数学课件直线平面垂直的判定与性质高考总复习
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高考数学一轮复习 7.5直线、平面垂直的判定及其性质课件 文
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19
解析：如图，∵PO⊂平面PAB，
∴l⊥PO. ∴PO就是P到直线l的距离， ∵α⊥β，∴四边形PAOB为矩形， PO＝ 12＋22＝ 5. 答案： 5
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20
考点
互动探究
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21
考点一 直线与平面垂直的判定与性质 证明直线和平面垂直的常用方法有 (1)利用判定定理． (2)利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)． (3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)． (4)利用面面垂直的性质．
24
【思路启迪】 第(1)问通过DC⊥平面PAC证明；也可通过 AE⊥平面PCD得到结论；第(2)问利用线面垂直的判定定理证明 直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直．
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25
【证明】 (1)由四棱锥P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.
∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面ABE.
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27
破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与 性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是 证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”、“线面垂 直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围 绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的 技巧所在．
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17
解析：由PA⊥平面ACB，可得PA⊥BC，A正确；由BC⊥ PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，BC⊥PC，即 B、D正确，故选C.
答案：C
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高考数学一轮复习 直线、平面垂直的性质定理课件
[解析] 如果平面 ⊥ 平面 ,那么只有平面 内垂直于交线的直线才垂直于平面 ,
故C错误.
02
研考点 题型突破
题型一 直线与平面垂直的性质
典例1 如图,PA ⊥ 平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,
且EF ⊥
CF
AC.求证:
DC
=
CE
.
BC
证明 ∵ PA ⊥平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,
②线（三垂线定理）:过二面角的一个面内的一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的
垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
③面（垂面法）:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,
这两条交线所成的角即是二面角的平面角.
（2）求（求二面角的平面角的余弦值或正弦值）.
①在三角形中,利用余弦定理求值；
PD ⊥ 平面PBC.
证明 由题设,知BC ⊥ CD,又平面PDC ⊥ 平面ABCD,平面PDC ∩ 平
面ABCD = CD,BC ⊂ 平面ABCD,
所以BC ⊥ 平面PDC,
而PD ⊂ 平面PDC,则BC ⊥ PD.
由∠DPC = 90∘ ,得PC ⊥ PD.
又BC ∩ PC = C,BC,PC ⊂ 平面PBC,则PD ⊥ 平面PBC.
又BC ⊂ 平面PBC,所以AD ⊥ BC.
因为PA ⊥ 平面ABC,BC ⊂ 平面ABC,
所以PA ⊥ BC.
因为AD ∩ PA = A,AD,PA ⊂ 平面PAC,
所以BC ⊥ 平面PAC.
又AC ⊂ 平面PAC,所以BC ⊥ AC.
规律方法
（1）在应用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,则一般需作辅助线,基
故C错误.
02
研考点 题型突破
题型一 直线与平面垂直的性质
典例1 如图,PA ⊥ 平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,
且EF ⊥
CF
AC.求证:
DC
=
CE
.
BC
证明 ∵ PA ⊥平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,
②线（三垂线定理）:过二面角的一个面内的一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的
垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
③面（垂面法）:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,
这两条交线所成的角即是二面角的平面角.
（2）求（求二面角的平面角的余弦值或正弦值）.
①在三角形中,利用余弦定理求值；
PD ⊥ 平面PBC.
证明 由题设,知BC ⊥ CD,又平面PDC ⊥ 平面ABCD,平面PDC ∩ 平
面ABCD = CD,BC ⊂ 平面ABCD,
所以BC ⊥ 平面PDC,
而PD ⊂ 平面PDC,则BC ⊥ PD.
由∠DPC = 90∘ ,得PC ⊥ PD.
又BC ∩ PC = C,BC,PC ⊂ 平面PBC,则PD ⊥ 平面PBC.
又BC ⊂ 平面PBC,所以AD ⊥ BC.
因为PA ⊥ 平面ABC,BC ⊂ 平面ABC,
所以PA ⊥ BC.
因为AD ∩ PA = A,AD,PA ⊂ 平面PAC,
所以BC ⊥ 平面PAC.
又AC ⊂ 平面PAC,所以BC ⊥ AC.
规律方法
（1）在应用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,则一般需作辅助线,基
高考数学总复习 第七章第五节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面
γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
6
【解析】 A显然正确，根据面面垂直的判定，B正确． 对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在l上，
过 P 作直线 a ， b ，使 a⊥m ， b⊥n.∵γ⊥α ， a⊥m ，则 a⊥α ，
第五节
直线、平面垂直的判定及其性质如果直线l与平面α内的__________ 任意一条 直线都垂直，则直线l与平 面α垂直． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条________ 直线都垂直，则 相交 该直线与此平面垂直． (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线________ 平行．
∴ a⊥l ，同理有 b⊥l. 又 a∩b ＝ P ， a⊂γ ， b⊂γ ， ∴ l⊥γ. 故命题 C 正确．
对于命题D，设α∩β＝l，则l⊂α，但l⊂β.故在α内存在直线不垂
直于平面β，即命题D错误． 【答案】 D
7
3．已知命题：“若x⊥y，y∥z，则x⊥z”成立，那么字母x， y，z在空间所表示的几何图形有可能是：①都是直线；②都是
与α的位置关系为(
A．b⊂α C．b⊂α或b∥α
)
B．b∥α D．b与α相交
【解析】 由a⊥b，a⊥α知b⊂α或b∥α，但直线b不与α相交． 【答案】 C
5
2．(2011·浙江高考)下列命题中错误的是(
)
A．如果平面 α⊥平面β，那么平面 α内一定存在直线平行于平
面β
B．如果平面 α不垂直于平面 β，那么平面 α内一定不存在直线 垂直于平面β
25
(2)连结FG.
因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，
新高考数学通用版总复习一轮课件第八章第5讲直线平面垂直的判定与性质
＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M
到达点 D 的位置，且 AB⊥DA.
(1)证明：平面 ACD⊥平面 ABC；
(2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段
BC 上一点，且 BP＝DQ＝23DA，求三棱 锥 Q-ABP 的体积.
图 8-5-3
(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC. 又 BA⊥AD，所以 AB⊥平面 ACD. 又 AB⊂平面 ABC，所以平面 ACD⊥平面 ABC.
∵BC＝2，∴CC1＝2 2.
则该长方体的体积为 22×2 2＝8 2.
(1)如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m.正确. (2)如果 l⊥α，l⊥m，则 m∥α.不正确，有可能 m 在平面α 内. (3)如果 l⊥m，m∥α，则 l⊥α.不正确，有可能 l 与α斜交、 l∥α. 答案：如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m
考点 1 直线与平面垂直的判定与性质 自主练习 1.如图 8-5-1，PA ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是 ⊙O 上一点，AE⊥PC，AF⊥PB.给出下列结论：①AE⊥BC； ②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面 PBC.其中真命题的序号是 __________.
【题后反思】(1)证明线面平行，一般利用线面平行判定定 理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻找与论证，往 往结合平面几何知识.
(2)面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，线面垂直的 证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，线线垂直的 证明有时需要利用平面几何条件.
(3)求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂 直的性质定理得到线面垂直，再结合三角形可求得线面角.
由(1)B1C1⊥平面 A1AMN，
高考数学一轮总复习课件：直线、平面垂直的判定及性质
∵A1C1⊥BB1，A1O⊥BB1，A1C1∩A1O＝A1， ∴BB1⊥平面A1OC1， 又C1O⊂平面A1OC1，∴BB1⊥C1O. 由题可知A1B1＝A1C1＝B1C1＝2 2， 在△A1OB1中，A1O⊥OB1，∠A1B1B＝45°，A1B1＝2 2， ∴A1O＝B1O＝2.
在△B1OC1中，∵C1O⊥OB1，B1O＝2，B1C1＝2 2， ∴C1O＝2. ∴OC12＋OA12＝A1C12，∴OC1⊥OA1， ∵BB1⊥C1O，A1O⊥C1O，BB1∩A1O＝O，∴C1O⊥平面 ABB1A1， 又C1O⊂平面BCC1B1，∴平面BCC1B1⊥平面ABB1A1. 【答案】 略
①证明：平面PBD⊥平面PBC； ②求点D到平面PBC的距离．
【解析】 ①证明：如图，因为PD⊥DC，AD⊥DC， 所以二面角P－DC－A的平面角为∠PDA＝90°，则PD⊥平面 ABCD， 又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC. 又在平面四边形ABCD中，BD＝ AB2＋AD2 ＝ 2 2， 过B作BE⊥CD，由题意得，E为CD中点，又D为PA中点， 所以PD＝AD＝CE＝DE＝2， 又DE＝AB， 所以BE＝AD＝2，BC＝ CE2＋BE2＝2 2，所以BC2＋BD2＝DC2， 即BD⊥BC，而PD∩BD＝D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD， 故BC⊥平面PBD，因为BC⊂平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC.
又因为F为AC的中点， 所以OF∥CC1且OF＝12CC1. 因为E为BB1的中点，所以BE∥CC1且BE＝12CC1. 所以BE∥OF且BE＝OF.
所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE. 因为AB＝CB，F为AC的中点，所以BF⊥AC，所以 OE⊥AC. 因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BF，所以OE⊥AA1. 又AA1，AC⊂平面ACC1A1，且AA1∩AC＝A， 所以OE⊥平面ACC1A1. 因为OE⊂平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.
在△B1OC1中，∵C1O⊥OB1，B1O＝2，B1C1＝2 2， ∴C1O＝2. ∴OC12＋OA12＝A1C12，∴OC1⊥OA1， ∵BB1⊥C1O，A1O⊥C1O，BB1∩A1O＝O，∴C1O⊥平面 ABB1A1， 又C1O⊂平面BCC1B1，∴平面BCC1B1⊥平面ABB1A1. 【答案】 略
①证明：平面PBD⊥平面PBC； ②求点D到平面PBC的距离．
【解析】 ①证明：如图，因为PD⊥DC，AD⊥DC， 所以二面角P－DC－A的平面角为∠PDA＝90°，则PD⊥平面 ABCD， 又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC. 又在平面四边形ABCD中，BD＝ AB2＋AD2 ＝ 2 2， 过B作BE⊥CD，由题意得，E为CD中点，又D为PA中点， 所以PD＝AD＝CE＝DE＝2， 又DE＝AB， 所以BE＝AD＝2，BC＝ CE2＋BE2＝2 2，所以BC2＋BD2＝DC2， 即BD⊥BC，而PD∩BD＝D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD， 故BC⊥平面PBD，因为BC⊂平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC.
又因为F为AC的中点， 所以OF∥CC1且OF＝12CC1. 因为E为BB1的中点，所以BE∥CC1且BE＝12CC1. 所以BE∥OF且BE＝OF.
所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE. 因为AB＝CB，F为AC的中点，所以BF⊥AC，所以 OE⊥AC. 因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BF，所以OE⊥AA1. 又AA1，AC⊂平面ACC1A1，且AA1∩AC＝A， 所以OE⊥平面ACC1A1. 因为OE⊂平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.
高考数学考点回归总复习《第四十七讲 直线平面垂直的判定及其性质》课件 新人教
A.4对
B.3对
C.2对
D.1对
答案:B
3.菱形ABCD中,∠BAD=60°,如图所示沿对角线BD将△BCD向上折起, 使AC=AB,则二面角C—BD—A的余弦值的大小为( )
A .1 3
答案:A
B .1 6
C .1 9
D .1 1 2
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
第四十七讲 直线､平面垂直的判定及其性质
回归课本
1.直线与平面所成的角
(1)平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角叫做这条直线和
这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说它们所成的角是直角;一 条直线和平面平行或在平面内,就说它们所成的角是0°的角,可见,直
线和平面所成的角的范围是
0
,
ABC为 正 四 面 体 ,设 棱 长 为 a,则 AB1 3a,棱 柱 的 高A1O a2 AO 2
2023版高考数学一轮总复习：直线平面垂直的判定及性质课件理
3
考向1
线面垂直的判定与性质
方法技巧 1.证明线面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b∩c=M,b⊂α,c⊂α⇒a⊥α);
(2)利用面面垂直的性质定理(α⊥β,α∩β=l,a⊥l,a⊂β⇒a⊥α);
(3)利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);
(4)a∥b,a⊥α⇒b⊥α.
(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.
考向1
解析
线面垂直的判定与性质
(1)由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,
故B1C1⊥BE.(线面垂直的性质的应用)
又BE⊥EC1,B1C1∩EC1=C1,B1C1⊂平面EB1C1,EC1⊂平面EB1C1,所以BE⊥平面
2
,平面B1DC分三棱柱
2
考向1
线面垂直的判定与性质
解析 (1)∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,∴BB1⊥平面ABC,
又BC⊂平面ABC,∴BB1⊥BC.(利用线面垂直的性质证明线线垂直)
∵平面BCC1B1⊥平面A1ABB1,平面BCC1B1∩平面A1ABB1=BB1,BC⊂平面BCC1B1,
图形语言
符号语言
l⊥α
直,则该直线与此平面
垂直.
性质定理
同一个
垂直于________平面的
两条直线平行.
a∥b
考点1
直线与平面平行的判定与性质
规律总结
垂直关系中常用的6个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂
直的一个重要方法).
(2)若两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面.
考向1
线面垂直的判定与性质
方法技巧 1.证明线面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b∩c=M,b⊂α,c⊂α⇒a⊥α);
(2)利用面面垂直的性质定理(α⊥β,α∩β=l,a⊥l,a⊂β⇒a⊥α);
(3)利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);
(4)a∥b,a⊥α⇒b⊥α.
(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.
考向1
解析
线面垂直的判定与性质
(1)由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,
故B1C1⊥BE.(线面垂直的性质的应用)
又BE⊥EC1,B1C1∩EC1=C1,B1C1⊂平面EB1C1,EC1⊂平面EB1C1,所以BE⊥平面
2
,平面B1DC分三棱柱
2
考向1
线面垂直的判定与性质
解析 (1)∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,∴BB1⊥平面ABC,
又BC⊂平面ABC,∴BB1⊥BC.(利用线面垂直的性质证明线线垂直)
∵平面BCC1B1⊥平面A1ABB1,平面BCC1B1∩平面A1ABB1=BB1,BC⊂平面BCC1B1,
图形语言
符号语言
l⊥α
直,则该直线与此平面
垂直.
性质定理
同一个
垂直于________平面的
两条直线平行.
a∥b
考点1
直线与平面平行的判定与性质
规律总结
垂直关系中常用的6个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂
直的一个重要方法).
(2)若两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面.
高考数学一轮复习第十三章直线、平面垂直的判定与性质-教学课件
2 ∴sin∠BA1O＝ 22aa＝12. ∴∠BA1O＝30°
求直线和平面所成的角时，应注意的问题是： (1)先判断直线和平面的位置关系．(2)当直线和平面斜交时，常有 以下步骤：①作—作出或找到斜线与射影所成的角；②证—论证 所作或找到的角为所求的角；③算—常用解三角形的方法求角； ④结论—点明斜线和平面所成的角值．
【互动探究】
4．(2011 年广东深圳一模)如图 13－5－9，在四棱锥 S－ABCD 中，AB⊥AD，AB//CD，CD＝3AB，平面SAD⊥平面ABCD，M 是
线段 AD 上一点，AM＝AB，DM＝DC，SM⊥AD.
(1)证明：BM⊥平面 SMC；
(2)设三棱锥 C－SBM 与四棱锥
S－ABCD 的体积分别为 V1 与 V，
图 13－5－4
证明：(1)∵E，F 分别是AP，AD 的中点，∴EF∥PD. 又∵PD⊆面PCD，EF ⊆面 PCD， ∴直线 EF∥平面 PCD. (2)∵AB＝AD，∠BAD＝60°，F 是AD 的中点， ∴BF⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面 ABCD＝AD， ∴BF⊥面 PAD. ∴平面BEF⊥平面PAD.
3．直线与平面所成的角 (1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的 角等于 0°.
(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于 90°. (3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线 与平面所成的角，其范围是(0°，90°)．斜线与平面所成的_线__面__角__ 是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最_小__的角． 4．二面角 从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角．从二 面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条 射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．平面角是直角 的二面角叫做___直__二__面__角__．
求直线和平面所成的角时，应注意的问题是： (1)先判断直线和平面的位置关系．(2)当直线和平面斜交时，常有 以下步骤：①作—作出或找到斜线与射影所成的角；②证—论证 所作或找到的角为所求的角；③算—常用解三角形的方法求角； ④结论—点明斜线和平面所成的角值．
【互动探究】
4．(2011 年广东深圳一模)如图 13－5－9，在四棱锥 S－ABCD 中，AB⊥AD，AB//CD，CD＝3AB，平面SAD⊥平面ABCD，M 是
线段 AD 上一点，AM＝AB，DM＝DC，SM⊥AD.
(1)证明：BM⊥平面 SMC；
(2)设三棱锥 C－SBM 与四棱锥
S－ABCD 的体积分别为 V1 与 V，
图 13－5－4
证明：(1)∵E，F 分别是AP，AD 的中点，∴EF∥PD. 又∵PD⊆面PCD，EF ⊆面 PCD， ∴直线 EF∥平面 PCD. (2)∵AB＝AD，∠BAD＝60°，F 是AD 的中点， ∴BF⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面 ABCD＝AD， ∴BF⊥面 PAD. ∴平面BEF⊥平面PAD.
3．直线与平面所成的角 (1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的 角等于 0°.
(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于 90°. (3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线 与平面所成的角，其范围是(0°，90°)．斜线与平面所成的_线__面__角__ 是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最_小__的角． 4．二面角 从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角．从二 面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条 射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．平面角是直角 的二面角叫做___直__二__面__角__．