2017-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题25

学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A．一条中线上的点，但不是中心B．一条垂线上的点，但不是垂心C．一条角平分线上的点，但不是内心D．中心【解析】由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心．【答案】 D2．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(x＋y)n＝x n＋y nD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)【解析】乘法的结合律与加法结合律相类比得(xy)z＝x(yz)．故选D.【答案】 D3．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c，类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S-ABC的体积为V，则R＝()A.VS1＋S2＋S3＋S4B．2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D．4VS1＋S2＋S3＋S4【解析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体S-ABC ＝13(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝3VS1＋S2＋S3＋S4.【答案】 C4．在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d≠0，则有a4a6>a3a7.类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q≠1，则关于b5，b7，b4，b8的一个不等关系正确的是()A．b5b7>b4b8B．b7b8>b4b5C．b5＋b7<b4＋b8D．b7＋b8<b4＋b5【解析】b5＋b7－b4－b8＝b1(q4＋q6－q3－q7)＝b1[q3(q－1)＋q6(1－q)]＝b1[－q3(q－1)2(1＋q＋q2)]<0，∴b5＋b7<b4＋b8.【答案】 C5．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A-BCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则AOOM＝()A．1 B．2 C．3 D．4【解析】如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM＝63，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等体积法有4×13×34r＝1 3×34×63⇒r＝612，故AO＝AM－MO＝63－612＝64，故AO∶OM＝64∶612＝3∶1.【答案】 C二、填空题6．二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝43πr3，观察发现V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________. 【导学号：67720014】【解析】因为V＝8πr3，所以W＝2πr4，满足W′＝V.【答案】2πr47．在Rt△ABC中，若C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b22，将此结论类比到空间有______________________________．【解析】Rt△ABC类比到空间为三棱锥A-BCD，且AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD；△ABC的外接圆类比到空间为三棱锥A-BCD的外接球．【答案】在三棱锥A-BCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AB＝a，AC＝b，AD＝c，则三棱锥A-BCD的外接球半径R＝a2＋b2＋c228．等差数列有如下性质：若数列{a n}是等差数列，则当b n＝a1＋a2＋…＋a nn时，数列{b n}也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{c n}是正项等比数列，则当d n＝________时，数列{d n}也是等比数列．【解析】类比等差数列与等比数列的性质，可猜测d n＝nc1c2…c n时，{d n}为等比数列．【答案】nc1c2…c n三、解答题9．如图3-1-13①，在平面内有面积关系S△P A′B′S△P AB＝P A′·PB′P A·PB，写出图3-1-13②中类似的体积关系，并证明你的结论．①②图3-1-13【解】类比S△P A′B′S△P AB＝P A′·PB′P A·PB，有V P-A′B′C′V P-ABC＝P A′·PB′·PC′P A·PB·PC.证明：如图，设C′，C到平面P AB的距离分别为h′，h.则h′h＝PC′PC，故V P-A′B′C′V P-ABC＝13S△P A′B′·h′13S△P AB·h＝P A′·PB′·h′P A·PB·h＝P A′·PB′·PC′P A·PB·PC.10．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则有什么样的等式成立？【解】在等差数列{a n}中，由a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，相应地，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则可得b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)．[能力提升]1．已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是()A ．正四面体的内切球的半径是其高的12 B ．正四面体的内切球的半径是其高的13 C ．正四面体的内切球的半径是其高的14 D ．正四面体的内切球的半径是其高的15【解析】 原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是其高的14.【答案】 C2．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( )A ．2 017×22 015B ．2 017×22 014C ．2 016×22 015D ．2 016×22 014【解析】 由题意知数表的每一行都是等差数列，且第一行数的公差为1，第二行数的公差为2，第三行数的公差为4，…，第2 015行数的公差为22 014，第1行的第一个数为2×2－1， 第2行的第一个数为3×20， 第3行的第一个数为4×21， …第n 行的第一个数为(n ＋1)×2n －2， 第2 016行只有一个数M ，则M ＝(1＋2 016)×22 014＝2 017×22 014，故选B. 【答案】 B3．类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题： 已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18＝__________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为__________．【解析】 定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．由上述定义，得a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数，故a 18＝3.从而S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数，52n ，n 为偶数.【答案】 3S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数，52n ，n 为偶数4．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A ，B 两点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2；(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A ，B 两点，点P 是双曲线C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，则AN →·BM→为定值，写出这个定值(不要求写出解题过程)．【解】 (1)证明如下： 设点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )， 依题意，得A (－a,0)，B (a,0)， 所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a )． 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a ，同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20.又因为点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，因此y 20＝b 2a2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 2a 2－x 20＝b 2.因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )， 所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2. (2)－(a 2＋b 2)．。