人教版必修一数学3221函数模型的应用实例
人教版教材高中数学必修一《函数模型的应用实例》教案
3.2.3 函数模型的应用实例（一）（一）教学目标1．知识与技能：初步掌握一次和二次函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题.2．过程与方法：经历运用一次和二次函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力.3．情感、态度与价值观：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.（二）教学重点、难点一次和二次函数模型的应用是本节的重点，数学建模是本节的难点.（三）教学方法本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律，教师启发诱导的方法进行教学.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入回顾一次函数和二次函数的有关知识.教师提出问题，学生回答.师：一次函数、二次函数的解析式及图象与性质.生：回答上述问题.以旧引新，激发兴趣.应用举例1．一次函数模型的应用例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程.教师提出问题，让学生读题，找关键字句，联想学过的函数模型，求出函数关系式.学生根据要求，完成例1的解答.例1 解：因为火车匀速运动的时间为(200 – 13)÷120 =115(h)，所以115t≤≤.因为火车匀速行驶时间t h所行驶路程为120t，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是11130120(0).5S t t=+≤≤2h内火车行驶的路程11131206S=+⨯=233(km).通过此问题背景，让学生恰当选择相应一次函数模型解决问题，加深对函数概念本质的认识和理解.让学生体验解决实际问题的过程和方法.解题方法：1．读题，找关键点；2．抽象成数学模型；3．求出数学模型的解；4．做答.学生总结，教师完善.培养学生分析归纳、概括能力.从而初步体验解应用题的规律和方法.2．二次函数模型的应让学生自己读题，并回答下列问题：解应用题用例2 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？①题目求什么，应怎样设未知量；②每天客房的租金收入与每间客房的租金、客房的出租数有怎样的关系；③学生完成题目.法一：用列表法求解.此法可作为学生探求思路的方法，但由于运算比较繁琐，一般不用，应以法二求解为重点.对法二让学生读题，回答问题.教师指导，学生自己动手解题.师生合作由实际问题建模，让学生尝试解答.例2 解答：方法一依题意可列表如下：x y0 300×20 = 60001 (300 – 10×1)(20 + 2×1) = 63802 (300 – 10×2)(20 + 2×2) = 67203 (300 – 10×3)(20 + 2×3) = 70204 (300 – 10×4)(20 + 2×4) = 72805 (300 – 10×5)(20 + 2×5) = 75006 (300 – 10×6)(20 + 2×6) = 76807 (300 – 10×7)(20 + 2×7) = 78208 (300 – 10×8)(20 + 2×8) =79209 (300 – 10×9)(20 + 2×9) = 798010 (300 – 10×10)(20 + 2×10) = 800011 (300 – 10×11)(20 + 2×11) = 798012 (300 – 10×12)(20 + 2×12) = 792013 (300 – 10×13)(20 + 2×13) = 7820……由上表容易得到，当x = 10，即每天租金为40元时，能出租客房200间，此时每天总租金最高，为8000元.再提高租金，总收入就要小于8000元了.方法二设客房租金每间提高x个2元，则将有10x间客房空出，客房租金的总收入为y = (20 + 2x) (300 – 10x )= –20x2 + 600x– 200x + 6000= –20(x2– 20x + 100 – 100) + 6000= –20(x– 10)2 + 8000.首先要读懂题意，设计出问题指导学生审题，建立正确的数学模型.同时，培养学生独立解决问题的能力.由此得到，当x = 10时，y max = 8000.即每间租金为20 + 10×2 = 40(元)时，客房租金的总收入最高，每天为8000元.3．分将函数模型的应用例 3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.生：解答：（1）阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.（2）根据图，有502004,01,80(1)2054,12,90(2)2134,23,75(3)2224,34,65(4)2299,4 5.t tt ts t tt tt t+≤<⎧⎪-+≤<⎪⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎪-+≤≤⎪⎩这个函数的图象如图所示.实际应用用问题解决的一般步骤：理解问题⇒简化假设⇒数学建模⇒解答模型⇒检验模型⇒评价与应用的进一步深体.巩固练习课堂练习习题1．如果一辆汽车匀速行驶，1.5h行驶路程为90km，求这辆汽车行驶路程与时间之间的函数关系，以及汽车3h所行驶的路程.习题2．已知某食品5kg价格为40元，求该食品价格与重量之间的函数关系，并求8kg食品的价格是多少元.习题3．有300m长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面学生练习，师生点评.1．设汽车行驶的时间为t h，则汽车行驶的路程S km与时间t h之间的函数关系为S = vt.当t = 1.5时，S = 90，则v = 60.因此所求的函数关系为S=60t，当t = 3时，S = 180，所以汽车3h所行驶的路程为180km.2．设食品的重量为x kg，则食品的价格y元与重量x kg之间的函数关系式为y=8x，当x = 8时，y = 64，所以当8kg食品的价格为64元.3．设矩形菜地与墙相对的一边长为x cm，则另一组对边的长为3002x-m，从而矩形菜地的面积为：学生动手实践、体验所学方法，从而提升解应用题的技能.积最大？习题4．某市一种出租车标价为1.20元/km ，但事实上的收费标准如下：最开始4km 内不管车行驶路程多少，均收费10元(即起步费)，4km 后到15km 之间，每公里收费1.20元，15km 后每公里再加收50%，即每公里1.80元.试写出付费总数f 与打车路程x 之间的函数关系.21(300)21(150)11250(0300).2S x x x x =-=--+<<当x = 150时，S max = 11250. 即当矩形的长为150m ，宽为75m 时，菜地的面积最大. 4．解：所求函数的关系式为 100410 1.2(4)41523.2 1.8(15)15x y x x x x <≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩归纳小结课堂小结解决应用用问题的步骤：读题—列式—解答. 学生总结，师生完善使学生养成归纳总结的好习惯.让学生初步掌握数学建模的基本过程. 布置作业 习题2—3B 第1、3题： 教材第71页“思考与讨论”.学生练习使学生巩固本节所学知识与方法.例1 某游艺场每天的盈利额y 元与售出的门票数x 张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？【解析】根据题意，每天的盈利额y 元与售出的门票数x 张之间的函数关系是：3.75(0400)1.251000(400600)x x y x x ≤≤⎧=⎨+≤≤⎩（1）当0≤x ≤400时，由3.75x =750，得x =200.（2）当400≤x ≤600时，由1.25x + 1000 = 750，得x = – 200 (舍去). 综合（1）和（2），盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张. 答：当天售出的门票数为200张时盈利额为750元. 例2投资A 种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润 (万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B 种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润 (万元)0.250.490.7611.261.51该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A B 两种商品各多少才最合算. 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).【解析】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.y = –a (x – 4)2 + 2 (a＞0) ①y = bx②把x = 1，y = 0.65代入①式，得0.65 = –a (1 – 4)2 + 2，解得a = 0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用y = – 0.15(x– 4)2 + 2表示，再把x = 4，y = 1代入②式，得b = 0.25，故前六个月所获利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y = 0.25x表示.设下月投资A种商品x万元，则投资B种商品为(12 –x)万元，可获纯利润y = – 0.15 (x– 4)2 + 2 + 0.25 (12 –x)= – 0.15x2 + 0.95x + 2.6，当0.952(0.15)x-=⨯-≈3.2时，2max 4(0.15) 2.60.954(0.15)y⨯-⨯-=⨯-≈4.1.故下月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大纯利润4.1万元.【评析】幂函数模型的应用题经常以二次函数的形式出现，要注意y = x2变换到y = a (x –m)2 + b后发生的变化.。
高一数学必修1《函数模型的应用实例》课件 ppt
(1). 本例中所涉及的数量有哪些 本例中所涉及的数量有哪些?
经过t年后的人口数 人口年平均增长率r; 经过 年后的人口数 y , y0 ;人口年平均增长率 人口年平均增长率 经过的时间t以及 以及1950~1959年我国的人口数据。 年我国的人口数据。 经过的时间 以及 年我国的人口数据
请阅读教材P102页的解答过程 页的解答过程 请阅读教材
还要看个例子
探究:函数模型问题 探究 函数模型问题 例2：人口问题是当今世界各国普遍关 注的问题，认识人口数量的变化规律， 注的问题，认识人口数量的变化规律，可以 为有效控制人口增长提供依据.早在1798 1798年 为有效控制人口增长提供依据.早在1798年， 英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下 rt 的人口增长模型： 其中t 的人口增长模型：y = y 0 e ，其中t表示经过 的时间， 表示t=0时的人口数， t=0时的人口数 的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口 的年平均增长率.下表是我国1950 1959年 1950～ 的年平均增长率.下表是我国1950～1959年 的人口数据资料： 的人口数据资料：
我们一起来分析
我提问
1、你能写出速度v关于时间 的函数解析式吗 试 、你能写出速度 关于时间 的函数解析式吗?试 关于时间t的函数解析式吗 试看！ 试看！ 2、你能写出汽车行驶路程 关于时间 的函数解析 关于时间t的函数解析 、你能写出汽车行驶路程s关于时间 式吗?试试看 试试看！ 式吗 试试看！
分析、 分析、探究
我提问
(2).描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是 描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是 确定的,确定这种函数模型需要几个因素 确定这种函数模型需要几个因素? 确定的 确定这种函数模型需要几个因素 两个,即 是;两个 即: y0 和 r 两个 我来说 (3).根据表中数据如何确定函数模型 根据表中数据如何确定函数模型? 根据表中数据如何确定函数模型 我再问 先求1951~1959年各年的人口增长率 再求年平 年各年的人口增长率,再求年平 先求 年各年的人口增长率 均增长率r,确定 的值,从而确定人口增长模型 从而确定人口增长模型. 均增长率 确定 y0的值 从而确定人口增长模型 (4).对所确定的函数模型怎样进行检验 根据检 对所确定的函数模型怎样进行检验?根据检 对所确定的函数模型怎样进行检验 验结果对函数模型又应作出如何评价? 验结果对函数模型又应作出如何评价 作出人口增长函数的图象,再在同一直角坐 答:作出人口增长函数的图象 再在同一直角坐 作出人口增长函数的图象 标系上根据表中数据作出散点图,观察散点是否 标系上根据表中数据作出散点图 观察散点是否 在图象上. 在图象上
《函数模型的应用实例》高一上册PPT课件(第3.2.2课时)
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[自主预习 · 探新知 ]
1． 常 见 函 数 模 型 (1)一 次 函 数 模 型 (2)二 次 函 数 模 拟
常 用(3)指 数 函 数 模 型 函 数(4)对 数 函 数 模 型 模 型(5)幂 函 数 模 型
(6)分 段 函 数
y＝ kx＋ b(k， b为 常 数 ， k≠ 0) y＝ ax2＋ bx＋ c(a， b， c为 常 数 ， a≠ 0) y＝ bax＋ c(a， b， c为 常 数 ， b≠ 0， a>0且a≠ 1)
它 们 发 展 到 ( )
A． 300只
B． 400只
C． 600只
D． 700只
A [将x＝ 1， y＝ 100代 入y＝ alog2(x＋ 1)得 ， 100＝ alog2(1＋ 1)， 解 得a＝ 100.所 以x＝ 7时 ， y＝ 100log2(7
＋ 1)＝ 300.]
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自 建确 定 性函 数 模型 解 决实 际 问题
例2 牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当 的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)． (1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域． (2)求羊群年增长量的最大值. 思路探究：畜养率― →空闲率― →y的 与 函数 x之 关 间 系单 ― 调 ― → 性求最值
y＝ mlogax＋ n(m， a， n为 常 数 ， m≠ 0， a>0且a≠ 1) y＝ axn＋ b(a， b为 常 数 ， a≠ 0)
高中数学新人教A版必修1第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例
由题意:v2-v1=1,
2
1
1
− log3 1 = 1.
2
100 2
100
1
log3 2 = 1, ∴ 2 = 9, 即Q2=9Q 1.
2
1
1
即 log3
∴
故鲑鱼要想把游速提高 1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的 9 倍.
收集数据,画图提出假设;
依托图表,理顺数量关系;
抓住关键,建立函数模型;
精确计算,求解数学问题;
回到实际,检验问题结果.
【做一做1】 一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所
示,那么图象所对应的函数模型是(
)
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
答案:A
【做一做 2】 已知大气压强 p(单位:百帕)与海拔高度 h(单位:
反比例函数模型
f(x) = (k 为常数,k≠0)
一次函数模型
f(x)=kx+b(k,b 为常数,k≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)
指数函数模型
f(x)=a·bx+c(a,b,c 为常数,a≠0,b>0,b≠1)
对数函数模型
f(x)=mlogax+n(m,n,a 为常数,m≠0,
M(单位:亿元)和 N(单位:亿元),它们与投资额 t(单位:亿元)的关系有
经验公式:M=
1
3
1
6
,N= . 今该公司将用3 亿元投资这两个项目,若
设甲项目投资 x 亿元,投资这两个项目所获得的总利润为 y 亿元.
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探究2 自建函数模型的应用题 例 2 某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为 25 万元．市场调研表明：当销售单价为 29 万元时，平均每周 能售出 8 辆，而当销售单价每降低 0.5 万元时，平均每周能 多售出 4 辆．设每辆汽车降价 x 万元，每辆汽车的销售利润 为 y 万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．
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解 设日销售金额为 y(元)，则 y＝PQ，
所以 y＝－ t2－t2＋ 14200t＋t＋480000002<5≤t<2t≤5，30 (t∈N*)． ①当 0<t<25 且 t∈N*时，y＝－(t－10)2＋900，
所以当 t＝10 时，ymax＝900(元)． ②当 25≤t≤30 且 t∈N*时，y＝(t－70)2－900，
所以当 t＝25 时，ymax＝1125(元)． 结合①②得 ymax＝1125(元)． 因此，这种商品日销售额的最大值为 1125 元，且在第
25 天时日销售金额达到最大．
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拓展提升 构造函数模型解决实际问题
(1)用已知函数模型解决问题时，将题中的数据代入函 数模型，即可求得函数模型中的参数，再转化为求函数值或 自变量的值．
对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
幂函数型
f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
新人教版高中数学必修一3.2.2《函数模型的应用实例》教学ppt
（2）、认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿
纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元
102 kg
，时间单位：天）
Q
P
250
300 150
100
100 t
0
200 300
0 50 150 250 300
t
100
解(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为:
D5 C
5
4
A
B
例6.如图是某出租车在A、B两地间进行的一次业务活动， s(km)表示该出租车与A地的距离，t(h)表示该车离开A地 的时间。 （1）试描述该出租车的活动情况；（2）写出s与t的函数 关系式；（3）写出车速v(km/h)与时间t的函数关系式， 并画出图象。
s(km )
200
150
100
y3 5 30
55
80
105 130 155
y4 5 2.3107 1.4295 1.1407 1.0461 1.0151 1.005
关于x呈指数型函数变化的变量是___y_2____.
例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如 图所示： （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含 义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读 数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读 数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象
2000
0
12
3
4
5
t
总结解应用题的策略：
一般思路可表示如下：
因此，解决应用题的一般程序是：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺 数量关系；
人教A版数学必修一3.2.2.1一次函数、二次函数、幂函数模型的应用实例
解：根据表可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减 少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元， 而在此情况下的日均销售量就为 480-40（x-1)=520-40x（桶） 由于x>0,且520-40x>0,即0<x<13,于是可得 y=(520-40x)x-200 =-40x2+520x-200,0<x<13. 易知，当x=6.5时，y有最大值. 所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.
练习： 某人如果将进货价为8元的商品按每件10元售出时每天 可销售50件,现在他采用提高价格销售,减少进货量的办 法增加利润,己知商品每件售价每提高1元,其日销售量 就减少5件,为使每天赚得的利润最大,该商品的定价应 为多少元?
思路分析:
1.此题己知条件中相关的新概念的含义是什么? 利润指企业销售产品的收入扣除成本价格的余额。 利润=销售总量(元)-进货总价(元) =销售价×总销售量-进货价×总进货数 2.求什么? 商品的销售价（即商品的定价）
解:开车离开A地的距离与时间t（h）之间的关系：
60t,
0 t 2.5,
x 150,
2.5 t 3.5,
150 50(t 3.5), 3.5 t 6.5.
它的图象如图：
车速v(km/h)与时间t(h)的函数关系式为：
60, v 0,
50,
实际问题 抽象概括 数学模型
Байду номын сангаас推理演算
其流程为
实际问题 的解
还原说明 数学模型 的解
信念是生活的太阳，面对它时，酸楚的泪 滴也会折射出绚丽的色彩。
第1课时一次函数、二次函数、 幂函数模型的应用实例
高中数学3.2.2函数模型的应用实例教案新人教A版必修1
《函数模型的应用实例》一、教课内容分析：本节课选自人民教育第一版社 A 版的一般高中课程标准实验教科书·数学必修1中3．2．2 函数模型的应用实例（第二课时）．函数基本模型的应用是本章的要点内容之一，函数模型自己就根源于现实，并用于解决实质问题．本节课的内容是在《几类不一样增添的函数模型》和《函数模型的应用实例（一）》内容以后，关于纯数学知识的几类函数及其性质和给定的函数模型应用有了必定的学习，本节课是对以上两节内容的持续与拓展，研究没有给定函数模型或没有确立性函数模型的实质问题进行建模和应用．这节课的内容持续经过一些实例来感觉函数模型的成立和应用，逐渐领会实质问题中建立函数模型的过程，本节课的函数模型的应用实例主要包含成立确立性函数模型解决问题及选择或成立拟合函数模型解决问题．例 5 所给的问题的特色是表中数学的变化是有特定规律的，运用表中的数据规律成立数学模型，注意变化范围和查验结果的合理性，同时使用这类有规律的简单数据实例供给了建立数学模型的方法．例 6 与例 5 有所差别，表中数据的变化规律特色不是和显然，需要自己依据对数据的理解选择模型，这反应一个较为完好的成立函数模型解决问题的过程，让学生逐渐感觉和明确这一点．整节课要修业生分析数据，比较各个函数模型的好坏，选择靠近实质的函数模型，并应用函数模型解决实质问题．增强读图、读表能力；优化学生思想，提升学生研究和解决问题的能力；增强学生数学应企图识，感觉数学的适用性；锻炼学生的吃苦精神，提升学生的团队合作能力．二、教课目的：知识与技术： 1．会分析所给出数据，画出散点图．2．会利用选择或成立的函数模型．3．会运用函数模型解决实质问题．过程与方法： 1．经过对给出的数据的分析，抽象出相应确实定性函数模型，并考证函数模型的合理性．2．经过采集到的数据作出散点图，并经过察看图像判断问题所合用的函数模型，在合理选择部分数据或计算机的拟合功能得出详细的满意的函数分析式，并应用模型解决实质问题．感情、态度和价值观：1．经历成立函数模型解决实质问题的过程，意会数学源自生活，服务生活，领会数学的应用价值．2．培育学生的应企图识、创新意识和研究精神，优化学生的理性思维和求真求实的科学态度．3．提升学生研究学习新知识的兴趣, 培育学生 , 勇于研究的科学态度．三、学生学情分析：1．已掌握了一些基本初等函数的有关知识，有相应的数学基础知识贮备．2．在前面的学习中，初步领会了利用给定函数模型解决实质问题的经历，为本节课累积解决问题的经验．3．学生从文字语言向图像语言和符号语言转变较弱；应企图识和应用能力不强；抽象归纳和局部办理能力单薄．四、教课要点、难点要点：依据采集的数据作出散点图，并经过察看图像选择问题所合用的函数模型，利用演算或计算机数据成立详细的函数分析式．难点：如何合理分析数据选择函数模型和成立详细的函数分析式．五、教课策略分析：鉴于新课程标准倡议以学生为主体进行研究性学习，教师应成为学生学习的指引者、组织者和合作者的教课理念和近来发展区理论，联合本节课的教课目的，采纳以下教课方法：1．问题教课法．在例 1 的教课中，提出如何能更为直观的发现函数模型，指引学生思虑，发现选择函数模型的重要方法，即散点图图像，进而让学生有收获，有成就感．在例 2 的解决过程中，提出一系列的问题串，学会对问题的分析，直抵问题的核心．使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创建”过程，并使学生从中领会学习的兴趣．这样能够充分调换学生学习的主动性、踊跃性，使讲堂氛围更为活跃，同时培育了学生自主学习，着手研究的能力．2．分组议论法．在例 2 的教课中，碰到难以选择模型时，经过小组议论，拓展思想，增强合作，解决问题；在获取函数模型后和讲堂总结中，组织小组议论，互相沟通成就，扩大成就影响力．这样不单能够培育学生对数学知识的研究精神和团队协作精神，更能让学生体验成功的乐趣，培育其学习的主动性．3．多媒体协助教课法：在教课过程中，采纳多媒体教课工具，经过动向演示有益于惹起学生的学习兴趣，激发学生的学习热忱，增大信息的容量，使内容充分、形象、直观，提升教课效率和教课质量。
高一数学人必修教学课件函数模型的应用实例
三角函数
如y = sin x, y = cos x等，图 像是周期性的波形曲线。
02
一次函数与二次函数应用实例
一次函数在生活中的应用
线性规划问题
经济学中的供需关系
一次函数可以描述资源分配、成本最 小化或收益最大化等问题，通过求解 一次方程组找到最优解。
一次函数可以描述商品的价格与需求 量或供给量之间的线性关系，帮助分 析市场均衡和价格变动。
匀速直线运动
一次函数可以表示匀速直线运动的速 度与时间的关系，通过函数的斜率和 截距求解位移、速度等物理量。
二次函数在物理和工程问题中的应用
抛体运动
二次函数可以描述物体在重力作用下的抛体运动，通过函数的顶点 、对称轴等性质求解最大高度、射程等物理量。
弹簧振子
二次函数可以表示弹簧振子的位移与时间的关系，通过求解函数的 周期、振幅等参数分析振动的特性。
05
复合函数与分段函数应用实例
复合函数在经济学和物理学中的应用
经济学中的应用
复合函数可以描述经济增长、投资回 报等复杂经济现象。例如，利用复合 函数表示复利公式，计算投资在一定 时间内的累计收益。
物理学中的应用
在物理学中，复合函数可以描述物体 的运动轨迹、速度变化等。例如，通 过构建复合函数模型，可以分析物体 在受到不同力作用下的运动状态。
解决问题
通过输入员工的业绩和扣款情况，利用构建的复合函数模型计算出员工 的工资。同时，可以根据需要对模型进行调整和优化，以适应不同场景 下的工资计算需求。
06
总结与展望
函数模型在各领域的应用总结
经济学领域
函数模型在经济学中广泛应用，如供需模型、成本收益模型等，用于 描述和分析市场行为和经济现象。
人教版高中数学必修一3.2.2《函数模型的应用实例》ppt课件
分段函数模型
[例 2] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交 通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米/小时) 是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时．研究表明：当 20≤x≤200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数．
6t，0≤t≤1， 解：(1)依题意得 y＝－23t＋230，1＜t≤10. (2)设第二次服药时在第一次服药后 t1 小时，则－23t1＋230＝4， 解得 t1＝4，因而第二次服药应在 11∶00. 设第三次服药在第一次服药后 t2 小时，则此时血液中含药量应为 前两次服药后的含药量的和，即有－23t2＋230－23(t2－4)＋230＝4， 解得 t2＝9 小时，故第三次服药应在 16∶00.
解：(1)根据题意知，空闲率是mm－x，故 y 关于 x 的函数关系 式是 y＝kx·mm－x，0<x<m. (2)由(1)知，y＝kx·mm－x＝－mk x2＋kx＝－mk x－m2 2＋m4k， 0<x<m.则当 x＝m2 时，ymax＝m4k.所以，鱼群年增长量的最大 值为m4k.
建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明 确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出 函数的解析式．
[活学活用] 某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的计量服用，据 监测：服药后每毫升血液中的含药量 y 与时间 t 之间近似满足如 图所示的曲线．
(1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式； (2)据测定：每毫升血液中含药量不少于 4 μg 时治疗疾病有效， 假若某病人一天中第一次服药为上午 7∶00，问一天中怎样安排 服药时间(共 4 次)效果最佳？
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1．常用到的函数模型 (1)正比例函数模型：y＝kx(k≠0)； (2)反比例函数模型：y＝kx(k≠0)； (3)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)； (4)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (5)指数函数模型：y＝m·ax＋b(a>0 且 a≠1，m≠0)； (6)对数函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0 且 a≠1)； (7)幂函数模型：y＝k·xn＋b(k≠0)．
人口数，r表示人口的年平均增长率． 下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与 时间t h的函数解析式，并作出相应的图象．
解：(2)根据图形可得：
50t2004 0t1
S
80(t 1)20541t 2 90(t2)21342t3
75(t3)22243t4
65(t4)22994t5
v
90 80 70 60 50 40 30 20 10
（2）如果按上表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口 达到13亿？
函数模型应用实例
例4 人口问题是当今世界各国普遍关心的问题．认识人口 数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在 1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口
增长模型： y＝y0ert 其中t表示经过的时间，y0 表示 t＝0时的
大家首先来看一个例子
邮局规定，邮寄包裹，在5千克内每千克5元， 超过5千克的超出部分按每千克3元收费，邮费与邮寄包 裹重量的函数关系式为____．
5x (x5) f（x）＝ 253(x5) (x＞ 5)
从中可以知道，函数与现实世界有着紧密的联系， 有着广泛应用的，那么我们能否通过更多的实例来感 受它们的应用呢？若能的话，那么如何在实际问题中 建立函数模型呢？
1 2 3 4 5t
函数模型应用实例
例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示： （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为
2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与 时间t h的函数解析式，并作出相应的图象．
函数模型应用实例
例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示： （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为
2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与 时间t h的函数解析式，并作出相应的图象．
v
解：(1)阴影部分的面积为
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期 的人口增长率（精确到0．0001），用马尔萨斯人口增长模 型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模 型与实际人口数据是否相符；
函数模型应用实例
例4 人口问题是当今世界各国普遍关心的问题．认识人口 数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在 1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口
增长模型： y＝y0ert 其中t表示经过的时间，y0 表示 t＝0时的
人口数，r表示人口的年平均增长率．
函数模型应用实例
90
80
5 1 0 8 1 0 9 1 0 7 1 5 6 1 5 36 70 0 60
50
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行
40 30
驶的路程为360km．
20
10
1 2 3 4 5t
函数模型应用实例
例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示： （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为
解：设1950 ～1959年的人口增长率分别为r1，r1，…r9． 经计算得我国人口在这几年得平均增长率为：
r＝（r1＋r1＋…r9 ）÷9≈0.0221．
令y0＝55196，则我国在1950 ～1959年期间的人口增长模
型为：
y551 e0.0 92t6 2 ,t1 N.
解：(2)根据图形可得：
50t2004 0t1
80(t1)20541t2
S
90(t2)21342t3
75(t 3)22243t 4
65(t4)22994t5
从这个练习我们看到，在解决实际问题的过程 中，图象函数是能够发挥很大的作用，因此，我们 应当注意提高读图的能力。另外，在本题中我们用 到了分段函数，由此我们也知道，分段函数也是刻 画现实问题的重要模型。大家在运用分段函数的时 候要注意它的定义域。那么应该如何解函数的应 用问题呢？
例4 人口问题是当今世界各国普遍关心的问题．认识人口 数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在 1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口
增长模型： y＝y0ert 其中t表示经过的时间，y0 表示 t＝0时的
人口数，r表示人口的年平均增长率． 下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
3．2.2 函数模型的应用实例
目标要求
1.进一步感受函数与现实世界的联系，强化 用数学解决实际问题的意识．
2．进一步尝试用函数描述实际问题，通过研 究函数的性质解决实际问题．
3．了解数学建模的过程.
热点提示
学习本节时要通过具体实例，感悟如何在实 际问题中建立函数模型，并通过一定的练习， 掌握在实际问题中建立函数模型的步骤．由 于熟练掌握常用函数，是在实际问题中建立 函数模型的前提，因此在学习本节内容之前， 应回顾一下常见函数图象、性质、变化规律， 达到准确把握它们的特性.