数列习题2013.4.16

√ √ 3 3 + ··· + n n
3 29. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 正数数列 {bn } 中 b2 = e,(e ≈ 2.718 为自然对数的底) 且 ∀n ∈ N∗ √ 总有 2n−1 是 Sn 与 an 的等差中项, bn+1 是 bn 与 bn + 1 的等比中项. (1) 求证:∀n ∈ N∗ 有 an < an+1 < 2n ; 3 (2) 求证:∀n ∈ N∗ 有 (an − 1) < ln b1 + ln b2 + · · · + ln bn < 3an − 1. (kuing) 2 30. 设正数序列 a1 , a2 , · · · , a9 a10 , 且 a1 + a2 + a3 + · · · + a10 = 30 和 a1 a2 · · · a10 < 21. 证明： 1 1 1 + + ··· + >9 a1 a2 a9 (kuing) 31. 无穷数列 {cn } 可由如下法则定义:cn+1 = |1 − |1 − 2cn ||, 而 0 c1 1.
y2k+1
明: 数列能取遍每个正整数并且恰好一次. (kuing) 27. 数列 {xn } 定义为 xn = 求证有如下不等式: xn+1 − xn < (kuing), (tieba), (tieba) 28. 已知 a1 = a2 = · · · = a2013 = 1,an+2013 = 自然数. (kuing) an+1 an+2 · · · an+2012 + 1 , 证明或否定: 对于任意 n,an 都是 an 1 n! √ 2+
4 √ 39. 证明数列 {[ 5n]} 中有无穷多个完全平方数. (tieba) 40. 已知数列 {an } 满足条件 an+1 = − (an + 1)2 , 首项 a1 = − 1 , 求数列的通项公式 an . (tieba) 2 an + 2
2 41. 设数列 {xn } 满足 xn+1 = ax2 n + bxn + c(a ̸= 0), 给定 x1 , 我们记 ∆ = b − 4ac, 则有 ( )2n−1 n− 1 b b (1) 当 ∆ − 2b = 0 时, 我们有 xn = a2 −1 x1 + − . 2a 2a ) n− 1 1 ( 2n−1 b (2) 当 ∆ − 2b = 8 时, 我们有 xn = α + β2 − . 2a ) a ( b t + 1 = 0 的根. (tieba) 其中 α, β 是方程 t2 − ax1 + 2
求证:{xn } 的每一项均为完全平方数. (tieba) 33. 设 µ(0, m) = 1 ,m m! 0, 而对 n 1, m 0, 递归定义:
n−1 ∑ µ(t, m + 1) t=0
µ(n, m) = 试求 µ(n, 0) 最简表达式. (tieba)
2(n − t)
34. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,a1 ̸= 0,vSn+1 − uSn = a1 v , 其中 u, v 是正整数, 且 u > v, n ∈ N∗ .(2012 卓越) (1) 证明 {an } 为等比数列; (2) 设 a1 , ap 两项均为正整数, 其中 p i. 若 p a1 , 证明 v | u; mp−1 ,ap (m + 1)p−1 , 证明:Sp = (m + 1)p − mp 3.
2 [ √ ] [ ] 16. 已知 {xn } 满足 x1 = 1,xn+1 = 4xn + xn 11 , 求 x2013 的个位数字. 其中 x 表示对 x 取整. (kuing) 17. 设 a1 = a2 = (1 − 2an−2 )a2 1 n−1 , 且当 n = 3, 4, 5, · · · 时,an = 2 , 3 2an−1 − 4an−2 · a2 n−1 + an−2 (1) 求数列 {an } 的通项公式, 1 (2) 求证: − 2 是完全平方数. (kuing), (tieba) an
22. 在数列 {an },n ∈ N∗ 中, 已知 a1 = 1,a2k = −ak ,a2k−1 = (−1)k+1 ak ,k ∈ N∗ , 记数列 {an } 的前 n 项 和为 Sn . (1) 求 S5 ,S7 的值; (2) 求证: 对任意的 n ∈ N∗ , 有 Sn 0. (kuing)
38. 若数列 {an } 的前两项是 a1 = 3,a2 = 8, 并且该数列满足条件: (1){an } 是单调递增的; (2)an + 1 是一个完全平方数; (3) 若对于任意满足 p < q n 正整数 p、 q , 都有 ap aq + 1 是一个完全平方数; 试判断 a3 是否存在, 如果存在请求出 a3 , 如果不存在请说明理由. (tieba)
1 1 1 + +···+ = 2, 求 a2013 − 4a1 a1 a2 a2012
1 ,(n ∈ N∗ ), 求证:{an } 无上界. (kuing) a2 n 1 ,(n ∈ N∗ ), 求证:30 < a9000 < 30.01. (tieba) a2 n 1 ,(n ∈ N∗ ), 求证:14 < a100 < 15. (tieba) an 1 1 1 + + + ··· + a1 a2 a3 a2 a3 a4 a3 a4 a5
ii. 若存在正整数 m, 使得 a1 (tieba)
35. a1 = 20,a2 = 30,an+2 = 3an+1 − an . 求所有正整数 n, 使得 1 + 5an+1 an 为完全平方数. (tieba) √ an 2 1 36. 已知 a1 = 1,an+1 = + 均为正整数. (tieba) , 求证: 当 n > 1 时, 2 2 4an 2an − 1 37. 若 a1 = 1 1 , 且 an = (a1 an−1 + a2 an−2 + · · · + an−2 a2 + an−1 a1 ), 证明 {an } 单调递减. (tieba) 2 3n − 1
23. 已知:a1 = 1,an+1 an − 2n2 (an+1 − an ) + 1 = 0, 求 an . (kuing) 24. 已知:a0 = 2， a1 = 2， a2 = 6, 且对 n (kuing), (pep) 25. 已知:x0 = x1 = 1， x0 xn + x1 xn−1 + · · · + xn−1 x1 + xn x0 = 2n xn (n 26. 数列 {yn } 定义如下:y1 = 1, 对 k > 0,y2k = 2yk , 2y + 1, k k 为偶数, k 为奇数, 2). 求 xn . (kuing) 2yk , k 为奇数, = . 证 2y + 1, k 为偶数. k 3 有 an = (n + 4)an−1 − 4nan−2 + (4n − 8)an−3 . 求:an .
18. 数列 {an } 满足 an+1 = 3an − 3a2 n. 1 2 3 (1) 若 a1 = , 求证: < a2 n 2 3 4 (2) 在 (1) 条件下, 求证: 数列 an 单调递减. (tieba) 19. 设数列 {an } 满足 a1 = (tieba), 20. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,a1 = a(a > 0). 且满足 an+1 = 项公式. (tieba), (tieba) 21. 设无限数列 a1 1 (k 是给定的大于 1 的自然数). 求证: 2k 可以找到 k 个项, 其中最小的数大于最大的数的一半. (tieba) a2 a3 · · · 的各项的和为 1, 其中 a1 = √ 2 , 求数列 {a } 的通 a2 + aSn + Sn n 8a4 1 3(an−1 − 1) 2 n−1 , a2 = , + + 1 = 0(n 9 3 an + an−1 an + an−1 2), 求 {an } 的通项公式.
9. 已知数列 {an } 满足:a1 = 1,a2 = 2,a3 = 3,a4 = 4,a5 = 5, 且当 n 列 {bn } 满足对任意 n ∈ N , 有 bn = a1 a2 · · · an −
+
10. 数列 {an } 满足 a1 > 1,an+1 − 1 = an (an − 1), 且 (n ∈ N∗ ), 的最小值. (kuing) 11. 数列 {an } 满足 a1 > 1,an+1 = an + 12. 数列 {an } 满足 a1 = 1,an+1 = an + 13. 数列 {an } 满足 a1 = 1,an+1 = an +
数列经典题目 1. 设数列 {an },a1 = 2, an+1 = a2 n − an + 1,n = 1, 2 · · · , 1 1 1 1 证明:1 − < + + ··· + < 1. (kuing), (tieba) 2008 2008 a1 a2 a2008 2. 已知数列首项 a1 = 3, 满足递推关系 an+1 = a2 1), 求数列 an 的通项公式. (kuing), (tieba) n − 2,(n 4an − 2an−1 n为奇数 3. 已知 a0 = 1, a1 = 1, an+1 = , 求 an . (kuing) a + 3 a n为偶数