二次函数第三课时
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.4《二次函数的应用(第三课时)》课件
知2－讲
导引： 由题意知今年这种玩具每件的成本是去年的(1＋0.7x) 倍，每件的出厂价是去年每件的出厂价的 (1＋0.5x) 倍，今年的年销售量是去年年销售量的 (1＋x)倍．
解：(1)(10＋7x)；(12＋6x) (2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x， 即y与x的函数关系式为y＝2－x. (3)W＝2(1＋x)(2－x)＝－2x2＋2x＋4＝－2(x-5)2＋4.5， ∵0＜x≤1，∴当x＝0.5时，W有最大值． W最大值＝4.5. 答：当x＝0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销 售利润为4.5万元．
知1－练
3 心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念 的时间x(min)之间是二次函数关系，当提出概念13 min时，学生对概念的接受能力最大，为59.9；当提 出概念30 min时，学生对概念的接受能力就剩下31， 则y与x满足的二次函数表达式为( D ) A．y＝－(x－13)2＋59.9 B．y＝－0.1x2＋2.6x＋31 C．y＝0.1x2－2.6x＋76.8 D．y＝－0.1x2＋2.6x＋43
（来自《教材》）
知2－练
2 某旅行社在五一期间接团去外地旅游，经计算，收益
y(元)与旅行团人数x(人)满足表达式y＝－x2＋100x＋
28 400，要使收益最大，则此旅行团应有( C )
A．30人
B．40人
C．50人
D．55人
知2－练
3 (2016·咸宁)某网店销售某款童装，每件售价60元，每星 期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场 调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款 童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星 期的销售量为y件． (1)求y与x之间的函数表达式． (2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大， 最大利润是多少元？ (3)若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每 星期至少要销售该款童装多少件？
九年级数学上册教学课件《实际问题与二次函数(第3课时)》
这时水面的宽度为x2-x1=2 6， 因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2 6-4)m.
2m l=4m
o
探究新知
22.3 实际问题与二次函数
【思考】“二次函数应用”的思路
回顾 “最大利润”和 “桥梁建筑”解决问题的过程，
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不 变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的 原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，
∴﹣5.6=36a，a 7 .
45
∴抛物线的表达式为 y
7
x2 .
45
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底 边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间 距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平 距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？
探究新知 怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴 为y轴，建立直角坐标系，如图．
22.3 实际问题与二次函数
从图看出，什么形式的二次函数，它 的图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因此 这个二次函数的形式为y ax2.
二次函数第三课时
2 2
新知导学
y ax 2 c (a 0)的图象与性质: 二次函数
【做一做】在同一坐标系中画出函数
y x 1,
2
y x 1,的图象.
2
... ...
10
８
５ ３
２ ０
１ ２
５ ３
2
【反思】若将抛物线 y 2 x 3 绕其顶点旋转180°, 2 则所得抛物线的解析式为___________. y 2 x 3
2
【拓展】若抛物线 y ax 轴对称,求a,c的值．
2
c 与 y 2 x 5 关于 x
2
巩固练习
向下 y 2 x 2 5 的开口方向＿＿＿，对称轴 (１)抛物线 y轴 (0,-5) ＿＿＿，顶点坐标＿＿＿＿．
2 2
类型二：求二次函数的解析式.
例题2：抛物线 y ax 该抛物线的解析式.
2
c 经过点(-1,2),(0,-4),求
y ax 2 c 向下平移2个单位后, 例题3：已知抛物线 2 所得抛物线为 y 3x 2 ,试求a,c的值．
总结反思,拓展升华
【总结】本节所学的数学知识:函数 y ax c的图象 2 y 特征与性质以及抛物线 ax 上下平移规律.
y ax 2 c
【思考】把抛物线 y 2 x 向上平移５个单位，会得到 哪条抛物线？向下平移３.4个单位呢?请写出它们的函数 解析式.
【练一练】教材第10页 练习
应用迁移，巩固提高
类型一：二次函数 y ax c的图象特征的应用。
2
例题1：抛物线 y ax c 与 y 5 x 的形状大小, 开口方向都相同,且其顶点坐标是(0,3),则其表达式为 2 2 上 3 y__________,它是抛物线 y 5 x 向____平移____个单 5 x 3 位得到的.
二次函数的图象与性质第三课时
二次函数的图象与性质（3）学习目标：会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． 学习重难点：探究形如2)(h x a y -=这类函数的图象特点和相对应的函数性质 学习过程：我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)2(21+=x y ，2)2(21-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是 （0，0），（-2，0），（2，0）． 回顾与反思 对于抛物线2)2(21+=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． 探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-=x y ，应将抛物线221x y =作怎样的平移？例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗?解 抛物线23x y -=的顶点坐标为（0，0）；抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2，0）． 因此，抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴和直线2-=x ．抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向左平移2个单位而得的．回顾与反思 2)(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标[当堂课内练习]1．画图填空：抛物线2)1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．[本课课外作业]A 组1．已知函数221x y -=，2)1(21+-=x y ， 2)1(21--=x y ．（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质．2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线221x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(21--=x y ？3．函数2)1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．4．不画出图象，请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系．B 组5．将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点 （1，3），求a 的值． 课后反思：今天学习的知识相对于昨天学习的有一点难度，学生可能容易混淆，就是上节课是图像沿y 轴上下平移，且移动方向与我们的正常学习相辅，加向上平移，减向下平移。
2,2二次函数的图象与性质 第三课时-九年级数学下册课件(北师大版)
第3课时
复习回顾：
二次函数 y =ax ²的性质
函数y＝ ax 2
图象
开口 方向
a＞0
向上
顶点坐标 对称轴
(0，0)
y 轴(直线 x＝0)
a＜0
向下
(0，0)
y 轴(直线 x＝0)
续表：
函数y ＝ax 2
增减性
最值
a＞0
当x＞0时，y 随x 的增大而增大 当x＝0时， 当x＜0时，y 随x 的增大而减小 y最小值＝0
总结
函数 y＝ax 2＋c (a≠0)与函数y＝ax 2(a≠0)图象特征：
只有顶点坐标不同，其他都相同．
1 抛物线 y＝ax 2＋(a－2)的顶点在x 轴的下方，则a 的取 值范围是_a_＜__2__且__a_≠__0_．
2 在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是( D )
A．y＝ 1 x
数的表达式为y＝x 2－1.
总结
平移的方向决定是加还是减，平移的距离决定加 或减的数值．
例4 抛物线 y＝ax 2＋c 与抛物线 y＝－5x 2的形状相同，
开口方向一样，且顶点坐标为(0，3)，则其所对应的
函数表达式是什么？它是由抛物线y＝－5x 2怎样平移
得到的？
导引：由两抛物线的形状、开口方向相同，可确定a 的值； 再由顶点坐标为(0，3)可确定c 的值，从而可确定
＜－1，∴y3＜y2＜y1.
总结
对于在抛物线的对称轴两侧的函数值的大小比较，运用 转化思想．先根据对称性将不在对称轴同侧的点转化为在对 称轴同侧的点，再运用二次函数的增减性比较大小．
1 对于二次函数 y＝3x 2＋2，下列说法错误的是( C )
5.2二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y=ax^2 bx c的图像和性质(教学课件)-初中数
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
二次函数y=-x2-4x-5 的图像如图所示.
由图像可知， 当x=-2时， y的值最大， 最大值是-1.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
y＝
1 2
x2－6x＋21
y＝
1 2
(x2－12x)＋21
你知道是怎样配方的吗？ 1. “提”：提出二次项系数；
1 y＝ 2 (x2－12x＋36－36)＋21
y＝ 1 (x－6) 2＋21－18 2
2.“配”：括号内配成完全平方式；
a＜0时，抛物线开口向下，函数有最大值；
4ac － b2
函数在顶点处取得有最大（小）值 4a
.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
练一练：用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式 为( B ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
例1 画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，并指出它的开口方向、顶点坐 标、对称轴、最大值或最小值. 【分析】要画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，可先将函数表达式变
人教版九年级数学上册课件 第二十二章 二次函数 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
13．有相同对称轴的两条抛物线的图象如图所示，则下列关系不正确的 是( C )
A.h＝m B．k＞n C．k＝n D．h＞0，k＞0
14．(2020·兰州)点A(－4，3)，B(0，k)在二次函数y＝－(x＋2)2＋h的图 象上，则k＝__3__．
15．(2020·广安)已知二次函数 y＝a(x－3)2＋c(a，c 为常数，a＜0)，当
自变量 x 分别取 5 ，0，4 时，所对应的函数值分别为 y1，y2，y3，则 y1， y2，y3 的大小关系为_y__2＜__y_3_＜__y_1____(用“＜”连接).
点坐标为(1，－5)
(3)当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大
9．(2020·哈尔滨)将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个 单位长度，所得到的拋物线为( D )
A．y＝(x＋3)2＋5 B．y＝(x－3)2＋5 C．y＝(x＋5)2＋3 D．y＝(x－5)2＋3
10．函数y＝3(x－1)2＋2是由函数y＝3x2的图象先向_右___平移1个单位， 再向__上__平移__2__个单位得到的．
3．抛物线 y＝－ 2 (x－5)2＋3 的开口向__下__，对称轴是直线__x_＝__5__．
4．对于抛物线y＝－(x＋1)2－3，下列结论错误的是( B ) A．抛物线的开口向下 B．对称轴为直线x＝1 C．顶点坐标为(－1，－3) D．x＞1时，y随x的增大而减小
5．(兰州中考)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上， 则下列结论正确的是( A )
九年级数学《二次函数》第三课时教案
中学“自导式”育人设计方案(四）老师公布并讲解上面2题。
（五）小组讨论完成下面表格;（六）老师公布答案并答疑。
（七）小组内结对2人理解记忆上表格内容。
（八）探究练习：填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值．抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值y ＝2x 2＋2y ＝－5x 2－3y ＝15x 2＋1y ＝－12x 2－4(九)课堂小结：1二次函数y =ax 2+k 的性质2. 二次函数y =ax 2与y =ax 2+k 的平移规律：()022>+=→=k k ax y k ax y 个单位向上平移 ()022>-=→=k k ax y k ax y 个单位向下平移口决：上加下减四、课后拓展练习：（见复习巩固单）抛物线 开口方向对称轴顶点坐标最大（小）值 增减性 平移规律a>0 a<0 a>0 a<0 a>0 a<0y=ax 2y=ax 2+k课后作业 课后反思一、预学检测单1.在同一直角坐标系中，画出二次函数y =2x 2+1，y =2x 2-1，y =2x 2的图象.二、探究练习单1.画一画：在同一坐标系中画出函数y=-2x、y =-x 2+1、y= y =-x 2-2的图像3、小组内讨论完成下表;三、复习巩固单1．二次函数y ＝x 2＋1的图象大致是（ ）2．下列关于抛物线y ＝－x 2＋2的说法正确的是（ ） A ．抛物线开口向上B ．顶点坐标为（－1，2）C ．在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大D ．在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大3．与抛物线y ＝－45x 2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是（ ）A ．y ＝－45x 2－1B ．y ＝45x 2－1C ．y ＝－45x 2＋1D ．y ＝45x 2＋14．抛物线y ＝2x 2－1在y 轴右侧的部分是 （填“上升”或“下降”）的．5．二次函数y ＝3x 2－3的图象开口向上，顶点坐标为 对称轴为 轴，当x>0时，y 随x 的增大而 ；当x<0时，y 随x 的增大而 ．因为a ＝3>0，所以y 有最 值，当x ＝ 时，y 的最小值是6．抛物线y ＝ax 2－1（a ＞0）上有两点A （1，y 1），B （3，y 2），则y 1 y 2.（填“＞”“＜”或“＝”）7．函数y ＝13x 2＋1与y ＝13x 2的图象的不同之处是（ ）A ．对称轴B ．开口方向C ．顶点D ．形状8．如果将抛物线y ＝－3x 2向上平移2个单位长度，那么得到的新抛物线的解析式为9．在同一平面直角坐标系中画出二次函数y ＝－2x 2，y ＝－2x 2＋3的图象． （1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；（2）抛物线y ＝－2x 2＋3可由抛物线y ＝－2x 2向 平移 个单位长度得到． 易错点 求函数值的范围时忽视顶点处的取值10．对于二次函数y ＝－2x 2＋4，当－2＜x≤1时，y 的取值范围是 中档题11．已知点（x 1，y 1），（x 2，y 2）均在抛物线y ＝x 2－1上，下列说法中正确的是（ ） A ．若y 1＝y 2，则x 1＝x 2 B ．若x 1＝－x 2，则y 1＝－y 2 C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2 D ．若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 2 12．【数形结合思想】一次函数y ＝ax ＋b （a≠0，b≠0）的图象如图所示，则二次函数y ＝bx 2＋a 的大致图象是（ ）13、已知y ＝ax 2＋k 的图象上有三点A （－3，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3），且y 2<y 3<y 1，则a的取值范围是（）A．a>0 B．a<0C．a≥0 D．a≤014．已知二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等．当x取x1＋x2时，函数值为（）A．a＋c B．a－cC．－c D．c。
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冶金中学九年级数学导学案（26.3 二次函数）
课型：新授课 主备： 吕戟英 备课组长审核：_______ 教研组长审核________使用：_________ 日期：___年____月 ____日 班级：_____ 姓名：______ 一、提解目标：
1．会画二次函数y ＝ax 2＋k 的图象；
2．掌握二次函数y ＝ax 2＋k 的性质，并会应用； 3．知道二次函数y ＝ax 2与y ＝的ax 2＋k 的联系． 二、预习交流：
在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝x 2＋1，y ＝x 2－1的图象．
观察图象得：
2．可以发现，把抛物线y ＝x 2向______平移______个单位，就得到抛物线y ＝x 2＋1；把抛物线y ＝x 2向_______平移______个单位，就得到抛物线y ＝x 2－1．
3．抛物线y ＝x 2
，y ＝x 2－1与y ＝x 2＋1的形状_____________． 三、点拨提升 1．
2．抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；
抛物线y ＝2x 2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．
因此，把抛物线y ＝ax 2向上平移k （k ＞0）个单位，就得到抛物线_______________； 把抛物线y ＝ax 2向下平移m （m ＞0）个单位，就得到抛物线_______________．
3．抛物线y ＝－3x 2与y ＝－3x 2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状__________，由此可得二次函数y ＝ax 2与y ＝ax 2＋k 的形状__________________．
四、课堂反馈
2．将二次函数y ＝5x 2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________． 3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y ＝－x 2的方向相反，形状相同的抛 物线解析式____________________________．
4．抛物线y ＝4x 2＋1关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________． 五、达标检测1．填表
2．抛物线y ＝－13 x 2－2可由抛物线y ＝－1
3 x 2＋3向___________平移_________个单位得到的．
3．抛物线y ＝－x 2＋h 的顶点坐标为（0，2），则h ＝_______________．
4．抛物线y ＝4x 2－1与y 轴的交点坐标为_____________，与x 轴的交点坐标为_________．。