广东省七校联合体2016届高三第一次联考理科数学试题 Word含答案
2016年广州市高三一模考试参考答案及评分(理科数学)
理科数学试题答案 第1页（共17页）绝密 ★ 启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一．选择题（1）D （2）D （3）C （4）B （5）C （6）A （7）A （8）A（9）D（10）B（11）A（12）B二．填空题（13）43（14（15）40- （16）2三．解答题（17）(Ⅰ) 解法一： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =．在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =， 所以cos CD CDB BD ∠=52x=．………………………………………………………2分 在△ACD 中，因为AD x =，5CD =，AC =由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD +-∠==⨯⨯ ………4分因为CDB ADC ∠+∠=π， 所以cos cos ADC CDB ∠=-∠，52x=-．………………………………………………………5分 解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分理科数学试题答案 第2页（共17页）解法二： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =． 在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，所以BC =所以cos BC CBD BD ∠==2分 在△ABC 中，因为3AB x =，BCAC =由余弦定理得2222cos 2AB BC AC CBA AB BC +-∠==⨯⨯．…………4分=2………………………………………………5分 解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分 （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC=．………………8分所以cos 2BC CBD BD ∠==1sin 2CBD ∠=．…………………………10分 所以1sin 2ABC S AB BC CBA ∆=⨯⨯⨯∠111522=⨯⨯=12分 解法二：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC ==．………………8分因为AC =ABC 为等腰三角形．因为cos BC CBD BD ∠==所以30CBD ∠=．……………………………10分 所以△ABC 底边AB上的高12h BC == 所以12ABC S AB h ∆=⨯⨯1152=⨯=12分理科数学试题答案 第3页（共17页）解法三：因为AD 的长为5， 所以51cos ==22CD CDB BD x ∠=，解得3CDB π∠=．……………………………8分所以12sin 23ADC S AD CD ∆π=⨯⨯⨯=．1sin 232BCD S BD CD ∆π=⨯⨯⨯=．……………………………………10分所以ABC ADC BCD S S S ∆∆∆=+=……………………………………………12分（18）解：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．…………………………1分 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，………………3分 解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05．………………………………………………4分 （Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（Ⅰ）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+，将频率视为概率得0.6p =．………………………………………………………5分 因为X 的所有可能取值为0，1，2，3，…………………………………………6分且0033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，1123(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=， 2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，3303(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．所以X所以X 的数学期望为00.06410.28820.43230.216 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． （或直接根据二项分布的均值公式得到30.6 1.8EX np ==⨯=）……………12分………………………10分理科数学试题答案 第4页（共17页）（19）（Ⅰ）证明：因为1AO ⊥BD ⊂平面ABCD ，所以1AO BD ⊥因为ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥因为1AO CO O = ，所以BD ⊥平面1A CO 因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面11BB D D ⊥平面1ACO ．…………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：因为1AO ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB ，OC ，1OA方 向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．………………………5分 因为12AB AA ==，60BAD ∠=， 所以1OB OD ==，OA OC ==11OA ==．………………6分则()1,0,0B ，()C ，()0,A ，()10,0,1A ，所以()11BB AA ==设平面1OBB 的法向量为n 因为()1,0,0OB = ，1OB =所以0,0.x x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩令1=y ，得(0,1,=n 同理可求得平面1OCB 的法向量为()1,0,1=-m ．………………………………10分 所以cos ,<>==n m ．…………………………………………………11分理科数学试题答案 第5页（共17页）因为二面角1B OB C --的平面角为钝角，所以二面角1B OB C --的余弦值为412分解法二：由（Ⅰ）知平面连接11AC 与11B D 交于点连接1CO ，1OO ，因为11AA CC =，1//AA 所以11CAAC 因为O ，1O 分别是AC ，11所以11OAO C 为平行四边形．且111OC OA ==． 因为平面1ACO 平面11BB D D 1OO =， 过点C 作1CH OO ⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ．过点H 作1HK OB ⊥于K ，连接CK ，则1CK OB ⊥．所以CKH ∠是二面角1B OB C --的平面角的补角．……………………………6分 在1Rt OCO ∆中，11122O C OC CH OO ⨯===．………………………………7分在1OCB ∆中，因为1AO ⊥11A B ，所以1OB ==因为11A B CD =，11//A B CD ， 所以11B C A D ==因为22211B C OC OB +=，所以1OCB ∆为直角三角形．……………………………8分 所以11CB OC CK OB ===⨯9分所以KH ==．…………………………………………………10分理科数学试题答案 第6页（共17页）所以cos 4KH CKH CK∠==．……………………………………………………11分所以二面角1B OB C --的余弦值为4-．……………………………………12分（20）（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．……………………………1分 设椭圆的右焦点为()220F ，，已知点(2B 在椭圆C 上， 由椭圆的定义知122BF BF a +=，所以2a ==………………………………………………………2分所以a =2b =．………………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分 解法二：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． ①…………………1分因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b +=． ②…………………2分由①②解得，a =2b =．…………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．…………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =0y =理科数学试题答案 第7页（共17页）所以直线AE的方程为y x =+．……………………………6分因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令0x =得y =M ⎛ ⎝．……………………7分同理可得点N ⎛⎫ ⎝．…………………………………………………8分所以MN ==9分设MN的中点为P ，则点P 的坐标为0,P k ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． (10)分 则以MN 为直径的圆的方程为22x y k ⎛++=⎝⎭2， 即224x y y k++=．…………………………………………………………11分 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分 解法二：因为椭圆C 的左端点为A ，则点A 的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点00(,)E x y ，则点00(,)F x y --．所以直线AE的方程为y x =+．………………………………6分 因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =，即点M ⎛⎫⎝．……………………………7分同理可得点N ⎛⎫⎝．……………………………………………………8分理科数学试题答案 第8页（共17页）所以020168yMN x ==-．因为点00(,)E x y 在椭圆C 上，所以2200184x y +=．所以08MN y =．……………………………………………………………………9分 设MN 的中点为P ，则点P的坐标为000,P y ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭．………………………10分 则以MN为直径的圆的方程为2200x y y ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭2016y ．即220+x y y y +=4．………………………………………………………11分 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分 解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点(),2sin E θθ（0θ<<π），则点(),2sin F θθ--． 所以直线AE的方程为y x =+．………………………6分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得2sin cos 1y θθ=+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫⎪+⎝⎭．………………………………7分 同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫⎪-⎝⎭．………………………………………………………8分 所以2sin 2sin 4cos 1cos 1sin MN θθθθθ=-=+-．………………………………………9分理科数学试题答案 第9页（共17页）设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为2cos 0,sin P θθ⎛⎫-⎪⎝⎭．………………………10分 则以MN 为直径的圆的方程为222cos sin x y θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭24sin θ， 即224cos 4sin x y y θθ++=．………………………………………………………11分 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分（21）（Ⅰ）解：因为+3()e x m f x x =-，所以+2()e 3x m f x x '=-.……………………………………………………………1分 因为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，所以()0e 1mf '==，解得0m =.…………………………………………………2分（Ⅱ）证法一：因为+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++，所以()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x mx -+->．当1m ≥时，()()+1e ln 12e ln 12x mx x x +-+-≥-+-．要证()+eln 120x mx -+->，只需证明1e ln(1)20x x +-+->.………………4分以下给出三种思路证明1e ln(1)20x x +-+->． 思路1：设()()1eln 12x h x x +=-+-，则()11e 1x h x x +'=-+. 设()11e 1x p x x +=-+，则()()121e 01x p x x +'=+>+． 所以函数()p x =()11e 1x h x x +'=-+在()1+-∞，上单调递增．…………………6分 因为121e 202h ⎛⎫'-=-< ⎪⎝⎭，()0e 10h '=->，所以函数()11e1x h x x +'=-+在()1+-∞，上有唯一零点0x ，且01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.理科数学试题答案 第10页（共17页）………………………………8分 因为()00h x '=，所以0+101e1x x =+，即()()00ln 11x x +=-+.………………9分 当()01,x x ∈-时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x .………………………………………10分 所以()()()0100=e ln 12x h x h x x +≥-+-()0011201x x =++->+. 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分 思路2：先证明1e 2x x +≥+()x ∈R ．……………………………………………5分设()1e2x h x x +=--，则()+1e 1x h x '=-．因为当1x <-时，()0h x '<，当1x >-时，()0h x '>，所以当1x <-时，函数()h x 单调递减，当1x >-时，函数()h x 单调递增． 所以()()10h x h ≥-=． 所以1e2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………………………………7分所以要证明1e ln(1)20x x +-+->，只需证明()2ln(1)20x x +-+->．………………………………………………8分 下面证明()ln 10x x -+≥．设()()ln 1p x x x =-+，则()1111xp x x x '=-=++． 当10x -<<时，()0p x '<，当0x >时，()0p x '>，所以当10x -<<时，函数()p x 单调递减，当0x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()00p x p ≥=．所以()ln 10x x -+≥（当且仅当0x =时取等号）．……………………………10分 由于取等号的条件不同，理科数学试题答案 第11页（共17页）所以1e ln(1)20x x +-+->．综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分 （若考生先放缩()ln 1x +，或e x、()ln 1x +同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明1e ln(1)20x x +-+->．令1t x =+，转化为证明e ln 2tt ->()0t >．……………………………………5分因为曲线e t y =与曲线ln y t =关于直线y t =对称，设直线0x x =()00x >与曲线e t y =、ln y t =分别交于点A 、B ，点A 、B 到直线y t =的距离分别为1d 、2d ，则)12AB d d =+．其中01x d =，2d ()00x >．①设()000e x h x x =-()00x >，则()00e 1x h x '=-． 因为00x >，所以()00e 10x h x '=->．所以()0h x 在()0,+∞上单调递增，则()()001h x h >=．所以01x d =>． ②设()000ln p x x x =-()00x >，则()0000111x p x x x -'=-=． 因为当001x <<时，()00p x '<；当01x >时，()00p x '>， 所以当001x <<时，函数()000ln p x x x =-单调递减；当01x >时，函数()000ln p x x x =-单调递增． 所以()()011p x p ≥=．所以2d =≥．所以)122AB d d ≥+>=⎭．理科数学试题答案 第12页（共17页）综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-.……………………………………12分 证法二：因为+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++，所以()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x m x -+->．…………………………4分 以下给出两种思路证明()+e ln 120x m x -+->． 思路1：设()()+e ln 12x m h x x =-+-，则()+1e 1x mh x x '=-+. 设()+1e1x mp x x =-+，则()()+21e 01x m p x x '=+>+． 所以函数()p x =()+1e 1x mh x x '=-+在()+∞-1，上单调递增．………………6分 因为1m ≥， 所以()()1e+1e 1ee e e e 10mmmmm m h ----+-+'-+=-=-<，()0e 10m h '=->.所以函数()+1e1x mh x x '=-+在()+∞-1，上有唯一零点0x ，且()01e ,0m x -∈-+. …………………8分 因为()00h x '=，所以0+01e1x mx =+，即()00ln 1x x m +=--．………………9分 当()00,x x ∈时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>.所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x ．……………………………………10分 所以()()()0+00e ln 12x mh x h x x ≥=-+-00121x m x =++-+ ()0011301x m x =+++->+． 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-．……………………………………12分 思路2：先证明e 1()xx x ≥+∈R ，且ln(1)(1)x x x +≤>-．…………………5分 设()e 1xF x x =--，则()e 1x F x '=-．因为当0x <时，()0F x '<；当0x >时，()0F x '>，理科数学试题答案 第13页（共17页）所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 所以当0x =时，()F x 取得最小值(0)0F =．所以()(0)0F x F ≥=，即e 1()x x x ≥+∈R ．…………………………………7分 所以ln(1)x x +≤（当且仅当0x =时取等号）．…………………………………8分 再证明()+e ln 120x m x -+->． 由e 1()x x x ≥+∈R ，得1e 2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………9分 因为1x >-，1m ≥，且1e 2x x +≥+与ln(1)x x +≤不同时取等号，所以 ()()+11eln 12e e ln 12x mm x x x -+-+-=⋅-+-11e (2)2(e 1)(2)0m m x x x -->+--=-+≥．综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-．……………………………………12分（22）（Ⅰ）证明：因为AD 是⊙O 的切线，所以DAC B ∠=∠（弦切角定理）． (1)因为DE CA ，所以DAC EDA ∠=∠．……………………………2所以EDA B ∠=∠．因为AED DEB ∠=∠（公共角），所以△AED ∽△DEB ．……………………………………………………………3分 所以DE AE BEDE=．即2DE AE BE = ．…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）解：因为EF 是⊙O 的切线，EAB 是⊙O 的割线，所以2EF EA EB = （切割线定理）．……………………………………………5分 因为4EF =，2EA =，所以8EB =，6AB EB EA =-=．…………………7分理科数学试题答案 第14页（共17页）由（Ⅰ）知2DE AE BE = ，所以4DE =．………………………………………8分 因为DE CA ，所以△BAC ∽△BED ． ………………………………………9分 所以BA ACBEED =．所以6438BA EDAC BE⋅⨯===． …………………………………………………10分（23）（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=．…………………………………………………………………1分 因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，…………………………………………………2分所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）． …………4分（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l的普通方程为5y =+． ……………………………………5分因为曲线C ：()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，设点()00,D x y ，且点D 到直线l：5y =+的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l：5y =+平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-，即(0011y x -⨯=-．………………7分 因为()220011x y +-=，解得0x =或0x = 所以点D的坐标为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………9分 由于点D到直线5y =+的距离最短，理科数学试题答案 第15页（共17页）所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………………………10分 解法二：因为直线l的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l50y +-=．……………………………………5分因为曲线C ()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π．………7分 所以点D 到直线l的距离为d =2sin 3ϕπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．………………………………8分 因为[)0,2ϕ∈π，所以当6ϕπ=时，min 1d =．…………………………………9分 此时D 32⎫⎪⎪⎝⎭，，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………10分（24）（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥等价于112x x +-≥．……………………1分 ①当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解；②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤<；③当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥，解得0x ≥．…………………………3分综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．………………………………4分 （Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．…………………5分以下给出两种思路求()f x 的最大值.思路1：因为()f x x x =+ ()01a ≤≤，当x ≤()f x x x =-=0<．理科数学试题答案 第16页（共17页）当x <时，()f x x x =2x =£+=当x ≥()f x x x ==所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分思路2：因为 ()f x x x =-x x ≤+==当且仅当x ≥ 所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，所以max b >．………………………………………………………8分以下给出三种思路求()g a =.思路1：令()g a = 所以()21ga =+2212≤++=．=12a =时等号成立． 所以()max g a =⎡⎤⎣⎦所以b的取值范围为)+∞．…………………………………………………10分思路2：令()g a =因为01a ≤≤，所以可设2cos a θ= 02θπ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭， 则()g a=cos sin 4θθθπ⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭理科数学试题答案 第17页（共17页）当且仅当4θπ=时等号成立． 所以b的取值范围为)+∞．…………………………………………………10分思路3：令()g a =因为01a ≤≤，设x y ìï=ïíï=ïî则221x y +=()01,01x y ＃＃．问题转化为在221x y +=()01,01x y ＃＃的条件下，求z x y =+的最大值．利用数形结合的方法容易求得z此时2x y ==．所以b的取值范围为)+∞．…………………………………………………10分。
2016届高三年级第一次综合诊断考试理数答案
2016届高三年级第一次综合诊断考试理数答案一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分,满分60分.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A B D B C A BDAC二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,满分20分.)13. 35 14.2211612x y += 15. 1(0,)216. 2015 三、解答题(本大题共6小题，满分70分.) 17、【解】 （Ⅰ）.1)6sin(22)cos(12)sin(3)(m x m x x x f +-+=+-⋅-=πωωω依题意函数.32,32,3)(==ωπωππ解得即的最小正周期为x f 所以.1)632sin(2)(m x x f +-+=π分所以依题意的最小值为所以时当6.1)632sin(2)(.0,.)(,1)632sin(21,656326,],0[ -π+==≤π+≤π≤π+≤ππ∈x x f m m x f x x x （Ⅱ）.1)632sin(,11)632sin(2)(=+∴=-+=ππC C C f 22252,..863663622,,2sin cos cos(),2152cos sin sin 0,sin .102510sin 1,sin .122Rt C C C ABC A B B B A C A A A A A A πππππππ<+<+==∆+==+--±∴--==-<<∴= 而所以解得分在中解得分分18、∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB∴EF AE ⊥，EF BE ⊥ 又A E E B ⊥∴,,EB EF EA 两两垂直以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为轴 建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0），C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2），G （2，2，0）∴(2,2,0)EG = ，(2,2,2)BD =-,,x y z∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=∴B D E G ⊥-----------------6分()2由已知得(2,0,0)EB = 是平面DEF 的法向量,设平面DEG 的法向量为(,,)n x y z =∵(0,2,2),(2,2,0)ED EG ==∴00ED n EG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00y z x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =,得(1,1,1)n =- 设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ则||23cos |cos ,|3||||23n EB n EB n EB θ=<>===∴平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为33----------------12分 19．(本题满分12分) 解：（1）众数：8.6； 中位数：8.75 ；……………2分（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则140121)()()(3162121431631210=+=+=C C C C C A P A P A P ； …………6分（3）ξ的可能取值为0，1，2，3.6427)43()0(3===ξP ；6427)43(41)1(213===C P ξ； 64943)41()2(223===C P ξ；641)41()3(3===ξP ………………10分 所以ξ的分布列为：ξE 27279101230.7564646464=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分另解：ξ的可能取值为0，1，2，3.则1~(3,)4B ξ，3313()()()44k k kP k C ξ-==.所以ξE =75.0413=⨯． 20.(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）∵错误！未找到引用源。
广东省广州市2016届高三普通高中毕业班综合测试(一)数学(理)试题
绝密 ★ 启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-≤，则AB =（A ）{}11x x -≤≤ （B ）{}01x x ≤≤ （C ）{}01x x <≤ （D ）{}01x x ≤< （2）已知复数3i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 （4）如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为（A ）3 （B ）6 （C ）12（D ）24（5）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且271224a a a ++=，则13S =（A ）52 （B ）78 （C ）104 （D ）208 （6）如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=（A ）10n + （B ）20n + （C ）210n + （D）220n +（7）在梯形ABCD 中，A DB C ，已知4AD =，6BC =，若C D m B A n =+(),m n ∈R ，则mn = （A ）3- （B ）13- （C ）13（D ）3（8）设实数x ，y 满足约束条件10,10,1x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩， 则()222x y ++的取值范围是（A ）1,172⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]1,17 （C）⎡⎣ （D）⎣ （9）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（A ）20π （B（C ）5π （D）（11）已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-； 3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（11）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（A）8+ （B）8+（C）2+ （D）1224（12）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5 … 2013 2014 2015 20163 5 7 9 ………… 4027 4029 4031 8 12 16 ………………… 8056 8060 20 28 ………………………… 16116 …………………………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（A ）201520172⨯ （B ）201420172⨯ （C ）201520162⨯ （D ）201420162⨯第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，…，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1，2，3，…，6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是 ．（14）已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，且0BA BF =，则双曲线C 的离心率为 ．（15）()422x x --的展开式中，3x 的系数为 ． （用数字填写答案） （16）已知函数()211,1,42,1x x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()()22xg x f x =-的零点个数为个．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =5CD =,2BD AD =.（Ⅰ）求AD 的长； （Ⅱ）求△ABC 的面积．（18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产 品中质量指标值位于区间[)45,75内的产 品件数为X ，求X 的分布列与数学期望．（19）（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，AC BD O =，1AO ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ；（Ⅱ）若60BAD ∠=，求二面角1B OB -（20）（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．（21）（本小题满分12分）已知函数+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 与⊙O 相切于点A ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作DECA 交BA 的延长线于点E ．（Ⅰ）求证：2DE AE BE =；（Ⅱ）若直线EF 与⊙O 相切于点F ，且4EF =，2EA =，求线段AC 的长．（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最短，并求出点D 的直角坐标.（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()f x x x =+- （Ⅰ）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集； （Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．绝密 ★ 启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一．选择题（1）D （2）D （3）C （4）B （5）C （6）A （7）A （8）A（9）D（10）B（11）A（12）B二．填空题（13）43（14 （15）40- （16）2三．解答题（17）(Ⅰ) 解法一： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =．在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =， 所以cos CD CDB BD ∠=52x=．………………………………………………………2分在△ACD 中，因为AD x =，5CD =，AC =由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD +-∠==⨯⨯ ………4分 因为CDB ADC ∠+∠=π， 所以cos cos ADC CDB ∠=-∠，52x=-．………………………………………………………5分 解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分解法二： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =． 在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，所以BC =．所以cos BC CBD BD ∠==．……………………………………………2分在△ABC 中，因为3AB x =，BC AC =由余弦定理得2222cos 2AB BC AC CBA AB BC +-∠==⨯⨯．…………4分=25分 解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC ==．………………8分所以cos 2BC CBD BD ∠==1sin 2CBD ∠=．…………………………10分 所以1sin 2ABC S AB BC CBA ∆=⨯⨯⨯∠111522=⨯⨯=12分解法二：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC =．………………8分因为AC =ABC 为等腰三角形．因为cos BC CBD BD ∠==30CBD ∠=．……………………………10分所以△ABC 底边AB 上的高12h BC == 所以12ABC S AB h ∆=⨯⨯1152=⨯=12分解法三：因为AD 的长为5， 所以51cos ==22CD CDB BD x ∠=，解得3CDB π∠=．……………………………8分所以12sin 234ADC S AD CD ∆π=⨯⨯⨯=．1sin 232BCD S BD CD ∆π=⨯⨯⨯=．……………………………………10分所以ABC ADC BCD S S S ∆∆∆=+=12分（18）解：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．…………………………1分 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，………………3分 解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05．………………………………………………4分 （Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（Ⅰ）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+，将频率视为概率得0.6p =．………………………………………………………5分 因为X 的所有可能取值为0，1，2，3，…………………………………………6分且0033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，1123(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=， 2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，3303(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．所以X 的分布列为：X 0 1 2 3P0.064 0.288 0.432 0.216所以X 的数学期望为00.06410.28820.43230.216 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． （或直接根据二项分布的均值公式得到30.6 1.8EX np ==⨯=）……………12分………………………10分（19）（Ⅰ）证明：因为1AO ⊥BD ⊂平面ABCD ，所以1AO BD ⊥因为ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥因为1AO CO O =，所以BD ⊥平面1ACO 因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面11BB D D ⊥平面1ACO ．…………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：因为1AO ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 方 向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．………………………5分 因为12AB AA ==，60BAD ∠=， 所以1OB OD ==，OA OC =11OA ==．………………6分则()1,0,0B ，()C ，()0,A ，()10,0,1A ，所以()11BB AA ==设平面1OBB 的法向量为n 因为()1,0,0OB =，1OB =所以0,0.x x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩令1=y ，得(0,1,=n 同理可求得平面1OCB 的法向量为()1,0,1=-m ．………………………………10分 所以cos ,<>==n m 11分 因为二面角1B OB C --的平面角为钝角，所以二面角1B OB C --的余弦值为4-．……………………………………12分解法二：由（Ⅰ）知平面连接11AC 与11B D 交于点连接1CO ，1OO ，因为11AA CC =，1//AA 所以11CAAC 因为O ，1O 分别是AC ，11所以11OAO C 为平行四边形．且111OC OA ==． 因为平面1ACO 平面11BB D D 1OO =，过点C 作1CH OO ⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ．过点H 作1HK OB ⊥于K ，连接CK ，则1CK OB ⊥．所以CKH ∠是二面角1B OB C --的平面角的补角．……………………………6分 在1Rt OCO ∆中，11122O C OC CH OO ⨯===．………………………………7分在1OCB ∆中，因为1AO ⊥11A B ，所以1OB ==因为11A B CD =，11//A B CD ， 所以11B C A D ===．因为22211B C OC OB +=，所以1OCB ∆为直角三角形．……………………………8分 所以11CB OC CK OB ===⨯9分所以KH ==．…………………………………………………10分所以cos 4KH CKH CK∠==．……………………………………………………11分所以二面角1B OB C --的余弦值为4-．……………………………………12分（20）（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．……………………………1分 设椭圆的右焦点为()220F ，，已知点(2B 在椭圆C 上， 由椭圆的定义知122BF BF a +=，所以2a ==．………………………………………………………2分所以a =2b =．………………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分 解法二：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． ①…………………1分因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b+=． ②…………………2分由①②解得，a =2b =．…………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．…………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =，则0y =．所以直线AE的方程为y x =+．……………………………6分因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令0x =得y =M ⎛ ⎝．……………………7分同理可得点N ⎛ ⎝．…………………………………………………8分所以MN ==．…………………9分设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为0,P k ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．…………………………10分则以MN 为直径的圆的方程为22x y ⎛+= ⎝⎭2， 即224x y y k++=．…………………………………………………………11分 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分 解法二：因为椭圆C的左端点为A ，则点A 的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点00(,)E x y ，则点00(,)F x y --．所以直线AE的方程为y x =+．………………………………6分 因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =，即点M ⎛⎫⎝．……………………………7分同理可得点N ⎛⎫⎝．……………………………………………………8分所以020168y MN x =-=-．因为点00(,)E x y 在椭圆C 上，所以2200184x y +=． 所以08MN y =．……………………………………………………………………9分 设MN 的中点为P ，则点P的坐标为000,P y ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭．………………………10分 则以MN为直径的圆的方程为2200x y y ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭2016y ．即220+x y y y +=4．………………………………………………………11分 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分 解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点(),2sin E θθ（0θ<<π），则点(),2sin F θθ--． 所以直线AE的方程为y x =+．………………………6分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得2sin cos 1y θθ=+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫⎪+⎝⎭．………………………………7分同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫⎪-⎝⎭．………………………………………………………8分所以2sin 2sin 4cos 1cos 1sin MN θθθθθ=-=+-．………………………………………9分 设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为2cos 0,sin P θθ⎛⎫-⎪⎝⎭．………………………10分 则以MN 为直径的圆的方程为222cos sin x y θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭24sin θ，即224cos 4sin x y y θθ++=．………………………………………………………11分 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分（21）（Ⅰ）解：因为+3()e x m f x x =-，所以+2()e 3x m f x x '=-.……………………………………………………………1分 因为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，所以()0e 1mf '==，解得0m =.…………………………………………………2分（Ⅱ）证法一：因为+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++，所以()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x mx -+->．当1m ≥时，()()+1e ln 12e ln 12x mx x x +-+-≥-+-．要证()+eln 120x mx -+->，只需证明1e ln(1)20x x +-+->.………………4分以下给出三种思路证明1e ln(1)20x x +-+->． 思路1：设()()1eln 12x h x x +=-+-，则()11e 1x h x x +'=-+. 设()11e 1x p x x +=-+，则()()121e 01x p x x +'=+>+． 所以函数()p x =()11e 1x h x x +'=-+在()1+-∞，上单调递增．…………………6分 因为121e 202h ⎛⎫'-=-< ⎪⎝⎭，()0e 10h '=->，所以函数()11e1x h x x +'=-+在()1+-∞，上有唯一零点0x ，且01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. ………………………………8分 因为()00h x '=，所以0+101e1x x =+，即()()00ln 11x x +=-+.………………9分 当()01,x x ∈-时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x .………………………………………10分 所以()()()0100=e ln 12x h x h x x +≥-+-()0011201x x =++->+. 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分 思路2：先证明1e2x x +≥+()x ∈R ．……………………………………………5分设()1e 2x h x x +=--，则()+1e 1x h x '=-．因为当1x <-时，()0h x '<，当1x >-时，()0h x '>，所以当1x <-时，函数()h x 单调递减，当1x >-时，函数()h x 单调递增． 所以()()10h x h ≥-=． 所以1e2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………………………………7分所以要证明1e ln(1)20x x +-+->，只需证明()2ln(1)20x x +-+->．………………………………………………8分 下面证明()ln 10x x -+≥．设()()ln 1p x x x =-+，则()1111xp x x x '=-=++． 当10x -<<时，()0p x '<，当0x >时，()0p x '>，所以当10x -<<时，函数()p x 单调递减，当0x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()00p x p ≥=．所以()ln 10x x -+≥（当且仅当0x =时取等号）．……………………………10分 由于取等号的条件不同， 所以1eln(1)20x x +-+->．综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分 （若考生先放缩()ln 1x +，或e x、()ln 1x +同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明1eln(1)20x x +-+->．令1t x =+，转化为证明e ln 2tt ->()0t >．……………………………………5分因为曲线e t y =与曲线ln y t =关于直线y t =对称，设直线0x x =()00x >与曲线e t y =、ln y t =分别交于点A 、B ，点A 、B 到直线y t =的距离分别为1d 、2d ，则)12AB d d =+．其中01x d =，2d ()00x >．①设()000e x h x x =-()00x >，则()00e 1x h x '=-． 因为00x >，所以()00e 10x h x '=->．所以()0h x 在()0,+∞上单调递增，则()()001h x h >=．所以01x d =>． ②设()000ln p x x x =-()00x >，则()0000111x p x x x -'=-=． 因为当001x <<时，()00p x '<；当01x >时，()00p x '>， 所以当001x <<时，函数()000ln p x x x =-单调递减；当01x >时，函数()000ln p x x x =-单调递增． 所以()()011p x p ≥=．所以2d ≥．所以)122AB d d ≥+>=⎭． 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-.……………………………………12分 证法二：因为+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++，所以()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x mx -+->．…………………………4分以下给出两种思路证明()+eln 120x mx -+->．思路1：设()()+e ln 12x m h x x =-+-，则()+1e 1x mh x x '=-+. 设()+1e1x mp x x =-+，则()()+21e 01x m p x x '=+>+． 所以函数()p x =()+1e 1x mh x x '=-+在()+∞-1，上单调递增．………………6分 因为1m ≥， 所以()()1e+1e 1ee e e e 10mmmmm m h ----+-+'-+=-=-<，()0e 10m h '=->.所以函数()+1e1x mh x x '=-+在()+∞-1，上有唯一零点0x ，且()01e ,0m x -∈-+. …………………8分 因为()00h x '=，所以0+01e1x mx =+，即()00ln 1x x m +=--．………………9分 当()00,x x ∈时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>.所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x ．……………………………………10分 所以()()()0+00e ln 12x mh x h x x ≥=-+-00121x m x =++-+ ()0011301x m x =+++->+． 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-．……………………………………12分 思路2：先证明e 1()xx x ≥+∈R ，且ln(1)(1)x x x +≤>-．…………………5分 设()e 1xF x x =--，则()e 1x F x '=-．因为当0x <时，()0F x '<；当0x >时，()0F x '>， 所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 所以当0x =时，()F x 取得最小值(0)0F =．所以()(0)0F x F ≥=，即e 1()xx x ≥+∈R ．…………………………………7分 所以ln(1)x x +≤（当且仅当0x =时取等号）．…………………………………8分 再证明()+eln 120x mx -+->．由e 1()x x x ≥+∈R ，得1e 2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………9分 因为1x >-，1m ≥，且1e2x x +≥+与ln(1)x x +≤不同时取等号，所以 ()()+11e ln 12e e ln 12x m m x x x -+-+-=⋅-+-11e (2)2(e 1)(2)0m m x x x -->+--=-+≥．综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-．……………………………………12分（22）（Ⅰ）证明：因为AD 是⊙O 的切线，所以DAC B ∠=∠（弦切角定理）． (1)因为DECA ，所以DAC EDA ∠=∠．……………………………2所以EDA B ∠=∠．因为AED D EB ∠=∠（公共角），所以△AED ∽△DEB ．……………………………………………………………3分 所以DE AE BEDE=．即2DE AE BE =．…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）解：因为EF 是⊙O 的切线，EAB 是⊙O 的割线，所以2EF EA EB = （切割线定理）．……………………………………………5分 因为4EF =，2EA =，所以8EB =，6AB EB EA =-=．…………………7分 由（Ⅰ）知2DE AE BE =，所以4DE =．………………………………………8分 因为DE CA ，所以△BAC ∽△BED ． ………………………………………9分所以BA ACBEED =．所以6438BA EDAC BE⋅⨯===． …………………………………………………10分（23）（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=．…………………………………………………………………1分 因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，…………………………………………………2分所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）． …………4分（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l的普通方程为5y =+． ……………………………………5分因为曲线C ：()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，设点()00,D x y ，且点D 到直线l：5y =+的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l：5y =+平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-，即(0011y x -⨯=-．………………7分 因为()220011x y +-=，解得0x =或0x = 所以点D 的坐标为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………9分 由于点D到直线5y =+的距离最短，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………………………10分 解法二：因为直线l的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l50y +-=．……………………………………5分因为曲线C ()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π．………7分 所以点D 到直线l的距离为d =2sin 3ϕπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭．………………………………8分 因为[)0,2ϕ∈π，所以当6ϕπ=时，min 1d =．…………………………………9分 此时D 32⎫⎪⎪⎝⎭，，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………10分（24）（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥等价于112x x +-≥．……………………1分 ①当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解； ②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤<； ③当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥，解得0x ≥．…………………………3分 综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．………………………………4分 （Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．…………………5分以下给出两种思路求()f x 的最大值.思路1：因为()f x x x =+-()01a ≤≤，当x ≤()f x x x =-=0<．当x <时，()f x x x =2x =£=+当x ≥()f x x x =+=所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分思路2：因为 ()f x x x =+-x x ≤++==当且仅当x ≥所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，所以max b >．………………………………………………………8分以下给出三种思路求()g a =. 思路1：令()g a =所以()21g a =+2212≤++=．=12a =时等号成立． 所以()max g a =⎡⎤⎣⎦所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分 思路2：令()g a =因为01a ≤≤，所以可设2cos a θ= 02θπ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭， 则()g a=cos sin 4θθθπ⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭ 当且仅当4θπ=时等号成立． 所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分 思路3：令()g a =因为01a ≤≤，设x y ìï=ïíï=ïî则221x y +=()01,01x y ＃＃． 问题转化为在221x y +=()01,01x y ＃＃的条件下， 求z x y =+的最大值．利用数形结合的方法容易求得z此时x y ==． 所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分。
广州、深圳2016届高三12月联合考试(理数)
广州、深圳2016届高三12月联合考试数 学（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U=R,集合2{|{|7120},A x y B x x x A ===-+≤ 则（U C B ）= A ．（2，3）B ．（2，4）C ．（3，4]D ．（2，4]2．在复平面内，复数（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8=32，则S 10等于( ) A ．18 B ．24 C ．60 D ．90 4．若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“”的（ ）A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为A ．2212128x y -= B ．2212821x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 6．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A ． 向左平移个单位长度 B ． 向右平移个单位长度C ． 向左平移个单位长度D ． 向右平移个单位长度7．在公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3﹣a 72+2a 11=0，数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则log 2（b 6b 8）的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．18．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，复旦大学，中国科技大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数共有( )种． A ．150 B ．180 C ．240 D ．360 9．若等边△ABC 的边长为，平面内一点M 满足，则=( )A ． 2B ．-2C ．32-D ．3210．若x 、y 满足，目标函数z=x ﹣ky 的最大值为9，则实数k 的值是（ ）A ． 2B ．1C ． -2D ．﹣111．已知三边长分别为3、4、5的△ABC 的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点，若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则三棱锥P ﹣ABC 的体积为（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．3012．过曲线C 1：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 1作曲线C 2：x 2+y 2=a 2的切线，设切点为M ，延长F 1M 交曲线C 3：y 2=2px （p ＞0）于点N ，其中曲线C 1与C 3有一个共同的焦点，若|MF 1|=|MN|，则曲线C 1的离心率为( ) A ．B ．﹣1C ．+1D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016届广东省惠州市高三第一次调研考试数学理试卷(带解析)(精)
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2016届广东省惠州市高三第一次调研考试数学理试卷题号一二三总分得分注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、选择题(题型注释1.设集合{}{}1,2,3,4,2,==|-2≤≤∈P Q x x x R ,则P Q 等于( (A {}1,2,0,1,2--(B {}3,4(C {}1(D {}1,22.双曲线22132x y -=的焦距为( (A 32(B 5(C 25(D 453.设1z i =+(i 是虚数单位,则22z z +=((A 1i -- (B 1i + (C 1i -(D 1i -+4.=则中,A c b a ABC ∠===∆,2,3,7( (A O30(B O45(C O60(D O905.在等比数列{}n a 中,若0n a >且3764a a =,则5a 的值为 ( (A 2 (B 4 (C 6 (D 86.函数x x x f 32cos 32sin(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为( (A 32π (B π34(C 3π (D π677.已知流程图如图所示,该程序运行后,为使输出的b 值为16,则循环体的判断框内①试卷第2页,总7页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………处应填 ((A 3?a >(B 3?a ≥(C 3?a ≤(D 3?a <8.向量2 , 1( -=a 、3 , 1( =b ,下列结论中,正确的是( (A // b a (B b a ⊥(C //( b a a -(D ( b a a -⊥9.如图是一个四棱锥的三视图,则该几何体的体积为((A 403(B 323(C 163(D 28310.已知函数⎩⎨⎧>-≤=1,1(log 1,2(3x x x x f x ,且1(0=x f ,则=0x ((A 0 (B 4 (C 0或4 (D 1或311.过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于11(,A x y 、22(,B x y 两点,如果126x x +=,那么AB = ((A 6(B 8(C 9(D 10……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………12.对函数(f x ,在使M x f ≥(成立的所有常数M 中,我们把M 的最大值叫做函数(x f 的下确界.现已知定义在R 上的偶函数(x f 满足(1(1f x f x -=+,当]1,0[∈x 时,23(2+-=x x f ,则(x f 的下确界为 ((A 2(B 1(C 0(D 1-第II 卷(非选择题请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题(题型注释13.若3sin(25πα+=,则cos 2α=.14.方程20([0,1]x x n n ++=∈有实根的概率为 .15.已知点(,P x y 的坐标满足条件4,,1,x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩点O 为坐标原点,那么OP 的最大值等于.16.已知函数(1xf x ax e =+-(a R ∈,e 为自然对数的底数,若函数(f x 在点(1,(1f 处的切线平行于x 轴,则a =.评卷人得分三、解答题(题型注释17.(本小题满分12分已知{}n a 为等差数列,且满足13248,12a a a a +=+=. (I 求数列{}n a 的通项公式; (II 记{}n a 的前n 项和为n S ,若31,,k k a a S +成等比数列,求正整数k 的值.试卷第4页,总7页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………18.(本小题满分12分某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是85.(I 计算甲班7位学生成绩的方差2s ;(II 从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲班至少有一名学生的概率. 参考公式:方差(((2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦,其中12nx x x x n +++= .19.(本小题满分12分如图,矩形ABCD 中,对角线BD AC 、的交点为AD G ,⊥平面,ABE F BC EB AE EB AE ,,2===⊥为CE 上的点,且CE BF ⊥. (I 求证:AE ⊥平面BCE ; (II 求三棱锥GBF C -的体积.……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………20.(本小题满分12分在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在x 轴上,半径为4的圆C 位于y 轴右侧,且与y 轴相切. (I 求圆C 的方程;(II 若椭圆222125x y b +=的离心率为45,且左右焦点为12,F F.试探究在圆C 上是否存在点P ,使得12PF F ∆为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标.21.(本小题满分12分已知函数323((1312f x x a x ax a R =+--+∈,. (I 讨论函数(x f 的单调区间;(II 当3=a 时,若函数(x f 在区间]2,[m 上的最大值为28,求m 的取值范围.○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 22.(本小题满分10分选修4—1:几何证明选讲如图,AB 为⊙O 的直径,直线CD 与⊙O 相切于点E ,AD 垂直CD 于点D ,BC 垂直CD 于点C ,EF 垂直AB 于点F ,连接AE ,BE . 证明:(ⅠFEB CEB ∠=∠;(Ⅱ2EF AD BC =⋅.23.(本小题满分10分选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线1C 的参数方程为1(2x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数,以该直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,圆2C 的方程为θθρsin 32cos 2+-=.(Ⅰ求直线1C 的普通方程和圆2C 的圆心的极坐标;(Ⅱ设直线1C 和圆2C 的交点为A 、B ,求弦AB 的长.○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:______ __ ___ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 24.(本小题满分10分选修4—5:不等式选讲已知1m >,且关于x 的不等式|2|1m x --≥的解集为[0,4]. (Ⅰ求m 的值; (Ⅱ若a ,b 均为正实数,且满足a b m +=,求22a b +的最小值.参考答案1.D试题分析: 【解析】由题意{}1,2P Q = ,故选D.考点:集合的运算.2.C【解析】试题分析:由双曲线定义易知25c =,故选C.考点:双曲线和几何性质.3.B【解析】试题分析:由复数计算得22121z i i i z+=-+=+,故选B . 考点:复数的运算.4.C【解析】试题分析:由余弦定理直接得2229471cos 22322b c a A bc +-+-===⨯⨯,且(0,A π∈,得60A =︒,故选C.考点:余弦定理.5.D【解析】试题分析:由等比数列性质可知,237564a a a ==,又因为0n a >,所以58a =,故选D. 考点:等比数列的性质.6.A【解析】试题分析:函数解析式化简得2(2sin(34f x x π=+,函数的周期为2323T ππ==,由正弦函数图像可知相邻的两条对称轴间距离为半个周期,则322T π=,故选A . 考点:1.两角和的正弦公式;2.三角函数的与性质.7.C【解析】试题分析: b 的值由2,4,16变化,a 也由1,2,3递变,由题意易知选C.考点:程序框图.8.D【解析】试题分析:由( 2,1a b -=-- ,则易得: ( 0a a b -= ,故选D .考点:向量的坐标运算.9.A【解析】试题分析:由三视图得到其直观图(上图所示,则体积为1140[(144]4323⨯+⨯⨯=,故选A .考点:三视图.10.C【解析】试题分析:当1x ≤时,由00(21x f x ==得00x =;当1x >时,由030(log (11f x x =-=得013x -=,则04x =,且两者都成立,故选C.考点:1.分段函数的表示;2.函数求值.11.B【解析】试题分析:由抛物线方程可知24p =,得2p =;又由抛物线定义可知,点A 到焦点的距离等于其到准线的距离,则12628AB AF BF x x p =+=++=+=,故选B.考点:抛物线的定义及几何性质.12.D【解析】试题分析:由(1(1f x f x -=+及函数为偶函数可知,该函数为以2周期的周期函数,由此可作出函数图象如右图所示,函数(f x 在R 上的部分图象,易得下确界为1-,故选D .考点:1.新定义问题;2.函数的奇偶性;3.函数的对称性与周期性. 13.725 -【解析】试题分析:由3sin(cos 25παα+==,得2237cos 22cos 12(1525αα=-=⨯-=-. 考点:诱导公式及二倍角公式. 14.14【解析】试题分析:方程有实根时,满足140n ∆=-≥,得14n ≤,由几何概型知A P =构成事件的区域测度试验的全部结果所构成的区域测度,得1=4P . 考点:几何概型. 15.10 【解析】试题分析:如图所示,22max ||||1310OP OB ==+=.考点:线性规划. 16.e . 【解析】试题分析:直线平行于x 轴时斜率为0,由(xf x a e '=-得(10k f a e '==-=,得出a e =.考点:导数的几何意义. 17.(Ⅰ2n a n =;(Ⅱ2k =【解析】试题分析:(Ⅰ由基本量法,列出方程组,解之求出首项与公差即可求通项公式;(Ⅱ由等差数列的求和求出前n 项和,由题意列出方程213k k a a S +=解之即可.试题解析:(Ⅰ设数列{}n a 的公差为d ,由题意知112282412a d a d +=⎧⎨+=⎩ 2分解得12,2a d == 4分所以1(122(12n a a n d n n =+-=+-=,得2n a n = 6分 (Ⅱ由(Ⅰ可得21((22(122n n a a n n nS n n n n ++===+=+ 8分∴3236a =⨯=,12(1k a k +=+,2k S k k =+因 31,,k k a a S +成等比数列,所以213k k a a S +=,从而22(226(k k k +=+, 10分即 220k k --=,*k N ∈,解得2k = 或1k =-(舍去∴ 2k = 12分考点:1.等差数列的性质及求和公式;2.等比数列的定义及性质. 18.(I 40;(II710. 【解析】试题分析:(I 求出甲班学生的平均分,由方差公式直接计算即可;(IIa 由成绩可知,两班学生在90分以上的共有5名,其中甲班共有2名,乙班共有3名,列出所有的基本事件找出至少有一名甲班学生的基本事件的个数,由概率公式计算即可. 试题解析:(I ∵甲班学生的平均分是85,∴92968080857978857x +++++++=. 1分∴5x =. 3分则甲班7位学生成绩的方差为2s (((22222221675007117⎡⎤=-+-+-++++⎢⎥⎣⎦40=. 6分 (II 甲班成绩在90分以上的学生有两名,分别记为,A B , 7分乙班成绩在90分以上的学生有三名,分别记为,,C D E . 8分从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况:(((,,,,,,A B A C A D(((((((,,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E .9分其中甲班至少有一名学生共有7种情况:(((,,,,,,A B A C A D ((((,,,,,,,A E B C B D B E . 10分记“甲班至少有一名学生”为事件M ,则(710P M =, 即从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,甲校至少有一名学生的概率为710. 12分考点:统计与概率. 19.(I 见解析;(II13. 【解析】试题分析:(I 先证BC ⊥面ABE ,可得AE BC ⊥,又A E E B ⊥,可证结论成立;(II 先证FG ⊥面BCE ,即说明FG 是三棱锥的高,计算体积即可. 试题解析:(I 证明:AD ⊥面ABE ,//AD BC , BC ∴⊥面ABE ,AE ⊂平面ABE AE BC ∴⊥.4分又 AE EB ⊥,且BC EB B = ,AE ∴⊥面BCE .5分(II ∵在BCE ∆中,2EB BC ==,BF CE ⊥, ∴点F 是EC 的中点,且点G 是AC 的中点, 7分∴//FG AE 且112FG AE ==. 8分 AE ⊥面BCE ,FG ∴⊥面BCE . ∴GF 是三棱锥G BFC -的高9分在Rt BCE ∆中,2EB BC ==,且F 是EC 的中点,1111222BCF BCE S S BE BC ∆∆∴==⋅⋅=.11分1133C BFG G BCF BCF V V S FG --∆∴==⋅=.12分考点:1.直线和平面垂直的判定与性质;2.多面体体积. 20.(I 22(416x y -+=;(Ⅱ存在,有四个这样的点.【解析】试题分析:(I 由圆心到y 轴距离等于半径且圆心在y 轴右侧可求出a 的值,从而求出圆心的方程;(Ⅱ先求出椭圆的焦点坐标12(4,0,(4,0F F -,因为2F 为圆心,所以过2F 作x 轴垂线交圆有两点,符合题意,又过1F 可作圆的两和条切线,有两个切点也符合题意,所以可得在圆上有四个点符合题意.试题解析:(I 依题意,设圆的方程为((22160x a y a -+=>. 1分∵圆与y 轴相切,∴4a =. ∴圆的方程为(22416x y -+=. 4分(Ⅱ∵椭圆222125x y b +=的离心率为45, ∴45c e a ==,且252=a ,得5a =. 5分∴4c =.∴((124,0,4,0F F -.6分∴(24,0F 恰为圆心C . 7分(i 过2F 作x 轴的垂线,交圆12,P P ,则12122190PF F P F F ∠=∠= ,符合题意; 9分(ii 过1F 可作圆的两条切线,分别与圆相切于点34,P P ,连接34,CP CP ,则1321490F P F F P F ∠=∠=,符合题意. 11分综上,圆C 上存在4个点P ,使得12PF F ∆为直角三角形. 12分考点:1.圆的标准方程及性质;2.椭圆的标准方程及几何性质. 21.(I 综上,当1a <-时,(f x 在((12,x x -∞+∞和,内单调递增,(f x 在(12,x x 内单调递减;当1a =-时,(f x 在(,-∞+∞单调递增;当1a >-时,(f x 在((21,x x -∞+∞和,内单调递增,(f x 在(21,x x 内单调递减.(其中121,x x a ==-;(II (,3]-∞-. 【解析】试题分析:(I 求导,求出导数的零点,讨论1与a -的大小与导数的符号写出单调区间即可;(II 当3a =时写出函数的单调区间,确定函数极大值与极小值,可知3m ≤-. 试题解析:(I(((2(=3+3131f x x a x a x x a '--3=-+. 1分令(0f x '=得121,x x a ==-. 2分(i 当1a -=,即1a =-时,(2(=310f x x '-≥,(f x 在(,-∞+∞单调递增. 3分(ii 当1a -<,即1a >-时, 当21x x x x <>或时(0f x '>,(f x 在((21,x x -∞+∞和,内单调递增;当21x x x <<时(0f x '<,(f x 在(21,x x 内单调递减. 4分(iii 当1a ->,即1a <-时, 当12x x x x <>或时(0f x '>,(f x 在((12,x x -∞+∞和,内单调递增; 当12x x x <<时(0f x '<,(f x 在(12,x x 内单调递减. 5分综上,当1a <-时,(f x 在((12,x x -∞+∞和,内单调递增,(f x 在(12,x x 内单调递减;当1a =-时,(f x 在(,-∞+∞单调递增; 当1a >-时,(f x 在((21,x x -∞+∞和,内单调递增,(f x 在(21,x x 内单调递减.(其中1 21,x x a ==- 6分 (II当3a =时,32(391,[,2]f x x x x x m =+-+∈,2(3693(3(1f x x x x x '=+-=+-令(0f x '=,得121,3x x ==-. 7分将x ,(f x ',(f x 变化情况列表如下:x3,(--∞ 3-1,3(-1 ]2,1((f x ' +0 -0 +(f x ↗极大↘极小↗8分由此表可得((328f x f =-=极大,((14f x f ==-极小. 9分又(2328f =<, 10分故区间[,2]m 内必须含有3-,即m 的取值范围是3]-∞-(,. 12分考点:1.导数与函数单调性;2.导数与函数的极值.22.(Ⅰ(Ⅱ均见解析. 【解析】试题分析:(Ⅰ由同弧上的圆周角等于弦切角可得CEB EAB ∠=∠,在直角三角形AEB 可证FEB EAB ∠=∠,从而可证结论成立.(Ⅱ先证Rt △BCE ≌Rt △BFE ,得BC =BF.,再证Rt △ADE ≌Rt △AFE ,得AD =AF.由射影定理得EF2=AF •BF ,可证结论成立. 试题解析:(Ⅰ由直线CD 与⊙O 相切,得CEB EAB ∠=∠. 1分本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
2016届高三上学期第一次联考数学(理)试题 Word版含答案
2016届高三第一次联考数学试题（理科）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合22{230},{log (1)2}A x x x B x x =--≥=-<，则()..R A B = A ．()1,3 B ．()1,3- C ．()3,5 D ． ()1,5- 2．命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠ B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠ C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠ D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠3．欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2ie 表示的复数在复平面中位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．函数222,1,()log (1),1,x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦A ．12-B ．1-C ．5-D ．125．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且20162015120162015S S=+，则数列{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．2015D ．20166．若ln 2,5a b == 01,s i n 4c x d x π=⎰，则,,a b c 的大小关系 A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．b c a <<7．已知1sin cos 63παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．518B ．-518C ．79D ．-798．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的 体积等于A ．B ．C ．D ．9．已知函数()()()21sin ,02f x x ωω=->的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位()0a >，所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为A ．πB ．34π C ．2π D ．4π 10．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，点P 是△CDE 内(包括边界)的一个动点，设(),AP AF AB R λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]3,4 C ．35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为A ．3B ．C ．D ． 12．关于函数()2ln f x x x=+，下列说法错误的是 A ．2x =是()f x 的极小值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知平面直角坐标系中，b ()3,4=，a b ⋅3=-，则向量a 在向量b 的方向上的投影是________． 14．若函数()1,021,20x x f x x -<≤⎧=⎨--≤≤⎩，()()[],2,2g x f x ax x =+∈-为偶函数，则实数a =_________．15．设实数x ，y 满足约束条件202x y y x -≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩，则2z x y =+的最大值为________．16．如图所示，已知ABC ∆中，90C ∠= ，6,8AC BC ==，D 为边AC 上 的一点，K 为BD 上的一点，且ABC KAD AKD ∠=∠=∠，则DC =________．第16题图第10题图-12三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在等比数列{}n a 中，3339,S 22a ==． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设2216log n nb a +=，且{}n b 为递增数列，若11n n n c b b +=⋅，求证：12314n c c c c ++++< ．18．(本小题满分12分)如图，ABC ∆中，三个内角B 、A 、C 成等差数列，且10,15AC BC ==． (Ⅰ)求ABC ∆的面积； (Ⅱ)已知平面直角坐标系xOy，点()10,0D ,若函数()s i n ()(0,0,)2f x M x M π=ω+ϕ>ω>ϕ<的图象经过A 、C 、D 三点，且A 、D 为()f x 的图象与x 轴相邻的两个交点，求()f x 的解析式．19． (本小题满分12分)如图，已知长方形ABCD中，AB =AD =M 为DC 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．(Ⅰ)求证：AD BM ⊥；(Ⅱ)若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --．20． (本小题满分12分)小明同学制作了一个简易的网球发射器，可用于帮忙练习定点接发球，如图1所示，网球场前半区、后半区总长为23.77米，球网的中间部分高度为0.914米，发射器固定安装在后半区离球网底部8米处中轴线上，发射方向与球网底部所在直线垂直．为计算方便，球场长度和球网中间高度分别按24米和1米计算，发射器和网球大小均忽略不计．如图2所示，以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上的球场中轴线上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1米．已知若不考虑球网的影响，网球发射后的轨迹在方程2211(1)(0)280y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．发射器的射程是指网球落地点的横坐标．(Ⅰ)求发射器的最大射程；(Ⅱ)请计算k 在什么范围内，发射器能将球发过网（即网球飞行到球网正上空时，网球离地距离大于1米）？若发射器将网球发过球网后，在网球着地前，小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面2.55米处的击球点正好击中网球，试问击球点的横坐标a 最大为多少？并请说明理由．21． (本小题满分12分)已知函数()e ,xf x x R =∈．(Ⅰ)若直线y kx =与()f x 的反函数的图象相切，求实数k 的值；(Ⅱ)设,a b R ∈，且()()()(),,,,22f a f b f a f b a b a b A f B C a b +-+⎛⎫≠===⎪-⎝⎭试比较,,A B C 三者的大小，并说明理由．第19题图第20题图图1图2第18题图第22题图请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．(本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲如图，BC 是圆O 的直径，点F 在弧BC 上，点A 为弧BF 的中点，作AD BC ⊥于点D ，BF 与AD 交于点E ，BF 与AC 交于点G ．(Ⅰ)证明：AE BE =； (Ⅱ)若9,7AG GC ==，求圆O 的半径．23．(本小题满分10分)选修4-4极坐标与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=,将曲线1cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）经过伸缩变换32x xy y'=⎧⎨'=⎩后得到曲线2C ．(Ⅰ)求曲线2C 的参数方程； (Ⅱ)若点M 在曲线2C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．24．(本小题满分10分)选修4-5不等式证明选讲已知函数()1020f x x x =-+-，且满足()1010f x a <+（a R ∈）的解集不是空集．(Ⅰ)求实数a 的取值集合A ； (Ⅱ)若,,b A a b ∈≠求证：abbaa b a b >．数学试题（理科）参考答案一、选择题 ADBAB DCCDB AC二、填空题 35- 12- 10 73三、解答题17. （1）1q =时，32n a =； ………………2分1q ≠时，116()2n n a -=⋅- ………………4分（2）由题意知：116()2n n a -=⋅- ………………6分∴2116()4n n a +=⋅∴2n b n = ………………8分 ∴111111()2(2n 2)4(n 1)41n c n n n n ===-⋅+⋅++ ………………10分∴123111(1)414n c c c c n ++++=-<+ ………………12分 18. （1）在△ABC 中，60B = ………………1分 由余弦定理可知：2222c o s 60a b c b c =+- ………………2分∴2101250c c --=5c A B ∴== ………………4分 又∵10cos605AO =⋅=BO ∴=125(5633)22ABC S ∴=+⨯= . ………………6分(2)T=2×（10+5）=30,∴15πω= ………………8分∵(5)Msin((5))015f π-=⋅-+ϕ=s i n ()03π∴-+ϕ=，,3k k Z π∴-+ϕ=π∈2πϕ< ，3π∴ϕ=。
2016广一模数学理科(解析版)
绝密 ★ 启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-≤，则A B =（A ）{}11x x -≤≤ （B ）{}01x x ≤≤ （C ）{}01x x <≤ （D ）{}01x x ≤< 答案：D解析：集合A ＝{}11x x <－＜，集合B ＝{}1x x ≤≤0，所以，A B = {}01x x ≤<。
（2）已知复数3i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 答案：D解析：(3)(1)122i i z i ++==+，共轭复数为12i -，在第四象限。
（3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 答案：C解析：第一步：x ＝9，k ＝2；第二步：x ＝21，k ＝4；第三步：x ＝45，k ＝6； 第四步：x ＝93，k ＝8；第五步：x ＝189，k ＝10；退出循环，故k ＝10。
（4）如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为 （A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24 答案：B解析：依题意，得：周期T ＝3π，23ππω=，所以，ω＝6。
2016届广东省广州市高三普通高中毕业班综合测试(一)数学(理科)
2016届广东省广州市高三普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合，，则A. B.C. D.2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的共轭复数所对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 执行如图所示的程序框图，，则输出的值为A. B. C. D.4. 如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则的值为A. B. C. D.5. 设等差数列的前项和为，且，则A. B. C. D.6. 如果，，，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，，，，是抛物线的焦点，若，则A. B. C. D.7. 在梯形中，，已知，，若，则A. B. C. D.8. 设实数，满足约束条件则的取值范围是A. B. C. D.9. 一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A. B. C. D.10. 已知下列四个命题：：若直线和平面内的无数条直线垂直，则；：若，则，；：若，则，；：在中，若，则．其中真命题的个数是A. B. C. D.11. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为A. B. C. D.12. 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 一个总体中有个个体，随机编号，，，，，依编号顺序平均分成个小组，组号依次为，，，，．现用系统抽样方法抽取一个容量为的样本，若在第组随机抽取的号码为，则在第组中抽取的号码是______．14. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，且，则双曲线的离心率为______．15. 的展开式中，的系数为______．（用数字填写答案）16. 已知函数，则函数的零点个数为______ 个．三、解答题（共8小题；共104分）17. 如图，在中，点在边上，，，，．（1）求的长；（2）求的面积．18. 从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为．（1）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取件，记这件产品中质量指标值位于区间内的产品件数为，求的分布列与数学期望．19. 如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，．（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值．20. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，．（1）求椭圆的方程；（2）以为直径的圆是否经过定点?若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．21. 已知函数，．（1）若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值；（2）当时，证明：．22. 如图所示，内接于，直线与相切于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点．（1）求证：；（2）若直线与相切于点，且，，求线段的长．23. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）在曲线上求一点，使它到直线：（为参数，）的距离最短，并求出点的直角坐标．24. 设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意，不等式的解集为空集，求实数的取值范围．答案第一部分1. D2. D3. C4. B5. C6. A7. A8. A9. D 10. B11. A 12. B第二部分13.14.15.16.第三部分17. （1）解法一：在中，因为，设，则．在中，因为，，，所以．在中，因为，，，由余弦定理得．因为，所以，即．解得．所以的长为．解法二：在中，因为，设，则．在中，因为，，，所以．所以．在中，因为，，，由余弦定理得．所以．解得．所以的长为．（2）解法一：由（1）求得，所以，从而．所以．解法二：由（1）求得，．因为，所以为等腰三角形．因为，所以．所以底边上的高．所以．解法三：因为的长为，所以，解得．所以．．所以．18. （1）设区间内的频率为，则区间，内的频率分别为和．依题意得，解得．所以区间内的频率为．（2）从该企业生产的该种产品中随机抽取件，相当于进行了次独立重复试验，所以服从二项分布，其中．由（1）得，区间内的频率为，将频率视为概率得．因为的所有可能取值为，，，，且，，，．所以的分布列为：所以的数学期望为．（或直接根据二项分布的均值公式得到）19. （1）因为平面，平面，所以因为是菱形，所以因为，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）解法一：平面，，以为原点，，，方向为，，轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．因为，，所以，，．则，，，，所以，．设平面的法向量为，因为，，所以令，得．同理可求得平面的法向量为．所以．因为二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为．解法二：平面，连接与交于点，连接，，因为，，所以为平行四边形．因为，分别是，的中点，所以为平行四边形．且．因为平面平面，过点作于，则平面．过点作于，连接，则．所以是二面角的平面角的补角．在中，在中，因为，所以．因为，，所以．因为，所以为直角三角形．所以．所以．所以．所以二面角的余弦值为．20. （1）解法一：设椭圆的方程为，因为椭圆的左焦点为，所以．设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上，由椭圆的定义知，所以 .所以，从而．所以椭圆的方程为．解法二：设椭圆的方程为，因为椭圆的左焦点为，所以．因为点在椭圆上，所以．由解得，，．所以椭圆的方程为．（2）解法一：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．因为直线与椭圆交于两点，，设点（不妨设），则点．联立方程组消去得．所以，则．所以直线的方程为．因为直线，分别与轴交于点，，令得，即点．同理可得点．所以．设的中点为，则点的坐标为．则以为直径的圆的方程为，即．令，得，即或．故以为直径的圆经过两定点，．解法二：因为椭圆的左端点为，则点的坐标为．因为直线与椭圆交于两点，，设点，则点．所以直线的方程为．因为直线与轴交于点，令得，即点．同理可得点．所以．因为点在椭圆上，所以．所以．设的中点为，则点的坐标为则以为直径的圆的方程为．即．令，得，即或．故以为直径的圆经过两定点，．解法三：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．因为直线与椭圆交于两点，，设点（），则点．所以直线的方程为．因为直线与轴交于点，令得，即点．同理可得点．所以．设的中点为，则点的坐标为．则以为直径的圆的方程为，即．令，得，即或．故以为直径的圆经过两定点，．21. （1）因为，所以．因为在点处的切线斜率为，所以，解得．（2）证法一：因为，，所以等价于．当时，．要证，只需证明．以下给出三种思路证明．思路1：设，则．设，则．所以函数在上单调递增．因为，则．所以函数在上有唯一零点，且因为，所以，即．当时，；当时，，所以当时，取得最小值．所以．综上可知，当时，．思路2：先证明．设，则．因为当时，，当时，，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．所以．所以（当且仅当时取等号）．所以要证明，只需证明．下面证明．设，则．当时，，当时，，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．所以．所以（当且仅当时取等号）．由于取等号的条件不同，所以．综上可知，当时，．思路3：先证明．令，转化为证明．因为曲线与曲线关于直线对称，设直线与曲线、分别交于点、，点、到直线的距离分别为、，则．其中，．①设，则．因为，所以．所以在上单调递增，则．所以．②设，则．因为当时，；当时，，所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．所以．所以．所以．综上可知，当时，．证法二：因为，，所以等价于．以下给出两种思路证明．思路1：设，则．设，则．所以函数在上单调递增．因为，所以，．所以函数在上有唯一零点，且．因为，所以，即．当时，；当时，．所以当时，取得最小值．所以．综上可知，当时，．思路2：先证明，且．设，则．因为当时，；当时时，，所以在上单调递减，在上单调递增．所以当时，取得最小值．所以，即．所以（当且仅当时取等号）．再证明．由，得（当且仅当时取等号）．因为，，且与不同时取等号，所以．综上可知，当时，．22. （1）证明：因为是的切线，所以（弦切角定理）．因为，所以，所以．因为（公共角），所以．所以，即．（2）因为是的切线，是的割线，所以（切割线定理）．因为，，所以，．由（1）知，所以．因为，所以．所以．所以．23. （1）由，，可得．因为，，所以曲线的普通方程为（或）．（2）解法一：因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为．因为曲线：是以为圆心，为半径的圆，设点，且点到直线：的距离最短，所以曲线在点处的切线与直线：平行．即直线与的斜率的乘积等于，即．因为，解得或．所以点的坐标为或．由于点到直线的距离最短，所以点的坐标为．解法二：因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为．因为曲线是以为圆心，为半径的圆，因为点在曲线上，所以可设点．所以点到直线的距离为．因为，所以当时，．此时点的坐标为．24. （1）当时，等价于．当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得．综上所述，不等式的解集为．（2）因为不等式的解集为空集，所以．以下给出两种方法求的最大值．方法1：因为，当时，．当时，<br>\（\[\begin{split}f\left（ x \right） &= x + \sqrt a + x - \sqrt {1 - a} \\&= 2x + \sqrt a - \sqrt {1 - a} < 2\sqrt {1 - a} + \sqrt a - \sqrt {1 - a}\\&= \sqrt a + \sqrt {1 - a}. \end{split}\]\）<br>当时，．所以．方法2：因为<br>\（\[\begin{split}f\left（ x \right）& = \left| {x + \sqrt a } \right| - \left| {x - \sqrt {1 - a} } \right| \\&\leqslant \left| {x + \sqrt a - x + \sqrt {1 - a} } \right|\\&= \left| {\sqrt a + \sqrt {1 - a} } \right|\\&=\sqrt a + \sqrt {1 - a}， \end{split}\]\）<br>当且仅当时取等号．所以．因为对任意，不等式的解集为空集，所以．以下给出三种方法求的最大值．方法1：令，所以．当且仅当，即时等号成立．所以．所以的取值范围为．方法2：令，因为，所以可设，则，当且仅当时等号成立．所以的取值范围为．方法3：令，因为，设则．问题转化为在的条件下，求的最大值．利用数形结合的方法容易求得的最大值为，．所以的取值范围为．。
2016年广东省广州市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
]
D．[
，
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9． （5 分） 一个六棱柱的底面是正六边形， 侧棱垂直于底面， 所有棱的长都为 1， 顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ A．20π B． C．5π ） D．
10． （5 分）已知下列四个命题： p1：若直线 l 和平面 α 内的无数条直线垂直，则 l⊥α； p2：若 f（x）＝2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x） ； p3：若 ，则∃x0∈（0，+∞） ，f（x0）＝1；
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之 和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（
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）
A．2017×22015
B．2017×22014
C．2016×22015
D．2016×22014
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13． （5 分）一个总体中有 60 个个体，随机编号为 0，1，2，…59，依编号顺序 平均分成 6 个小组，组号为 1，2，3，…6．现用系统抽样方法抽取一个容量 为 6 的样本，若在第 1 组中抽取的号码为 3，则在第 5 组中抽取的号码 是 ． （a＞0，b＞0）的左顶点为 A，右焦点为 ，则双曲线 C 的离心率为 ．
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19． （12 分）如图，四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形，AC∩BD＝ O，A1O⊥底面 ABCD，AB＝AA1＝2． （I）证明：平面 A1CO⊥平面 BB1D1D； （Ⅱ）若∠BAD＝60°，求二面角 B﹣OB1﹣C 的余弦值．
20． （12 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A，左焦 点为 F1（﹣2，0） ，点 B（2， ）在椭圆 C 上，直线 y＝kx（k≠0）与椭圆 C
2016届高三第一次联考数学(理)试卷Word版含答概述.
2016届高三六校第一次联考理科数学试题2015，9，7一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、复数3ii-在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3、已知cos cos tan sin sin ααααα+=+则的值为 （ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．12D ．24．直线sin 20x α+=的倾斜角的取值范围是（ ）A ．),0[πB ．),43[]4,0[πππ⋃C ．]4,0[π D ．),2(]4,0[πππ⋃5、右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A. 10i >B. 10i <C. 20i >D. 20i <6、将函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图象向左平移8π个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为（ ）A ．43π B ．0 C ．4πD ．4π- 7、求曲线2y x =与y x =所围成图形的面积，其中正确的是 （ ）A ．12()S x x dx =-⎰B ．12()S x x dx =-⎰C ．12()S y y dy =-⎰D ．1(S y dy =-⎰8、设n m l ,,为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ）①若α⊥l ，则l 与α相交②若，，，，n l m l n m ⊥⊥⊂⊂αα则α⊥l ③若l ||m ，m ||n ，α⊥l ，则α⊥n ④若l ||m ，α⊥m ，α⊥n ，则l ||nA ．1B ．2C ．3D ．49、如图，已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=，点C 在线段AB 上，且AOC ∠=030，设(),OC mOA nOB m n R =+∈,则mn等于（ ） A ．13B ．3 C10、已知曲线22:x y C =，点(0,2)A -及点(3,)B a ，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．（4，＋∞） B.（－∞，4） C.（10，＋∞） D.（－∞，10） 11、 某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长 为2的等腰直角三角形,左视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为( ) A ．B ． 4 C．D ．12. 设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若(6)()1860f m f m m ---+≥，则实数m 的取值范围为（ ）A ． [3,3]-B ． [3,)+∞C ． [2,)+∞D ．(,2][2,)-∞-+∞二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13、 已知关于x 的二项式n xax )(3+展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则实数a 的值为14、变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则22)2(y x +-的最小值为15、∆ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且,,a b c 成等比数列，若sin B =513，cos B =12ac，则a c +的值为 ．16、()f x 是定义在R 上的函数，且(3)()3f x f x +≤+，(2)()2f x f x +≥+，(0)0f =，则(2016)f =．三、解答题（17—21为必做题）俯视图左视图17、（本小题满分12分）若公比为q 的等比数列{}n a 的首项11a =，且满足n a =122n n a a --+，（3,4,5n =…） （1）求q 的值；（2）设n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前项和n S18、（本小题满分12分）甲、乙、丙三人射击同一目标，各射击一次，已知甲击中目标的概率为35，乙与丙击中目标的概率分别为,m n ()m n >，每人是否击中目标是相互独立的．记目标被击中的次数为ξ，且ξ的分布列如下表： （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）求ξ的数学期望．19、（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，CP m=. （Ⅰ）试确定m ，使直线AP 与平面11BDD B 所成角的正切值为（Ⅱ）在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，1D Q 垂直于AP ，并证明你的结论.20、（12分）已知直线10x y -+=经过椭圆S ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆S 的方程；（2）如图，M ，N 分别是椭圆S 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ．①若直线PA 平分线段MN ，求k 的值；②对任意0k >，求证：PA PB ⊥．21、（本小题满分12分）设定义在区间],[21x x 上的函数)(x f y =的图像为C ，点A 、B 的坐标分别为))(()),(,(2211x f x x f x 且))(,(x f x M 为图像C 上的任意一点，O 为坐标原点，当实数λ满足21)1(x x x λλ-+=时，记向量k MN OB OA ON ≤-+=||.)1(若λλ恒成立，则称函数)(x f y =在区间],[21x x 上可在标准k 下线性近似，其中k 是一个确定的正数。
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七校联合体2016届高三第一次联考试卷理科数学命题：普宁二中 陈左华 审题：潮阳一中 刘叶丛一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知全集I ＝R ，集合A ＝{x |y ＝1－x }，集合B ＝{x |0≤x ≤2}，则(∁I A )∪B 等于( ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)2．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．根据如下样本数据得到的线性回归方程为y ＝b x ＋a ，则( )A.a ^>0，b ^>0 B.a ^>0，b ^<0 C.a ^<0，b ^>0 D.a ^<0，b ^<0 4．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+5．执行上边的程序框图，若p ＝0.8，则输出的n ＝( ) A 3 B 4 C 5 D 66．由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( ) A.18 B.14 C.34 D.787．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图像向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．328．设函数)(x f 在其定义域D 上的导函数为)(/x f ，如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的D x ∈，都有0)(>x h ，使得),1-)(()(2/+=ax x x h x f 则称函数)(x f 具有性质)(a ω，给出下列四个函数：①131)(23++=x x x x f -； ②14ln )(++=x x x f ； ③xe x x xf )54()(2+=-； ④12)(2++=x xx x f其中具有性质)2(ω的函数为( )A ① ② ③B ① ② ④C ② ③ ④D ① ③ ④ 二、填空题：本题共6小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 9．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 10．若偶函数()f x 的定义域为[,]p q ，则p q +=11．已知函数()3x f x =的反函数是1()f x -且1(18)23a f a -=+则=______________ 12．从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为13．2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 14．设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2B2＝3sin B ，b ＝1．(1)若A ＝5π12，求边c ；(2)若a ＝2c ，求△ABC 的面积．16.（本小题满分13分）某企业招聘工作人员，设置A 、B 、C 三组测试项目供参考人员选择，甲、乙、丙、丁、戊五人参加招聘，其中甲、乙两人各自独立参加A 组测试，丙、丁两人各自独立参加B组测试．已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为13，丙、丁两人各自通过测试的概率均为12．戊参加C 组测试，C 组共有6道试题，戊会其中4题.戊只能且必须选择4题作答，至少答对3题则竞聘成功. （Ⅰ）求戊竞聘成功的概率；（Ⅱ）求参加A 组测试通过的人数多于参加B 组测试通过的人数的概率； （Ⅲ）记A 、B 组测试通过的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望. 17．（本题满分13分）如图, 在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，3321==AA DC ，， AD ⊥DC ，AC ⊥BD, 垂足为E ，（I ）求证：BD ⊥A 1C ；（II ）求二面角A 1－BD －C 1的大小；18．（本题满分14分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(2)4n n n a a S +=*()n ∈N .（1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）是否存在非零整数λ，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅-<对一切*n ∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由. 19．（本小题满分14分）如图所示，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，x 轴被曲线C 2：y ＝x 2－b 截得的线段长等于C 1的短轴长．C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E . (1)求C 1，C 2的方程；(2)求证：MA ⊥MB ；(3)记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝λ，求λ的取值范围．20．（本小题满分14分） 设函数f (x )＝e x －ax －2． (1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x ＞0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1＞0恒成立，求k 的最大值． 2016届七校高三摸底考答案 2015.8一、选择题：1C 2D 3B 4A 5B 6D 7A 8 A二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9．答案 21 10．答案：0 11答案2 12．答案 10 13答案3 14．答案：011x -≤≤ （答案格式不唯一）三、解答题：15．解：(1)由已知可得1＋cos B ＝3sin B …………2分∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6＝12．…………3分 又0<B<π，∴B ＝π3，∴C ＝π－A －B ＝π4，…………5分 ∴c ＝b sin B ·sin C ＝63．…………6分(2)由(1)知B ＝π3，…………7分∴由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accos B ．…………8分又a ＝2c ，∴c 2＝13，…………10分∴△ABC 的面积S ＝12acsin B ＝36．…………12分16、解： (I) 设戊竞聘成功为A 事件，则 …………1分()43144246+=C C C P A C 1+83==155 …………2分（Ⅱ）设“参加A 组测试通过的人数多于参加B 组测试通过的人数”为B 事件………3分()21211137233233436p B ⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭ …………5分（Ⅲ）ξ可能取0，1，2，3，4 …………6分364)21()32()0(22=⨯==ξP …………7分3612)21()32()21(3231)1(2212212=⨯+⨯⨯==C C P ξ …………8分3613)21()32()31()21()32()21()31()2(212122222=⨯⨯+⨯+⨯==C C P ξ …………9分 366)21()31()21(3231)3(2212212=⨯+⨯⨯==C C P ξ …………10分 361)21()31()4(22=⨯==ξP …………11分…………12分∴53E ξ=……13分17．解析：解法一：（I ）在直四棱柱1111ABCD A BC D -中,1A A ⊥ 底面ABCDAC ∴是1AC 在平面ABCD 上的射影. , ……2分,BD AC ⊥ 1.BD AC ∴⊥ ……4分（II ）连结1111,,.A E C E AC与（I ）同理可证11,,BD A E BD C E ⊥⊥ ……6分11A EC ∴∠为二面角11A BD C --的平面角. ……7分,AD DC ⊥11190,oA DC ADC ∴∠=∠= ……8分又111112,A D AD DC DC AA ====且,AC BD ⊥ ……9分11114,1,3,2,AC AE EC A E C E ∴===∴== ……11分在11A EC ∆中,222111111,90,oAC A E C E A EC =+∴∠= ……12分 即二面角11A BD C --的大小为90o . ……13分解法二：（I ）同解法一.（II ）,以D 为坐标原点,1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间 直角坐标系, ……5分连结1111,,.A E C E AC 与（I ）同理可证,11,,BD A E BD C E ⊥⊥ ……7分11A EC ∴∠为二面角11A BD C --的平面角. ……8分113(2A C E 由 ……9分得1113(,(22EA EC→→==-……10分11111139.30.,.44EA EC EA EC EA EC→→→→∴=--+=∴⊥⊥即……12分∴二面角11A BD C--的大小为90o. ……13分18解．（1）由(2)4n nna aS+=.当1n=时，1111(2)4a aa S+==，解得12a=或1a=（舍去）．……2分当2n≥时，由111(2)(2)44n n n nn n na a a aa S S---++=-=-22112()n n n na a a a--⇒-=+，……………4分∵na>，∴1n na a-+≠，则12n na a--=，……………5分∴{}na是首项为2，公差为2的等差数列，故2na n=．……………6分另法：易得1232,4,6a a a===，猜想2na n=，再用数学归纳法证明(略)．（2）由2na n=，得11cos cos(1)(1)2nnanππ++=+=-，……………7分设nb=1(1)nnbλ+-<.……………8分1nnbb+===1=>，……10分∵0n b >，∴1n n b b +>，数列{}n b 单调递增. ……………… 11分假设存在这样的实数λ，使得不等式1(1)n n b λ+-<对一切*n ∈N 都成立，则 ① 当n为奇数时，得min 1()n b b λ<==； ……11分……………12分② 当n为偶数时，得min 2()n b b λ-<==，即λ>. ……13分综上，(λ∈，由λ是非零整数，知存在1λ=±满足条件．…… 14分19 (1)解 由题意，知c a ＝22，所以a 2＝2b 2. ……1分又2b ＝2b ，得b ＝1. ……2分所以曲线C 2的方程：y ＝x 2－1，椭圆C 1的方程：x 22＋y 2＝1. ……3分(2)证明 设直线AB ：y ＝kx ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由题意，知M(0，－1)．则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－1⇒x 2－kx －1＝0， ……4分解得x 1＝k ＋k 2＋42， x 2＝k －k 2＋42，……5分则x 1·x 2＝－1，x 1＋x 2＝k ， ·＝(x 1，y 1＋1)·(x 2，y 2＋1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1＝－(1＋k 2)＋k 2＋1＝0， 所以MA ⊥MB. ……7分(3)解 设直线MA 的方程：y ＝k 1x －1，直线MB 的方程：y ＝k 2x －1，……8分由(2)知k 1k 2＝－1，M(0，－1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，y ＝x 2－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k 1，y ＝k 21－1， ……9分所以A(k 1，k 21－1)．同理，可得B(k 2，k 22－1)．……10分故S 1＝12|MA|·|MB|＝121＋k 21·1＋k 22|k 1||k 2|.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，x 22＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k11＋2k 21，y ＝2k 21－11＋2k 21，所以D(4k 11＋2k 21，2k 21－11＋2k 21)．同理，可得E(4k 21＋2k 22，2k 22－11＋2k 22)．……11分故S 2＝12|MD|·|ME|＝121＋k 21·1＋k 22|16k 1k 2|(1＋2k 21)(1＋2k 22)， S 1S 2＝λ＝(1＋2k 21)(1＋2k 22)16＝5＋2(1k 21＋k 21)16≥916，……13分 则λ的取值范围是[916，＋∞)．……14分20解： (1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x)＝e x－a ．……1分 当a ≤0时，f ′(x)＞0，所以f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增； ……………………………………3分当a ＞0时，若x ∈(－∞，ln a)，则f ′(x)＜0，若x ∈(ln a ，＋∞)，则f ′(x)＞0， 所以f(x)在区间(－∞，ln a)上单调递减，在区间(ln a ，＋∞)上单调递增． ……………………………………5分综上可知，当a ≤0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a ，＋∞) ……………………………………6分 (2)由于a ＝1，所以(x －k)f ′(x)＋x ＋1＝(x －k)(e x－1)＋x ＋1．设g(x)＝(x －k)(e x －1)＋x ＋1，则g ′(x)＝e x(x －k ＋1)． ……………………………………7分(i)若k ≤1，则当x ＞0时，g ′(x)＞0，所以g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，而g(0)＝1， 故当x ＞0时，g(x)＞1＞0，即有(x －k)f ′(x)＋x ＋1＞0恒成立． ……………………………………9分(ii)若k ＞1，则当x ∈(0，k －1)时，g ′(x)＜0；当x ∈(k －1，＋∞)时，g ′(x)＞0．所以g(x)在区间(0，＋∞)内的最小值为g(k－1)＝k－e k－1＋1．……………………………………11分令h(k)＝k－e k－1＋1，则h′(k)＝1－e k－1，因为k>1，所以h′(k)<0，故h(k)在区间(1，＋∞)上单调递减．而h(2)＞0，h(3)＜0，所以当1＜k≤2时，h(k)＞0，即g(k－1)＞0，从而当x ＞0时，g(x)＞0，即(x－k)f′(x)＋x＋1＞0恒成立；当k≥3时，h(k)<0，即g(k－1)<0，故g(x)＞0在区间(0，＋∞)内不恒成立．……………………………………13分综上所述，整数k的最大值为2……………………………………14分。