 ） i + v∑ b1 i （ x ） （ x2 + 1 ） i ，
i =0
2 v 都是 Ｒ［ x］/〈x2p + 1 － λ u〉中的幂零元， 由于（ x + 1 ） ， 所以 f（ x） 是零因子当且仅当 b00 （ x） = 0 ， 故
〈x2 + 1 ， v〉是 Ｒ［ x］/〈x2p + 1 － λ u〉中 所 有 零 因 子 组 成 的 集 合． 假 设 v ∈ 〈x2 + 1 〉 ， 则 存 在 f1 （ x ） =
1209 收稿日期： 201420141375 ； 河南教育学院应 基金项目： 河南省自然科学基金资助项目， 编号 122300410229 ； 郑州市科技局基础与前沿项目， 编号 20141374 ， 用数学重点学科资助项目 ． Email： zxyccnu@ 163． com． 作者简介： 郑喜英（ 1981 － ） ， 女， 河南睢县人， 讲师， 主要从事代数与编码研究， ［ J］ ． 郑州大学学报： 理学版， 2015， 47（ 2） ： 27 － 32． 引用本文： 郑喜英， 孔波， 刘洁， 等． 环 Fp m + uFp m + vFp m + uvFp m 上长为 2ps 的（ λu － 1） － 常循环码
u k］/〈u2 ui uj = uj ui 〉 （ 对任意的整数 k ≥1 ） 的线性码． 文献［ 7］研究了有限非链环 F2 ［ u1 ， u2 ， …， u k］/ i = 0， 〈u2 ui uj = uj ui 〉 （ 对任意的整数 k≥1 ） 的循环码并给出了循环码的一些性质 ， 特别给出了只有一个生成元 i = 0， 8］ 研究了有限非链环 F2 + uF2 + vF2 + uvF2 上的 （ 1 + v ） － 常循环码， 并给出了其上 的循环码的情况． 文献［
s 9］ 10］ 奇长的常循环码的刻画． 文献［ 研究了有限域上的常循环码． 文献［ 研究了有限域上长为 2 p 的重根常 s 对其上长为 循环码． 本文研究了有限非链环 F p m + uF p m + vF p m + uvF p m 上长为 2 p 的 （ λu － 1 ） － 常循环码，
2 p s （ p≡3 （ mod 4 ） ） 且 m 为奇数的（ λu － 1 ） － 常循环码进行了分类并给出了码的计数 ．
v∑ a2i （ x） （ x2 + 1 ） i + uv∑ a3i （ x） （ x2 + 1 ） i ，
i =0
a ji （ x） = a ji0 + a ji1 x ∈ F p m［ x］ ． 其中， 引理 1 证明 x］/〈x2p + 1 － λ u〉是极大理想为 〈v， x2 + 1 〉的局部环， 环 Ｒ［ 不是有限链环． s s s s 2p 2 p 2p x］/〈x + 1 － λu〉中， （ x + 1 ） = x + 1 = λu ， x］/〈x2p + 在 Ｒ［ λ 是 F p m 中的可逆元， 则在 Ｒ［
e 3］ 研究了有限非链环 F q + uF q + vF q + uvF q 上的循环码， 给出 为 p 的（ α + βu） － 常循环码进行了分类． 文献［ k －1 4］ 了其上循环码的刻画． 文献［ 研究了环 F p m + uF p m + … + u F p m 上常循环码的等价性， 并对其上的常循环 5］ 研究了环 Z M 上线形循环码的深度谱． 文献［ 6］ u1 ， u2 ， …， 码进行了分类． 文献［ 研究了有限非链环 F2［
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郑州大学学报（ 理学版）
第 47 卷
…， c n － 2 ） ∈C ， 则称 C 为环 Ｒ 上的 λ － 常循环码，特别的， 当 λ = 1 时称 C 为 Ｒ 上的循环码， 当 λ = － 1 时称 C c1 ， …， c n － 1 ） ∈ C 的多项式表示为 c （ x ） = c0 + c1 x + … + c n － 1 x n － 1 ， 为 Ｒ 上的负循环码． 码字 （ c0 ， 则 xc （ x ） 为 c（ x） 在商环 Ｒ［ x］/〈x n － λ 〉 x］/〈x n － λ 〉 中的一个 λ － 循环移位， 所以 Ｒ 上长为 n 的 λ － 常循环码是环 Ｒ［ 的 一个理想．
pm － 1 pm － 1
（ 对任意 m） 或 p m ≡3 （ mod 4 ） （ m 为偶数） ． 由此可得命题 1 ． ［1 ］ （ 1 ） 若 p m ≡1 （ mod 4 ） （ 对任意 m） 或 p m ≡3 （ mod 4 ） （ m 为偶数 ） ， 命题 1 则在环 Ｒ 中存在元素 γ 使 2 2p s 2p s ps ps 得γ = － 1 ，多项式 x + 1 在环 Ｒ 上的不可约分解为 x + 1 = （ x － γ） （ x + γ） ．
x］/〈x 所以在环 Ｒ［
+ 1 － λu 〉 中（ λ 为 F p m 上的可逆元） ， 每个多项式 f（ x） 可唯一地表示为
p s －1 p s －1
f（ x） =
p s －1
∑ a0i （ x ） （ x2 + 1 ） i + u ∑ a1i （ x ） （ x2 + 1 ） i +
i =0 i =0 p s －1 i =0
2 2p （ 2 ） 若 p m ≡3 （ mod 4 ） （ m 为奇数 ） ， 则 x + 1 在 Ｒ 上不可约，多项式 x + 1 在环 Ｒ 上的不可约分解 s s 2p 2 p 为x + 1 = （ x + 1 ） ．
s
2
2． 1
常循环码的分类和计数
s 环 Ｒ 上长为 2 p 的（ λu － 1 ） － 常循环码的分类 m ci ∈F pm ， 设 p ≡3 （ mod 4 ） （ m 为奇数） ， 因环 Ｒ 中的每一个元素 r 都可以表示为 r = c0 + c1 u + c2 v + c3 uv， 2p s
0
引言
有限环上编码理论的研究成为很多学者研究的热点问题
［1 － 12 ］ s ． 文献［ 1］ 研究了环 F p m + uF p m 上长为 2 p
2］ 的循环码和负循环码． 文献［ 研究了有限非链环 F p m + uF p m + vF p m + uvF p m 上的 （ α + βu ） － 常循环码， 对长
第2 期
s 郑喜英， 等： 环 F p m + uF p m + vF p m + uvF p m 上长为 2 p 的（ λu － 1 ） － 常循环码