深圳市沙井中学2017届高三上学期期末考试(理数)

深圳市沙井中学2017届高三上学期期末考试数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知U =R ,函数()ln 1y x =-的定义域为M ,集合{}20N x x x =-<,则下列结论正确的是（A ）M N U = （B ）∅=⋂)(N C M U （C ）M N N = （D ）N C M U ⊆ 2.设(1i)(i)x y ++2=，其中,x y 是实数，则2i x y +=（A ）1 （B （C ） （D 3. 下列说法正确的是 （A ）函数()1f x x=在其定义域上是减函数 （B ）两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件（C ）命题“x ∃∈R ，210x x ++>”的否定是“x ∀∈R ，210x x ++<” （D ）给定命题p 、q ，若p q ∧是真命题，则p ⌝是假命题4. 圆2228130x y x y +--+=的圆心被直线10ax y +-=所截的线段长为32，则=a（A ）43-（B ）34- （C （D ）2 5.已知432a =，254b =，1325c =，则（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c a b << （D ）b c a <<6. 如图，以x O 为始边作角α与β（0βαπ<<<），它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，30β=，则()sin αβ-=（A ）310 （B ）410+ （C ）410- （D ）3107. 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小1份为（ ）（A ）56 （B ） 103 （C ）53 （D ）1168. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为 （A ）310 （B ）38 （C ）354 （D ）352 9．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为()（A ） （B ） （C ） （D ） 10．如图4是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E ，F 分别为P A ，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BE 与直线AF 异面； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面P AD . 其中正确的有( )（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个11．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右两个焦点分别为B A F F ,,,21为其左右顶点，以线段21F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且30=∠MAB ,则双曲线的离心率为 （A ）221（B ） 321（C ） 319（D ）219 12．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）+f （x+5）=16，当x ∈（0，5]时，f （x ）=x 2-2x ，则函数f （x ）在[0，2017]上的零点个数为（A ）606个 （B ）604个 （C ）603个 （D ）600个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．图4M DEB A 13． 计算=+⎰dx x )1(cos 0π___________.14．若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是___________.15.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域为D,若存在点P (x 0,y 0) D ∈,满足x 0-2y 0=2,求得m 的取值范围是___________.16.若直线y=kx +b 与曲线y =ln x +2相切于点P ，与曲线y =ln （x +1）相切于点Q ，则=k ________三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 是n S 和1的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T ．18. （本小题满分12分）在C ∆AB 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知1=a ，b c C 2cos 2=+． （1）求角A 的大小； （2）如果b =，求C ∆AB 的面积． 19．（本小题满分12分）如图,⊥EA 平面ABC ，⊥DB 平面ABC , △ABC 是等边三角形，2AC AE =,M 是AB 的中点. （1）求证：EM CM ⊥;（2）若直线DM 与平面ABC 所成角的正切值为2，求二面角B CD E --的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，焦距为，抛物线2C ：22(0)x py p =>的焦点F 是椭圆1C 的顶点． （1）求1C 与2C 的标准方程；（2）1C 上不同于F 的两点P ，Q 满足0FP FQ ⋅=，且直线PQ 与2C 相切，求FPQ ∆ 的面积．21. （本小题满分12分）已知函数)(ln )(R a xax x f ∈+=. （1）求函数的单调区间；（2）若方程2)(=x f 存在两个不同的实数解1x 、2x ，求证：a x x 221>+.22. （本小题满分10分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合．若曲线C 的参数方程为32cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），直线l 的极坐标方程为sin()14πθ-=．(1)将曲线C 的参数方程化为极坐标方程；(2)由直线l 上一点向曲线C 引切线，求切线长的最小值．数学（理科）参考答案1-12 CDDAB ACBDB BA 13．π； 14.8π; 15; )32,(--∞ 16. .2ln - 17【解析】（1）由题意得：12n n S a +=， ① 当2n ≥时，112(1)n n S a --=-，② ①-②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，∴12nn a a -=．由①式中令1n =，可得11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n n a -=．（2）由12n n n a b n -=⋅得112233n n n T a b a b a b a b =⋅+⋅+⋅++⋅ 01211222322n n -=⋅+⋅+⋅++⋅ 12312122232(1)22n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅1211222222221212nn nn n n n T n n n ---=++++-⋅=-⋅=--⋅-∴(1)21n n T n =-⋅+．（18）解：（Ⅰ）因为1=a ，b c C 2cos 2=+，由余弦定理得2221222b c c b b +-⨯+=,即221b c bc +-=. ……………………2分 所以22211cos 222b c bc A bc bc +-===. …………………………………………4分 由于0A π<<, 所以3A π=. …………………………………………6分19（Ⅰ）因为△ABC 是等边三角形，M 是AB 的中点, 所CM AB ⊥. ……………1分 因为EA ⊥平面ABC , CM ⊂平面ABC , 所以CM EA ⊥. …………2分 因为AM EA A = , 所以CM ⊥平面EAM . ……………………3分 因为EM ⊂平面EAM ,所以CM EM ⊥. ……………………………4分 （Ⅱ）法1: 以点M 为坐标原点，MC 所在直线为x 轴，MB 所在直线为y 轴，过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系M xyz -.PNM DECB A因为DB ^平面ABC ,所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角. …………5分由题意得tan 2BDDMB MB∠==, 即2BD MB =,……………6分从而BD AC =. 不妨设2AC =, 又2AC AE =,则CM =, 1AE =.………7分故()0,1,0B,)C, ()0,1,2D , ()0,1,1E - (8)分于是)1,0BC =-,()0,0,2BD =,()1,1CE =-,()CD =,设平面BCD 与平面CDE 的法向量分别为111222(,,),(,,)m x y z n x y z == ,由0,0,m BC m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1110,20,y z -==⎪⎩ 令11x =,得1y所以()m = . …9分 由0,0,n CE n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2222220,20,y z y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩ 令21x =,得2y =, 2z =.所1,33n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ . 所以cos ,0m nm n m n⋅<>==. …11分 所以二面角B CD E --的余弦值为0. 12分法2: 因为DB ^平面ABC ,所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角. 5分由题意得tan 2BDDMB MB∠==, 即2BD MB =,…从而BD AC =.………6分 不妨设2AC =, 又2AC AE =, CM =1AE =,2AB BC BD ===. …7分 由于EA ^平面ABC ,DB ^平面ABC , 则EA ∥BD . 取BD 的中点N , 连接EN , 则2EN AB ==. 在Rt △END 中, ED在Rt △EAC 中, EC =, 在Rt △CBD 中, CD ==取CD 的中点P , 连接EP ,BP , BE ,则,EP CD BP CD ⊥⊥. …8分所以EPB ∠为二面角B CD E --的平面角. …9分在Rt △EPC 中, EP =在Rt △CBD 中, 12BP CD ==在Rt △EAB 中, EB =因为2225EP BP EB +==,所以90EPB ︒∠=. 所以二面角B CD E --的余弦值0. 12分20．解：（I ）设椭圆1C 的焦距为2c，依题意有2c =c a =解得a =2b =，故椭圆1C 的标准方程为221124x y +=. ………………3分 又抛物线2C ：22(0)x py p =>开口向上，故F 是椭圆1C 的上顶点，(0,2)F ∴，∴4p =，故抛物线2C 的标准方程为28x y =. ……………………5分（II ）显然，直线PQ 的斜率存在. 设直线PQ 的方程为y kx m =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则11(,2)FP x y =- ，22(,2)FQ x y =-，∴1212122()40FP FQ x x y y y y ⋅=+-++=，……………………6分即221212(1)(2)()440k x x km k x x m m ++-++-+= （*）联立221124y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得，222(31)63120k x kmx m +++-=（**）.依题意，1x ，2x 是方程（**）的两根，2214412480k m ∆=-+>，∴122631kmx x k -+=+，212231231m x x k -⋅=+，……………………7分 将12x x +和12x x ⋅代入（*）得220m m --=， 解得1m =-，（2m =不合题意，应舍去）. ……………………8分联立218y kx x y=-⎧⎨=⎩，消去y 整理得，2880x kx -+=，令264320k '∆=-=，解得212k =. ……………………10分经检验, 212k =, 1m =-符合要求.此时，12||x x -==∴1213||2FPQ S x x ∆=⨯⨯-=分21.解：（1）函数)(x f 的定义域为：),0(+∞…………1分 221)(xa x x a x x f -=-='…………3分 当0≤a 时，0)(>'x f ，)(x f 的单调递增区间为),0(+∞……4分当0>a 时，当a x >时，0)(>'x f ，)(x f 的单调递增区间为),(+∞a ；……5分 当),0(a x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 的单调递减区间为),0(a ；……6分 当a x =时，0)(='x f ，)(a f 为)(x f 的极小值 （2）方程2)(=x f 存在两个不同的实数解1x 、2x ，因此)(x f 必能不为单调函数， 所以0>a ，……7分令2)()(-=x f x F ，则)(x F 的的单调递减区间为),0(a ,单调递增区间为),(+∞a ,最小值0)(<a F∴210x a x <<<, 令)()2()(x F x a F x g --=，)2,[a a x ∈，∵ )()2()()2()(x f x a f x F x a F x g '--'='--'='0)2()(4222>⋅--=xx a a x a ……8分 ∴)(x g 在)2,[a a 上单调递增，且0)(=a g ，∴当)2,(a a x ∈时，0)(>x g ∵ )2,(21a a x a ∈-，∴0)2(1>-x a g ，0)2()()2()()2(11111>--=--=-x a f x f x a F x F x a g ……10分 ∵2)()(21==x f x f , ∴)2()(12x a f x f ->……11分 ∵ )(x f 的单调递增区间为),(+∞a ，2x 、),(21+∞∈-a x a ∴122x a x ->, ∴a x x 221>+……12分 22【解析】（1）圆C 的直角坐标方程为22(3)4x y -+=．∵222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，∴圆C 的极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=．(2) ∵直线l sin()14πθ-=，∴sin cos 1ρθρθ-=，∴直线l 的直角坐标方程为10x y -+=．设直线l 上点P ，切点为A ，圆心(3,0)C ，则有22224PA PC AC PC =-=-， 当PC 最小时，有PA 最小．∵PC ≥=2PA ≥=，∴切线长的最小值为2．。