李同林 弹塑性力学 第七章 柱体的扭转
弹塑性力学扭转问题
o T q Tdx a dy b dx y d T
x
y x Tdy
z
c
简化后得
2z 2z T 2 2 q 0 x y
17
即
q z T
2
此外，薄膜在边界上的垂度显然等于零，即
zs 0
由于q/T为常量，所以以上两式可改写为
T z 1 0, q
zx
, y
zy
4
将应力分量代入不计体力的 相容方程，可见：前三式及最后 一式得到满足，其余二式要求
注：体力为零时，空间问题 应力分量表示的相容方程
2 (1 ) x 2 0 x 2 2 (1 ) y 2 0 y
0, x d y dy
b a o x y
则 成为
2 C
d C 2 dy
2
22
积分，并注意在边界上
y b
即得
应力分量为
6M zx 3 y y ab zy 0 x
0
2
C 2 b2 y 2 4
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§9-3 薄膜比拟
由上节的例子可以看出，对于椭圆形这种简单等截面 直杆，我们给出了横截面上剪应力的计算表达式，但却没 有指出截面最大剪应力的位置及其方向；而对于矩形、薄 壁杆件这些截面并不复杂的柱体，要求出其精确解都是相 当困难的，更不用说较复杂截面的杆件了。为了解决较复 杂截面杆件的扭转问题，特提出薄膜比拟法。该方法是建 立在柱体扭转问题与受均匀侧压力而四周张紧的弹性薄膜 之间数学关系相似的基础上。 设有一块均匀薄膜，张在与扭转杆件截面相同或成比 例的边界上。当在侧面上受着微小的均匀压力时，在薄膜 内部将产生均匀的张力，薄膜的各点将发生图示 z 方向微 小的垂度。
弹塑性力学课程学习指导
(4) 理解纳唯叶(Navier)平衡微分方程的物理力学 意义。明确平衡微分方程的应用对象。
(5) 掌握静力边界条件(即应力边界条件)的应用。 明确弹塑性力学关于应力分量、体力分量、面 力分量的符号规则。
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第三章: 几何变形理论
(1) 深入理解位移、应变和应变状态的概念。 (2) 掌握柯西几何方程的应用和其物理意义。 (3) 理解应变谐调方程（相容方程）的物理
意义。 (4) 了解应变状态和应力状态，它们两者在
数学上的共性。
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第四章: 弹性变形、塑性变形、本构方程
(1) 固体材料的弹性变形与塑性变形的特点。 (2) 了解弹塑性力学力学模型的建立所应注意的问题。 (3) 理解弹性应变能和实功原理的概念，以及将弹性
应变比能分解成体变比能和畸变比能的物理意义。 (4) 熟练掌握各向同性体的广义虎克定律。 (5) 深刻理解主应力空间、屈服函数、屈服面、屈服
（1） 弹塑性力学课程基本教学内容目录； （2） 《应用弹塑性力学》，李同林编，中国地 质大学出版社2002版，本科教材；
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六、课程各章学习重点
本课程各章学习的重点表述如下，而各章学习内容的基本要求 和复习题请见专门的电子文档。
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第一章: 绪 论
(1) 了解弹塑性力学的基本任务。 (2) 明确弹塑性力学的研究对象。 (3) 明确弹塑性力学分析问题解决问题的
(2) 明确弹塑性力学最基本问题的边界条件类型。 (3) 了解位移解法、应力解法、逆解法和半逆解
法，着重掌握应力解法。了解位移解法的普 遍适用性。 (4) 明确圣文南原理的意义，以及在应用该原理 时必须满足的基本原则。
弹性力学 柱体的扭转
扭转问题的位移解法学习思路:本节讨论自由扭转问题的位移解法。
首先建立自由扭转的位移假设：一是刚截面假设；二是扭转的翘曲位移与轴线方向坐标无关。
通过上述假设，将柱体的扭转位移用横截面的翘曲表示，因此使得问题的基本未知量简化成为翘曲函数(x，y)。
基本未知量翘曲函数(x，y)。
确定后，通过基本方程，将应力分量、应变分量用翘曲函数表示。
位移表示的平衡微分方程要求翘曲函数满足调和方程。
因此只要选取的翘曲函数是调和函数，自然满足自由扭转问题的基本方程。
自由扭转问题的边界条件，可以分为两个部分：侧面边界条件和端面边界条件。
对于自由扭转，侧面边界不受力。
根据这一条件，可以转化为翘曲函数与横截面边界的关系。
端面采用合力边界条件，就是端面应力的合力为扭矩T。
这一边界条件，采用翘曲函数表达相当复杂。
学习要点：1. 扭转位移假设；2. 扭转翘曲函数满足的基本方程；3. 扭转边界条件；4. 扭转端面边界条件；当柱体受外力矩作用发生扭转时，对于非圆截面杆件，其横截面将产生翘曲。
如果横截面翘曲变形不受限制，称为自由扭转；如果横截面翘曲变形受到限制，就是约束扭转。
本章讨论的柱体扭转问题为自由扭转。
对于柱体的自由扭转，假设柱体的位移约束为固定左端面任意一点和相应的两个微分线素，使得柱体不产生刚体位移。
柱体右端面作用一力偶T，侧面不受力。
设柱体左端面形心为坐标原点，柱体轴线为z 轴建立坐标系。
柱体扭转时发生变形，设坐标为 z 的横截面的扭转角为，则柱体单位长的相对扭转角为。
而横截面的扭转角z。
对于柱体的自由扭转，首先考察柱体的表面变形。
观察可以发现，柱体表面横向线虽然翘曲，但是各个横向线的翘曲是基本相同的，而且横向线的轮廓线形状基本不变。
根据上述观察结论，对柱体内部位移作以下的假设：1．刚截面假设。
柱体扭转当横截面翘曲时，它在Oxy平面上的投影形状保持不变，横截面作为整体绕z 轴转动，如图所示。
当扭转角很小时，设OP=，则P点的位移为2．横截面的翘曲位移与单位长度的相对扭转角成正比，而且各个截面的翘曲相同,即w=(x，y)。
弹塑性力学-第7章柱体的弹塑性扭转
第七章柱体的弹塑性扭转第七章等截面柱体的弹塑性扭转在船舶、航空、土建以及机械工程等的机械传动机构中，作为传递扭矩的柱体是个重要的部件。
所谓柱体的扭转，是指圆柱体和棱柱体只在端部受到扭矩的作用，且扭矩矢量与柱体的轴线 z 的方向相重合。
扭转问题属于仅在端面上受力柱体的平衡问题，若严格地满足其边界条件，按弹塑性力学求解是比较困难的。
因此，利用圣维南原理，将边界条件放松，即认为柱体中间截面上的应力仅与端面上外力的合力及合力矩有关，这种放松了边界条件的问题称为圣维南问题。
即使对于圣维南问题，仍需要求解一组偏微分方程，并使其满足一定的边界条件。
但在实用上很少由直接积分其基本方程而得到解答，大部分工程问题用间接的或近似的方法得到。
在间接方法中，圣维南的半逆解法是很重要的。
即先在应力或位移分量中假设一部分未知函数，然后将这部分函数代入基本方程，求得另外一部分的未知函数，并使全部未知函数满足所给定的边界条件，则所假设的和求得的函数即为问题的解。
由于用应力作为基本未知函数用半逆法求解时可以导致比较简单的边界条件，因此求解比较方便。
7.1弹性柱体自由扭转的基本关系式与应力函数解在材料力学中曾经过讨论圆轴的扭转，其特点是扭转变形前后的截面都是圆形，而且每一个截而只作刚体转动，在小变形条件下，没有铀向位移，取坐标系为 x, y, z ，且柱体的轴线为z方向，z方向的位移为w，即w(x, y, z) 0。
这样，变形后截面的半径及圆轴长度基本不变。
非圆形截面柱体的情况要复杂得多。
由于截面的非对称性，在扭转过程中，截面不再保持为平面，而发生了垂直于截面的翘曲变形，即w(x, y, z)0 。
函数w(x, y, z) 称为翘曲函数。
下面讨论任意截面形状的棱柱体扭转基本方程。
设有任意截面形状的等截面棱柱体，柱体两端受纠扭矩 M T作用，如图7.1所示。
1.边界条件对于扭转问题，柱体侧面为自由表面，因此柱体侧面的边界条件为第七章柱体的弹塑性扭转x lxymxy l y m0(7.1-1)zx l zy m0式中 l cos( n, x), m cos( y, n) 。
弹塑性力学讲义 第八章柱体的自由扭转问题
再将(x,y)代入端面上的边界条件：
S2
方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)， x
S0
S1
y
面力： Z z 0 满足。 在,x,y 方向面力应用圣维南原理
A
zx
dA
XdA 0 ，恒满足。
A
A
zx dA
A
y
dxdy
(
y
dy)dx
(
A
B
)dx
0
A
zy
dA
YdA 0 , 恒满足。
oT
x
小压力 q 作用，薄膜将微微凸起， T
T
dy
而形成曲面 z=z(x,y)，薄膜仅承
T
y
受张力（拉力）T，下面来寻求
薄膜垂度 z=z(x,y) 所应满足的方程和边界条件。
寻求 z=z(x,y)应满足的方程，即求解方程是由薄膜微元 dxdy 的
z 方向的平衡条件来确定 (Fz = 0)。
Tdysin1 Tdysin2 Tdxsin3 Tdxsin4 qdxdy 0
dy n
y
X 0 l x m xy n zx 0
Y 0 l xy m y n zy 0 满足
Z
0
l zx
m zy
n z
lGk(
x
y)
mGk(
y
x)
或：
l(
x
y) m( y
x) 0
——边界条件用(x,y)的偏微
分表示。
由于 l cos(n, x) dx dy ， m cos(n, y) dy dx
边界上。
总结薄膜比拟与杆扭转各物理量之关系
柱扭转 (x,y) 2Gk
薄膜比拟 z(x,y) q/T
弹性力学第8章—柱体扭转问题
n
n
A
扭转刚度
KT = 2G ∑ ki Ai + 2G ∫∫ ψ dxdy
i =1 A
8.2 基本方程 （3）应力函数表示的应力、应变和翘曲函数
∂ψ ∂ψ τ zx = Gθ , τ zy = −Gθ ∂y ∂x
合力
⎛ ∂ψ ⎞ ⎛ ∂ψ ⎞ 2 2 τ = τ zx + τ zy = Gθ ⎜ +⎜ ⎟ ⎟ ∂ ∂ y x ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
8.3 矩形截面柱体的扭转
用应力函数方法求解，只要确
b/ 2
y
D
C
定应力函数，就可以进一步求出剪 应力和单位长度的相对扭转角。 应力函数方程
∇2ψ = −2
边界条件
b/ 2
O
x
B
A
a/ 2
a/ 2
b a x = ± 或 y = ± 时， ψ =0 2 2 上述问题称为泊松方程的第一边值问题，其解可由通解ψ 0和 特解 ψ 1 组成
A A
⎝ ∂x
∂y
⎠
对于柱体横截面是单连通域情况，利用斯托克斯公式，可得
⎛ ∂ψ ∂ψ ⎞ M T = −Gθ ∫∫ ⎜ x+ y ⎟ dxdy A ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎡∂ ⎤ ∂ = −Gθ ∫∫ ⎢ ( xψ ) + ( yψ ) ⎥ dxdy + 2Gθ ∫∫ ψ dxdy A ∂x A ∂y ⎣ ⎦ = −Gθ v ∫ ψ ( xl + ym ) ds + 2Gθ ∫∫ ψ dxdy
T
8.2 基本方程
8.2.1 基本关系式
位移表达式 圆柱上距离轴线为 r 的任 一点P的位移
u = − ( rθ z ) sin α = − yθ z ⎫ ⎪ v = ( rθ z ) cos α = xθ z ⎬ w = w ( x, y ) = θϕ ( x, y ) ⎪ ⎭
弹塑性力学(7)
(a)用压力p表示屈服准则； (b)找到圆筒刚好屈服时的弹性极限压力p＝pe (c)当圆筒刚刚屈服时，确定塑性应变增量的比率。
Drucker-Prager屈服函数f 采用下面的形式：
f = aI1 + J2 − k
对于线性各向同性 f = g = 2I1 + J2 − k 的理想弹塑性 材料根据式(7.35)有
其中
C ep ijkl
=
(K
−
2G 3
)δ
ijδ
kl
+G(δikδ
jl
+
δilδ
jk
)
−
1 9ka2 +
G
Hij H kl
Hij = 3Kαδij +
G J2 sij
(7.52)
弹塑性本构矩阵
⎡ ⎢ ⎢
K
+
4 3
G
⎢
⎢
[C
ep
]
=
⎢ ⎢
⎢
⎢ ⎢
对
⎢
⎢⎣
K − 2G 3
K + 4G 3
K − 2G 3
0
0
0⎤⎥ ⎥
⎡⎢H121
K − 2G 3
K + 4G 3
0 0
0 0
0⎥⎥ ⎥
0⎥ ⎥
−1
9Kα2
+G
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
对
= Cijkl
−
弹塑性力学第七章答案
第七章 习题答案7.3 设123S S S 、、为应力偏量，试证明用应力偏量表示Mises 屈服条件时，其形式为：s σ= 证明：Mises 屈服条件为()()()22221223312s σσσσσσσ-+-+-=()()()()()()2221223312221231223312222123123231222S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S =-+-+-=++---⎡⎤=++-++⎢⎥⎣⎦左式()1232222123032s S S S S S S σ++=∴=++= 左式故有s σ= 7.4 试用应力张量不变量1J 和2J 表示Mises 屈服条件。
解：1123J σσσ=++ ()2122331J σσσσσσ=-++Mises 屈服条件：()()()22221223312s σσσσσσσ-+-+-=()()()()22212312233121221223312212223232s J J σσσσσσσσσσσσσσσσσσσ=++---⎡⎤=++-++⎣⎦=+=左式 故有 22123s J J σ+= 7.5 试用Lode 应力参数σμ表达Mises 屈服条件。
解：由定义：8max ττ======即()()1313312σσσσ=-- Mises 屈服条件为()()()22221223312s σσσσσσσ-+-+-=将上式代入，得：()13sσσσ-= 即：13s σσσ-=7.6 物体中某点的应力状态为21000002000/00300MN m -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，该物体在单向拉伸 时2190/s MN m σ=，试用Mises 和Tresca 屈服条件分别判断该点是处于弹性状态还是塑性状态，如主应力方向均作相反的改变（即同值异号），则对被研究点所处状态的判断有无变化?解：（1）Mises 屈服条件判断()()()()()22242122331242610/7.2210/sMN m MN mσσσσσσσ-+-+-=⨯=⨯故该点处于弹性状态 （2）Tresca 屈服条件判断213200/MN m σσ-=故该点处于塑性状态如果各应力均作为变号，则以上各式不变，所作判断没有变化。
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第七章 柱体的扭转§7—1 任意等截面直杆的自由扭转所谓柱体的扭转，是指任意形状等截面直杆只在端部横截面上作用着大小相等指向相反的力偶矩矢时的变形。
力偶矩矢（即扭矩矢）与柱体的轴线 z 相重合； 若杆件横截面的变形不受约束，则称为自由扭转。
通常约束扭转对于实体杆件影响不大，而对于开口或闭口薄壁杆件，将伴随有纵向弯曲。
本章讨论自由扭转问题。
圆形截面柱体的自由扭转，在材料力学课程中已经进行过讨论。
非圆形截面柱体的情况则要复杂得多。
由于截面的非对称形式，在扭转过程中，截面将不再保持为平面，横截面上各点产生轴向位移，而发生截面的翘曲变形，即：0),,( z y x w上述函数 ),,(z y x w 称为翘曲函数，翘曲函数在一些弹性力学教科书中亦称为扭转函数 。
翘曲函数（扭转函数）在自由扭转问题中可进一步证明，仅是x 、y 的函数。
下面我们在讨论柱体的扭转问题中采用应力解法应力函数解法求解。
设有一任意截面柱体，受扭矩M T 作用，如图7—1所示，在计算中为简便起见，可假定杆的右端不能转动，但可以自由翘曲。
这样就限制了柱体的刚性位移。
选取右手坐标系，坐标原点o 为右端横截面的形心，z 轴与杆轴重合，x 、y 轴为左端面内相互垂直的一对形心轴。
根据截面的翘曲变形与z 无关，即各截面的翘曲都一样，可以取z 为任意值处的横截面mn 研究，这就是说，翘曲函数w 仅为x ，y 的函数，即：),(y x w w = （7—1）此外，假设：柱体发生变形后截面只有绕z 轴的刚周边的刚性转动。
单位长度的（相对）扭转角 θ 是一个常数。
因而，截面的总扭转角与该截面到右端固定端坐标原点o的距离z 成正比（固定端没有转动但有翘曲），即 z 处截面的扭转角为 z θ 。
显然：总扭转角包括有累积的刚性转动位移；而所引起的角应变 γ与柱体截面的位置坐标z 无关；在图7—2中表示了 z θγ与 的关系。
现在考察离固定端为z 的截面上离形心o '为r 的任一点M (x , y , z ) ，扭转后位移到 M '点，沿x , y 方向的位移分量（图7—3）有：z y z r u θαθ-=-=sin )( ；z x z r v θαθ==cos )( （7—2）式中α为 o ' M 与x 轴正方向所成的角。
将式(7—1)、（7—2）代入几何方程，得：θγθγεεγεx yw y x w zyzxz yxyx +∂∂=-∂∂=====0；； （7—3）广义Hooke 定律简化为：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂==⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂====== 0θγτθγττσσσx y w G G y x w G G zy zyzx zxxy z y x；；（7—4）而平衡微分方程（不计体力）简化为：0=∂∂zzxτ=∂∂zzyτ=∂∂+∂∂yxzyzxττ（7—5）已知空间问题的用应变表示的相容方程为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂=∂∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂zy x z y x x z zxzy x y x z z y yzz y x x z y y x xyxy zx yz z zx x z xy zx yz yy z yxy zx yz xxyyx γγγεγεεγγγεγεεγγγεγεε 2 2 2 2222222z22222222222；；；若满足相容方程，则需将式（7—4）中zxτ的表达式对y 微分，zyτ 的表达式对 x 微分后相减，可得用应力表示的由几何方程转换的应变协调方程，即：θττG xyzyzx2-=∂∂-∂∂ （7—6）于是问题归结为：任意形状截面的柱体扭转时的应力解，可由式(7—5)、(7—6)两式联立求解，再满足问题的边界条件即可。
上述问题的解，可采用应力函数法。
为此，如取一个函数 ψ，使得：yzx ∂∂=ψτxzy∂∂-=ψτ(7—7)此处 ψ 称（扭转）应力函数，．为Prandtl 首先提出。
显然式（7—7）满足平衡方程。
而应变协调方程（7—6）则简化为：θψψψG yx222222-=∂∂+∂∂=∇ （7—8）由此知应力函数 ψ 应当满足偏微分方程（7—8），这种型式的方程称泊松(Poisson)方程。
于是问题归结为：关于任意形状截面的柱体扭转时的应力解，采用应力函数的解法，首先令函数 ψ 满足泊松(Poisson)方程，证明是应力函数，再代入方程（7—7）求解应力分量，同时满足问题的边界条件即可。
现在我们来考察边界条件：建立边界条件时，注意到全部应力分量关系，关于柱体的侧面为自由表面（图7—4），有：0=+=+=+y zy x zx y y x yx y xy x x l l l l l l ττσττσ；； （7—9）式中：; d d ),cos(sy x n l x ==;d d ),cos( sx y n l y -== 0),cos( ==z n l z（7—10）其中 x = x (s ),y = y (s ) , 并且s 增加时， y 增加，而 x 减少，故在上式的d x 前以负号来表示。
在端面有：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑==∑==∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰0d 0 0d 0 0d 0A Z A Y A X z zy zx σττ，，， （7—11 a ） ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=--=∑==∑==∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 0y)d ( 0 0d 0 0d 0Tzx zy zz yz x M A x MA x M A y M ττσσ，，， （7—11 b ）在图7—5（a ）中所表示的应力分量 xzτ 与 yzτ均为正的方向。
图7—5（a ）中的M T 为 z 段右端作用扭矩，o ′处的“○”点表示z 轴正向。
由式（7—4）知仅有xzτ与 yzτ，其它应力分量：0====xyzyxτσσσ于是注意到：上述边界条件式（7—9）中仅有第三式和式（7—11）中仅有第一、二、六式需进一步满足，其余各式都是零的恒等式。
现在先根据侧面边界条件，将式（7—7）及（7—10）代入（7—9）第三式得：常数或===∂∂+∂∂ψψψψ ,0d d d d d d ss x x sy y（7—12）上式说明，沿柱体任意截面的边界曲线，应力函数 ),(y x ψ 为任意常数。
因此在此问题中，所要求的只限于 ψ 的一阶导数，即切应力分量。
所以将常数取为零必然符合边界条件。
即有：00=ψ（沿周边C ） （7—13）在多连域截面的情况下，虽然应力函数 ψ 在每一边界上都是常数，但各个常数不能相同，此时只能把其中某一个边界（一般为外边界）上的 ψ取为零。
再按端部边界条件来计算应力函数与扭矩M T 的关系式。
由（7—11）第六式得：⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂-∂∂-=-=AAAzx zyTyx yyy x xxy x y x Md d d d d d )(ψψττyyyx x xxyd d d d ∂∂-∂∂-=⎰⎰⎰⎰ψψ （a ）其中A 为截面面积。
将上式进行分部积分，并注意到：aψ及bψ是横截面边界上点a 及点b 的值 ψ，所以 0==baψψ，见图7—7。
于是有：()⎰⎰⎰⎰--=∂∂-x x y x xxy b ax x d d d d ψψψ⎰⎰⎰⎰⎰=+--=y x y x x x y a a bb d d d d )(d ψψψψ(b )同理⎰⎰⎰⎰=∂∂-y x y yyx d d d d ψψ（c ）于是式（a ）成为⎰⎰=y x M Td d 2ψ （7—16）上式标明：如在截面上每一点有一个),(y x ψ值，则扭矩 T M 为 ψ曲面下所包体积的二倍。
对于端部边界条件式（7—11）中的第一、二式则有：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=∂∂=∂∂=d )(d d d d d d x y yx y x yy x c dAdczxψψψψτ（d ）式中 0==dcψψ为截面边界上的 ψ 值。
同理d d =⎰⎰Azyy x τ（e ）从式（d ）及（e ）可知上述边界条件自然满足。
对于柱体扭转问题的解，如给定单位扭转角 θ ，则由式（7—8）和式（7—13）唯一地确定扭转应力函数 ψ。
从而由式（7—7）求出应力，由式（7—16）求出扭矩。
然后可以从式（7—4）求出应变，以及翘曲函数w 。
但我们注意到由式（7—4）及式（7—7）有：xG zv yw yG x w z u yzxz∂∂-=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=ψγψγ11； （7—17）当通过积分来求位移函数和翘曲函数时，所得结果中总含有表示刚体位移的积分常数。
所以位移函数和翘曲函数可准确到一个附加常数的范围内。
仿照材料力学圆轴扭转公式建立扭矩与单位扭角之间的关系式为：T TK M=θ （7—18）K T 表示为扭转刚度，其单位与扭矩的单位相同，是扭转问题中很有用的一个概念。
在以下章节的具体问题中，再来讨论其表示值。
现在来计算柱体横截面任一点M 的合剪应力，因为剪应力分量zxτ、zyτ均在微分体的z 向截面上（其法线方向），故而该点的合剪应力的大小为：|g r a d |2222ψψψψτττ=∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=+=nx y zyzx（7—14）由于其它应力分量都为零，故而上式说明柱体的各点均处于纯剪切应力状态。
又由梯度的定义知，上式(7—14)中n 为ψ等值线（=ψ常数）的法线方向，于是上式（7—14）表明：合剪应力的大小：为所求一点M 处的梯度，也即该点法线的斜率。
合剪应力的方向：我们可以参照式（7—7），设想以等值线的法线方向 n 代替 x 方向，等值线的切线方向 s 代替 y 方向，这是因为在截面上 x 轴和 y 轴可以取任意两个垂直方向（图7—6）。
于是法向剪应力分量 znτ与切向剪应力分量 zsτ分别为：szn ∂∂=ψτnzs ∂∂-=ψτ （7—15）如果s 是等值线（=ψ常数），则 0d /d =s ψ。
显然可以利用侧面边界条件式（7—12）来说明沿柱体截面的ψ等值线(包括边界曲线)，0/=∂∂=s znψτ。
亦即截面任意一点M 处，切向剪应力nzs∂-∂=/ ψτ就是合剪应力。
换句话说，合剪应力的大小为n ∂∂/ψ，合剪应力的方向为等值线的切线方向。
图7—6中所表明的剪应力方向均为受正扭矩作用下的实际剪应力方向，图中的M T 即如前所述的为右端固定端的作用扭矩。
根据上述分析知：如截面存在某一等值线 ψ，则等值线上各点的剪应力τ均与等值线相切，故而等值线即为剪应力线，但线上各剪应力的数值一般不相等。
显然因为边界线C 为 0=ψ 的等值线，也即边界上的剪应力方向必须与边界线切线一致，故周界线C 本身也是一条剪应力线。