2.1(第2课时)参数方程和普通方程的互化 学案(含答案)
人教版高中数学选修4-4课件：2.1曲线的参数方程 第二课时.2
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【解析】(1)选D.xy=1,x取非零实数,而A,B,C中的x的
范围不符合要求.
(2)①把y=sinθ代入方程,得到 于是x2=4(1-sin2θ)=4cos2θ,
x2 sin2 1， 4
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即x=±2|cosθ|,由于θ具有任意性,sinθ与cosθ的
t
2，(t为参数)化为普通方程为________.
【解析】消去y参 2数t 方程 x 中t2，的参数t,
得到普通方程为y2=4x. y 2t
答案:y2=4x
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【知识探究】 探究点 参数方程和普通方程的互化 1.同一曲线的参数方程是否唯一? 提示:求曲线的参数方程,关键是灵活确定参数,由于参 数不同,同一曲线的参数方程也会有差异,但是一定要 注意等价性.
(θ为参数)
x 2cos,
y 1 2பைடு நூலகம்in
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【解析】选D.圆x2+(y+1)2=2的圆心坐标为C(0,-1),半
径为
2
,所以它的参数方程为 x
2cos,
(θ为参
数).
y 1 2sin,
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2.参数方程
x
(为参数) .
(1)3x+4y=3cosθ+4sinθ+4=4+5sin(θ+φ),
其中 tan 且34φ, 的终边过点(4,3).
因为-5≤5sin(θ+φ)≤5,所以-1≤4+5sin(θ+φ)≤9,
所以3x+4y的最大值为9,最小值为-1.
参数方程与普通方程的互化导学案
参数方程与普通方程的互化导学案一、引入参数方程和普通方程是解决几何问题时常用的两种方程形式。
参数方程是使用一个或多个参数来表示几何图形中各个点的坐标，而普通方程是使用变量来表示几何图形中的关系。
本文将介绍参数方程与普通方程的定义、特点、互化方法以及求解过程。
二、参数方程的定义1.一维参数方程：当几何图形只有一个自变量t时，我们可以用一维参数方程来表示，形式为x=f(t),y=g(t)，其中x和y为几何图形中其中一点的坐标。
2.二维参数方程：当几何图形有两个自变量t和u时，我们可以用二维参数方程来表示，形式为x=f(t,u),y=g(t,u)，其中x和y为几何图形中其中一点的坐标。
三、参数方程的特点1.参数方程能够灵活地表示几何图形中的各个点，因为参数可以取任意值，所以可以表达出图形中的任意点。
2.参数方程可以较为简单地表示复杂的曲线或图形，例如椭圆、双曲线等。
3.参数方程可以通过改变参数的取值范围，实现对曲线或图形的变换，例如平移、旋转等。
4.参数方程能够较为直观地表示几何图形的性质，例如曲线的对称性、渐进线等。
四、普通方程的定义普通方程是使用变量来表示几何图形中的关系，通常形式为F(x,y)=0，其中F为表示关系的函数。
五、普通方程与参数方程的互化方法1.由参数方程得到普通方程：将参数方程中的参数用变量替代，然后消去参数，得到普通方程。
例如，对于一维参数方程x=t^2，y=t+1，我们可以将t用x和y来表示，得到x^2=y-1，进一步整理得到x^2-y+1=0，即为普通方程。
2.由普通方程得到参数方程：将普通方程中的变量用参数来表示，然后整理得到参数方程。
例如，对于普通方程x^2+y^2=1，我们可以将x和y分别用参数t来表示，得到x=cos(t)，y=sin(t)，即为参数方程。
六、参数方程与普通方程的求解过程1.由参数方程得到普通方程：(1)将参数方程中的参数用变量替代，得到x=f(x,y)和y=g(x,y)。
高中数学第二讲参数方程一第二课时参数方程和普通方程的互化学案新人教版
第2课时 参数方程和普通方程的互化学习目标 1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.3.能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题．知识点 参数方程和普通方程的互化思考1 要判断一个点是否在曲线上，你觉得用参数方程方便还是用普通方程方便？ 答案 用普通方程比较方便．思考2 把参数方程化为普通方程的关键是什么？ 答案 关键是消参数．梳理 (1)曲线的普通方程和参数方程的互相转化①曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；②如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．(2)参数方程化为普通方程的三种常用方法①代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数； ②三角函数法：利用三角恒等式消去参数；③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去．特别提醒：化参数方程为普通方程F (x ，y )＝0，在消参过程中注意变量x ，y 的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定f (t )和g (t )的值域得x ，y 的取值范围.类型一 参数方程化为普通方程例1 将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状．(1)⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t1＋t，y ＝2t1＋t(t ≠－1，t 为参数)．解 (1)由x ＝t ＋1≥1，得t ＝x －1，代入y ＝1－2t ， 得y ＝－2x ＋3(x ≥1)，这是以(1,1)为端点的一条射线．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5， ①sin θ＝y ＋14， ②①2＋②2，得x 225＋(y ＋1)216＝1，这是椭圆．(3)方法一 x ＋y ＝1－t 1＋t ＋2t 1＋t ＝1＋t1＋t ＝1，又x ＝1－t 1＋t ＝21＋t－1，故x ≠－1，y ＝2t 1＋t ＝2(1＋t )－21＋t ＝2－21＋t，故y ≠2， 所以所求的方程为x ＋y ＝1(x ≠－1，y ≠2)． 方程表示直线(去掉一点(－1,2))． 方法二 由x ＝1－t 1＋t ，所以x ＋xt ＝1－t ，所以(x ＋1)t ＝1－x ，即t ＝1－x1＋x，代入y 中得， y ＝2t 1＋t ＝2×1－x 1＋x 1＋1－x 1＋x ＝2(1－x )1＋x ＋1－x＝1－x ， 所以x ＋y ＝1(x ≠－1，y ≠2)． 方程表示直线(去掉一点(－1,2))． 反思与感悟 消去参数方程中参数的技巧(1)加减消参数法：如果参数方程中参数的符号相等或相反，常常利用两式相减或相加的方法消去参数．(2)代入消参数法：利用方程思想，解出参数的值，代入另一个方程消去参数的方法，称为代入消参法，这是非常重要的消参方法．(3)三角函数式消参数法：利用三角函数基本关系式sin 2θ＋cos 2θ＝1消去参数θ. 跟踪训练1 将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t2(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．解 (1)∵x ＝t ＋1t，∴x 2＝t 2＋1t2＋2，把y ＝t 2＋1t2代入得x 2＝y ＋2.又∵当t >0时，x ＝t ＋1t ≥2，当且仅当t ＝1时等号成立；当t <0时，x ＝t ＋1t≤－2，当且仅当t ＝－1时等号成立．∴x ≥2或x ≤－2， ∴普通方程为x 2＝y ＋2(x ≥2或x ≤－2)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3cos θ，y ＝3sin θ，两式平方相加得(x －2)2＋y 2＝9， 即普通方程为(x －2)2＋y 2＝9. 类型二 普通方程化为参数方程例2 已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，根据下列条件，求圆C 的参数方程． (1)以过原点的直线的倾斜角θ为参数； (2)设x ＝2m ，m 为参数．解 (1)过原点且倾斜角为θ的直线方程为y ＝x tan θ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x tan θ消去y ，得x 2＋x 2tan 2θ－2x ＝0，解得x ＝0或x ＝21＋tan 2θ＝2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2cos 2θ. 当x ＝0时，y ＝0，当x ＝2cos 2θ时，y ＝x tan θ＝2cos θ·sin θ＝sin2θ.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0适合参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos 2θ，y ＝sin2θ，∴所求圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos 2θ，y ＝sin2θ(θ为参数，0≤θ<π)．(2)把x ＝2m 代入圆C 的普通方程，得4m 2＋y 2－4m ＝0， 可得y 2＝4m －4m 2，即y ＝±2m －m 2，∴所求圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2m ，y ＝±2m －m 2(m 为参数)．反思与感悟 (1)普通方程化为参数方程时，选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．(2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的． 跟踪训练2 已知曲线的普通方程为4x 2＋y 2＝16. (1)若令y ＝4sin θ(θ为参数)，如何求曲线的参数方程？(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？解 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16， 于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，∴x ＝±2cos θ(由θ的任意性可取x ＝2cos θ)． ∴4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(2)将y ＝t 代入普通方程4x 2＋y 2＝16，得4x 2＋t 2＝16， 则x 2＝16－t 24，∴x ＝±16－t 22.因此，椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16－t 22，y ＝t和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16－t 22，y ＝t(t 为参数)同理将x ＝2t 代入普通方程4x 2＋y 2＝16，得参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝41－t 2和⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－41－t 2(t 为参数)．类型三 参数方程与普通方程互化的应用例3 已知x ，y 满足圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的方程，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33t ，y ＝－t ＋5(t为参数)．(1)求3x ＋4y 的最大值和最小值；(2)若P (x ，y )是圆C 上的点，求P 到直线l 的最小距离，并求此时点P 的坐标．解 圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ＋1(θ为参数)，直线l 的普通方程为3x ＋y －5＝0.(1)3x ＋4y ＝3cos θ＋4sin θ＋4＝5sin(θ＋φ)＋4，tan φ＝34，∴3x ＋4y 的最大值为9，最小值为－1. (2)P 到直线l 的距离为d ＝|3cos θ＋sin θ－4|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3－42，当θ＋π3＝π2，即θ＝π6时，d min ＝1，此时，x ＝cos π6＝32，y ＝sin π6＋1＝32，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，32. 反思与感悟 (1)参普互化有利于问题的解决，根据需要，合理选择用参数方程还是普通方程． (2)解决与圆有关的最大值，最小值问题时，通常用圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值，最小值问题．跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0.以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0.(1)求直线l 的极坐标方程，曲线C 的直角坐标方程；(2)若点P 是曲线C 上任意一点，P 点的直角坐标为(x ，y )，求x ＋2y 的最大值和最小值． 解 (1)直线l 的方程为x －y ＋4＝0， 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋4＝0. 又曲线C 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，所以ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0， 因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. (2)由(1)知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，所以x ＋2y ＝(2＋2cos θ)＋2(2＋2sin θ)＝6＋2(cos θ＋2sin θ)＝6＋10sin(θ＋φ)，tan φ＝12.当sin(θ＋φ)＝－1时，x ＋2y 有最小值6－10， 当sin(θ＋φ)＝1时，x ＋2y 有最大值6＋10.1．若点P 在曲线ρcos θ＋2ρsin θ＝3上，其中0≤θ≤π4，ρ>0，则点P 的轨迹是( )A ．直线x ＋2y ＝3B ．以(3,0)为端点的射线C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(1,1)，(3,0)为端点的线段 答案 D2．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化成普通方程为( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)答案 C解析 由x ＝2＋sin 2θ，得sin 2θ＝x －2，代入y ＝sin 2θ， ∴y ＝x －2.又sin 2θ＝x －2∈[0,1]，∴x ∈[2,3]． 3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程是_____________________． 答案 y 2＝x ＋1(－1≤x ≤1) 4．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t 2＋1t2(t 为参数)化成普通方程为____________________．答案 x 2－y ＝2(y ≥2)解析 由x ＝t ＋1t，得x 2＝t 2＋1t2＋2，又y ＝t 2＋1t 2，∴x 2＝y ＋2.∵t 2＋1t2≥2，∴y ≥2.5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ(φ为参数)表示的图形是________．答案 圆解析 x 2＋y 2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25，表示圆．1．参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型，研究曲线的性质．由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标(x ，y )和参数的关系，根据实际问题的要求，可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数． 2．同一问题参数的选择往往不是惟一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率．3．参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．一、选择题1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝1答案 A2．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别为( )A.π4，(1,0) B.π4，(－1,0) C.3π4，(1,0) D.3π4，(－1,0) 答案 C3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos2θ(θ为参数)化为普通方程是( )A ．2x －y ＋4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2,3]D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2,3] 答案 D解析 由条件可得cos2θ＝y ＋1＝1－2sin 2θ＝1－2(x －2)，化简可得2x ＋y －4＝0，x ∈[2,3]．4．过原点作倾斜角为θ的直线与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos αy ＝2sin α(α为参数)相切，则θ等于( )A.π6 B.5π6C.π6或5π6D.π3答案 C解析 直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±33，∴θ＝π6或5π6. 5．下列参数方程中，与普通方程y 2＝x 表示同一曲线的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2t ，y ＝sin t (t 为参数)C.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t(t 为参数)答案 D解析 由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 消去参数t ，可得y 2＝x .又参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 满足x ≥0，y ∈R ，故选D.二、填空题6．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是____________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t2(t 为参数)解析 把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0， 得x ＝4t1＋t2或x ＝0， 当x ＝0时，y ＝0，当x ＝4t 1＋t 2时，y ＝4t21＋t2，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0适合参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t21＋t 2，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t21＋t2(t 为参数)．7．若曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－kk 2＋4，y ＝4k 2＋4(k 为参数)，则其普通方程为________________．答案 4x 2＋y 2－y ＝0(0<y ≤1) 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－kk 2＋4，y ＝4k 2＋4(k 为参数)两式相除，得k ＝－4x y ，代入y ＝4k 2＋4，得4x 2＋y 2－y ＝0. 由于y ＝4k 2＋4∈(0,1]， 所以曲线的普通方程为4x 2＋y 2－y ＝0(0<y ≤1)．8．在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直角l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________________． 答案 ρ(cos θ－sin θ)＝1解析 设倾斜角为π4的直线l 的方程为y ＝x ＋b ，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，圆心C (2,1)到直线x －y ＋b ＝0的距离为d ＝|b ＋1|2，依题意，得|AB |＝2r 2－d 2＝2，即1－⎝⎛⎭⎪⎫|b ＋1|22＝1，解得b ＝－1，所以直线方程为x －y －1＝0，化为极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝1， 即ρ(cos θ－sin θ)＝1为所求．9．过点M (2,1)作曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的弦，使M 为弦的中点，则此弦所在直线的普通方程为________． 答案 2x ＋y －5＝0解析 由于曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ表示圆心在原点，半径为4的圆，所以过点M 的弦与线段OM 垂直，因为k OM ＝12，所以弦所在直线的斜率是－2，故所求直线方程为y －1＝－2(x －2)， 即2x ＋y －5＝0为所求．10．已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为________． 答案 4 2解析 圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ，圆心为(3，1)，半径为3，直线的普通方程为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π6－sin θsin π6＝32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|(3)2－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2. 三、解答题11．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t (a ，b 为大于0的常数，t 为参数)化为普通方程，并判断曲线的形状． 解 因为x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ， 所以t >0时，x ∈[a ，＋∞)，t <0时，x ∈(－∞，－a ]．由x ＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t 两边平方，可得 x 2＝a 24⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋2＋1t 2，① 由y ＝b 2⎝⎛⎭⎪⎫t －1t 两边平方，可得 y 2＝b 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2－2＋1t 2，② ①×1a 2－②×1b 2并化简，得x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b 为大于0的常数)． 所以普通方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 所以方程表示焦点在x 轴上的双曲线．12．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos α，y ＝r sin α(α为参数，r 为常数，r >0)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋2＝0.若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求r 的值．解 由2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋2＝0， 得ρcos θ－ρsin θ＋2＝0，即直线l 的方程为x －y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝r 2，圆心坐标为(0,0)， 所以，圆心到直线的距离d ＝2， 由|AB |＝2r 2－d 2＝22，得r ＝2.13．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－2＋10cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋6sin θ.(1)将曲线C 1的参数方程化为普通方程，将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)曲线C 1，C 2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．解 (1)由⎩⎨⎧x ＝－2＋10cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)， 得(x ＋2)2＋y 2＝10， ∴曲线C 1的普通方程为(x ＋2)2＋y 2＝10.∵ρ＝2cos θ＋6sin θ，∴ρ2＝2ρcos θ＋6ρsin θ，∴x 2＋y 2＝2x ＋6y ，即(x －1)2＋(y －3)2＝10，∴曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.(2)∵圆C 1的圆心为C 1(－2,0)，圆C 2的圆心为C 2(1,3)， ∴|C 1C 2|＝(－2－1)2＋(0－3)2＝32<210，∴两圆相交．设公共弦的长为d ，∵两圆半径相等，∴公共弦平分线段C 1C 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫d 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＝(10)2，解得d ＝22， ∴公共弦长为22. 四、探究与拓展14．在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相切，则实数a ＝________.答案 ±2或±5 2解析 圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心坐标为(2,2)，半径长为2 2.圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2相切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32或|C 1C 2|＝|a |－22＝32⇒a ＝±2或a ＝±5 2.15．在直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝35t ，y ＝1＋45t (t 为参数)．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )在直线l 上，且在曲线C 内，求x －y 的取值范围；(3)若Q (x ，y )在曲线C 上，求Q 到直线l 的最大距离d max . 解 (1)因为ρ＝2sin θ，所以ρ2＝2ρsin θ，所以x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)因为x －y ＝35t －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋45t ＝－15t －1， 又－1<t <1，所以－15<－15t <15， 所以－65<－15t －1<－45， 即x －y 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－45. (3)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为4x －3y ＋3＝0，d ＝|4cos θ－3sin θ|5＝|sin(θ－φ)|，tan φ＝43，所以d max ＝1.。
《参数方程与普通方程互化(2)》教学案3
第二讲《参数方程与普通方程互化》教学案教学目的：知识目标：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法；能力目标：选取适当的参数化普通方程为参数方程.教学重点：参数方程与普通方程的互化.教学难点：参数方程与普通方程的等价性.授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin cos y x 3化成普通方程，并判断它的曲线类型. 二、讲解新课：1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：(1)代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数；(2)三角法：利用三角恒等式消去参数；(3)整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去.化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围. 2、常见曲线的参数方程(1)圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x (θ为参数) (2)圆22020r y y x x =-+-)()(参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r y y r x x 00 (θ为参数)(3)椭圆12222=+b y a x 参数方程 ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x (θ为参数)(4)双曲线12222=-b y a x 参数方程 ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x (θ为参数)(5)抛物线Px y 22=参数方程⎩⎨⎧==Pt y Pt x 222(t 为参数)(6)过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数) 典型例题1、 将下列参数方程化为普通方程(1)⎪⎩⎪⎨⎧+=-=2222t y t t x (2)⎩⎨⎧=+=θθθ2sin cos sin y x(3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=2221t t y t t x (4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=221212t t y t x(5)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=)()(221312t t y t t x例2化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=ty tx 4321 (t 是参数)(2) ⎩⎨⎧==θθ22cos cos y x (θ是参数)(3) 222212121t ty t tx +-=-= (t 是参数)例3、已知圆O 半径为1，P 是圆上动点，Q (4，0)是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点，当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程.三、巩固与练习1 方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=21y t t x 表示的曲线 ( )A 、一条直线B 、两条射线C 、一条线段D 、抛物线的一部分(2)下列方程中，当方程x y =2表示同一曲线的点 ( ) A 、⎩⎨⎧==2t y t x B 、⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x sin sin 2 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y x 11 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=+-=t y t t xos x tan cos 2121 2．P 是双曲线⎩⎨⎧==θθtan sin 34y x (t 是参数)上任一点，1F ，2F 是该焦点：求△F 1F 2的重心G 的轨迹的普通方程.3．已知),(y x P 为圆41122=-+-)()(y x 上任意一点，求y x +的最大值和最小值.四、小结：本节课学习了以下内容：参数方程与普通方程的互化.五、课后作业：。
第二讲 一 第二课时圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化
(t 为参数)π≤t＜2π. ( θ 为参数)0≤θ＜2π.
x＝3＋15cos θ， (3) y＝2＋15sin θ，
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x＝3cos θ， 解析：(1)由 y＝3sin θ
得 x2＋y2＝9.
π 又由 0＜θ＜2，得 0＜x＜3,0＜y＜3， ∴所求方程为 x2＋y2＝9(0＜x＜3 且 0＜y＜3)． 这是一段圆弧(圆 x2＋y2＝9 位于第一象限的部分)． x＝2cos t， (2)由 （t 为参数）得 x2＋y2＝4. y＝2sin t， 由 π≤t<2π，得－2≤x≤2，－2≤y≤0. ∴所求圆方程为 x2＋y2＝4(－2≤x≤2，－2≤y≤0)． 这是一段半圆弧(圆 x2＋y2＝4 位于 y 轴下方的部分包括端点). x＝3＋15cos θ， (3)由参数方程 （θ 为参数）得(x－3)2＋(y y＝2＋15sin θ， －2)2＝152.由 0≤θ＜2π 可知这是一个整圆弧．
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∵|AB|＝10，
x＝5cos θ， ∴圆的参数方程为 y＝5sin θ
(θ 为参数)．
∵|AC|＝|BD|＝4. ∴C，D 两点的坐标为 C(－1,0)，D(1,0)． ∵点 P 在圆上，所以可设点 P 的坐标为(5cos θ,5sin θ). ∴|PC|＋|PD| ＝ 5cos θ＋12＋5sin θ2＋ 5cos θ－12＋5sin θ2 ＝ 26＋10cos θ＋ 26－10cos θ ＝ 26＋10cos θ＋ 26－10cos θ2 ＝ 52＋2 262－100cos 2θ. π 当 cos θ＝ 时，(|PC|＋|PD|)max＝ 52＋52＝2 26. 2 ∴|PC|＋|PD|的最大值为 2 26. 金品质•高追求 我们让你更放心！
高中数学第2讲参数方程1.2参数方程和普通方程的互化学案新人教A版
第2课时 参数方程和普通方程的互化1．了解参数方程化为普通方程的意义．2．理解参数方程与普通方程的互相转化与应用．(难点) 3．掌握参数方程化为普通方程的方法．(重点)[基础·初探]教材整理 参数方程和普通方程的互化 阅读教材P 24～P 26，完成下列问题．1．曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．2．如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝g t就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．1．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)【解析】 消去sin 2θ，得x ＝2＋y ， 又0≤sin 2θ≤1，∴2≤x ≤3. 【答案】 C2．圆x 2＋(y ＋1)2＝2的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)B.⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝－1＋2sin θ(θ为参数)D.⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝－1＋2sin θ(θ为参数)【解析】 由x ＝2cos θ，y ＋1＝2sin θ知参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)．故选D.【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]普通方程化为参数方程曲线的普通方程为x －123＋y ＋225＝1，写出它的参数方程．【思路探究】 联想sin 2θ＋cos 2θ＝1可得参数方程． 【自主解答】 设x －13＝cos θ，y ＋25＝sin θ，则⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝－2＋5sin θ(θ为参数)，即为所求的参数方程．1．将圆的普通方程化为参数方程： (1)圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数)；(2)圆(x －a )2＋(y －b )2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．2．普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x ＝f (t )，再计算y ＝g (t ))，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x ＝f (t )，y ＝g (t )调整t 的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x ，y 的取值范围保持一致．[再练一题]1．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________． 【解析】 把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t2，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4t1＋t 2，y ＝4t21＋t2(t 为参数)．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t2y ＝4t21＋t2(t 为参数)利用参数思想解题已知x (1)3x ＋4y 的最大值和最小值；(2)(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值和最小值.【导学号：91060018】【思路探究】 设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解决．【自主解答】 由圆的普通方程x 2＋(y －1)2＝1得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ∈[0,2π))．(1)3x ＋4y ＝3cos θ＋4sin θ＋4 ＝4＋5sin(θ＋φ)，其中tan φ＝34，且φ的终边过点(4,3)．∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9， ∴3x ＋4y 的最大值为9，最小值为－1. (2)(x －3)2＋(y ＋3)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2＝26＋8sin θ－6cos θ ＝26＋10sin(θ＋φ)． 其中tan φ＝－34，且φ的终边过点(4，－3)． ∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10， ∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36，所以(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值为36，最小值为16.1．参数思想是解决数学问题的重要思想，在参数方程中，参数(参变量)起着媒介作用，它是联系曲线上任意一点的横坐标与纵坐标的桥梁．通过参数θ，间接建立曲线上任意一点的坐标间的联系，拓宽了解题思路，简化了思维过程．它是研究解析几何问题的重要工具．2．运用参数思想解题的关键在于参数的选择．选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系．由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数．3．(1)解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题．(2)注意运用三角恒等式求最值：a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ)．其中tan φ＝b a(a ≠0)，且φ的终边过点(a ，b )．[再练一题]2．若本例条件不变，如何求y ＋2x ＋1的取值范围？ 【解】 由于⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ∈[0,2π))，∴k ＝y ＋2x ＋1＝3＋sin θ1＋cos θ， ∴sin θ－k cos θ＝k －3，即1＋k 2sin(θ＋φ)＝k －3(φ由tan φ＝－k 确定)， ∴sin(θ＋φ)＝k －31＋k2. 依题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪k －31＋k 2≤1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫k －31＋k 22≤1，解得k ≥43， 即y ＋2x ＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞. [探究共研型]参数方程化为普通方程探究1 【提示】 参数方程直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，就容易判断了．探究2 将参数方程化为普通方程时，常用的方法有哪些？【提示】 (1)代入法．先由一个方程中求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．教科书例3(1)用的就是代入法．(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．教科书例3(2)就用此法．例如对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t cos θ，y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t sin θ.如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1；如果θ是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m ＋n )2－(m －n )2＝4mn .在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ，y ＝b ＋t sin θ(a ，b 为正常数)中，(1)当t 为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？ (2)当t 为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？【思路探究】 (1)运用加减消元法，消t ；(2)当t ＝0时，方程表示一个点，当t 为非零常数时，利用平方关系消参数θ，化成普通方程，进而判定曲线形状．【自主解答】 方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ， ①y ＝b ＋t sin θ， ②(a ，b 是正常数)，(1)①×sin θ－②×cos θ得x sin θ－y cos θ－a sin θ＋b cos θ＝0.∵cos θ、sin θ不同时为零，∴方程表示一条直线．(2)(ⅰ)当t为非零常数时，原方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x－at＝cos θ，③y－bt＝sin θ. ④③2＋④2得x－a2t2＋y－b2t2＝1，即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一个圆．(ⅱ)当t＝0时，表示点(a，b)．1．消去参数的常用方法：将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法．如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形．另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin2α＋cos2α＝1，(e x＋e－x)2－(e x－e－x)2＝4，⎝⎛⎭⎪⎫1－k21＋k22＋⎝⎛⎭⎪⎫2k1＋k22＝1等．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线．[再练一题]3．将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x＝2cos θy＝2sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x＝sin4θ＋cos4θy＝1－2sin2θcos2θ(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x＝a2⎝ ⎛⎭⎪⎫t＋1ty＝b2⎝⎛⎭⎪⎫t－1t(a，b为大于零的常数，t为参数)．【解】(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x＝2cos θy＝2sin θ两式平方相加，得x2＋y2＝4.∵0≤θ≤π，∴－2≤x≤2,0≤y≤2.即方程的曲线表示圆心为(0,0)，半径为2的圆的上半部分．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 4θ＋cos 4θ，y ＝1－2sin 2θcos 2θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2sin 2θcos 2θ，y ＝1－2sin 2θcos 2θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12sin 22θ，y ＝1－12sin 22θ，∴x －y ＝0. ∵0≤sin 22θ≤1， ∴12≤1－12sin 22θ≤1. 即方程x －y ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤1表示一条线段．(3)∵x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，∴t >0时，x ∈[a ，＋∞)，t <0时，x ∈(－∞，－a ]．由x ＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，两边平方可得x 2＝a 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2＋2＋1t 2，①由y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 两边平方可得y 2＝b 24⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－2＋1t2， ②①×1a 2－②×1b 2并化简，得x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b 为大于0的常数)，这就是所求的曲线方程，它表示的曲线是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．[构建·体系]参数方程与普通方程的互化—⎪⎪⎪—参数方程化为普通方程—普通方程化为参数方程—参数方程中的最值、范围问题1．把方程xy＝1化为以t为参数的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x＝t12y＝t－12B.⎩⎪⎨⎪⎧x＝sin ty＝1sin tC.⎩⎪⎨⎪⎧x＝cos t，y＝1cos tD.⎩⎪⎨⎪⎧x＝tan t，y＝1tan t【答案】 D2．下列在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x＝sin 2θy＝cos θ＋sin θ(θ为参数)上的点是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫12，－2 B.⎝⎛⎭⎪⎫－34，12C．(2，3) D．(1，3)【解析】化为普通方程：y2＝1＋x(－1≤x≤1)，当x＝－34时，y＝±12.【答案】 B3．与参数方程⎩⎨⎧x＝ty＝21－t(t为参数)等价的普通方程为( ) A．x2＋y24＝1B．x2＋y24＝1(0≤x≤1)C．x2＋y24＝1(0≤y≤2)D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1,0≤y ≤2)【解析】 x 2＝t ，y 24＝1－t ＝1－x 2，x 2＋y 24＝1，而由⎩⎪⎨⎪⎧t ≥01－t ≥0得0≤t ≤1，从而0≤x ≤1,0≤y ≤2. 【答案】 D4．在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θy ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相外切，则实数a ＝________.【导学号：91060019】【解析】 圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心为(2,2)，半径长为22，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2外切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32⇒a ＝± 2.【答案】 ± 25．化下列参数方程为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 1＋ty ＝2t1＋t(t ∈R 且t ≠－1)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ＋1tan θy ＝1cos θ＋1sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ≠k π，k π＋π2，k ∈Z .【解】 (1)变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋21＋t，y ＝2－21＋t，∴x ≠－1，y ≠2，∴x ＋y ＝1(x ≠－1)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1sin θcos θ， ①y ＝sin θ＋cos θsin θ·cos θ， ②②式平方结合①得y 2＝x 2＋2x ，由x ＝tan θ＋1tan θ知|x |≥2，所以方程为(x ＋1)2－y 2＝1(|x |≥2)．我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(六) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝1【解析】 由x ＝|sin θ|得0≤x ≤1；由y ＝cos θ得－1≤y ≤1.故选A. 【答案】 A2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(0≤t ≤5)表示的曲线是( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆弧D ．射线【解析】 消去t ，得x －3y －5＝0. ∵0≤t ≤5， ∴－1≤y ≤24.【答案】 A3．直线y ＝2x ＋1的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝2t 2＋1B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1y ＝4t ＋1C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1y ＝2t －1D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θy ＝2sin θ＋1【解析】 由y ＝2x ＋1知x ，y 可取全体实数，故排除A 、D ，在B 、C 中消去参数t ，知C 正确．【答案】 C4．若x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x ＋3y 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】 由于圆x2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则x ＋3y ＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，故x ＋3y 的最大值为2.故选B.【答案】 B5．能化为普通方程x 2＋y －1＝0的参数方程为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝cos 2tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan φy ＝1－tan 2φC.⎩⎨⎧x ＝1－ty ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin 2θ【解析】 对A ，可化为x 2＋y ＝1(y ∈[0,1])；对B ，可化为x 2＋y －1＝0；对C ，可化为x 2＋y －1＝0(x ≥0)；对D ，可化为y 2＝4x 2－4x 4(x ∈[－1,1])．【答案】 B 二、填空题6．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋5cos α，y ＝2＋5sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程是________.【导学号：91060020】【解析】 曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋5cos αy ＝2＋5sin α(α为参数)，它表示以点(1,2)为圆心，以5为半径的圆，则曲线C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，化为一般方程即x 2＋y 2－2x －4y ＝0，化为极坐标方程得ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＝0，即ρ2＝2ρcos θ＋4ρsin θ，两边约去ρ得ρ＝2cos θ＋4sin θ.【答案】 ρ＝2cos θ＋4sin θ7．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.【解析】 由ρcos θ＝4，知x ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2，y ＝t 3，∴x 3＝y 2(x ≥0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x 3＝y 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－8，∴|AB |＝4－42＋8＋82＝16.【答案】 168．点(x ，y )是曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则yx的取值范围是________．【解析】 曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ是以(－2,0)为圆心，1为半径的圆，即(x＋2)2＋y 2＝1.设yx＝k ，∴y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，k 取得最小值与最大值， ∴|－2k |k 2＋1＝1，k 2＝13，∴y x的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 三、解答题9．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，(t 为参数，t >0)，求曲线C 的普通方程．【解】 由x ＝t －1t两边平方得x 2＝t ＋1t－2，又y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，则t ＋1t ＝y 3(y ≥6)． 代入x 2＝t ＋1t －2，得x 2＝y 3－2，∴3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)．故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)． 10．已知P (x ，y )是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点． (1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围． 【解】 方程x 2＋y 2－2y ＝0变形为x 2＋(y －1)2＝1，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)．(1)2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1其中φ由tan φ＝2确定， ∴1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，即c ≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R 恒成立． ∵－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是2－1， ∴当且仅当c ≥2－1时，x ＋y ＋c ≥0恒成立．[能力提升]1．已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为( )A. 2 B ．2 2 C ．3 2D ．4 2【解析】 圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ的圆心为(3，1)，半径为3，直线普通方程为ρcos θcos π6－sin θsin π6＝32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|32－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2.【答案】 D2．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．【解析】 ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos α，y ＝sin α(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)3．若点(x ，y )在圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)上，则x 2＋y 2的最小值是________．【解析】 法一：由题意可知，x 2＋y 2＝(3＋2cos θ)2＋(－4＋2sin θ)2＝29＋12cos θ－16sin θ＝29＋20cos(θ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝－34，当cos(θ＋φ)＝－1时最小，因此可得最小值为9.法二：将原式转化为普通方程(x －3)2＋(y ＋4)2＝4，它表示圆．令t ＝x 2＋y 2，则t 可看做圆上的点到点(0,0)的距离的平方，圆外一点与圆上点的最近距离为该点与圆心的距离减去半径，t min ＝(0－32＋0＋42－2)2＝9，所以x 2＋y 2的最小值为9.【答案】 94．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 (1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|2＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．。
2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题56参数方程(教学案)含解析
2019年高考数学（文）一轮复习精品资料1．了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．3．了解圆的平摆线、渐开线的形成过程，并能推导出它们的参数方程．一、参数方程和普通方程的互化 1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需消去参数．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么y ＝g(t x ＝f(t ，就是曲线的参数方程．【特别提醒】在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．几种常见的参数方程 (1)圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为y ＝y0＋rsin θx ＝x0＋rcos θ，(θ为参数)． (2)椭圆a2x2＋b2y2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为y ＝bsin θx ＝acos θ，(θ为参数)． (3)双曲线a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为y ＝btan θ，(θ为参数)． (4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为y ＝2pt x ＝2pt2，(t 为参数)． 二、直线的参数方程利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为y ＝y0＋tsin αx ＝x0＋tcos α，(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝2t1＋t2；(2)|PM |＝|t 0|＝2t1＋t2； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|.【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.三、极坐标与参数方程的综合应用规律1．化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目，全部转化为直角坐标方程后再求解．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．高频考点一 参数方程与普通方程的互化【例1】 已知直线l 的参数方程为y ＝－4t x ＝a －2t ，(t 为参数)，圆C 的参数方程为y ＝4sin θx ＝4cos θ(θ为参数). (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.【方法规律】 (1)将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数.(2)把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，一定要保持同解变形.【变式探究】 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：y ＝t －a x ＝t ，(t 为参数)过椭圆C ：y ＝2sin φx ＝3cos φ，(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值.解 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为9x2＋4y2＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过(3，0)，则3－a ＝0，∴a ＝3.高频考点二 参数方程及应用【例2】已知曲线C ：4x2＋9y2＝1，直线l ：y ＝2－2t x ＝2＋t ，(t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.【方法规律】(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题.(2)对于形如y ＝y0＋bt x ＝x0＋at ，(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.【变式探究】 平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m ，0)，且倾斜角为6π.(1)求圆C 和直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求实数m 的值.解 (1)由曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1. 得参数方程为y ＝sin θx ＝1＋cos θ，(θ为参数). 直线l 的参数方程为t 1(t 为参数).(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中，得t 2＋(m －)t ＋m 2－2m ＝0，所以t 1t 2＝m 2－2m ， 由题意得|m 2－2m |＝1，得m ＝1，m ＝1＋或m ＝1－.高频考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为y ＝sin α3cos α，(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 4π＝2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.的距离d (α)的最小值.d (α)＝23cos α＋sin α－4|＝－2π，当且仅当α＝2k π＋6π(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为，此时P 的直角坐标为21.【方法规律】(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.【变式探究】 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程y ＝sin φx ＝1＋cos φ，(φ为参数).以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋cos θ)＝3，射线OM ：θ＝3π与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.1. （2018年全国I 卷）[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．2. （2018年全国卷Ⅱ）[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【答案】见解析【解析】（1）曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．3. （2018年全国III卷）[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．【答案】（1）（2）为参数，【解析】（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，4. （2018年江苏卷）[选修4—4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．【答案】直线l被曲线C截得的弦长为【解析】因为曲线C的极坐标方程为，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．1.【2017课标1，文22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为．（1）若，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．【答案】（1），；（2）或．【解析】（1）曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.由解得或.从而与的交点坐标为，.（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为.当时，的最大值为.由题设得，所以；当时，的最大值为.由题设得，所以.综上，或.2.【2017课标II，文22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
参数方程与普通方程的互化导学案
参数方程与普通方程的互化【学习目标】 1．参数方程与普通方程的互化2．掌握化参数方程为普通方程的几种方法3．培养严谨的数学思维品质【学习难点和重点】等价变形【课堂讲解】参数方程和普通方程是直角坐标系下曲线方程的不同表示形式，它们都是表示曲线上点的坐标之间关系的，故在一般情况下，它们可以相互转化。
将曲线的参数方程化为普通方程，可借助于以熟悉的普通方程的曲线来研究参数方程的曲线的类型、形状、性质等；而将普通方程化为参数方程，可用参变量作为中介来表示曲线上点的坐标，从而给研究曲线的有关问题带来方便。
例1：将下列曲线的参数方程化为普通方程：一、代入法：先由x=f(t)或y=g(t)解出t(用x,y 表示)，在代入另一个方程从而消去参数t ，注意等价变形（1）)(221R t t y t x ∈⎩⎨⎧-=+= (2)⎪⎩⎪⎨⎧--=+=19122t y t x二、三角法：利用一些三角恒等式来消去参数，注意等价变形(3))454(sin cos sin cos πθπθθθθ≤≤⎩⎨⎧+=⋅=y x （4）)2,0(sin 452cos 12⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎩⎨⎧-=+=πθθθy x （5）)20(sin 4cos 5πθθθ<≤⎩⎨⎧==y x三、平方作差法：先将x=f(t)或y=g(t)两边分别平方，然后相减，即可消去参数，注意等价变形（6）)0(2112≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t t y t t x（7）)0(112222≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t t y t t x四、线段型：通过观察，普通方程是一条直线，注意等价变形（8）t y t t x (31⎪⎩⎪⎨⎧=+=为参数）（9）θθ(cos 21⎩⎨⎧+==y x 为参数）点评：参数方程化为普通方程的基本思想是“消去参数”，消去参数t 的方法有时是从方程组的一个式子解出t 代入另一式；有时是利用三角、代数的恒等式进行消元。
例2：设x=2cos )20(πθθ<≤,将曲线的普通方程x 2+y 2-4y=0化为参数方程点评：把曲线的普通方程化为参数方程的关键是选择参数 。
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2.1（第2课时）参数方程和普通方程的互化
学案（含答案）
第第2课时课时参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化学习目标
1.了解参数方程化为普通方程的意义.
2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.
3.能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题知识点参数方程和普通方程的互化思考1要判断一个点是否在曲线上，你觉得用参数方程方便还是用普通方程方便答案用普通方程比较方便思考2把参数方程化为普通方程的关键是什么答案关键是消参数梳理1曲线的普通方程和参数方程的互相转化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；如果知道变数x，y中的一个与参数t 的关系，例如xft，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系ygt，那么xft，ygt就是曲线的参数方程2参数方程化为普通方程的三种常用方法代入法利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；三角函数法利用三角恒等式消去参数；整体消元法根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去特别提醒化参数方程为普通方程Fx，y0，在消参过程中注意变量x，y的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定ft和gt的值域得x，y的取
值范围.类型一参数方程化为普通方程例1将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状1xt1，y12tt为参数；2x5cos，
y4sin1为参数；3x1t1t，y2t1tt1，t为参数解1由xt11，得
tx1，代入y12t，得y2x3x1，这是以1,1为端点的一条射线2由x5cos，y4sin1，得cosx5，siny14，22，得x225y12161，这是椭圆3方法一xy1t1t2t1t1t1t1，又x1t1t21t1，故x1，
y2t1t21t21t221t，故y2，所以所求的方程为xy1x1，y2方程表示直线去掉一点1,2方法二
由x1t1t，所以xxt1t，所以x1t1x，即t1x1x，代入y中得，y2t1t21x1x11x1x21x1x1x1x，所以xy1x1，y2方程表示直线去掉一点1,2反思与感悟消去参数方程中参数的技巧1加减消参数法如果参数方程中参数的符号相等或相反，常常利用两式相减或相加的方法消去参数2代入消参数法利用方程思想，解出参数的值，代入另一个方程消去参数的方法，称为代入消参法，这是非常重要的消参方法3三角函数式消参数法利用三角函数基本关系式sin2cos21消去参数.跟踪训练1将下列参数方程化为普通方程1xt1t，yt21t2t为参数；2x23cos，y3sin为参数解1xt1t，
x2t21t22，把yt21t2代入得x2y
2.又当t0时，xt1t2，当且仅当t1时等号成立；当t0时，xt1t2，当且仅当t1时等号成立x2或x2，普通方程为x2y2x2或x22x23cos，y3sin可化为x23cos，y3sin，两式平方相加得
x22y29，即普通方程为x22y
29.类型二
普通方程化为参数方程例2已知圆C的方程为x2y22x0，根据下列条件，求圆C的参数方程1以过原点的直线的倾斜角为参数；2设x2m，m为参数解1过原点且倾斜角为的直线方程为yxtan，由方程组x2y22x0，yxtan消去y，得x2x2tan22x0，解得x0或x21tan22cos2sin2cos22cos
2.当x0时，y0，当x2cos2时，yxtan2cossinsin
2.又x0，y0适合参数方程x2cos2，ysin2，所求圆C的参数方程为x2cos2，ysin2为参数，00，则点P的轨迹是A直线x2y3B 以3,0为端点的射线C圆x12y21D以1,1，3,0为端点的线段答案D2将参数方程x2sin2，ysin2为参数化成普通方程为
Ayx2Byx2Cyx22x3Dyx20y1答案C解析由x2sin2，得sin2x2，代入ysin2，yx
2.又sin2x20,1，x2,33参数方程xsin2，ysincos为参数表示的曲线的普通方程是_____________________答案y2x11x14将参数方程xt1t，yt21t2t为参数化成普通方程为
____________________答案x2y2y2解析由xt1t，得x2t21t22，又yt21t2，x2y
2.t21t22，y
2.5参数方程x3cos4sin，y4cos3sin为参数表示的图形是
________答案圆解析x2y23cos4sin24cos3sin225，表示圆1参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元
法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型，研究曲线的性质由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实际问题的要求，可以选择时间.角度.线段长度.直线的斜率.截距等作为参数2同一问题参数的选择往往不是惟一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率3参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性。