浙教版二次函数ppt
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浙教版初中数学《二次函数》教学课件(共24张PPT)
二 一常 次 次数 项 项项
y=ax2+bx+c 二次函数的一般式
二一 次次 项项 系系 数数
分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数
项。 函数表达式
二次项 一次项 常数项 系数 系数
y=x2+1
1
0
1
y=－2x2
－2
0
0
y=－3x2+7x－12
－3
7
－12
y==2－x(21－x2x+)2x
这个二次函数的表达式。
解：把x=2，y=3；x=－2，y=2；x=4，y=2代入函数式y=ax²+bx+c
4a 2b c 3 得方程组 4a 2b c 2
16a 4b c 2
解方程组，得
∴这个二次函数的解析式为 y 1 x2 1 x 3
84
当x=1.5cm时，y=2.5 cm2 当x=1cm时，y=3.125 cm2
x(cm) 0.25 0.5
1
1.5 1.75
y(cm2) 3.125 2.5
2
2.5 3.125
1、某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增 长率为x。求该工厂2月份的产值y关于x的函数关系式
为 y 200(1 x) 。
变式1：已知函数 y xk 2 3k 2 kx 1 是二次函
数，则k的值为 0或3 。
k2－3k+2=2 变式2：已知函数 y (k 3)xk 2 3k 2 kx 1 是二
次函数，则k的值为 0 。
k2－3k+2=2且k－3≠0
已知二次函数y=ax²+4x+c，当x=－2时，函数值为 －1，当x=1时，函数值为 5，求这个二次函数的解析式。
y=ax2+bx+c 二次函数的一般式
二一 次次 项项 系系 数数
分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数
项。 函数表达式
二次项 一次项 常数项 系数 系数
y=x2+1
1
0
1
y=－2x2
－2
0
0
y=－3x2+7x－12
－3
7
－12
y==2－x(21－x2x+)2x
这个二次函数的表达式。
解：把x=2，y=3；x=－2，y=2；x=4，y=2代入函数式y=ax²+bx+c
4a 2b c 3 得方程组 4a 2b c 2
16a 4b c 2
解方程组，得
∴这个二次函数的解析式为 y 1 x2 1 x 3
84
当x=1.5cm时，y=2.5 cm2 当x=1cm时，y=3.125 cm2
x(cm) 0.25 0.5
1
1.5 1.75
y(cm2) 3.125 2.5
2
2.5 3.125
1、某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增 长率为x。求该工厂2月份的产值y关于x的函数关系式
为 y 200(1 x) 。
变式1：已知函数 y xk 2 3k 2 kx 1 是二次函
数，则k的值为 0或3 。
k2－3k+2=2 变式2：已知函数 y (k 3)xk 2 3k 2 kx 1 是二
次函数，则k的值为 0 。
k2－3k+2=2且k－3≠0
已知二次函数y=ax²+4x+c，当x=－2时，函数值为 －1，当x=1时，函数值为 5，求这个二次函数的解析式。
浙教版九年级上册 1.2.2 二次函数的图象 课件(共35张PPT)
（1）抛物线y=ax2的对称轴是 ，顶点是 .
y轴
原点
向上
最低点
向下
最高点
越小
那么y=ax2+k 呢？
知识点1
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。
解：先列表：
x
…
当x≤-m时，y随x增大而减小；当x≥-m时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=-m
直线x=-m
（-m,k）
x=-m时，y最小值=k
x=-m时，y最大值=k
（-m,k）
图1-2-9
例3.某二次函数图象的一部分如图1-2-9所示，请求出该二次函数的表达式，并直接写出该二次函数图象在 轴右侧部分与 轴的交点坐标.
D
A. B. C. D.
B
9. 把二次函数 的图象绕原点旋转 后得到的图象的函数表达式为_________________.
[解析] 二次函数 的图象开口向上，顶点坐标为 ，图象绕原点旋转 后得到的图象的顶点坐标为 ，开口向下，所以旋转后的新图象的函数表达式为 .
10.（2021杭州一模）已知二次函数 （ 是实数）.
-m
k
思考
想一想，试着画出二次函数y=a(x+m)2+k不同情况下的大致图象.（ 按a,m,k的正负分类 ）
二次函数y=a(x+m)2+k的图象和性质
归纳
a>0
a<0
图象
m>0
m<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
y轴
原点
向上
最低点
向下
最高点
越小
那么y=ax2+k 呢？
知识点1
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。
解：先列表：
x
…
当x≤-m时，y随x增大而减小；当x≥-m时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=-m
直线x=-m
（-m,k）
x=-m时，y最小值=k
x=-m时，y最大值=k
（-m,k）
图1-2-9
例3.某二次函数图象的一部分如图1-2-9所示，请求出该二次函数的表达式，并直接写出该二次函数图象在 轴右侧部分与 轴的交点坐标.
D
A. B. C. D.
B
9. 把二次函数 的图象绕原点旋转 后得到的图象的函数表达式为_________________.
[解析] 二次函数 的图象开口向上，顶点坐标为 ，图象绕原点旋转 后得到的图象的顶点坐标为 ，开口向下，所以旋转后的新图象的函数表达式为 .
10.（2021杭州一模）已知二次函数 （ 是实数）.
-m
k
思考
想一想，试着画出二次函数y=a(x+m)2+k不同情况下的大致图象.（ 按a,m,k的正负分类 ）
二次函数y=a(x+m)2+k的图象和性质
归纳
a>0
a<0
图象
m>0
m<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象 浙教版九年级数学上册课件(共14张PPT)
y 1 ( x 2)2 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
2
y 1 ( x 2)2 2
4.5 2 0.5 0 0.5 2
描点和连线
三个函数图象之间： 顶点坐标有什么关系？ 对称轴有什么关系？ 图象之间的位置有什么关系？
y 1 x 22 向左平移
2
2个单位
y 1 x2 2
3.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
向上 向下 向上 向下
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 ( 1, －2 ) 直线x=3 ( 3 , 7) 直线x=2 ( 2 , －6 )
怎样移动抛物线 y 12就x2可以得到抛物线
y ？12 (x 1)2 1
平移方法1
y 1 x2 2
1
个 单 位
向 下 平 移
y 1 (x 1)2 1 2
向左平移 1个单位
y 1 x2 1 2
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3
y 1 x2
例题讲解
例 对于二次函数请回答下列问题： （1）把函数y 1 x2的图象作怎样的平移
3
变换，就能得到函数y 1 ( x 4)2 的图象？
3
（2）说出函数 y 1 ( x 4)2的图象的顶点坐标
3
和对称轴.
解 (1) 函数y=－1 x1（x－4）2的图象;
-10
2
一般地，函数y=a（x－m）2+k(a≠0)的图象，可以由函数 y=ax2的图象先向右（当m>0）或向左（当m<0）平移|m|个单位， 再向上（当k>0）或向下（当k<0）平移|k|个单位得到，顶点是 （m，k），对称轴是直线x=m.
浙教版九年级上册 1.1 二次函数 课件(共20张PPT)
情境
2.y = 2(1+x)2 =2x2+4x+2
知识
精讲
3.y= (56-x)(x-2)=-x2+58x-112
例题 上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?
解析
小结
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式.
梳理
(a,b,c是常数, 且a≠0 )
当堂 检测
概念讲解
二次函数的一般式
创设 情境
创设
情境 已知 AB＝6cm，CD＝3cm，AD＝4cm. (1)求四边形纸板 CGEF 的面积 S(cm2)关于 x 的函数表达式和 x 的取值范围；
知识 (2)当 S＝8 时，求 AE 的长度．
精讲
例题 解析
小结 梳理
当堂 检测
挖掘教材
1：函数 y m 3 xm27
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
解析
4.函数 y＝(x－1)2＋(2x－1)2 中二次项系数为________，一次项系数为________，
小结
梳理
常数项为
．
当堂 检测
例题解析
例 1 如图，一张正方形纸板的边长为 2cm，将它剪去 4 个全等的直角三角形（图中阴影部 创设 分） ,设 AE＝BF＝CG＝DH＝X（cm），四边形 EFGH 的面积为 y（cm2） .
1.1 二次函数
知识回顾
创设 什么叫函数?
情境
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取
知识
精讲 一个确定的之间的关系我们把它叫做函数关系。
例题
解析
对于上述变量x、y，我们把y叫x的函数，x叫自变量。
小结
浙教版九年级数学上册：1.1 二次函数 (共28张PPT)
及常数项：
(1)y＝(2x＋3)(x－1)＋5； (2)y＝4x2－12x(1＋x)； (3)y＝(x＋1)(x－1)．
解析：先把二次函数的表达式整理成y＝ax2＋bx＋c
(a≠0)的形式，再确定二次项系数、一次项系 数及常数项．
知1－讲
解：(1)∵y＝(2x＋3)(x－1)＋5＝2x2＋x－3＋5＝2x2＋x＋2， ∴一般形式为y＝2x2＋x＋2，二次项系数为2，一次
（来自《点拨》）
知1－讲
总 结
解决此类问题要注意两点，一是利用定义法，严
格按照二次函数的定义判断；二是利用转化思想将比
较复杂的二次函数的表达式先化简后再判断．注意二 次函数是指可化简为形如y＝ax2＋bx＋c的函数，其中 a≠0，a，b，c是常数．
（来自《点拨》）
知1－讲
【例2】 指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数
)
D.y＝－1 000x2＋6 000x
（来自《典中点》）
知3－练
3
下列函数关系中，不是二次函数的是(
)
A．边长为x的正方形的面积y与边长x的函数关系 B．一个直角三角形两条直角边长的和是6，则这个直 角三角形的面积y与一条直角边长x的函数关系 C．在边长为5的正方形内挖去一个边长为t的小正方形，
国民生产总值为y亿元，则y与x之间的函数表达式 y＝3 000(x＋1)2 ，y是x的_______ 为_________________ 二次 函数，自
变量x 的取值范围是______ x＞ 0 ．
知3－讲
解析：2012年该市的国民生产总值为3 000(x＋1)亿元， 2013年该市的国民生产总值为3 000(x＋1)2亿元，
3．二次函数必须具备以下三个条件：(1)等号左边是变
浙教版初中数学二次函数的性质 教学课件(共20张PPT)
3.05
1
篮球运动员投篮时，球运动的路线为抛物线的一部
题
分（如图），抛物线的对称轴为x=2.5。
求：
目
⑴球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；
当x ≥2 时,y随着x的增大而增大.当x=_2___时,y有最_小__值=__-_2___
a0
当x b 时，y随x的增大而减小；当x b 时，y随x的增大而增大
2a
2a
当x b 时，y达到最小值，最小值为 4ac b2 ;无最大值
2a
4a
一般地，二次函数 y ax2 bx c(a 0) 有以下性质:
4
3
先增大，后减小.
2
1
当x ≤3 时,y随着x的增大而增大
-5 -4 -3 -2 -1 O
-1
1
23
4 5X
当x ≥3 时,y随着x的增大而减小.
-2
该函数的顶点是图象的 最高 该函数有没有最大值和最点小值？
-3
-4
-5
y x2 6x 8
当x=_3___时,y有最_大__值=__1____
?
自变量x的取值范围为：0≤x≤4.
⑵球在运动中离地面的最大
2.25米
高度为3.5米。
o
4米
3.05米
x
（3）姚明双手举起的高度是2.95m,在科比 前1m处，不跳起的情况，姚明能碰到科比 投出的篮球吗？
1
（4）姚明双手举起的高度是2.95m,在科比 前1m处， 应跳起多少高度，姚明才能碰到科比投出 的篮球吗？
a0
当x b 时，y随x的增大而减小；当x b 时，y随x的增大而增大
2a
2a
1
篮球运动员投篮时，球运动的路线为抛物线的一部
题
分（如图），抛物线的对称轴为x=2.5。
求：
目
⑴球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；
当x ≥2 时,y随着x的增大而增大.当x=_2___时,y有最_小__值=__-_2___
a0
当x b 时，y随x的增大而减小；当x b 时，y随x的增大而增大
2a
2a
当x b 时，y达到最小值，最小值为 4ac b2 ;无最大值
2a
4a
一般地，二次函数 y ax2 bx c(a 0) 有以下性质:
4
3
先增大，后减小.
2
1
当x ≤3 时,y随着x的增大而增大
-5 -4 -3 -2 -1 O
-1
1
23
4 5X
当x ≥3 时,y随着x的增大而减小.
-2
该函数的顶点是图象的 最高 该函数有没有最大值和最点小值？
-3
-4
-5
y x2 6x 8
当x=_3___时,y有最_大__值=__1____
?
自变量x的取值范围为：0≤x≤4.
⑵球在运动中离地面的最大
2.25米
高度为3.5米。
o
4米
3.05米
x
（3）姚明双手举起的高度是2.95m,在科比 前1m处，不跳起的情况，姚明能碰到科比 投出的篮球吗？
1
（4）姚明双手举起的高度是2.95m,在科比 前1m处， 应跳起多少高度，姚明才能碰到科比投出 的篮球吗？
a0
当x b 时，y随x的增大而减小；当x b 时，y随x的增大而增大
2a
2a
第1章 二次函数 浙教版九年级数学上册复习课件(共17张PPT)
（1）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示， 图象经过（1，0），从中你能得到哪些结论？
（2）m满足什么条件时方程ax2+bx+c=m，①有两个不 相等的实数根？②有两个相等的实数根？③没有实 数根？
y
4
-1
o
1
x
图1
• 若把图1的函数图象绕着顶点旋转180度，则能得
到函数的表达式是
4ac 4a
b2
直线x b 2a
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b 2a
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的 增大而减小 在对称轴的右侧, y随着x的 增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的 增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的 增大而减小.
最值
得到y=2 x2 －4x－1则a＝ ，b＝ ，c＝
.
3与.如分图别，经两过条点抛（物-2线,0）y,1（2,012）x且2 平1行、于y2y轴的12两x 2条1
平行线围成的阴影部分的面积为（ ） Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．4
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方 程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、二次函数的定义
如果函数 y k 1 xk2k2 kx 1 是关于x的二次函
数，则k＝
?
一般地， 如果y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0)， 那么，y叫做x的二次函数。
2、二次函数的图像和性质(画两幅图)
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向
浙教版九年级上《1.1二次函数》课件(共18张PPT)
须根据意确定自变量的取值范围.
2 形如y=ax +bx+c
练一练:
1、下列函数中,哪些是二次函数?
2
(1) y = x
是
1 (2) y = - 2 不是 x
2x + 1 是
2 2
(3) y = x 2
(4) y = ( x - 5) - x
不是
知识运用
下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 (2)y=3x2
列函数关系
1、圆的半径是x（cm），则它的面积y与半径x之间 2 y = ∏ x 的函数关系式是 . 2、总长为60的篱笆围成矩形场地，矩形面积y与 y=(30-x)x 矩形一边长x之间的关系是 =-x2+30x • 3、王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一 年后银行将本息自动转存为又一个一年定期.两年后 王先生共得本息y元与年存款利率x之间的函数关系式 y=2(1+x)2 2+4x+2 = 2 x 是
-3
1 3
10 3
13 3
二次函数的一般形式
函数y=ax2+bx+c 其中a、b、c是常数 切记：a≠0 右边是一个x的二次多项式（不能是分式或根式） 二次函数的特殊形式： 当b=0时， y=ax2+c 当c=0时， y=ax2+bx 当b=0，c=0时， y=ax2
想一想:
函数y = ax 2 + bx + c(其中a, b, c是常数)，当a, b, c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？
观察下列函数,说出其特点. (1) y=∏x2 (2) y=-x2+30x (3) y=2x2+4x+2 共同特点是:自变量的最高次数都是2
2 形如y=ax +bx+c
练一练:
1、下列函数中,哪些是二次函数?
2
(1) y = x
是
1 (2) y = - 2 不是 x
2x + 1 是
2 2
(3) y = x 2
(4) y = ( x - 5) - x
不是
知识运用
下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 (2)y=3x2
列函数关系
1、圆的半径是x（cm），则它的面积y与半径x之间 2 y = ∏ x 的函数关系式是 . 2、总长为60的篱笆围成矩形场地，矩形面积y与 y=(30-x)x 矩形一边长x之间的关系是 =-x2+30x • 3、王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一 年后银行将本息自动转存为又一个一年定期.两年后 王先生共得本息y元与年存款利率x之间的函数关系式 y=2(1+x)2 2+4x+2 = 2 x 是
-3
1 3
10 3
13 3
二次函数的一般形式
函数y=ax2+bx+c 其中a、b、c是常数 切记：a≠0 右边是一个x的二次多项式（不能是分式或根式） 二次函数的特殊形式： 当b=0时， y=ax2+c 当c=0时， y=ax2+bx 当b=0，c=0时， y=ax2
想一想:
函数y = ax 2 + bx + c(其中a, b, c是常数)，当a, b, c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？
观察下列函数,说出其特点. (1) y=∏x2 (2) y=-x2+30x (3) y=2x2+4x+2 共同特点是:自变量的最高次数都是2
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例题
把下列 函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数以及常数项 1）y=x²+x（x+1） 2）y=（2x+3）（x-1） +5 3) y= （x-1）²+（x-1）（x+1） 4）y=x（x-1/x）+2x 1）y=2x²+x 2）y=2x²+x+2 3）y=2x²-2x 4）y=x²+2x-1 a=2 b=1 c=0 a=2 b=1 c=2 a=2 b=-2 a=1 b=2 c=-1
二次函数的定义
我们把形如y=ax²+bx+c（其中abc为常数，a≠0）的函 数叫做二次函数，如之前的y=6x² ，y=200 （1+x）²，S=-L²+30L这些都是y关于x的二次 函数 由定义得，①二次函数等号右侧是关于自变量x的二 次多项式，左边是一个变量 ②自变量的最高次数为2 ③二次项的系数不为零（a≠0）
动脑筋
二次函数y=ax²+bx+c(其中abc为常数，a≠0)和一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)的关系？
我们发现把只要将二次函数的因变量y换成一 个常数，它就变成一个一元二次方程了！
试一试
下列函数是：①y=√3x²②y=x²-x（x+1）③y=x²（x²+x）-4 ④y=1/x²-x ⑤y=x（1-x），哪些是二次函 数（ ⑤ ） a是（ -1 ） b是 （ 1 ） c是（ 0 ） 1、函数①y=x＋1/x；②y=3（x－1）²＋2；③y=（x＋3）²－2x²；④y=1/x²＋x中是二次函数的有 ②③ _______
二次函数
1.1二次函数
知识回顾
• 我们之前已经学习了 一次函数：形如y=kx+b（其中k，b为常数且 k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx（k≠0）是正比例函数。 • 反比例函数：y=k/x（k为常数，k≠0） • 今天我们要学习一种新的函数叫做二次函数。
课前推导
• 我们设正方体的棱长为x，那么正方体的表面积y（cm²）与x的关 系是( y=6x² ) • 化工厂一月份生产某种产品200吨，三月份生产y吨，则y与月增 长率x自变量的关系是( y=200 （1+x）² ) • 有一个矩形，它的长与宽的和为30cm，设长为L，矩形面积为S， 那么面积S与长L的关系式是（ S=-L²+30L ）
破题小招数
1)要确定二次函数的二次项系数，一次项系数和常数项系数，首先把二次函数 的表达式化成一般形式 2）注意二次函数的各项系数包括前面的符号 3）自变量x的范围取决于因变量y
Hale Waihona Puke 意！！！列函数的表达式的关键是像列方程一样解应 用题那样找出等量关系，再根据等量关系列 出函数表达式，最后化成一般形式，要特别 注意根据问题的实际意义写出自变量的取值 范围。
待定系数法
我们将已知的自变量与函数的对应值带入，列出方程组，求得各项系数以及常数 项，进而求得二次函数的表达式，最后代指求解。这种方式得到方程我们称为待 定系数法 在运用待定系数法的过程我们一般分为三步 1）先设出表达函数关系的表达式， 2)在根据已知条件列方程或方程组求出待定系数， 3)最后将求得的系数带入表达式的相应位置，写出函数的表达式
思考 判断二次函数的最重要标准是？
未知数的最高指数是不是2次
二次函数的一般形式
任何一个二次函数的表达式都可以化为y=ax²+bx+c(其中 abc为常数，a≠0)的形式，因此把y=ax²+bx+c(其中abc为常 数，a≠0)称作二次函数的一般形式，其中ax²，bx ，c分别 是二次项，一次项和常数项。而a，b分别是二次项系数和 一次项系数